Мота А.Н. Конспект лекций по начертательной геометрии

132

строение точек C и D), вводя поочередно плоскости β

2

, β

3

,

β

4

, β

5

.

Точки 9 и 10 находят с помощью плоскости α

2

после по-

строения горизонтальной проекции линии пересечения по-

верхностей.

4.

Соединяют горизонтальные проекции D

1

, 3

1

, 9

1

, A

1

, 4

1

, C

1

по-

строенных точек плавной кривой линией видимого контура,

так как эти точки лежат в видимой части горизонтальной

проекции обеих поверхностей. Остальные точки 6

1

, 7

1

, 10

1

,

11

1

, B

1

, 12

1

, 8

1

, 5

1

, начиная с точки D

1

и заканчивая точкой

C

1

, соединяют штриховой линией, так как они расположены

в нижней, невидимой на горизонтальной проекции, части

сферы. После того как соединили горизонтальные проекции

всех точек, определяют точку F (F

1

— как точку пересечения

3

1

α

с горизонтальной проекцией построенной кривой; F

2

на-

ходят по линии связи на фронтальном очерке сферы).

Определив границы видимости, соединяют плавной кри-

вой фронтальные проекции точек B

2

, 12

2

, 8

2

, F

2

линией ви-

димого контура, так как они лежат в видимой части фрон-

тальной проекции обеих поверхностей, остальные точки со-

единяют штриховой линией.

5.

Определяют взаимную видимость фронтальной и горизон-

тальной проекций поверхностей.

11.2. СПОСОБ КОНЦЕНТРИЧЕСКИХ СФЕР

Построить линию пересечения поверхно-

стей с помощью вспомогательных секущих

сфер можно двумя способами:

1)

способом концентрических сфер;

2)

способом эксцентрических сфер.

В обоих способах точки, принадлежащие

l

= Ф I Ф

1

строят по алгоритму, рассмотрен-

ному в 10.3., причем в качестве секущих по-

верхностей γ

j

выбирают сферы.

При построении линии пересечения по-

верхностей вращения способом сфер приме-

няют следующее свойство: если центр секущей

сферы находится на оси поверхности вращения,

то сфера пересечет данную поверхность по ок-

ружностям, число которых равно числу пар то-

K

2

K

1

L

1

L

2

i

2

Рис. 137

133

чек пересечения главных меридианов поверхностей (рис. 137).

Если ось поверхности вращения перпендикулярна π

1

(или π

2

), то окружности проецируются на плоскость π

1

(или π

2

) в

натуральную величину, а на плоскость π

2

(или π

1

) — в отрезки

прямых, перпендикулярных фронтальной (горизонтальной) про-

екции оси вращения (рис. 137).

Способ концентрических сфер применяется в том случае,

если выполнены следующие условия:

1)

обе заданные поверхности являются поверхностями вра-

щения;

2)

оси поверхностей пересекаются;

3)

обе поверхности имеют общую плоскость симметрии, па-

раллельную одной из плоскостей проекций.

Если общая плоскость симметрии (плоскость, проходящая

через пересекающиеся оси) поверхностей не параллельна ни

одной плоскости проекций, то выполнения третьего условия

можно достичь с помощью одного из способов преобразования

чертежа.

ЗАДАЧА. Построить линию пересечения поверхностей

закрытого тора Ф и прямого

кругового цилиндра Ф

1

(рис. 138).

РЕШЕНИЕ.

Обе заданные поверхности Ф и Ф

1

являются поверхностями

вращения, их оси пересекаются и расположены в общей для

обеих поверхностей плоскости главного меридиана, т. е. в плос-

кости, параллельной π

2

, поэтому можно применить способ кон-

центрических сфер.

Порядок построений:

1.

Определяют центр вспомогательных сфер — точку пересече-

ния осей поверхностей вращения O = i

I

i

1

.

2.

Находят проекции опорных точек A

и B, принадлежащих ли-

нии l . Эти точки определяются пересечением фронтальных

проекций главных меридианов поверхностей.

3.

Для определения промежуточных точек линии пересечения

проводят концентрические окружности γ

1

, γ

2

, … γ

j

, являю-

щиеся фронтальными очерками вспомогательных сфер.

Радиус (R

max

) максимальной сферы γ

1

равен расстоянию

от центра сферы O до наиболее удаленной экстремальной

проекции точки A, принадлежащей линии пересечения l.

