Минюк С.А., Ровба Е.А. Высшая математика
Подождите немного. Документ загружается.
9 1
Лекция 16
Квадратичные формы. Классификация
кривых второго порядка
Дано определение квадратичной формы, рассмотрена
диагонализация матрицы квадратичной формы, проведе-
на классификация кривых второго порядка.
1
0
. Квадратичные формы.
Квадратичной формой в пространстве R
n
(n переменных
x
1
, x
2
, ..., x
n
) называется скалярное произведение вида:
()()()
=
==
n
nnn
n
nn
x
x
x
aa
aa
xxxxAxxxxQ
"
%
"+"
%
$
!!
$
2
1
1
111
2121
,,,,,,,
∑∑
==
=
n
i
n
j
jiij
yxa
11
, (1)
где матрица А – симметрическая.
Напомним, что квадратная матрица А, которую не меняет транс-
понирование, т.е. A
Т
= А, называется симметрической.
Ранг матрицы А называется рангом квадратичной формы.
Пример 1. Квадратичная форма
()
+−=
21
2
1321
4,,
xxxxxxQ
2
3
2
232
1032
xxxx +−+
имеет матрицу
−−
−
=
1010
132
021
A
.
Канонической квадратичной формой называется квадратичная
форма, содержащая только квадраты переменных:
()()()
∑
=
λ=
λ
λ
=Λ=
n
i
ii
n
n
nn
y
y
y
y
yyyyyyyyQ
1
2
2
1
1
2121
0
0
,,,,,,,
"
%
"+"
%
$
!!
$
. (2)
92
2
0
. Квадратичная форма в двумерном пространстве
и классификация кривых второго порядка. Рассмотрим
квадратичную форму в двумерном пространстве:
()( )() ( )
=
++=
==
y
x
yaxayaxa
y
x
aa
aa
yxxAxyxQ
22121211
2212
1211
,,,,
!!
2
2212
2
11
2
yaxyaxa ++=
.
Каноническая квадратичная форма имеет вид:
()() ()
2
2
2
1
,
yxyxQ
′
λ+
′
λ=
′′
.
Кривые второго порядка – эллиптического, гиперболического и
параболического типов задаются квадратичными формами в двумер-
ном пространстве, причем, если:
1. λ
1
λ
2
>0 – эллиптический тип;
2. λ
1
λ
2
<0 – гиперболический тип;
3. λ
1
λ
2
=0 – параболический тип.
Пример 2. Определить тип кривой второго порядка, заданной
уравнением: 2x
2
+2xy +2y
2
= 1.
Решение. Квадратичной форме соответствует матрица
=
21
12
A
. Согласно (Л.15.3)
0314
21
12
21
>=−==λλ
.
Итак, 2x
2
+2xy +2y
2
= 1 – эллиптический тип.
Пример 3. Определить тип кривой второго порядка, заданной
уравнением 3xy = 1.
Решение. Квадратичной форме отвечает матрица:
0
4
9
0
2
3
2
3
0
,
0
2
3
2
3
0
21
<−==λλ
=A
.
Таким образом, 3xy = 1 – гиперболический тип.
2
0
. Диагонализация матрицы квадратичной формы.
Рассмотрим вначале квадратичную форму в двумерном простран-
стве и найдем оператор Т, диагонализирующий соответствующую ей
матрицу
93
=
2212
1211
aa
aa
A
, т.е.
λ
λ
=Λ=
−
2
1
1
0
0
ATT
.
Рассмотрим уравнение (Л.15.1)
i
i
i
xxA
!!
λ=
. Применим оператор
i
i
i
xTxATT
!!
111
:
−−−
λ=
или
i
i
i
xTxATTT
!!
111 −−−
λ=
.
По условию
Λ=
−
ATT
1
, а значит,
i
i
i
xTxT
!!
11 −−
λ=Λ
или
i
i
i
yy
!!
λ=Λ
, (3)
где
ii
xTy
!!
1−
=
.
