Минюк С.А., Ровба Е.А. Высшая математика
Подождите немного. Документ загружается.
4 1
−⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=
322113312312332211
333231
232221
131211
aaaaaaaaa
aaa
aaa
aaa
(3)
312213332112322311
aaaaaaaaa ⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−
.
Обратим внимание, что каждое слагаемое алгебраической суммы
(3) имеет в качестве множителя один и только один элемент каждой
строки и каждого столбца, при этом в сумму в первой части (3) входят
все возможные комбинации таких произведений . Аналогичная ситуа-
ция наблюдается и для определителя второго порядка.
3
0
. Определитель n-го порядка. Определителем или
детерминантом квадратной матрицы порядка n ×n называется скаляр
(число), образованный из элементов этой матрицы так:
()
∑
=
+
⋅−=
…
…………
…
…
==∆
n
j
jj
j
mnnn
n
n
Ma
aaa
aaa
aaa
A
1
11
1
21
22221
11211
1det
. (4)
Определитель M
ij
порядка (n – 1), который получается из матрицы А
в ре зультате вычеркивания ее i-ой строки и j-го столбца, называется ми-
нором элемента
njia
ij
,1,; =
, а число, равное
()
ij
ji
M
+
−
1
,– его алгебра-
ическим дополнением.
По формуле (4) определитель порядка n определяется как число,
равное сумме произведений элементов первой строки и соответству-
ющих им алгебраических дополнений. Соотношение (4) называют еще
формулой разложения определителя по элементам первой ст роки.
При n =2 равенство (4) равносильно равенству (1), а при
n =3 оно превращается в формулу (2).
Аналогично находят определитель четвертого порядка: сначала
его раскладывают по элементам первой строки и получают в каче-
стве множителей определители третьего порядка, а затем от каждого
из полученных этих определителей осуществляют переход к опреде-
лителям второго порядка, которые вычисляют по формуле (1).
Также для определителя ∆ произвольного порядка n: он выражает-
ся сначала через определители
njM
j
,1,
1
=
, порядка n – 1, затем все n
42
определителей M
1j
выражаются через определители (n –2)
- го порядка
и так далее, до тех пор, пока сумма ∆ будет содержать определители
второго порядка, которое легко вычислить по формуле (1).
4
0
. Свойства определителя:
а) определитель n-го порядка сводится к вычислению определи-
телей (n –1)-го порядка посредством его разложения по какой-либо
i-ой строке (k-му столбцу):
() ()
∑∑
==
++
−=−=
n
k
n
i
ikik
ki
ikik
ki
MaMaA
11
11det
;
б) определитель транспонированной матрицы равен определите-
лю исходной матрицы;
в) если в определителе поменять местами какие-либо две строки
или столбца, то определитель изменит знак.
Например,
1211
2221
2221
1211
aa
aa
aa
aa
−=
;
г) если какую-либо строку или столбец определителя умножить
на число, то такой определитель будет равен исходному, умноженно-
му на это число.
Например,
2221
1211
2221
1211
aa
aa
aa
aa
α=
αα
;
д) если все элементы какой-либо строки или столбца определи-
теля равны нулю, то такой определитель равен нулю;
е) если в определителе какие-либо две строки или два столбца рав-
ны между собой, то такой определитель равен нулю;
ж) если к элементам какой-либо строки (столбца) определителя
прибавить элементы другой строки (столбца) этого же определителя,
умноженные на любое число, то определитель не изменяется.
Пример 1. Вычислить определитель:
()
15510
105
11
1
1054
111
001
674
521
431
11
=+=
−−
−
−=
−−
−=
+
.
43
з) если каждый элемент некоторой ст роки предст авляет собой сум-
му двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, в
каждом из которых все строки, кроме упомянутой, такие же, как и в
данном определителе, а в упомянутой строке первого определителя стоят
первые слагаемые, второго – вторые. Аналогично для столбцов;
и) сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца)
определителя на алгебраические дополнения соответствующих элемен-
тов другой строки (столбца) равна нулю.
Пример 2. Пользуясь свойствами определителей, вычислить:
()
()
()
δ+γγλ
δ+βββ
δ+ααα
=∆
sincossin
sincossin
sincossin
.
Р ешение. Испо льз уя формулу синуса с уммы двух углов, имеем:
δγ+δλγλ
δβ+δβββ
δα+δααα
=∆
sincoscossincossin
sincoscossincossin
sincoscossincossin
.
На основании свойства з) определителей можно записать:
δγγλ
δβββ
δααα
+
δλγλ
δβββ
δααα
=∆
sincoscossin
sincoscossin
sincoscossin
cossincossin
cossincossin
cossincossin
.
Вследствие пропорциональности первого и третьего столбцов пер-
вого определителя и второго и третьего столбцов второго определи-
теля по свойствам г) и е) оба определителя равны нулю. Следователь-
но, данный определитель равен нулю.
