Минюк С.А., Ровба Е.А. Высшая математика
Подождите немного. Документ загружается.
391
Пример 2. Пояснить теорему Перрона для случая, когда положи-
тельная матрица
=
34
21
A
.
Решение. Имеем:
5)(5,10540
34
21
21
2
=λ⇒=λ−=λ⇒=−λ−λ⇒=
λ−
λ−
A
.
Соответствующий λ
2
= λ(A)=5 собственный вектор (см. Л. 15)
=
=
−λ
=
4
2
4
2
112
12
c
a
a
cx
A
(
при c = 1 .
Положительная матрица является частным случаем неразложи-
мой неотрицательной матрицы. Фробениус обобщил теорему Перро-
на и на эти матрицы.
Теорема 2 (Фробениуса).
Неразложимая неотрицательная матрица А всегда имеет по-
ложительное характеристическое число λ(A), являющееся простым
корнем характеристического уравнения, причем
i
A
λ≥λ )(
, где
{}
i
λ
– совокупность остальных характеристических чисел. Числу λ(A)
соответствует собственный вектор
A
x
(
с положительными коорди-
натами.
Из теоремы 1 вытекает следующий важный результат, который
называют предельной теоремой.
Теорема 3.
Пусть c – произвольный неотрицательный вектор (c ≠0). Тогда
предел
n
n
n
A
cA
)]([
lim
λ
=
∞→
v
существует и является собственным вектором матрицы А, соот-
ветствующим характеристическому числу λ(A). Этот предел един-
ствен с точностью до скалярного множителя, зависящего от выбо-
ра начального вектора с.
3
0
. Простая модель межотраслевого производствен-
ного проце сса. Рассмотрим простую модель трех взаимодействую-
392
щих отраслей, которые будем условно называть «автомобиле-
строительной», «сталелитейной», «станкостроительной».
Пусть каждая из этих отраслей в любой момент времени может
быть описана ее сырьевым ресурсом и ее производительной мощностью.
Введем следующие переменные состояния:
x
1
(n) – число автомобилей, произведенных к моменту времени n;
x
2
(n) – производственная мощность автомобилестроительных за-
водов в момент времени n;
x
3
(n) – запас стали в момент времени n;
x
4
(n) – производственная мощность сталелитейных заводов в мо-
мент времени n;
x
5
(n) – количество (ресурс) станков в момент времени n;
x
6
(n) – производственная мощность станкостроительных заводов
в момент времени n.
Если сделать некоторые допущения относительно экономической
взаимосв язи трех отраслей и использова ть принцип со хранения: количество
ма териала в момент n + 1 равно к оличеству материала в момент n минус
использованное за период времени (n; n + 1) плюс произведенное за ука-
занный период времени, то получим уравнения, связывающие x
i
(n + 1) и
x
i
(n) вида:
∑
≠
+−=+
ij
jijiiii
nxanxanx
)()()1()1(
, i = 1, 2, ..., 6, (3)
где
0≥
ij
a
; i, j = 1, ..., 6. (4)
Рассмотрение модели (3) , (4) иллюстрирует ту важную роль, ко-
торую играют матрицы специального вида, рассмотренные в п.2
0
и назы-
ваемые иногда «входными – выходными»ы.
4
0
. Матрицы Минковского-Леонтьева. Рассмотрим теперь
специальный класс неотрицательных матриц, определяемый условиями
ij
a
≤0
;
nji ,1, =
, (5)
∑
=
≤
n
i
ij
a
1
1
,
nj ,1=
. (6)
Эти матрицы возникают в связи с решением алгебраических
уравнений вида
∑
=
+=
n
j
ijiji
yxax
1
,
ni ,1=
, (7)
393
встречающихся при рассмотрении моделей, очень похожих на предыду-
щую, для межотраслевых производственных процессов.
Теорема 4. Если
ij
a
≤0
;
nji ,1, =
и
1
1
<
∑
=
n
j
ij
a
,
nj ,1=
,
то система (7) имеет единственное решение, которое положитель-
но, если все y
i
положительны.