134

Величина минимального радиуса (R

min

) вспомогательной се-

кущей сферы γ

2

равна радиусу ее фронтального очерка —

окружности

1

2

γ

, касающейся фронтального очерка тора Ф

2

.

На рис. 138 показано построение точек C и D с помощью

сферы γ

2

и точек 1, 2, 3 и 4 с помощью вспомогательной

сферы γ

3

(см. 10.3 и рассмотренное выше свойство).

g

2

i

2

i

1

2

R

m

i

n

R

m

a

x

Ô

1

Ô

1

2

O

1

≡

i

1

E

1

C

1

A

1

3

1

i

1

g

3

2

g

j

2

g

1

2

F

1

D

1

2

1

4

1

B

1

E

2

≡

F

2

C

2

≡

D

2

1

2

≡

2

3

2

≡

4

2

B

2

Ô

1

Ô

2

O

2

l

2

l

1

A

2

O

1

2

O

1

Рис. 138

Горизонтальные проекции точек линии пересечения

строят при помощи параллелей поверхности тора Ф, кото-

рые проецируются на плоскость π

1

без искажения.

135

Лекция 12 (2 часа)

Тема «Построение линии пересечение поверхностей

(Ф

I

Ф

1

)»

План

1.

Способ эксцентрических сфер.

2.

Частные случаи построения линии пересечения поверхностей

второго порядка.

12.1. СПОСОБ ЭКСЦЕНТРИЧЕСКИХ СФЕР

Способ эксцентрических сфер применяют для построения

линии взаимного пересечения поверхностей при выполнении

следующих условий:

1)

каждая из поверхностей имеет ряд круговых сечений;

2)

обе поверхности имеют общую плоскость симметрии, па-

раллельную одной из плоскостей проекций.

Сущность способа нетрудно уяснить на следующем примере.

ЗАДАЧА. Построить линию пересечения закрытого тора

Ф и наклонного цилиндра с круговым основанием Ф

1

, имею-

щих общую плоскость симметрии (рис. 139).

РЕШЕНИЕ.

1.

Определяют способ решения задачи. Способ секущих плос-

костей применить нельзя, так как нельзя подобрать такие

секущие плоскости, которые пересекали бы обе поверхности

по графически простым линиям.

Способ концентрических сфер тоже применить нельзя,

потому что одна из поверхностей (наклонный цилиндр) не

является поверхностью вращения. Но обе поверхности име-

ют семейства круговых сечений

и общую плоскость симмет-

рии параллельную плоскости проекций π

2

, поэтому выбран

способ эксцентрических сфер.

2.

Находят экстремальные точки. Главные меридианы поверх-

ностей лежат в общей плоскости симметрии и, пересекаясь,

определяют экстремальные точки (см. фронтальную проек-

цию): A — самая высокая; D — самая низкая; B — крайняя

правая и C — крайняя левая.

136

D

2

Ô

2

Ô

1

2

D

1

B

1

C

1

C

2

B

2

K

2

R

1

h

1

2

g

1

2

g

2

A

2

A

1

2

1

R

O

/

1

2

≡

2

3

2

≡

4

2

F

2

≡

E

2

E

1

F

1

h

1

p

1

H

1

G

1

p

1

2

p

2

R

2

O

/

2

O

2

O

1

2

R

3

p

3

2

O

3

2

h

3

2

G

2

≡

H

2

Ô

1

Ô

1

5

2

≡

6

2

3

1

4

1

6

1

5

1

Рис. 139

3.

Определяют точки, являющиеся границами видимости.

Фронтальные очерки поверхностей пересекаются и их

точки пересечения (A

2

, B

2

, C

2

, D

2

) являются границами ви-

димости, так как принадлежат одновременно очеркам обеих

поверхностей.

Точки, являющиеся границами видимости горизонталь-

ной проекции, определяются в данной задаче после по-

строения фронтальной проекции линии пересечения по-

верхностей. Эти точки E, F, G и H лежат на самой близкой и

137

самой далекой образующих цилиндра (см. горизонтальные

проекции E

1

, F

1

, G

1

и H

1

).

4.

Находят промежуточные точки способом сфер (эксцентриче-

ских), применяя известный алгоритм (см. 10.3):

а) вводят секущую поверхность, в данном случае этой по-

верхностью является сфера γ

j

(см. рис. 139, сферы: радиуса R

1

с

центром O

1

, радиуса R

2

с центром O

2

, радиуса R

3

с центром O

3

и т. д.). Чтобы построить вспомогательную сферу, нужно найти

ее центр и определить радиус.

