Функция f(x) называется непрерывной в точке
если она
определена в этой точке и некоторой ее окрестности и если су-
ществуют односторонние пределы (конечные) такие, что
00
00
xxxx
→−→+
== (16.29)
Свойства непрерывных функций
1. Если функции f(x) и g(x) непрерывны в точке х
0
, то их
сумма
+ также есть непрерывная функция в точке х
0
.
Это свойство справедливо для любого конечного количества
слагаемых.
2. Произведение конечного количества непрерывных функ-
ций есть функция непрерывная.
3. Частное двух непрерывных функций есть функция непре-
рывная, если знаменатель в рассматриваемой точке не обраща-
ется в нуль.
4. Если функция f(x) непрерывна в точке х
0
и
0
fx
то
значения функции f(x) в некоторой окрестности точки х
0
имеют
тот же знак, что и функция
5. Если функция
ϕ= непрерывна в точке х
0
и принимает
в этой точке значение
00
ϕ= а функция f(u) непрерывна в
точке
то сложная функция
ϕ в точке х
0
непрерывна.
6. Всякая элементарная функция непрерывна в каждой точ-
ке, в которой она определена.
7. Если непрерывная на некотором отрезке функция f(x)
принимает на его концах значения разных знаков, то на этом от-
резке найдется хотя бы одна точка, в которой функция
fx
8. Если функция f(x) непрерывна в точке х
0
, то операции вы-
числения предела в этой точке и функции f переставимы, т. е.
00
xxxx
→→
= (16.30)
На свойстве 8 (равенство (16.30)) и было основано непо-
средственное вычисление предела функции в случае отсутствия
неопределенности (см. § 16.1–16.4).
Если нарушается хотя бы одно условие, указанное в опреде-
лении непрерывности, то точка х
0
называется точкой разрыва
функции.
Классификацию точек разрыва дают в зависимости от того,
какое условие последнего определения непрерывности, в том
числе равенства (16.29), нарушено.
Точки разрыва I рода
1. Если существуют односторонние пределы в точке х
0
(ко-
нечные) и
00
0
00
xxxx
→−→+
=≠
то точка х
0
называется точкой устранимого разрыва.
2. Если существует односторонние пределы в точке х
0
(ко-
нечные) и
00
00
xxxx
→−→+
≠ (16.31)
то х
0
– точка разрыва, который называется скачок.
В случае устранимого разрыва функцию можно доопреде-
лить в точке х
0
значением функции f(x) и она станет непрерыв-
ной. В случае скачка это сделать невозможно.
Точки разрыва II рода
1. Если
0
0
lim
xx
fx
→−
или
0
0
xx
fx
→+
то х
0
– точка
разрыва, который называется бесконечный скачок. В этом слу-
чае прямая
является вертикальной асимптотой.
2. Если односторонние пределы в точке х
0
не существуют
(не определены), то х
0
– точка неопределенности.
Для того чтобы исследовать функцию на непрерывность,
необходимо ответить на вопросы:
1) где функция непрерывна;
2) какие точки являются точками разрыва;
3) какой характер разрыва в этих точках?
Пример 1. Пользуясь определением непрерывности доказать, что
функция
2
непрерывна всюду на R.
Решение. Докажем непрерывность этой функции в произвольной
точке
0
x
.
Пусть
– приращение аргумента в точке х
0
. Соответствующее
приращение функции имеет вид:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
2
0000000
fxfxxfxxxxxxx