Согласно примеру (3) Л.15, собственными векторами диагональ-
ной матрицы являются единичные базисные векторы, т.е.
() ()
1;0colon,0;1colon,
21
eeee
i
i
i
!!!!
=λ=Λ
. (4)
Из соотношений (3) и (4) следует, что
ii
exT
!!
=
−
1
или
ii
eTx
!!
=
. (5)
Расписывая (5), получаем
=
=
1
0
,
0
1
2
2
2
1
1
2
1
1
T
x
x
T
x
x
.
Отсюда следует, что
=
2
2
1
2
2
1
1
1
xx
xx
T
.
Подобная ситуация имеет место и в случае квадратичной формы
в пространстве R
n
, а именно приведение квадратичной формы к кано-
ническому виду (2) можно осуществить с помощью преобразования
yTx
!!
=
, (6)
где в (6) Т – матрица, приводящая матрицу А квадратичной формы к
диагональному виду;
yx
!!
,
– векторы размерности n.
Матрица Т устроена следующим образом: ее столбцами служат
ортонормированные собственные векторы матрицы А (длина каждого
вектора равна единице, все попарные скалярные произведения векто-
ров равны нулю). Матрицы такого типа называют ортогональными.
Отметим также, что в этом случае преобразование Т
–1
АТ = Λ
превращается в преобразование Т
T
АТ = Λ и отпадает необходимость
находить обратную матрицу Т
–1
.
94
Пример 4. Найти ортогональную матрицу, приводящую квадра-
тичную форму
Q (x
1
, x
2
, x
3
)=6x
1
2
+3x
2
2
+3x
3
2
+4x
1
x
2
+4x
1
x
3
–8x
2
x
3
к каноническому виду, и записать канонический вид квадратичной фор-
мы.
Решение. Матрица этой квадратичной формы имеет вид
−
−=
342
432
226
A
.
Составим характеристическое уравнение:
09821120
342
432
226
23
=+λ+λ−λ⇒=
λ−−
−λ−
λ−
,
откуда
7,2
321
=λ=λ−=λ
.
Для нахождения собственных векторов, соответствующих зна-
чению λ= –2, получим систему:
=−
=++
⇔
=+−
=−+
=++
.0
,04
0542
,0452
,0228
32
321
321
321
321
xx
xxx
xxx
xxx
xxx
Откуда находим x
3
=2c, x
2
=2c, x
1
=–c. Таким образом, собствен-
ный вектор, соответствующий λ
1
= –2, имеет вид
()
cccx 2;2;col
1
−=
!
.
Положив, например, c =–1, получим собственный вектор
()
2;2;1col
1
−−=
x
!
. Пронормировав его, имеем
−−==
3
2
;
3
2
;
3
1
col
1
1
1
x
x
x
!
!
!
.
Найдем теперь собственные векторы, соответствующие
λ
2
= λ
3
= 7. Система для нахождения их координат следующая:
.022
,0442
,0442
,022
321
321
321
321
=−−⇔
=−−
=−−
=++−
xxx
xxx
xxx
xxx
.
95
Полагая x
3
= c
1
, x
2
= c
2
, имеем x
1
=2c
1
+2c
2
. Получаем двупарамет-
рическо е семейство собственных векторов colon(2c
1
+2c
2
, c
2
, c
1
), где
c
1
2
+ c
2
2
≠0. Из этого семейства выделим два ортогональных вектора.
Положив , например, c
1
= 0, c
2
= 1, будем иметь
()
1;0;2col
2
=
x
!
. Собствен-
ный вектор
()
1221
3
;;22col
ccccx
+=
!
найдем так, чтобы векторы
2
x
!
и
3
x
!
были ортогональны, т.е. 2 (2c
1
+2c
2
)+0c
2
+ c
1
=0 или 4c
2
+5c
1
=0.
Положив, например, с
2
= 5, с
1
= –4, получим
()
4;5;2col
3
−=
x
!
. Не-
посредственной проверкой убедимся, что векторы
2
x
!