Если a
ij
>0, то матрица (I – A)
–1
также положительна.
! Задания для самостоятельной работы
1. С помощью формулы Фробениуса найти обратные матрицы
для следующих матриц:
а)
−−
4531
2332
4321
2753
; б )
1032
2103
3210
0321
;
в)
−
−−−
−
−
1234
2143
3412
4321
; г)
−−
−−
−−
−−
5317
3175
1753
7531
.
2. Проверить теорему Фробениуса для следующих неразложи-
мых неотрицательных матриц:
а)
510
654
321
; б)
113
151
311
; в)
98
45
; г)
42
31
.
3. Доказать, что из условия Ax ≥0 при всех x ≥0 следует, что
A ≥0.
4. Показать, что из A ≥B ≥0 следует, что λ(A) ≥λ(B) (A ≥ B
означает, что A – B ≥0).
394
Лекция 46*
Однородные функции. Теоремы о неявных
функциях
Дано определение однородной функции, приведена теоре-
ма Эйлера об однородных функциях, рассмотрены теоре-
мы о неявных функциях.
1
0
. Однородные функции. В лекции 48 при рассмотрении
однородных уравнений первого порядка дано понятие однородной
функции двух переменных. Дадим определение однородной функции
нескольких переменных: функция нескольких переменных называется
однородной функцией этих переменных степени m, если при умноже-
нии этих переменных на произвольную величину t функция умножает-
ся на t
m
, т.е. имеет место тождество:
f (tx, ty)=t
m
f (x, y) или f (tx, ty, tz)=t
m
f (x, y, z) (1)
(или
)()...,,()...,,()(
11
xftxxfttxtxfxtf
m
n
m
n
((
===
)
при любых допустимых значениях переменных x, y, z, t (x
1
,
...,
x
n
, t).
Число m может быть любым фиксированным вещественным числом.
Если, например, m =
2
1
, то
tt
m
=
и t должны быть положительными.
Примеры однородных функций:
а) однородной функцией третьей степени является любой одно-
родный многочлен от х и у третьей степени, т.е. функция вида
f (x, y)=ax
3
+ bx
2
y + cxy
2
+ dy
3
;
б) дроби
22
33
yx
yx
+
+
,
22
yx
xy
+
,
22
yx
yx
+
+
суть однородные функции
степеней соответственно 1, 0 и –1.
Дифференцируя тождество (1) по t и применяя правило диффе-
ренцирования сложной функции, получим, полагая u = tx и v = ty:
),(),(),(
1
yxfmtufyufx
m
u
−
=
′
+
′
vv
v
.
Полагая t = 1, находим
),(),(),( yxmfyxfyyxfx
yx
=
′
+
′
, (2)
что выражает следующую теорему Эйлера об однородных функциях.
395
Сумма произведений частных производных однородной функции на со-
ответствующие переменные равна произведению самой этой функции
на степень ее однородности.
Естественно, считаем, что функция f (x, y) имеет непрерывные
частные производные по соответствующим переменным, которые
использовались при доказательстве.
Для функции
)(xfy
(
=
n переменных x
1
, ..., x
n
формулировка
теоремы Эйлера следующая: если функция
)(xfy
(
=
является в обла-
сти X ⊂R
n
дифференцируемой однородной степени m, то
Xx
∈∀
(
спра-
ведливо равенство:
∑
=
∂
∂
=
∂
′
∂
=
n
j
j
j
x
x
xf
x
x
xf
xmf
1
)()(
)(
(
(
(
(
(
.
Если m = 0, то, положив в тождестве (1)
x
t
1
=
=
1
1
x
t
, получим
=
x
y
fyxf ,1),(
или
=
x
z
x
y
fzyxf ,,1),,(
,
=
11
2
1
...,,,1)...,,(или
x
x
x
x
fxxf
n
n
,
т.е. однородная функция нулевой степени есть функция отношения
всех переменных, кроме одной, к этой последней переменной.
