Минюк С.А., Ровба Е.А. Высшая математика
Подождите немного. Документ загружается.
7 1
Пример 2. Выразить мод уль векторного произв едения ненуле-
вых векторов через угол между векторами.
Решение. Выберем систему координат т аким образом, чтобы
() ()
π≤ϕ≤=ϕϕ===
0,,0;sin;coscol,,0;0;col bbbbbaaaa
!!
!!
(рис. 1).
Используя формулу (2), получаем:
ϕ=
ϕϕ
=
ϕϕ
=× sin
sincos
0
0sincos
00 abk
bb
a
k
bb
a
kji
ba
!!
!
!!
!
!
.
Отсюда
Sabcba =ϕ==× sin
!
!
!
.
Итак, имеет место свойство, раскрывающее геометрический
смысл векторного произведения:
d) Модуль векторного произведения равен площади параллело-
грамма, построенного на этих векторах.
3
0
. Смешанное произведение векторов.
Смешанным произведением трех упорядоченных векторов назы-
вается скалярное произведение одного из векторов на векторное
произведение двух других.
Представим смешанное произведение векторов
()
,;;col
zyx
aaaa
=
!
()
,;;col
zyx
bbbb
=
!
()
zyx
cccc
;;col
=
!
в виде определителя. Имеем
()()()
zyx
bakbajbaiba
!
!
!!
!
!
!
!
!
!
!
×+×+×=×
, следовательно:
Рис. 1
72
( )() () ()
=×+×+×=×
zzyyxx
bacbacbacbac
!
!
!
!
!
!
!
!!
,
zyx
zyx
zyx
yx
yx
z
zx
zx
y
zy
zy
x
bbb
aaa
ccc
bb
aa
c
bb
aa
c
bb
aa
c
=+−=
. (3)
4
0
. Свойства смешанного произведения.
Компланарными называют векторы, лежащие в одной плоскости.
а
1
) Смешанное произведение компланарных векторов равно нулю.
Действительно, если
c
!
лежит в той же плоскости, что и
a
!
, и
b
!
,
то
bac
!
!!
21
λ+λ=
.
Тогда
()
0,
212121
=
λ+λλ+λλ+λ
=×
zyx
zyx
zzyyxx
bbb
aaa
bababa
bac
по свойству определителя.
b
1
) Четная перестановка векторов в смешанном произведении
его не меняет, т.е.
[]
()
[]
()
[]
()
acbcbabac
!!
!
!
!
!
!
!!
,,,,,,
==
. (4)
Соотношение (4) вытекает из известного свойства определителя:
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
aaa
ccc
bbb
ccc
bbb
aaa
bbb
aaa
ccc
==
(четная перестановка строк определитель не меняет).
Пример 3. Выразить модуль смешанного произведения трех
векторов через объем параллелепипеда, построенного на этих векто-
рах (рис. 2).
Решение. Имеем
ипедапараллелеп
cos),(
VShbacbac ==ϕ×=×
!
!!
!
!!
.
Действительно, в силу примера 2
baS
!
!
×=
, а
ϕ= cosch
!
.
Итак, модуль смешанного произведения равен объему паралле-
лепипеда, построенного на этих векторах. В этом геометрический
смысл смешанного произведения.
Пример 4. Найти смешанное произведение векторов:
() () ()
9;8;7col,6;5;4col,3;2;1col
===
cba
!
!
!
.
73
Решение. По формуле (3) получаем
()
==×
987
654
321
, bac
!
!!
=⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅= 186942357762384951
02252254872105849645 =−=−−−++=
,
т.е. данные векторы компланарны.
! Задания для самостоятельной работы
1. Найти векторное произведение двух векторов:
а)
6
7
5
и
−
3
2
1
; б)
2
4
3
и
−
−
−
2
1
2
; в)
1
3
1
и
−
2
2
1
.
2. Найти смешанное произведение трех векторов:
а)
2
4
3
,
6
5
1
и
−
−
−
3
2
1
; б)
−
0
5
1
,
1
2
6
и
2
3
4
; в)
11
8
5
,
−
3
5
1
и
−
8
2
6
.
3. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на век-
торах
kjibkjia
!
