Носко В.П. Эконометрика для начинающих. Дополнительные главы

Подождите немного. Документ загружается.

Панельные данные

301

Поэтому OLS-оценка для

в преобразованном

(“продифференцированном”) уравнении оказывается

несостоятельной даже если T → ∞. Однако к преобразованному

уравнению можно применить метод инструментальных переменных

(IV – instrumental variables). Для этого достаточно заметить, что если

взять переменную

2, −ti

y , то для нее

(

)

(

)

0,,

1,2,2,

=−=

−−− tiittiitti

uuyCovuyCov ∆ ,

(

)

(

)

0,,

2,1,2,1,2,

≠−=

−−−−− tititititi

yyyCovyyCov ∆ ,

а это означает, что эта переменная может использоваться в качестве

инструмента, и это приводит к оценке

()

∑∑

−−−

−−

−

tititi

yyy

2,2,1,

2,1,,

Необходимое условие состоятельности этой оценки:

()

lim

2,1,

=−

−

∑∑

−−

∞→

titiit

yuu

при T

→

∞

или/и N

→

∞

В качестве инструмента вместо

2, −ti

y можно использовать,

например, разность

3,2, −−

−

titi

yy , что приводит к другой оценке

()( )

()()

∑∑

−−−−

−−−

−−

titititi

yyyy

3,2,2,1,

3,2,1,,

для состоятельности которой необходимо, чтобы

()

()( )

lim

3,2,1,

=−−

−

∑∑

−−−

∞→

tititiit

yyuu

p .

Глава 3

302

Состоятельность обеих оценок гарантируется отсутствием

автокоррелированности

Заметим теперь, что

()

() ()

[]

lim

2,1,

=−=−

−

−−

∞→

∑∑

titiit

yuuEyuu

()

()( )

=−−

−

∑∑

−−−

∞→

tititiit

yyuu

3,2,1,

lim

(

)

(

)

[

]

3,2,1,

=−−=

−−− tititiit

yyuuE .

Это условия на моменты совместных распределений пар случайных

величин

(

)

1, −

−

tiit

uu ,

2, −ti

y и

(

)

1, −

−

tiit

uu ,

(

)

3,2, −−

−

titi

yy . Если оба эти

условия (условия ортогональности) выполняются, то

использование сразу двух инструментов приводит к повышению

эффективности оценок (используется большее количество

информации).

Заметим, что можно найти и другие подходящие

инструменты. Например, каждая из переменных

jti

−−2,

, K,1,0=j

удовлетворяет условиям

(

)

[

]

2,1,

=−

−−− jtitiit

yuuE

(

)

[

]

2,2,1,

≠−

−−−− jtititi

yyyE

так что и эти переменные годятся в качестве инструментов.

Arellano, Bond (1991) предложили расширить список

инструментов, поступая следующим образом. Пусть, например, Т =

4. Соотношение

()

[]

012

=−

iii

yuuE

рассматривается как моментное условие для

2=t . Для 3=t имеем

()

[]

123

=−

iii

yuuE ,

но при этом справедливо и соотношение

()

[]

023

=−

iii

yuuE .

Для

4=t имеется три аналогичных моментных условия:

Панельные данные

303

()

[]

034

=−

iii

yuuE ,

()

[]

134

=−

iii

yuuE ,

()

[]

234

=−

iii

yuuE .

Всю эту совокупность моментных условий можно использовать

рамках обобщенного метода моментов (GMM – generalized method

of moments).

Для произвольного Т определим

()

11 ×−T -вектор

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

−1,,

TiTi

u M∆

()()()

2/11 −×− TTT -матрицу

[]

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−2,0

,,00

0,0

Tii

MOM

;

каждая строка матрицы

Z содержит инструменты, подходящие для

соответствующего момента времени. В этих обозначениях,

указанная совокупность

()

2/1−TT моментных условий

записывается в виде:

[

]

0=∆

uZE .

