Майсеня Л.И. Математика в примерах и задачах. Часть 3
Подождите немного. Документ загружается.
276
ции имеет вид:
2
3,
zxx
=+ где
[
]
3; 0.
x∈−
Поскольку
23,
x
zx
′
=+
то для
230
x
+=
получаем критическую
точку
3
.
2
x
=−
Тогда
4
39
,
24
zz
=−=−
(
)
(
)
5
300.
zzz
=−==
Уравнение границы AC:
0.
y
=
Тогда
2
3,
zxx
=+ где
[
]
3; 0.
x∈−
Критическая точка
3
,
2
x
=−
принадлежащая
(
)
3; 0.
−
Вычисляем значение функции для
3
:
2
x
=−
6
39
,
24
zz
=−=−
(
)
(
)
7
300.
zzz
=−==
3) Из всех полученных значений z выбираем наименьшее и наи-
большее:
1
3,
íàèì
zz
==−
357
0.
íàèá
zzzz
====
Задания
I уровень
1.1. Найдите экстремум функции:
1)
2322
;
zxyxyxy
=−− 2)
1
;
y
zx
xy
=++
3)
( )
2
2
12;
zxy
=−+ 4)
(
)
22
2;
xy
zexy
−
=−
5)
8
,
x
zy
xy
=++
(
)
0, 0;
xy>> 6)
22
2
224;
yz
uxz
xy
=++−
7)
322
22.
uxxxyyyzz
=−−+++
1.2. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции
2
zxy
=
в треугольнике, ограниченном прямыми
0,
x
=
0,
y
=
1.
yx
=−
1.3. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции
33
334
zxxy
=−+−
в прямоугольнике, ограниченном прямыми
1,
x
=−
2,
x
=
1,
y
=−
1.
y
=
277
II уровень
2.1. Исследуйте функцию на экстремум (локальный):
1)
22
1
;
1
xy
z
xy
+−
=
++
2)
(
)
22
22
;
xy
zxye
−−
=+
3)
22
4;
zxyxy
=−− 4)
( )( )( )
111;
zxyxy
=+−−−
5)
( )
222
2.
xyz
uzyze
−−−
=++
2.2. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции в
заданной области:
1)
22
zxxyy
=−+
в круге
22
4;
xy
+≤
2)
2
xy
zy
xy
+
=+
в области, ограниченной прямыми
1,
x
=
1,
y
=
223;
xy
+=
3)
(
)
sincoscos
zxyxy
=+++ в области
0,
2
x
π
≤≤
0;
2
y
π
≤≤
4)
(
)
coscoscos
zxyxy
=+
в области
0,
x
π
≤≤
0;
y
π
≤≤
5)
22
24
zxxyy
=−+ в области
(
)
22
2.
xyxy
+≤+
III уровень
3.1. Найдите локальные экстремумы функции
(
)
; ,
zfxy
=
заданной неявно:
1)
222
22410;
xyzxyz+++−−=
2)
32
16;
zxxyz+−=
3)
322
4160;
zxyzyx
−++−=
4)
(
)
(
)
2
222222
4.
xyzxyz++=+−
3.2. Докажите, что функция
(
)
(
)
22
2:
zxyxy
=−−
1) не имеет локального минимума в точке
(
)
0; 0;
O
2) имеет локальный минимум вдоль каждой прямой, проходя-
щей через точку
(
)
0; 0.
O
278
3.3. Внутри четырехугольника найдите точку, сумма квадра-
тов расстояний которой от вершин была бы наименьшей.
3.4. В данный конус впишите прямоугольный параллелепи-
пед наибольшего объема.
3.5. Проведите к эллипсоиду
222
222
1
xyz
abc
++=
касательную
плоскость с наименьшей суммой отрезков на осях.
279
Содержание
Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
13. Линейная алгебра
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
13.1. Матрицы и операции над ними . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
5
Задания
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
13.2. Определители, их свойства и вычисление . . . . . . . . . 15
Задания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . .
21
13.3. Обратная матрица. Ранг матрицы . . . . . . . . . . . . . . . .