!!
!!
!!
!
623и236 +−=−+=
.
4. Показать, что векторы
kjikjickjibkjia
!
!!
!
!!
!
!
!!
!!
!!
!
2222,,752 ++=++=−+=++=
компланарны.
5. Найти объем треугольной пирамиды с вершинами А (2; 2; 2),
B (4; 3; 3), C (4; 5; 4), D (5; 5; 6).
Рис.2
74
Лекция 13
Простейшие задачи аналитической
геометрии в пространстве. Плоскость
в пространстве
Рассмотрены простейшие задачи аналитической геомет-
рии в пространстве, изучены различные формы уравнения
плоскости в пространстве.
1
0
. Простейшие задачи аналитической геометрии в
пространстве. Напомним, что декартову систему координат Oxyz
в пространстве образуют три взаимно перпендикулярные оси Oz, Oy,
Ox, имеющие общее начало и одинаковую единицу масштаба. Точка
М пространства, имеющая координаты х (абсциссу), y (ординату) и z
(аппликату), обозначается М (x; y; z).
По аналогии с Л.2 расстояние между двумя точками A (x
1
; y
1
; z
1
)
и B (x
2
; y
2
; z
2
) определяется по формуле:
()()()
2
12
2
12
2
12
zzyyxxd
−+−+−=
. (1)
Если отрезок, концами которого служат точки A(x
1
; y
1
; z
1
) и
B (x
2
; y
2
; z
2
), разделен точкой М (x; y; z) в отношении λ, то координаты
точки М определяются по формулам:
λ+
λ+
=
λ+
λ+
=
λ+
λ+
=
1
,
1
,
1
212121
zz
z
yy
y
xx
x
. (2)
Пример 1. Дан треугольник A (1; 1 ;1), B (5; 1; –2), C (7; 9; 1). Найти
координаты точки D пересечения биссектрисы угла А со стороной СВ.
Решение. По формуле (1) найдем длины стороны треугольни-
ка, образующих угол А:
()()()
10111917
222
=−+−+−=
AC
;
()()( )
5121115
222
=−−+−+−=
AB
.
Следовательно,
25:10: ==DBCD
, т.к. биссектриса делит сто-
рону СВ на части, пропорциональные прилежащим сторонам. Таким
образом, по формуле (2)
75
3
11
21
129
1
,
3
17
21
527
1
=
+
⋅+
=
λ+
λ+
==
+
⋅+
=
λ+
λ+
=
BC
D
BC
D
yy
y
xx
x
,
()
1
21
221
1
−=
+
−⋅+
=
λ+
λ+
=
BC
D
zz
z
.
Итак, искомая точка
−1;
3
11
;
3
17
D
.
2
0
. Общее уравнение плоскости. Пусть плоскость задана
тремя точками A(x
1
; y
1
; z
1
), B (x
2
; y
2
; z
2
) и C (x
3
; y
3
; z
3
). Найдем условие
принадлежности произвольной точки М (x;y; z) этой плоскости (рис. 1).
Используем свойство a
1
) Л .12 смешанного произведения для ком-
планарных векторов:
(
)
0
=×⋅
ACABAM
. (3)
Так как
()
()
()
,;;col
,;;col
,;;col
131313
121212
111
zzyyxxAC
zzyyxxAB
zzyyxxAM
−−−=
−−−=
−−−=
то из (3) получаем
0
131313
121212
111
=
−−−
−−−
−−−
zzyyxx
zzyyxx
zzyyxx
или
A (x – x
1
)+B (y – y
1
)+C (z – z
1
)=0, (4)
Рис. 1
76
где
1313
1212
1313
1212
1313
1212
,,
yyxx
yyxx
C
xxzz
xxzz
B
zzyy
zzyy
A
−−
−−
=
−−
−−
−−
−−
=
.
Обозначая D =–Ax
1
– By
1
– Cz
1
из (4), получаем общее уравнение
плоскости:
Ax + By + Cz + D
=0. (5)
3
0
. Другие формы уравнения плоскости.
а) Уравнение плоскости, проходящей через точку М (x
0
; y
0
; z
0
)
и перпендикулярной к вектору
()
CBAn ;;col
=
!
