Минюк С.А., Ровба Е.А. Высшая математика

Подождите немного. Документ загружается.

наты и, обратно, каждой паре чисел (х; y) соответствует, и при этом

только одна точка М на плоскости Oxy такая, что ее абсцисса равна х, а

ордината – y. Значит, прямоугольная система координат на плоскости

устанавливает взаимно однозначное соответствие между множе-

ством всех точек плоскости и множеством упорядоченных пар чи-

сел, которое дает возможность при решении геом етрических задач

применять алгебраические методы.

Оси координат разбивают плоскость на четыре части, их называют

четвертями, квадрантами или координатными углами и нумеруют римс-

кими цифрами I, II, III, IV так, как показано на рис. 4.

На рис. 4 также указаны знаки координат точек в зависимости от их

расположения в той или иной четверти.

Рассмотрим про стейшие задачи на применение прямоугольных ко-

ординат на плоскости.

. Расстояние между двумя точками.

Теорема 1.

Для любых двух точек M

; y

) и M

; y

) плоскости, расстоя-

ние d между ними выражается формулой:

()()

yyxxd

−+−=

. (2)

Доказательство. Опустим из точек M

и M

перпендикуляры

A и M

B соответственно на оси Ox и Oy и обозначим через К точку

пересечения прямых M

A и M

B (рис. 5).

Рис.3 Рис.4

1 2

Точка К имеет координаты (х

; у

). Имеем:

121

xxKM −=

;

122

yyKM −=

. Так как треугольник М

К прямоу гольный, то по те-

ореме Пифагора имеем:

()()

121

yyxxKMKMMMd

−+−=+==

Пример 1. Найти расстояние d между точками М

(–1; 2) и

(4; 3).

Решение. По формуле (2) находим

()()()

262314

=−+−−=

. Площадь треугольника.

Теорема 2.

Для любых трех точек А(х

; у

), В(х

; у

) и С(х

; у

), не лежащих на

одной прямой, площадь S треугольника АВС выражается формулой:

()()()()

12131312

yyxxyyxxS

−−−−−=

. (3)

Доказательство. Площадь треугольника АВС , изображенного

на рис. 6, можно найти так:

ABFDBCEFADECABC

SSSS

−+=

, (4)

где S

ADEC

, S

BCEF

, S

ABFD

– площади соответствующих трапеций.

Так как

Рис.5 Рис.6

1 3

()()

1313

yyxx

CEAD

DES

ADEC

+−

⋅=

()()

3232

yyxx

BFEC

EFS

BCEF

+−

⋅=

()()

2112

yyxx

BFAD

DFS

ABFD

+−

⋅=

то, подставив выражения для этих площадей в равенство (4), получим

()()()()()()

=−−++−++−=

131332322121

yyxxyyxxyyxxS

()()()()

12131312

yyxxyyxx

−−−−−=

Для любого другого расположения треугольника АВС формула (3)

доказывается аналогично.

Пример 2. Даны точки А (1;1), В (6;4) и С (8;2). Найти площадь S

треугольника АВС.

Решение. По формуле (3)

()()()()

.816

14181216

=−=−−−−−=

. Деление отрезка в данном отношении.

Пусть на плоскости дан произвольный отрезок M

и пусть М –

любая точка этого отрезка, отличная от точки M

(рис. 7).

Определяемое равенством чис-

ло

=λ

называется отношени-

ем, в котором точка М делит отре-

зок М

Задача о делении отрезка в дан-

ном отношении состоит в том, что-

бы по данному отношению λ и дан-

ным координатам точек М

и М

найти координаты точки М.

Рис.7

1 4

Решить эту задачу позволяет следующая теорема, которую приве-

дем без доказательства.

Теорема 3.

Если точка М (х; у) делит отрезок М

в отношении λ, то

координаты этой точки определяются формулами:

λ+

;

2121

, (5)

где (х

; у

) – координаты точки М

, (х

; у

) – координаты точки М

Следствие. Если M

; y

) и M

; y

) – две произвольные точ-

ки и точка М (х; y) – середина отрезка M

, т.е.

MMMM =

, то

λ = 1, и по формулам (5) получаем

, т.е. каж-

дая координата середины отрезка равна полусумме соответствую-

щих координат.

! Упражнения и задания для самостоятельной работы

1. Доказать тождество (1).

2. Доказать теорему 3.

3. Даны точки M

(–2; 3) и M

(5; 4). Найти расстояние d между ними.

