Минюк С.А., Ровба Е.А. Высшая математика
Подождите немного. Документ загружается.
401
Практически удобно поступать следующим образом. Определим
по указанной выше схеме два решения y
1
(x) и y
2
(x), причем для y
1
(x)
выберем c
0
=1, c
1
= 0, а для y
2
(x) выберем c
0
=0, c
1
= 1, что равносиль-
но следующим начальным условиям:
1)0(
1
=y
,
0)0(
1
=
′
y
,
0)0(
2
=y
,
1)0(
2
=
′
y
.
Любое решение уравнения (1) будет линейной комбинацией ре-
шений y
1
(x) и y
2
(x).
В частности, если начальные условия имеют вид y(0) = A,
By =
′
)0(
, то, очевидно,
y = Ay
1
(x)+By
2
(x).
Справедливо следующее утверждение: если ряды
∑
∞
=
=
0
)(
k
k
k
xcxp
и
∑
∞
=
=
0
)(
k
k
k
xbxq
сходятся при |x |<R, то построенный указанным выше способом сте-
пенный ряд (3) будет также сходиться при этих значениях x и являться
решением уравнения (1). Например, если p(x) и q(x) – многочлены от
x , то ряд (3) будет сходиться при любом значении х.
2
0
. Примеры.
Пример 1. Найти общее решение уравнения
0
2
=−
′′
yxy
. (6)
Решение. Ищем решение уравнения (6) в виде ряда (3). Имеем:
∑
∞
=
=
0k
k
k
xcy
,
∑
∞
=
−
=
′
1
1
k
k
k
xkcy
,
∑
∞
=
−
−=
′′
2
2
)1(
k
k
k
xkkcy
.
Подставляя найденные выражения в уравнение (6), имеем:
0)1)(2(
0
2
0
2
≡−++
∑∑
∞
=
+
∞
=
+
k
k
k
k
k
k
xcxkkc
, (7)
которое верно, если:
012
2
0
=⋅⋅cx
,
023
3
1
=⋅⋅cx
,
0
32
== cc
,
034
04
2
=−⋅⋅ ccx
, ⇒
43
0
4
⋅
=
c
c
,
54
1
5
⋅
=
c
c
.
045
15
3
=−⋅⋅ ccx
.
−−−−−−−−−
С учетом с
2
= с
3
=0 тождество (7) запишем так:
0)3)(4(
00
22
4
≡−++
∑∑
∞
=
∞
=
++
+
kk
k
k
k
k
xcxkkc
.
402
Отсюда:
)3)(4(
4
++
=
+
kk
c
c
k
k
. (8)
Из (8) получаем:
3478...)14(4
0
4
⋅⋅⋅⋅⋅−
=
kk
c
c
k
,
4589...)14(4
1
14
⋅⋅⋅⋅⋅−
=
+
kk
c
c
k
,
0
3424
==
++
kk
cc
, k = 1, 2, ... .
В результате общее решение уравнения (6) имеет вид
∑∑
∞
=
+
∞
=
⋅⋅⋅⋅⋅+
+
⋅⋅⋅⋅⋅−
=
0
14
1
0
4
0
4589...4)14(3478...)14(4
k
k
k
k
kk
x
c
kk
x
cy
,
где c
0
и c
1
– произвольные постоянные.
Пример 2. Найти решение уравнения
02 =−
′
−
′′
yyxy
(9)
в виде степенного ряда.
Решение. Найдем вначале решения y
1
(x) и y
2
(x). Ищем y
1
(x) в
виде ряда:
∑
∞
=
=
0
1
)(
k
k
k
xcxy
.
Тогда:
∑
∞
=
−
=
′
1
1
1
)(
k
k
k
xkcxy
,
∑
∞
=
−
−=
′′
2
2
1
)1()(
k
k
k
xckkxy
.