В заключение отметим, что вычисление определителей прово-
дится, как правило, путем последовательного понижения порядка оп-
ределителя посредством элементарных преобразований, не меняющих
его значения.
44
! Задания для самостоятельной работы
1. Вычислить определитель
102
411
312
.
2. Вычислить определитель
1111
1111
1111
1111
−
−
−
−
.
3. Пользуясь свойствами определителей, вычислить следующие
определители:
a)
γγ
ββ
αα
22
22
22
cos1sin
cos1sin
cos1sin
; б)
1
1
1
bac
acb
cba
+
+
+
; в)
11
11
11
bzazzz
byayyy
bxaxxx
+
+
+
.
4. Найти определитель
431
152
321
и все девять алгебраических
дополнений его элементов.
5. Решить уравнения: а)
0
547
012 =−
xxx
; б)
0
4
4
4
=
xx
xx
xx
.
45
Лекция 8
Действия над матрицами
Рассмотрены простейшие действия над матрицами, вво-
дятся понятия ранга матрицы и обратной матрицы, из-
лагается правило Крамера.
1
0
. Простейшие действия над матрицами.
а) Сложение матриц. Результатом сложения двух матриц
∧
a
и
∧
b
порядков (m
×
n) является матрица
∧
c
, каждый элемент которой пред-
ставляет собой сумму соответствующих элементов матриц
∧
a
и
∧
b
.
∧∧∧
=+
cba
, где
ijijij
bac
+=
.
Отметим, что складываются только матрицы одинаковой раз-
мерности (одного порядка). Например,
=
+
смысла
иметне
43
21
34
12
,
=
+
8
5
5
4
3
1
.
Свойства сложения:
а
1
) А + В = В + А – переместительное свойство.
а
2
) (А + В)+С = А +(В + С) – сочетательное свойство.
б) Умножение матрицы на число. Результатом умножения мат-
рицы на число является матрица, каждый элемент которой умножен
на это число:
ijij
acca
⋅λ==⋅λ
∧∧
где,
.
Например,
−
=
− 93
1815
31
65
3
.
в) Умножение матриц. Результатом умножения двух матриц
∧
a
размерности (m
×
n) и
∧
b
размерности (n
×
k) является матрица
∧
c
размерности m
×
k, каждый элемент которой является резуль-
татом скалярного перемножения соответствующ ей строки пер-
вой матрицы на соответствующий столбец второй матрицы по
формуле (6) Л. 6.
46
∧∧∧
=⋅
cba
, где
∑
=
=
n
l
ljilij
bac
1
.
Подчеркнем, что перемножаются только т акие две матрицы, у ко-
торых число столбцов первой равно числу строк второй матрицы. На-
пример,
=
−
4032
1211
65
43
21
521
430
.
Умножение матриц, вообще говоря, не обладает перестановоч-
ным свойством, более того, при перестановке может меняться раз-
мерность матрицы произведения, т.е.
AB ≠BA.
Например,
≠
=
=
05
03
32
00
,
05
03
01
00
54
32
,
32
00
54
32
01
00
.
Единичной матрицей называется такая квадратная матрица, диагональ-
ные э лементы ко т орой равны единице, а остальные равны нулю.
Например, 2×2 – единичная матрица
==
∧
10
01
1E
.
Отметим, что единичная матрица, а также нулевая матрица об-
ладают перестановочным свойством по отношению к квадратной
матрице:
∧∧∧∧∧∧∧∧∧
=⋅=⋅⋅=⋅
aaaaa 11,00
.
2
0
. Ранг матрицы. Рангом матрицы A (r
A
=r(A) = rankA)
называется наибольший порядок отличного от нуля минора этой
матрицы.
При вычислении ранга матрицы производят те же преобразова-
ния, что и при вычислении определителя (Л.7).
Пример 1. Найти ранг матрицы A =
987
654
321
.
47
Решение.
,
000
630
741
630
630
741
1260
630
741
963
852
741
987
654
321
⇒
⇒
−−
−−⇒
⇒
r
A
=2.
Квадратная матрица размерности (n ×n) называется невырожденной,
если ее ранг равен n, т.е. определитель этой матрицы отличен от нуля.
Вырожденной квадратной матрицей называется такая матрица,
определитель которой равен нулю, т.е. вырожденная квадратная мат-
рица размерности (n ×n) имеет ранг меньше n.
3
0
. Правило Крамера. Системой n линейных алгебраичес-
ких уравнений с n неизвестными называют совокупность выражений
вида
=+++
=+++
=+++
,
,
,
211
22222121
11212111
nnnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
%
%%%%%%%%
%
%
(1)
где a
ij
–коэффициенты системы, причем
njxnji
j
,1,;,1, ==
- неизвес-
тные; b
i
,
ni ,1=
– свободные члены.