Иногда однородную функцию нулевого измерения называют
просто однородной.
Примеры однородных функций в экономике. Рассмотрим ос-
новные типы макроэкономических производственных функций.
1) Степенная производственная функция (функция типа Кобба-
Дугласа) имеет вид
βα
⋅=
LAKY
,
где A, α, β – положительные числа. Здесь Y – национальный доход,
К – капитал, L – труд. Отметим, что при α+ β= 1, 0 < α< 1 получаем
классическую функцию Кобба-Дугласа
α−α
⋅=
1
LAKY
.
Очевидно, что степенная производственная функция является
однородной степени m = α+ β, которая определена для K ≥0 и L ≥0.
2) Функция с постоянными пропорциями имеет вид
=
b
L
a
K
AY ,min
,
396
где A, a, b – положительные числа. Вектор col (a; b) характеризует удель-
ные затраты капита л а и труда, необходимые для выпуска продукции в
количестве А.
Эта функция определена для K ≥0, L ≥0 и является однородной
первой степени.
3) Функция с постоянной эластичностью замены (CES) есть
()
ρ
−
ρ−ρ−
+=
m
BLAKY
,
где A, B, ρ, m – положительные числа.
Функция CES однородная, степени m и определена для K > 0, L >0.
2
0
. Существование неявных функций. Вначале
рассмотрим одно уравнение
F (x, y)=0 (3)
и укажем те условия, при которых оно определяет единственным об-
разом y как функцию от x, непрерывную и имеющую производную.
Теорема 1.
Пусть x= x
0
и y= y
0
– решение уравнения (3), т.е.
F (x
0
, y
0
)=0; (4)
пусть F(x, y) и ее частные производные первого порядка по x и
y – непрерывные функции при всех x и y, достаточно близких к x
0
и y
0
, и,
пусть, наконец, частная производная
),( yxF
y
′
отлична от нуля при x= x
0
,
y = y
0
. Т огда суще ствует при всех x, достато чно близких к x
0
, одна опре-
деленная функция y(x), у довлетворяющая уравнению (3), непрерывная, име-
ющая производную и удовлетворяющая условию: y(x
0
)=y
0
.
Доказательство. Пусть для определенности
0),( >
′
yxF
y
при
x = x
0
, y = y
0
. Т.к. по условию эта производная непрерывна, то она
будет положительной и при всех значениях x и y, достаточно близких
к x
0
и y
0
, т.е. существует такое положительное число l, что F (x, y) и ее
частные производные непрерывны и
0),( >
′
yxF
y
(5)
при всех x и y, удовлетворяющих условию
lxx ≤−
0
,
lyy ≤−
0
. (6)
Далее функция F (x
0
, y) переменной y обращается в нуль при y = y
0
в
силу (4), и возрастающая функция от y в промежутке (y
0
– l; y
0
+ l), в силу
(5), (6). Таким образом, число F (x
0
, y
0
– l) < 0, а число F (x
0
, y
0
+ l)>0.
Из непрерывности функции F (x, y) следует, что F (x, y
0
– l) < 0, а
397
F (x, y
0
+ l)>0 при всех x, дост аточно близких к x
0
, т.е. существует такое
положительное число l
1
, что
F (x, y
0
– l)<0 и F (x, y
0
+ l)>0 (7)
при
10
lxx ≤−
. Пусть
{}
1
,min
llm
=
. Тогда можно утверждать, что
выполнены неравенства (5) и (7), если x и y удовлетворяют неравен-
ствам
mxx ≤−
0
,
lyy ≤−
0
. (8)
Если взять какое-нибудь определенное x, лежащее в промежутке
(x
0
– m; x
0
+ m), то F (x, y) как функция от y будет в силу (5) возраста-
ющей функцией в промежутке (y
0
– l; y
0
+ l), и в силу (7) – разных зна-
ков на концах этого промежутка. Следовательно, она будет обра-
щаться в нуль при одном определенном значении y из этого промежутка.