Подставляем y
1
(x),
)(
1
xy
′
,
)(
1
xy
′′
в (9), получаем:
02)1(
012
2
=−−−
∑∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
−
k
k
k
k
k
k
k
k
k
xcxkcxkck
. (10)
Приводя в (10) подобные члены и приравнивая к нулю коэффи-
циенты при всех степенях х, получаем соотношения, из которых най-
дем коэффициенты c
0
, c
1
, ... , c
n
, ... .
Положим для определенности, что y
1
(0) = 1,
0)0(
1
=
′
y
.
Тогда находим, что
c
0
=1, c
1
=0. (11)
Итак, имеем:
022
02
0
=− ccx
, ⇒ и из (11) c
2
=1,
02123
113
1
=−⋅−⋅ cccx
, ⇒ и из (11) c
3
=0,
02234
224
2
=−−⋅ cccx
, ⇒
3
1
4
=c
,
02345
335
3
=−−⋅ cccx
, ⇒ c
5
=0,
403
02456
446
4
=−−⋅ cccx
, ⇒
53
1
5
4
6
⋅
==
c
c
,
−−−−−−−−−−−−−−−−−
.
Значит,
...
15
1
3
1
1)(
642
1
++++= xxxxy
. (12)
Аналогично ищем y
2
(x) в виде ряда:
∑
∞
=
=
0
2
)(
k
k
k
xaxy
(13)
с начальными условиями y
2
(0) = 0,
1)0(
2
=
′
y
. Получаем
a
0
=0, a
1
=1. (14)
Подставляя (13) в (9), найдем:
0)2()1(
10
2
=+−−
∑∑
∞
=
∞
=
−
k
k
k
k
k
k
xakxakk
.
Приравнивая к нулю коэффициенты при всех степенях х, имеем:
02
2
0
=ax
⇒ a
2
=0,
0323
13
1
=−⋅ aax
⇒ и из (14) a
3
=
2
1
,
0434
24
2
=−⋅ aax
⇒ a
4
=0,
0545
35
3
=−⋅ aax
⇒
42
1
5
⋅
=a
,
0656
46
4
=−⋅ aax
⇒ a
6
=0,
0767
57
5
=−⋅ aax
⇒
642
1
7
⋅⋅
=a
.
−−−−−−−−−−−−−−−−−
Очевидно, что
0
2
=
k
a
,
)2(...642
1
12
k
a
k
⋅⋅⋅⋅
=
+
, k = 1, 2, 3, ... .
Итак,
2
0
2
753
2
2
!
2
...
642422
)(
x
k
k
xe
k
x
x
xxx
xxy
=
=+
⋅⋅
+
⋅
++=
∑
∞
=
. (15)
Общее решение уравнения (9) будет иметь вид
y = Ay
1
(x)+By
2
(x),
где y
1
(x) и y
2
(x) задаются формулами (12) и (15) соответственно, а А и
В – произвольные постоянные, причем y(0) = A,
By =
′
)0(
.
404
3
0
. Приближенное решение задачи Коши. Найти при-
ближенное решение задачи Коши:
2
yxy +=
′′
, y(0) = 0,
1)0( =
′
y
в виде многочлена.
Найдем первые пять отличных от нуля коэффициентов ряда,
являющегося приближенным решением. Для этого воспользуемся ря-
дом Маклорена
∑
∞
=
=
0
)(
!
)0(
)(
k
k
k
x
k
y
xy
, (16)
в котором нужно найти первых пять отличных от нуля производных.
Последовательно подставляя в исходное уравнение начальные
условия и дифференцируя его, получаем:
0)0(
0
2
=+=
′′
yxy
,
121)0(
0
=
′
+=
′′′
yyy
,
222)0(
0
2)4(
=
′′
+
′
= yyyy
,
026)0(
0
)5(
=
′′′
+
′′′
= yyyyy
,
8286)0(
0
)4(2)6(
=+
′′′′
+
′′
= yyyyyy
,
2021020)0(
0
)5()4()7(
=+
′
+
′′′′′
= yyyyyyy
.