4. Даны точки А (0; 1), В (–2; 3) и С (1; 4). Найти площадь S

треугольника АВС.

5. Даны точки M

(1; 1) и M

(7; 4). Найти точку М (х; y), которая

в два раза ближе к M

, чем к M

1 5

Лекция 3

Полярная система координат. Множества

точек на плоскости и их уравнения

Даны определения полярной системы координат и урав-

нения линии, приведены примеры на нахождение множе-

ства точек.

. Рассмотрим полярную систему координат. Эт а система коор-

динат со стоит из некоторой точки О, называемой полюсом, и исходя-

щего из нее луча ОЕ, называемого полярной осью. Задается также

единица масштаба для измерения длин отрезк ов.

Пусть задана полярная система координат и пусть М – любая

точка плоскости. Обозначим через ρ расстояние от точки М до точки

О, а через ϕ – угол, на который нужно повернуть против часовой стрел-

ки полярную ось для совмещения с лучом ОМ (рис. 1).

Полярными координатами точки М называются числа ρ и ϕ.

Число ρ считают первой координатой и называют полярным радиу-

сом, число ϕ – второй координатой и называют полярным углом.

Точка М с полярными координатами ρ и ϕ обозначается так:

M(ρ ;ϕ). Обычно считают, что полярные координаты ρ и ϕ изменяются

в пределах: 0 ≤ρ<+∞,0≤ ϕ <2π.

Установим связь между полярными координатами точки и ее пря-

моугольными координатами, считая, что начало прямоугольной сис-

темы координат находится в полюсе, а положительная полуось абс-

цисс совпадает с полярной осью. Пусть точка М имеет прямоугольные

координаты х и y и полярные координаты ρ и ϕ (рис. 2). Имеем:

х = ρcos ϕ, y=ρ

sin ϕ. (1)

Рис. 1 Рис.2

1 6

Формулы (1) выражают прямоугольные координаты через поляр-

ные, а выражение полярных координат через прямоугольные следует

из формул:

.tg,

yx =ϕ+=ρ

(2)

Формула

=ϕtg

определяет два значения полярного угла ϕ , т.к. ϕ

изменяется в пре делах от 0 до 2π. Из этих двух значений угла ϕ выбирают

то, при котором удовлетворяются равенства (1).

Пример 1. Даны прямоугольные координаты точки (2; 2). Найти

ее полярные координаты, считая, что полюс совмещен с началом пря-

моугольной системы координат, а полярная ось совпадает с положи-

тельной полуосью абсцисс.

Решение. По формулам (2) имеем

22=ρ

, tg ϕ = 1. Согласно

второму из этих равенств,

=ϕ

или

=ϕ

. Но так как

x=2 > 0 и y=2 > 0, то

=ϕ

. Определение уравнения линии.

Рассмотрим соотношение вида

F(x, y)

= 0, (3)

связывающее переменные величины х и y. Равенство вида (3) назовем

уравнением с двумя переменными х, y, если это равенство справедли-

во не для всех пар чисел х и y. Примеры уравнений:

3x+2y=0, sin x+cos y–2 = 0.

Если (3) справедливо для всех допустимых пар чисел х и y, то оно

называется тождеством. Примеры тождеств:

(x+y)(x–y) –x

= 0, (x+y)

–x

– 3x

y–3xy

–y

= 0.

Уравнение (3) назовем уравнением множества точек (х; y), если это-

му уравнению удовлетворяют координаты х и y любой точки множе ства

и не удовлетворяют координаты никакой точки, не принадлежащей этому

множеству.

Важным понятием аналитической геометрии является понятие

уравнения линии. Пусть на плоскости заданы прямоугольная система

координат и некоторая линия L (рис. 3).

Уравнение (3) называется уравнением линии L (в заданной сис-

теме координат), если этому уравнению удовлетворяют координаты

1 7

х и y любой точки, лежащей на линии L, и не удовлетворяют координаты

никакой точки, не лежащей на этой линии.

Если (3) является уравнением линии L, то говорят, что уравне-

ние (3) определяет или задает линию L.

Линия L может определяться не только уравнением вида (3), но и

уравнением вида

()

=ϕρ

, (4)

содержащим полярные координаты.