Рассмотрим построение вспомогательной сферы γ

1

с цен-

тром O

1

и радиусом R

1

. Для построения центра выбирают

любое круговое сечение цилиндра, расположенное ниже

высшей точки A, но выше низшей точки D, например h

1

, и

определяют центр сферы, проходящей через это сечение. На

π

2

круговое сечение h

1

проецируется в отрезок

1

2

h

. Из сере-

дины отрезка

1

2

h

к нему восставляют перпендикуляр и опре-

деляют точку O

1

пересечения этого перпендикуляра с осью

вращения тора (фронтальная проекция

1

2

O

). Точка O

1

—

центр сферы γ

1

, которая проецируется на плоскость проек-

ций π

2

в круг радиусом R

1

. Радиус сферы γ

1

(R

1

=

1

2

O

K

2

) равен

расстоянию от построенного центра сферы до одной из

крайних точек на отрезке

1

2

h

, в который проецируется кру-

говое сечение цилиндра. Построенная таким образом сфера

пересекает цилиндр по окружности h

1

, а тор — по окружно-

сти p

1

(фронтальная проекция окружности — отрезок

1

2

p

);

б) строят окружности — линии пересечения построенной

сферы с заданными поверхностями (h

1

и p

1

, см. п. а), фронталь-

ные проекции этих окружностей — отрезки

1

2

h

и

1

2

p

);

в) определяют точки пересечения линий:

1

2

h

I

1

2

p

=1

2

≡ 2

2

;

1

h

I

1

p

= 1

1

, 2

1

.

Остальные промежуточные точки 3, 4, 5, 6 … строят ана-

логично (см. рис. 137).

Горизонтальные проекции точек строят с помощью кру-

говых сечений цилиндра. Например, точки 1

1

, 2

1

построены

с помощью кругового сечения h

1

(горизонтальная проекция

138

1

h — окружность радиуса R, с центром

/

1

O

, где R — радиус

заданного цилиндра).

5.

Соединяют фронтальные проекции построенных точек. Уча-

стки кривой видны: верхний — от точки A

2

до точки B

2

,

нижний — от точки С

2

до точки D

2

. Невидимый контур уча-

стков кривых на этой проекции совпадает с видимым, так

как линия пересечения симметрична относительно фрон-

тальной плоскости уровня, проходящей через оси поверхно-

стей.

После соединения фронтальной проекции кривой опре-

деляют точки E, F, G и H — граничные точки видимости го-

ризонтальной проекции линии пересечения поверхностей.

При соединении

горизонтальных проекций точек участ-

ков линии пересечения поверхностей следует учесть, что

нижний участок кривой полностью не виден, так как распо-

ложен в нижней части тора, а верхний участок кривой виден

в точках F

1

, 1

1

, A

1

, 2

1

, E

1

, так как он принадлежит видимой

части обеих поверхностей.

6.

Определяют взаимную видимость поверхностей.

12.2. ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ ПОСТРОЕНИЯ ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ

ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Ранее отмечалось, что пространственная кривая взаимного

пересечения поверхностей может распадаться на отдельные час-

ти.

Известно, что порядок линии пересечения поверхностей ра-

вен произведению порядков поверхностей, поэтому две поверх-

ности второго порядка пересекаются по линии четвертого по-

рядка.

При определенных условиях эта кривая может распадаться

на несколько линий более низкого порядка; причем

сумма по-

рядков линий, на которые распадается кривая, равна порядку

самой линии.

Условия, при которых кривая четвертого порядка распадает-

ся на две кривые второго порядка, определены в следующих

теоремах:

Теорема 1. Если две поверхности второго порядка пересекаются

по одной плоской кривой, то они пересекаются и еще по одной

плоской кривой.

139

Например, на рис. 140 показаны

фронтальные проекции

1

2

l

и

2

l

кривых

второго порядка (окружностей), по кото-

рым пересекаются сфера Ф

1

и эллиптиче-

ский конус Ф с круговым основанием l

2

.

Теорема 2. Если две поверхности второго

порядка имеют касание в двух точках, то

линия их пересечения распадается на две

кривые второго порядка, плоскости кото-

рых проходят через прямую, соединяющую

точки касания.