В частности, если x = x
0
, то в силу (4) это значение y будет y = y
0
. Таким
образом, доказано существование в промежутке (x
0
– m; x
0
+ m) опреде-
ленной функции y(x), являющейся решением уравнения (3) и удовлетво-
ряющей условию y(x
0
)=y
0
. Другими словами, из предыдущих рассужде-
ний следует, что при любом фиксированном x ∈(x
0
– m; x
0
+ m) уравнение
(3) имеет единственный корень, лежащий внутри промежутка (y
0
– l; y
0
+ l).
Покажем теперь, что найденная функция y(x) будет непрерывной
при x = x
0
. Действительно, при любом заданном малом положитель-
ном ε числа F (x
0
, y
0
– ε) и F (x
0
, y
0
+ ε) будут в силу (7) разных знаков, а,
следовательно, будет существовать такое положительное I, что F (x, y
0
–
l) и F (x, y
0
+ l) – разных знаков, если только
Ixx <−
0
, а по этому при
Ixx <−
0
корень уравнения (3), т.е. значение найденной функции y(x),
удовлетворяет условию
ε≤−
0
yy
, что и доказывает непрерывность
y(x) при x = x
0
.
Покажем теперь существование производной
)(xy
′
при x = x
0
.
Пусть ∆x = x – x
0
, ∆y = y – y
0
есть соответствующее приращение y. Сле-
довательно, x = x
0
+ ∆x и y = y
0
+ ∆y удовлетворяют уравнению (3), т.е.
F (x
0
+ ∆x, y
0
+ ∆y) = 0, и в силу (4) имеем
0),(),(
0000
=−∆+∆+ yxFyyxxF
.
Принимая во внимание непрерывность частных производных,
можно переписать это равенство так ( Л.42):
[][]
0),(),(
200100
00
=∆ε+
′
+∆ε+
′
yyxFxyxF
yx
, (9)
где ε
1
и ε
2
→0, если ∆x и ∆y →0 и где обозначены через
),(
00
0
yxF
x
′
и
398
),(
00
0
yxF
y
′
значения производных при x = x
0
, y = y
0
. Из доказанной ранее
непрерывно сти y(x) при x=x
0
следует, что ∆y →0, если ∆x →0.
Из уравнения (9) получаем
200
100
),(
),(
0
0
ε+
′
ε+
′
−=
∆
∆
yxF
yxF
x
y
y
x
.
Переходя к пределу при ∆x →0, имеем
),(
),(
)(
00
00
0
0
0
yxF
yxF
xy
y
x
′
′
−=
′
.
Таким образом, доказаны непрерывность и существование про-
изводной функции y(x) только при x = x
0
. Если взять какое – либо дру-
гое значение x из промежутка (x
0
– m; x
0
+ m) и соответствующее зна-
чение y из промежутка (y
0
– l; y
0
+ l), являющееся корнем уравнения
(3), то для этой пары значений x, y опять выполнены все условия тео-
ремы 1, и в силу доказанного y(x) будет непрерывной при указанном
значении x.
Теорема 1 доказана.
Отметим, что совершенно так же, как и выше, формулируется и
доказывается теорема о существовании неявной функции z (x, y), оп-
ределяемой уравнением
0),,( =Φ zyx
.
Рассмотрим теперь систему m функциональных уравнений
0),( =yxF
i
((
,
mi ,1=
, (10)
где
n
R
∈x
(
,
m
R
∈y
(
. Требуется отыскать решение системы уравнений
(10) как совокупность функций
)(xy
ii
(
ϕ=
mi ,1=
, т.е . таких функций
)(x
i
(
ϕ
, которые при подстановке в систему (10) вместо y
i
обращают ее
в тождество.
Матрицу частных производных левых частей системы (10) назы-
вают матрицей Якоби:
=
=
∂
∂
=
mj
mi
y
yxF
yxJ
i
j
,1
,1,
),(
),(
((
((
,
а ее определитель
),(det yxJ
((
– якобианом.
399
Имеет место
Теорема 2.