Таким образом, получаем приближенное решение:
!7
20
!6
8
!4
2
!3
)(
7643
xxxx
xxy ++++≈
.
! Задания для самостоятельной работы
1. Найти три первых члена разложения в степенной ряд реше-
ния дифференциальных уравнений для заданных начальных условий :
а)
xyy −=
′
1
, y(0) = 0; б)
xyy sin=
′
, y(0)=1;
в)
0sin =
′
−
′′
yxy
, y(0) = 0,
1)0( =
′
y
;
г)
xxyyx =+
′′
sin
, y(π) = 1,
0)( =π
′
y
.
2. Проинтегрировать при помощи рядов следующие дифферен-
циальные уравнения:
а)
0=+
′′
yy
, y(0) = 1,
0)0( =
′
y
; б)
02 =−
′
xyy
, y(0)=1;
в)
0=+
′
+
′′
yyxy
; г)
01' =−+−
′′
yxyy
,
0)0()0( =
′
= yy
.
405
ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ ................................................................................... 3
ЧАСТЬ I. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ..... 4
Лекция 1. Предмет математики. Простейшие математические модели
в экономике .......................................................................................... 4
Лекция 2. Прямоугольная система координат на плоскости.
Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости ........ 9
Лекция 3. Полярная система координат. Множества точек
на плоскости и их уравнения .......................................................... 15
Лекция 4. Прямая на плоскости ....................................................................... 21
Лекция 5. Расположение двух прямых на плоскости ................................... 26
Лекция 6. Векторы .............................................................................................. 31
Лекция 7. Матрицы и определители ............................................................... 39
Лекция 8. Действия над матрицами ................................................................ 45
Лекция 9. Исследование систем линейных уравнений. Метод Гаусса .......... 51
Лекция 10. Метод полного исключения. Нахождение базисных
и опорных решений систем линейных уравнений ....................... 57
Лекция 11. Системы векторов ............................................................................ 63
Лекция 12. Векторное и смешанное произведения векторов ............................... 69
Лекция 13. Простейшие задачи аналитической геометрии
в пространстве. Плоскость в пространстве ................................. 74
Лекция 14. Прямая в пространстве ................................................................... 79
Лекция 15. Линейные операторы ...................................................................... 85
Лекция 16. Квадратичные формы. Классификация кривых
второго порядка ............................................................................... 91
Лекция 17. Кривые второго порядка ................................................................ 97
Лекция 18. Сфера, цилиндрические поверхности и конус
второго порядка ............................................................................. 103
Лекция 19. Поверхности вращения. Общее уравнение поверхности
второго порядка ............................................................................. 108
Лекция 20. Системы линейных неравенств .................................................... 114
ЧАСТЬ II. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ
И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ...................................... 120
Лекция 21. Числовые последовательности.
Предел числовой последовательности ...................................... 120
406
Лекция 22. Предельный переход в неравенствах.
Монотонные последовательности .............................................. 126
Лекция 23. Понятие функции ........................................................................... 132
Лекция 24. Предел функции .............................................................................. 141
Лекция 25. Непрерывные функции .................................................................. 151
Лекция 26. Функции, непрерывные на отрезке.
Эквивалентные функции ............................................................... 158
Лекция 27. Понятие производной. Правила дифференцирования ........ 164
Лекция 28. Таблица производных основных элементарных функций.
Производная сложной функции .................................................. 171
Лекция 29. Логарифмическое дифференцирование. Производная
неявной функции. Производные высших порядков.