На рис. 141 показано пересечение двух поверхностей второго

порядка: прямого кругового цилиндра Ф и эллиптического ци-

линдра с круговым основанием Ф

1

.

Ô

1

2

E

2

D

2

d

2

Ô

1

Ô

1

Ô

2

l

2

l

1

≡

m

1

m

2

g

2

F

2

C

2

a

1

b

1

C

1

≡

F

1

E

1

≡

D

1

A

2

≡

B

2

B

1

A

1

Рис. 141

Поверхности Ф и Ф

1

имеют две общие касательные плоско-

сти α и β и соответственно две общие точки касания A и B. По

теореме 2 Ф и Ф

1

пересекаются по двум кривым — окружности l

и эллипсу m, расположенным соответственно в плоскостях γ и δ.

Ô

1

2

Ô

2

l

1

2

S

2

l

2

O

2

Рис. 138

140

Плоскости γ и δ проходят через прямую (AB ), перпендику-

лярную π

2

, поэтому обе занимают частное положение относи-

тельно плоскостей проекций. Плоскость γ || π

1

, а плоскость

δ ⊥

π

2

, следовательно, принадлежащие им кривые проецируются

на плоскость π

2

в отрезки l

2

= [C

2

D

2

] и m

2

= [E

2

F

2

], причем

l

2

≡ [C

2

D

2

] ⊂ γ

2

, а m

2

≡ [E

2

F

2

] ⊂ δ

2

.

Теорему 2 применяют для решения задач на определение

положения плоскостей, пересекающих поверхности второго по-

рядка по окружностям.

ЗАДАЧА 1. Определить положение плоскостей, которые

пересекают поверхность эллиптического цилиндра по окружно-

стям (рис. 142).

E

2

D

2

d

2

Ô

2

Ô

1

g

2

F

2

C

2

C

1

≡

F

1

E

1

≡

D

1

O

2

≡

A

2

≡

B

2

B

1

A

1

b

1

a

1

i

2

R

i

1

≡

O

2

E

2

F

2

Ô

2

D

2

C

2

A

2

≡

B

2

b

2

a

2

O

2

Ç

l

2

a

2

b

2

Ô

1

2

Ç

g

2

l

2

l

1

≡

m

1

m

2

m

2

Рис. 142 Рис. 143

РЕШЕНИЕ.

1. Сф. (

O, R

) ∧ O ⊂ i, R = |OA |;

2. Сф. (

O, R

) I Ф = A, B;

3. Сф. (

O, R

) I Ф = l ∧ m; l ⊂ γ ⊥ π

2

, m ⊂ δ ⊥ π

2

;

4. l I m = A, B; l

2

= [C

2

D

2

] , m

2

= [E

2

F

2

];

5. Кривые l и m — окружности, так как | AB | = |CD | и | AB | = |EF |.

141

Теорема 3. (Теорема Монжа) Если две поверхности второго по-

рядка описаны около третьей поверхности второго порядка или

вписаны в нее, то линия их пересечения распадается на две кри-

вые второго порядка, плоскости которых проходят через пря-

мую, соединяющую точки пересечения линий касания.

Эта теорема является частным случаем теоремы 2. На прак-

тике теорему применяют для построения линии пересечения

поверхностей вращения второго порядка, описанных около

сферы или вписанных в нее.

ЗАДАЧА 2. Построить линию пересечения цилиндра Ф и

конуса Ф

1

вращения, описанного около сферы γ (рис. 143).

РЕШЕНИЕ.

1. Определяют линию касания сферы γ и цилиндра Ф: γ I Ф = a.

2. Находят линию касания b конуса Ф

1

и сферы γ.

3. Отмечают точки пересечения линий касания a I b = A, B. На

чертеже A

2

≡ B

2

= a

2

I b

2

.

4. Определяют проекции экстремальных точек C

2

, D

2

, E

2

и F

2

.

5. Через прямую (AB ) проводят кривые l и m, расположенные в

плоскостях α и β. Так как (AB )

⊥

π

2

, то плоскости кривых

l ⊂ α и m ⊂ β — фронтально проецирующие, а проекции

кривых проецируются в отрезки: l

2

≡ [C

2

D

2

] и m

2

≡ [E

2

F

2

].

Обе кривые l и m — эллипсы (см. 10.4., рис. 131, а и г).

Мота А.Н. Конспект лекций по начертательной геометрии

Подождите немного. Документ загружается.