и
3
x
!
ортогональны вектору
1
x
!
. Нормируя
2
x
!
и
3
x
!
, получаем ортонор-
мированные собственные векторы
=
5
1
;0;
5
2
col
2
x
!
и
−
=
53
4
;
53
5
;
53
2
col
3
x
!
.
Строим ортогональную матрицу Т, приводящую квадратичную
форму к каноническому виду:
−−
−=
53
4
5
1
3
2
53
5
0
3
2
53
2
5
2
3
1
T
.
Ей соответствует невырожденное линейное преобразование (6) вида:
−+−=
+−=
++=
,
53
4
5
1
3
2
,
53
2
3
2
,
53
2
5
2
3
1
3213
312
3211
yyyx
yyx
yyyx
96
применяя которое, получим искомую квадратичную форму
Q (y
1
, y
2
,y
3
)=–2y
1
2
+7y
2
2
+7y
3
2
.
! Задания для самостоятельной работы
1. Записать матрицу каждой из квадратичных форм:
а) Q (x
1
, x
2
, x
3
, x
4
)=4x
1
2
+ x
3
2
–2x
4
2
+ x
1
x
2
+8x
1
x
4
– 10x
2
x
3
;
б) Q (x
1
, x
2
)=x
1
2
–3x
1
x
2
+2x
2
2
.
2. Записать квадратичную форму по данной матрице А:
а)
−
−−
−
=
150
534
044
A
; б)
−
−
=
351
520
105
A
.
3. Найти ранг квадратичной формы Q (x
1
, x
2
,..., x
n
):
а) Q (x
1
, x
2
)=2x
1
2
+6x
2
2
+ 12x
1
x
2
;
б) Q(x
1
, x
2
, x
3
)=x
1
2
–3x
2
2
+4x
3
2
–8x
1
x
2
+ 12x
1
x
3
.
4. Найти ортогональное преобразование, приводящее к канони-
ческому виду квадратичную форму Q (x
1
, x
2
,..., x
n
), и записать соот-
ветствующий канонический вид квадратичной формы:
а) Q (x
1
, x
2
, x
3
)=x
1
x
2
+ x
2
x
3
;
б) Q (x
1
, x
2
, x
3
)=x
1
2
+5x
2
2
–4x
3
2
+2x
1
x
2
–4x
1
x
3
.
97
Лекция 17
Кривые второго порядка
Изучаются канонические уравнения кривых второго по-
рядка, рассматривается преобразование кривых второго
порядка к каноническому виду.
1
0
. Канонические уравнения кривых второго по-
рядка. Общее уравнение кривой второго порядка имеет вид:
Q (x, y)+Ax + By + C =0, (1)
где в (1) Q (x, y)=a
11
x
2
+2a
12
xy+ a
22
y
2
– квадратичная форма.
Если нет поворота и смещения начала координат кривой, то кри-
вая описывается каноническим уравнением.
а) Окружность. Если R – радиус окружности, а точка
M (x
0
;y
0
) – ее центр, то уравнение окружности имеет вид:
(x – x
0
)
2
+(y – y
0
)
2
= R
2
.
)1(
′
Если точка М совпадает с началом координат, то x
0
= y
0
=0.
б) Эллипс. Геометрическое определение эллипса следующее: эл-
липс – геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний от
которых до двух данных точек F
1
и F
2
, называемых фокусами, есть
величина постоянная (ее обозначают 2а), причем эта постоянная боль-
ше расстояния между фокусами. Расстояние между фокусами обозна-
чают 2с. Если за ось Ox принять прямую, проходящую через фокусы
F
1
и F
2
, а за ось Oy – перпендикуляр к оси Ox в середине отрезка
F
1
F
2
, то простейшее (каноническое) уравнение эллипса примет вид:
1
2
2
2
2
=+
b
y
a
x
, (2)
где b
2
= a
2
– c
2
, a – большая полуось эллипса, b – малая полуось (рис. 1).