Примеры определения линий уравнениями:

1) х – у = 0. Записав это уравнение в виде у = х, заключаем, что

множество точек, координаты которых удовлетворяют данному урав-

нению, представляет собой биссектрисы I и III координатных углов

(рис. 4);

2) х

– у

= 0. Запишем уравнение в виде (х – у)(х + у) = 0. Заклю-

чаем, что множество точек, координаты которых удовлетворяют это-

му уравнению, – это две прямые, содержащие биссектрисы четырех

координатных углов (рис. 5);

3) х

+ у

= 0. Множество точек, координаты которых удовлет-

воряют этому уравнению, состоит из одной точки (0; 0). Здесь уравне-

ние определяет вырожденную линию;

4) х

+ у

0. Так как при любых х и y числа х

и у

неотрица-

тельны, то х

> 0. Нет ни одной точки, координаты которой

удовлетворяют данному уравнению, т.е. данное уравнение определя-

ет «пустое» множество точек;

ϕ=ρ cosa

, где a>0 – постоянная, переменные ϕ и ρ – поляр-

ные координаты. Обозначим через М точку с полярными координатами

(ρ;ϕ), чере з А – точку с полярными координат ами (а; 0) (рис. 6). Если

Рис.3 Рис.4

1 8

ϕ=ρ cosa

, где

<ϕ<

, то угол ОМА– прямой, и обратно. Следова-

тельно, множество точек, полярные координаты которых удовлетворя-

ют данному уравнению, – окружность с диаметром OА (рис. 6);

6) ρ=aϕ, где постоянная a > 0, ρ и ϕ – по лярные коор динаты. Пусть

М – точка с полярными координат ами (ρ;ϕ). Если ϕ= 0, то ρ= 0. Таким

образом, при увеличении угла ϕ точка M(ρ; ϕ), начавшая свое движение в

полюсе, движется вокруг него, одновременно удаляясь от полюса. Мно-

жество точек, полярные координаты которых удовлетворяют уравнению

ϕ= aϕ, называется спиралью Архимеда (рис. 7). При этом предполагается,

что ϕ может принимать любые неотрицательные значения.

Если точка М совершает один полный оборот вокруг полюса, то ϕ

возрастает на 2π, а ρ – на 2aπ, т.е . спираль рассекает любую прямую,

проходящую через полюс, на равные отрезки (не считая отрезка, содер-

жащего полюс), которые имеют длину 2aπ.

Рассмотрим теперь обратную задачу : для заданного какими-то ег о

свойствами множ еств а точек, т.е. для заданной линии L, найти ее уравнение.

Пример 2. Вывести уравнение (в заданной прямоугольной сис-

теме координат) множества точек, каждая из которых отстоит от точки

О (0; 0) на расстояние R, т.е. вывести уравнение окружности радиуса R с

центром в начале координат (рис. 8).

Решение. Расстояние от произвольной точки М (х; y) до точки

О вычисляется по формуле

yxMO +=

Рис.5 Рис.6

1 9

Если точка М лежит на окружности, то

RMR =

или

= R

, т.е. координаты точки М удовлетворяют уравнению

+ y

= R

. (5)

Уравнение (5) и есть уравнение окружности с центром в начале

координат.

Приведем еще несколько примеров на нахождение множеств точек

по уравнениям и неравенствам, связывающим их координаты.

Пример 3. Найти множество

точек (х; y), координаты которых

удовлетворяют уравнению

1=− yx

Решение. Та к как искомо е

множество точек симметрично от-

носительно координа тных осей Oy и

Ox, то можно все свести к случаю

0,0

≥≥

. Окончательно получа-

ем множество, изображенное на

рис.9.

Пример 4. Показать, что уравнение х

+ 2х + у

= 0 задает на плос-

кости некоторую окружность. Найти ее цент р и радиус.

Решение. Представим данное уравнение в виде

(х

+2х + 1)+у

= 1 или (x + 1)

+ y

= 1.

Теперь ясно, что это уравнение окружности с центром в точке

С(–1;0) и радиусом 1.

Рис.7 Рис.8

Рис.9

! Задания для самостоятельной работы

1. Найти множество точек (х; y), координаты которых удовлетво-

ряют уравнению

1=+ yx

2. Установить, ка кое множество точек задает неравенство

yxyx 44

+≤+

3. На плоскости даны точки А и В. Найти множеств о точек М, уда-

ленных от А вдвое дальше, чем от В.

4. Установить, при каких значениях параметра а система







ayx

yx ,1

не имеет решений, имеет единственное решение, имеет бесчисленное

множество решений.