:
A (x – x
0
)+B (y – y
0
)+C (z – z
0
)=0. (6)
Вект ор
()
CBAn ;;col
=
!
называют нормальным вектором плоск ости. Из (6)
видно, что вместо
n
!
мо жно взять любой ему к о ллинеарный вектор.
б) Уравнение плоскости в отрезках на осях:
1=++
c
z
b
y
a
x
, (7)
где a, b, с – длины отрезков, отсекаемых на координатных осях, взя-
тые с соответствующими знаками.
в) Нормальное уравнение плоскости:
x cos α+ y cos β+ z cos γ– p =0, (8)
где cos α, cos β, cos γ – направляющие косинусы нормального вектора,
проведенного из начала координат к данной плоскости, а р – его длина.
Для приведения общего уравнения плоскости (5) к нормальному
виду (8) следует умножить (5) на нормирующий множитель
222
1
CBA
v
++±
=
, где знак перед радикалом противоположен зна-
ку свободного члена D в общем уравнении плоскости.
Пример 2. Составить уравнение плоскости, проходящей через
точку М (2; 3; 5) и перпендикулярной вектору
kjin
!
!!
!
234 ++=
.
Решение. Используем уравнение (6) плоскости, проходящей че-
рез данную точку и перпендикулярной данному вектору:
4(x –2)+3(y –3)+2(z –5)=0, т.e. 4x +3y +2z –27=0.
Пример 3. Найти уравнение плоскости, проходящей через точ-
ку М (2; 3; –1) параллельной плоскости 5x –3y +2z – 10=0.
77
Решение. Запишем уравнение (6) связки пло скостей, проходя-
щих через данную точку:
A (x –2)+B (y –3)+C (z + 1)=0.
Нормальный вектор искомой плоскости совпадает с нормальным
вектором
()
2;3;5col
−=
n
!
данной плоскости. Значит, A = 5, B = –3, C =2,
и уравнение искомой плоско сти имеет вид
5(x –2)–3(y –3)+2(z + 1)=0 или 5x –3y +2z + 1 =0.
4
0
. Угол
ϕϕ
ϕϕ
ϕ между плоскостями. Угол ϕ между плоско стя-
ми A
1
x + B
1
y + C
1
z + D
1
=0 и A
2
x + B
2
y + C
2
z + D
2
=0 определяется по
формуле:
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121
cos
CBACBA
CCBBAA
++++
++
=ϕ
. (9)
Условие параллельности плоск остей:
2
1
2
1
2
1
C
C
B
B
A
A
==
. (10)
Условие перпендикулярности плоскостей:
A
1
A
2
+ B
1
B
2
+ C
1
C
2
=0. (11)
Пример 4. Составить уравнение плоскости, проходящей
через точки М
1
(2; 1; 3), М
2
(6; 2; 1) и перпендикулярной к плоско-
сти 4x +2y – z +4=0.
Решение. Уравнение плоскости, проходящей через точку
М (2; 1;3), можно записать в виде (6):
A (x –2)+B (y – 1)+C (z –3)=0. (12)
Так как плоскость проходит и через точку М
2
(6; 2; 1), то ее коор-
динаты удовлетворяют уравнению (12), т.е. 4A + B –2C =0.
Искомая плоскость перпендикулярна к данной плоскости, поэто -
му на основании условия (11) 4A +2B – C = 0. Итак, для определения
коэффициентов А, В, С получена система уравнений
=−+
=−+
,024
,024
CBA
CBA
78
решение которой имеет вид
CACB
4
3
, =−=
. Подставляя его в уравне-
ние (12), получим нужное уравнение плоскости
3x –4y +4z – 14=0.
5
0
. Расстояние от точки до плоскости. Расстояние от
точки М
0
(x
0
; y
0
; z
0
) до плоскости Ax + By + Cz + D =0 находится по
формуле
222
000
CBA
DCzByAx
d
++
+++
=
. (13)
Пример 5. Определить расстояние от точки M
0
(1; 3; –5) до плос-
кости 2x –3y +5z –24=0.
Решение. Используя формулу (13), находим:
() ()
38
32
532
553312
222
=
++
−⋅+⋅−+⋅
=
d
.