Приложение производной в экономике .................................... 177
Лекция 30. Дифференциал функции. Теоремы о среднем ......................... 183
Лекция 31. Правило Лопиталя. Формула Тейлора ...................................... 189
Лекция 32. Исследование поведения функций
с помощью производной .............................................................. 196
Лекция 33. Выпуклость, точки перегиба и асимптоты. Построение
графиков функций .......................................................................... 202
Лекция 34. Первообразная и неопределенный интеграл ............................ 208
Лекция 35. Методы интегрирования. Интегрирование простейших
рациональных дробей ................................................................... 214
Лекция 36. Интегрирование рациональных, иррациональных и
трансцендентных функций ........................................................... 220
Лекция 37. Определенный иинтеграл .............................................................. 227
Лекция 38. Условия существования определенного интеграла.
Нахождение определенного интеграла ...................................... 235
Лекция 39. Приложения определенного интеграла
в геометрии и экономике ............................................................... 242
Лекция 40. Приближенное вычисление определенных интегралов.
Несобственные интегралы ............................................................ 252
ЧАСТЬ III. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ И РАЗНОСТНЫЕ
УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ ................................................................... 259
Лекция 41. Функции многих переменных, частные производные ............ 259
Лекция 42. Полный дифференциал .................................................................. 265
Лекция 43. Безусловный экстремум функции многих переменных ................... 270
Лекция 44. Условный эк с тремум функции многих переменных ........................ 275
407
Лекция 45. Метод наименьших квадратов ......................................................... 281
Лекция 46. Двойные интегралы ........................................................................... 287
Лекция 47. Общее дифференциальное уравнение первого порядка. Составление
дифференциальных уравнений ........................................................... 293
Лекция 48. Интегрирование дифференциальных уравнений первого порядка .. 299
Лекция 49. Комплексные числа и комплексная экспонента............................... 305
Лекция 50. Линейные дифференциальные уравнения высших
порядков ........................................................................................... 311
Лекция 51. Линейные однородные дифференциальные уравнения
n-го порядка с постоянными коэффициентами ........................ 318
Лекция 52. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения
с постоянными коэффициентами ................................................ 323
Лекция 53. Линейные системы дифференциальных уравнений
второго порядка с постоянными коэффициентами .................. 328
Лекция 54. Устойчивость нулевого решения динамических систем
второго порядка ............................................................................. 334
Лекция 55. Фазовая плоскость .......................................................................... 340
Лекция 56. Числовые ряды ................................................................................ 347
Лекция 57. Функциональные ряды. Степенные ряды .................................. 355
Лекция 58. Разложение функций в степенные ряды. Приближение
функций с помощью рядов ........................................................... 363
Лекция 59. Конечные разности и обыкновенные разностные
уравнения. ........................................................................................ 371
Лекция 60. Линейные разностные уравнения с постоянными
коэффициентами ............................................................................. 379
ЧАСТЬ IV. ДОПОЛНЕНИЕ .............................................................................. 387
Лекция 20*. Блочные матрицы. Неотрицательные матрицы ...................... 387
Лекция 46*. Однородные функции. Теоремы о неявных функциях ............. 394
Лекция 59*. Интегрирование дифференциальных уравнений
с помощью рядов ............................................................................ 400
Учебное издание
Минюк Степан Андреевич
Ровба Евгений Алексеевич
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
Учебное пособие
для студентов экономических специальностей
высших учебных заведений
Редактор Н. П . Дудко
Компьютерная верстка С. Л. Гончаров
Сдано в набор 09.04.99. Подписано в печать ??.??.2002.
Формат 60×84/16. Бумага офсетная № 1. Печать офсетная.
Гарнитура Times. Усл .печ.л. 22,8. Уч.-изд.л. 20,8.
Тираж 300 экз. Заказ 108.
Гродненский государственный университет имени Янки Купалы.
ЛВ №96 от 02.12.97 г.
Ул. Ожешко, 22, 230023, г. Гродно.
Отпечатано на технике издательского отдела
Гродненского государственного университета
имени Янки Купалы.
ЛП №111 от 29.12.97 г.
Ул. Ожешко, 22, 230023, г. Гродно.