Пусть функции
)yx(F
i
((
,
,
mi ,1=
дифференцируемы по
y
(
в окре-
стности точки
)y;x(
00
((
, причем матрица
)yxJ(
((
,
непрерывна в точке
)y;x(
00
((
. Тогда, если
0,
00
=)yx(F
i
((
,
mi ,1=
и
0,det
00
≠)yxJ(
((
, то для
любого ε>0 существует такое δ>0, что для всех
)x(Ox
0
((
δ
∈
суще-
ствует единственное решение системы (10)
)x(y
ii
(
ϕ=
,
mi ,1=
, удов-
летворяющее условию
)y(Oy
0
((
ε
∈
, причем это решение непрерывно и
дифференцируемо для всех
)x(Ox
0
((
δ
∈
.
Здесь
)(
0
xO
(
δ
(
)(
0
yO
(
ε
) – δ–окрестность точки
0
x
(
(ε – окрестность
точки
0
y
(
).
! Задания для самостоятельной работы
1. Проверить следующие функции на однородность и для одно-
родных функций записать теорему Эйлера:
1)
zyx −+2
;2)
22
32
zxxyyz ++−
;3)
z
x
x
y
ee
+
;
4)
z
x
x
y
sinlncos +
;5)
yzxyy ++
;6)
z
x
y
−tg
.
2. Используя теоремы 1 и 2, проверить существование неявных
функций в следующих уравнениях и системах уравнений:
1)
0552
223
=−++− yxyxx
,
1
1
=
=
x
y
;
2)
12 +=−+ yxyx
,
1
2
=
=
x
y
;
3)
1cossin =+
−
xeye
yx
,
0
0
=
=
x
y
;
4)
=+⋅
=−++
,2coscossin
,1
2
2
121
2
1
yex
yyxyx
y
1
0
1
=
=
x
y
,
2
0
2
=
=
x
y
;
5)
−
π
=+
+=
,
4
ln
,tg
2
2
1
2
21
yyx
yxy
1
0
1
=
=
x
y
,
4
0
2
π
=
=
x
y
.
400
Лекция 59*
Интегрирование дифференциальных
уравнений с помощью рядов
На примере линейного дифференциального уравнения
второго порядка иллюстрируется метод нахождения его
решения в виде степенного ряда.
1
0
. Разложение решения в степенный ряд. Этот прием
особенно удобен в применении к линейным дифференциальным уравне-
ниям. Проиллюстрируем его применение на примере уравнения второго
порядка. Рассмотрим однородное дифференциальное уравнение второ-
го порядка
0)()( =+
′
+
′′
yxqyxpy
, (1)
где коэффициенты p(x), q(x) представляются в виде рядов, располо-
женных по целым положительным степеням х, так что уравнение (1)
можно переписать в виде
0...)(...)(
2
210
2
210
=++++
′
++++
′′
yxbxbbyxaxaay
. (2)
Решение этого уравнения также будем искать в виде степенного ряда
∑
∞
=
=
0k
k
k
xcy
. (3)
Подставляя выражение для y и его производных в (2), получаем:
0)1(
001
1
02
2
=++−
∑∑∑∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
−
∞
=
∞
=
−
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
xcxbxkcxaxckk
. (4)
Перемножив степенные ряды, собирая подобные члены и при-
равнивая к нулю коэффициенты при всех степенях х в левой части (4),
получаем ряд уравнений:
012
00102
0
=++⋅ cbcacx
,
0223
011011203
1
=++++⋅ cbcbcacacx
,
(5)
02334
0211201221304
2
=++++++⋅ cbcbcbcacacacx
.
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
Каждое последующее из уравнений (5) содержит одним искомым
коэффициентом больше, чем предыдущее. Коэффициенты c
0
и c
1
оста-
ются произвольными и играют роль произвольных постоянных. Пер-
вое из уравнений (5) дает c
2
, второе – c
3
, третье – c
4
и т.д. Вообще из
(k + 1)-го уравнения можно определить c
k+2
,
зная c
0
, c
1
, ... , c
k+1
.