Систему (1) можно записать в матричной форме:
=
⋅
nnnnnn
n
n
b
b
b
x
x
x
aaa
aaa
aaa
""
%
""""
%
%
2
1
2
1
21
22221
11211
(2)
или в операторной форме
bxA
!
!
=⋅
, (3)
()()
…
………
…
=…=…=
nnn
n
nn
aa
aa
Abbbxxx
1
111
11
,,,col,,,col
!
!
– матрица сис-
темы (1),
48
или в тензорной форме
∑
=
==
n
j
ijij
nibxa
1
.,1,
Совокупность чисел (x
1
; x
2
; ...; x
n
) или
n
x
x
x
"
2
1
называют решением
системы (1) ((2) или (3)), если она обращает все уравнения этой систе-
мы в верные равенства.
Пусть матрица А невырождена. Тогда для решения системы (1)
применяется формула Крамера — универсальная формула решения
системы (1):
nix
i
i
,1, =
∆
∆
=
, (4)
где ∆ – определитель системы (детерминант матрицы А), ∆
i
– дополни-
тельные определители.
Дополнительный определитель ∆
i
образуется из определителя
системы заменой i-го столбца на столбец свободных членов.
Пример 2. Найти (x
1
;, x
2
) , если
=+
=−
52
13
21
21
xx
xx
.
Решение:
,651
15
11
,523
12
13
1
=+=
−
=∆=+=
−
=∆
5
13
,
5
6
,13215
52
13
2
2
1
12
=
∆
∆
==
∆
∆
==−==∆ xx
.
4
0
. Обратная матрица. Решение системы (2) мето-
дом обратной матрицы. Матрица A
–1
называется обратной к
данной квадратной матрице А, если их произведение равно единич-
ной матрице, т.е.:
====
∧
−−
100
010
001
1
11
%
%%%%
%
%
EAAAA
.
49
Отметим, что обратная матрица единственна и существует только
для невырожденной квадратной матрицы.
Пример 3. Выразить решение
x
!
системы (2) через A
–1
и
b
!
.
Решение. Имеем:
bAxbAxAAbxA
!
!
!
!
!
!
111
1
−
∧
−−
=⋅⇒=⇒=
.
Поскольку
,1 xx
!!
=⋅
∧
то
bAx
!
!
1−
=
– операторная форма,
()
j
n
j
iji
bax
∑
=
−
=
1
1
– тензорная форма.
Для нахождения элементов
()
1
−
ij
a
обратной матрицы А
–1
исполь-
зуем формулы Крамера (4):
()
∑
=
+
−=∆
∆
∆
=
n
j
jji
ji
i
i
i
bMx
1
1,
,
()
()
⇒
∆
−
=
∆
∆
==
∑∑
=
+
=
−
n
j
jji
ji
i
j
n
j
iji
bM
xbax
1
1
1
1
1
,
()
()
∆
−
=⇒
+
−
ji
ji
ij
M
a
1
1
. (5)
Пример 4. Найти А
–1
, если
=
43
21
A
.
Решение. Имеем М
11
=4,М
12
=3,М
21
=2,М
22
= 1.
2
43
21
−==∆
.
По формулам (5) получаем:
() () () ()
2
1
,
2
3
,1,2
1
22
1
21
1
12
1
11
−==−=−=
−−−−
aaaa
.
Итак,
−
−
=
−
2
1
2
3
12
1
A
.
Для вычисления обратной матрицы используют также метод Га-
усса. Алгоритм вычисления обратной матрицы методом Гаусса со-
стоит в следующем преобразовании:
()
()
1
−
=
AEEA
. (6)
Такое преобразование проводится посредством тех же элемен-
тарных действий, что и при вычислении определителей.
Пример 5. Методом Гаусса найти А
–1
, если
=
43
21
A
.
50
Решение.
−
−
⇒
−
−
−
⇒
−−
⇒
2
1
1
2
3
2
1
0
0
1
1
1
3
2
2
0
0
1
1
0
3
1
2
2
0
1
10
01
4
2
3
1
.
Таким образом,
−
−
=
−
2
1
2
3
12
1
A
.
! Задания для самостоятельной работы
1. Определить ранг следующих матриц:
a)
3320
1120
2234
; б)
531
321
753
; в)
0300
4001
0020
.
2. Найти обратную матрицу А
-1
методом Гаусса и проверить,
что АА
–1
= А
–1
А=Е :
a)
=
251
132
161
A
; б)
−=
314
212
111
A
.
3. Пользуясь формулой Крамера, решить следующие системы
уравнений:
а)
=+−
=−+
;0935
,01374
yx
yx
б)
−=++
−=+−
−=++
.244
,422
,12
321
321
321
xxx
xxx
xxx
4. Методом обратной матрицы решить следующие системы урав-
нений:
а)
=++
=+−
=++
;202
,102
,5
321
321
321
xxx
xxx
xxx
б)
=+−
−=−+
=+−
.2423
,1643
,82
321
321
321
xxx
xxx
xxx