! Задания для самостоятельной работы
1. Составить уравнение плоскости, проходящей через линию пере-
сечения пло с ко стей x+ y +5z – 1 = 0, 2x +3y – z +2=0 и чере з точку
М (3; 2; 1).
2. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку
М (2; 3; 4) и перпендикулярной к оси Ox.
3. Написать уравнение плоскости, проходящей через ось Oy и
точку М (1;2;3).
4. Найти расстояние между параллельными плоскостями:
x –3y +6z – 12=0 и 2x –6y + 12z + 36 =0.
5. Найти угол между двумя плоскостями:
а) 4x –5y +3z – 1 = 0, x –4y – z +9=0;
б) x–3y +z+5=0, 5x –3y + z – 1 =0.
6. Найти угол между плоскостями, проходящими через точку
М (1; 3; 4), одна из которых содержит ось Oy , другая – ось Oz .
7. Две грани куба лежат соответственно на плоскостях
3x –2y +6z – 7 = 0, 3x –2y +6z –35=0. Вычислить объем этого куба.
79
Лекция 14
Прямая в пространстве
Рассмотрены различные формы уравнения прямой, рас-
положение двух прямых в пространстве.
1
0
. Общее уравнение прямой в пространстве. Прямая
может быть задана пересечением двух плоскостей:
=+++
=+++
.0
,0
2222
1111
DzCyBxA
DzCyBxA
(1)
Исследуем систему уравнений (1). Пусть
−
−
=
=
2
1
2
1
22
11
222
111
,
D
D
C
C
BA
BA
B
CBA
CBA
A
.
1. Если
()( )
22221111
;;col;;col
nCBACBAn
!!
λ=λ==
, т.е. нормальные
векторы к плоскостям коллинеарны, то
λ+−
−
⇒
21
1
111
000
DD
DCBA
B
.
В случае D
1
≠λD
2
имеем r
A
= 1 ≠r
B
=2, и система (1) несовме-
стна, т.е. плоскости не пересекаются; если D
1
= λD
2
, то плоскости
совпадают.
2. Если
21
nn
!!
λ≠
, т.е. нормальные векторы к плоскостям некол-
линеарны, то r
A
= r
B
= r =2, и система (1) совместна;
n – r =3–2=1, и плоскости пересекаются, т.е. система уравнений (1)
определяет некоторую прямую. Исключив поочередно х и y из систе-
мы уравнений (1) (если это возможно), получим уравнение
x = k
1
z + l
1
, y = k
2
z + l
2
. Здесь прямая определена двумя плоскостями,
проектирующими ее на плоскости Oxz и Oyz .
2
0
. Параметрическое и каноническое уравнение
прямой. Пусть прямая задана вектором
()
nmla ;;col
=
!
и точко й
M
0
(x
0
; y
0
; z
0
). Найдем условие принадлежности точки M (x; y; z) за-
данной прямой (рис. 1). Имеем
arrMM
!!!
*
λ=−=
00
, или в координат-
ной форме:
80
λ=−
λ=−
λ=−
.
,
,
0
0
0
nzz
myy
lxx
(2)
Здесь λ–параметр и соотношения (2) задают параметрическое урав-
нение прямой.
Параметрическое уравнение прямой (2) можно преобразовать к виду:
n
zz
m
yy
l
xx
000
−
=
−
=
−
, (3)
которое называется каноническим уравнением прямой.
В частности, уравнения (3) могут быть записаны в виде:
γ
−
=
β
−
=
α
−
coscoscos
000
zzyyxx
, (4)
где α, β, γ – углы, образованные прямой с осями координат. Направ-
ляющие косинусы прямой находят ся по формулам:
222222222
cos,cos,cos
nml
n
nml
m
nml
l
++
=γ
++
=β
++
=α
.
Из уравнения (3) получаем уравнение прямой, проходящей через
две точки M
1
(x
1
; y
1
; z
1
) и M
2
(x
2
; y
2
; z
2
):
12
1
12
1
12
1
zz
zz
yy
yy
xx
xx
−
−
=
−
−
=
−
−
.
)3(
′
Рис. 1