Отношение
1<ε=
a
c
называется эксцентриситетом эллипса. Если
a < b, то фокусы находятся на оси Oy, c
2
= b
2
– a
2
,
b
c
=ε
.
Уравнение (2) действительно уравнение кривой эллиптического
типа, т.к., согласно (Л.15.3),
0
1
1
0
0
1
22
2
2
21
>==λλ
ba
b
a
.
98
в) Гипербола. Геометрическое определение: гиперболой называ-
ется геометрическое место точек плоскости, абсолютная величина раз-
ности от которых до двух данных точек F
1
и F
2
, называемых фокуса-
ми, есть величина постоянная (ее обозначают 2а), причем эта постоянная
меньше расстояния между фокусами. Расстояние между фокусами обо-
значим 2с.
Если за ось Ox принять прямую, проходящую через фокусы F
1
и
F
2
, а за ось Oy – перпендикуляр к оси Ox в середине отрезка F
1
F
2
, то
каноническое (простейшее) уравнение гиперболы примет вид
1
2
2
2
2
=−
b
y
a
x
, (3)
где b
2
= c
2
– a
2
, а – действительная полуось, b – мнимая полуось гипер-
болы (рис. 2).
Отношение
1>ε=
a
c
называется эксцентриситетом гиперболы.
Прямые
x
a
b
y
±=
называются асимптотами гиперболы.
Гипербола, у которой a = b, называется равносторонней.
Уравнение
1
2
2
2
2
−=−
b
y
a
x
или
1
2
2
2
2
=−
a
x
b
y
также является урав-
нением гиперболы, но действительной осью этой гиперболы служит
отрезок оси Oy длиной 2b.
Отметим, что уравнение (3) действительно уравнение кривой ги-
перболического типа, т.к., согласно (Л.15.3),
0
1
1
0
0
1
22
2
2
21
<−=
−
=λλ
ba
b
a
.
Рис. 1
99
г) Парабола. Параболой называется множество точек пло скости,
равноудаленных от данной точки, называемой фокусом, и данной пря-
мой, называемой директрисой. Каноническое уравнение параболы, сим-
метричной относительно оси Ox и проходящей через начало координат,
имеет вид
y
2
=2px, (4)
где р – расстояние от фокуса параболы
0;
2
p
F
до ее директрисы
2
p
x −=
(рис. 3).
Когда вершина параболы находится в начале координат и пара-
бола симметрична относительно оси Oy, каноническое уравнение па-
раболы имеет вид x
2
=2py.
В этом случае F (0; p / 2) – фокус,
2
p
y −=
– уравнение директрисы.
2
0
. Преобразование кривых второго порядка к ка-
ноническому виду. Рассмотрим модельный пример.
Пример 1. Найти каноническое уравнение кривой
x
2
+ xy + y
2
–3x –5y +5=0,
угол ее поворота и построить эту кривую.
Решение. Чтобы избавиться от линейных по х и y слагаемых,
совершим преобразование сдвига:
byyaxx −=
′
−=
′
,
. После подста-
новки
byyaxx +
′
=+
′
= ,
получим
Рис.2
100
()()()()()()
0553
22
=+−
′
−+
′
−+
′
++
′
+
′
++
′
byaxbybyaxax
. (5)
Приравнивая коэффициенты при
x
′
и
y
′
к нулю, получаем систе-
му уравнений:
2,1
052
032
==⇒
=−+
=−+
ba
ba
ba
.
В результате уравнение (5) примет вид:
() ()
1
22
=
′
+
′′
+
′
yyxx
. (6)
Запишем матрицу квадратичной формы
=
1
2
1
2
1
1
A
и характе-
ристическое уравнение
0
1
2
1
2
1
1
=
λ−
λ−
.
Корни характеристического уравнения
()
2
3
,
2
1
2
1
10
4
1
1
21
2
=λ=λ⇒±=λ−⇒=−λ−
определяет каноническое уравнение
() ()
1
2
3
2
1
22
=
′′
+
′′
yx
. (7)
Рис.3