25
Задания
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
13.4. Системы линейных уравнений. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
Задания
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
14. Векторная алгебра
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
14.1. Векторы в пространстве: линейные операции
над векторами в геометрической форме, проекция
вектора на ось . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
Задания
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
14.2. Линейная зависимость векторов. Действия
над векторами в координатной форме . . . . . . . . . . . .
52
Задания
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
14.3. Векторное произведение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
Задания . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
14.4. Смешанное произведение векторов . . . . . . . . . . . . . .
69
Задания
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
14.5. Цилиндрическая и сферическая системы координат
74
Задания
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
15. Аналитическая геометрия в пространстве
. . . . . . . . . . .
85
15.1. Плоскость в пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
Задания
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
15.2. Уравнение прямой в пространстве. Взаимное
расположение прямых . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
Задания . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
101
280
15.3. Прямая и плоскость в пространстве . . . . . . . . . . . . . .
103
Задания
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
109
15.4. Поверхности второго порядка . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
113
Задания
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
120
16. Предел и непрерывность функции
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
123
16.1. Предел функции в точке и на бесконечности . . . . . .
123
Задания
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
128
16.2. Замечательные пределы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
132
Задания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . .
136
16.3. Эквивалентность бесконечно малых функций . . . . . .
139
Задания
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
143
16.4. Односторонние пределы. Асимптоты графика
функции . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
146
Задания
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
152
16.5. Непрерывность функции. Классификация точек
разрыва . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
154
Задания
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
162
17. Дифференциальное исчисление . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
166
17.1. Дифференцирование функции с переменной
в основании степени и в показателе . . . . . . . . . . . . . .
166
Задания
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
169
17.2. Дифференцирование функций, заданных неявно
и параметрически . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
171
Задания
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
175
17.3. Необходимое и достаточное условие дифференци-
руемости функций. Дифференциал функции . . . . . . .
177
Задания . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
182
17.4. Производные и дифференциалы высшего порядка . . .
185
Задания
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
191
17.5. Правило Лопиталя. Формула Тейлора . . . . . . . . . . . .
195
Задания
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
200
281
17.6. Исследование функций. Наибольшее и наименьшее
значение функций на промежутке . . . . . . . . . . . . . . . .
203
Задания . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
219
18. Функции многих переменных
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
224
18.1. Основные понятия теории функций многих
переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
224
Задания
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
230
18.2. Частные производные и дифференциал первого
по
рядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
232
Задания
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
237
18.3. Дифференцирование сложных функций . . . . . . . . . .
240
Задания
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
244
18.4.
Дифференцирование неявных функций . . . . . . . . . . .
247
Задания
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
249
18.5.
Касательная плоскость и нормаль к поверхности . . .
252
Задания . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
255
18.6. Частные производные и дифференциалы высших
порядков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
257
Задания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
262
18.7.
Производная по направлению. Градиент . . . . . . . . . .
266
Задания
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
269
18.8. Экстремумы функций двух переменных . . . . . . . . . .
271
Задания
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
276
Учебное издание
М А Т Е М А Т И К А
В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ
Учебное пособие
для учащихся колледжей
В шести частях
ЧАСТЬ 3
Майсеня Людмила Иосифовна
Калугина Марина Алексеевна
Уласевич Екатерина Владимировна
Михайлова Наталия Викторовна
Линейная алгебра. Векторная алгебра. Аналитическая
геометрия в пространстве. Предел и непрерывность
функции. Дифференциальное исчисление. Функции
многих переменных
Зав. ред.-издат. отд. О. П. Козельская
Редактор Г. Л. Говор
Корректор Н. Г. Михайлова
Компьютерная верстка Н. М. Олейник, А. П. Пучек
План изданий 2007 г. (поз. 20)
Изд. лиц. № 02330/0131735 от 17.02.2004.
Подписано в печать 29.12.2007. Формат 60×84
1
/
16
.
Бумага писчая. Гарнитура Таймс. Печать ризографическая.
Усл. печ. л. 16,74. Уч.-изд. л. 14,11. Тираж 500 экз. Заказ 237.
Издатель и полиграфическое исполнение Учреждение образования
«Минский государственный высший радиотехнический колледж»
220005, г. Минск, пр-т Независимости, 62.