Если определить еще

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

−1,,

TiTi

y M∆

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

−−

−

2,1,

TiTi

y M∆

то последнее соотношение записывается также в виде:

()

[

]

=−

−ii

yyZE ∆∆

В отличие от метода наименьших квадратов здесь мы имеем

количество моментных условий больше необходимого для

Глава 3

304

определения с их помощью значения

, так что использование

разных условий приводит к различным оценкам. Следовательно, нет

возможности получения значения

, при котором выполняются все

указанные моментные условия. Вместо этого приходится

ограничиваться требованием в каком-то смысле “наилучшего”

приближения ко всем моментным условиям сразу. Чтобы

использовать всю совокупность моментных условий, в GMM

минимизируется квадратичная форма от выборочных аналогов

моментных условий

()

() ()

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−=

∑∑

−

yyZ

WyyZ

∆∆∆∆

γγγ

где

W – симметричная положительно определенная весовая

матрица. Искомый минимум достигается при значении, равном

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∆

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∆×

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∆

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∆=

∑∑∑∑

−

iGMM

yZWZyyZWZy

Это и есть GMM-оценка параметра

. Свойства этой оценки зависят

от выбора взвешивающей матрицы

W . Хотя она состоятельна при

положительной определенности матрицы

W , в частности, для

единичной матрицы

IW = , желательно выбирать матрицу

таким образом, чтобы GMM-оценка была по возможности наиболее

эффективна – о такой матрице говорят как об оптимальной

взвешивающей матрице

. Такая матрица должна удовлетворять

условию:

()()

()

[]

.lim

−

∞→

ZuuZEuZCovWp ∆∆∆

И если на ковариационную матрицу вектора ошибок наблюдений

для i -го субъекта не накладывается никаких ограничений, то можно

поступить следующим образом.

Сначала полагаем

IW = и производим GMM-оценивание

коэффициента

в модели

ittiti

uyy ∆∆∆ +=

−1,,

с такой

Панельные данные

305

взвешивающей матрицей, получая предварительную оценку

)1(

для

. При этом получаем остатки

)1(

ˆˆ

−

∆−∆=∆

titiit

yyu

и составляем из них векторы

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∆

=∆

Искомая матрица определяется после этого соотношением

()

ˆˆ

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∆∆=

∑

opt

ZuuZ

Если

u ~ ... dii , то положение значительно упрощается. В этом

случае

()

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

−−

−

21000

12000

00210

00121

00012

MMOMMM

GuuE

σσ

∆∆

и поэтому не требуется предварительного оценивания

Оптимальная матрица определяется соотношением

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∑

opt

ZGZ

и GMM-оценивание производится за один шаг.

В общем случае GMM-оценка

GMM

имеет асимптотически

нормальное распределение с ковариационной матрицей

Глава 3

306

()

111

lim

−

∞→

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∑∑∑

ZuuZ

p ∆∆∆∆

Если

u ~ ... dii , то средняя составляющая редуцируется к

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∑

opt

ZGZ

σσ

Рассмотрим теперь динамическую модель с экзогенными

переменными

iti

ittiit

uxyy +++=

−

αβγ

, TtNi ,,1,,,1 KK == .

Здесь дифференцирование приводит к модели

ittiti

uxyy ∆∆∆∆ ++=

−

βγ

1,,

Если предполагать, что все

объясняющих переменных, входящих

в состав вектора

x , строго экзогенны, в том смысле, что они не

коррелированы с каждым

u , то тогда

()

isit

uxE ∆ для всех

так

что в указанные ранее списки инструментов для каждого

момента (периода) времени можно добавить

iTi

xx ,,

K . Тогда для

момента t список инструментов принимает вид:

[]

iTitiii

xxyyy ,,,,,,

12,10

−

. Такой список может быть весьма

длинным, если

и T не очень малы. В то же время при строгой

экзогенности

x имеем также:

()

itit

uxE ∆∆ для каждого

так что

x∆ могут выступать в качестве инструментов для самих

себя. При таком подходе список инструментов для момента t имеет

Панельные данные

307

вид:

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

∆∆

− it

y ,,

. Этот список существенно

короче, если панель достаточно длинна.

Предположим теперь, что переменные в

x не являются строго

экзогенными, но являются предетерминированными, в том смысле,

что

()

isit

uxE для всех

В этом случае уже не все

iTi

xx ,,

K годятся в качестве инструментов

для продифференцированного уравнения в момент t , а только

1,1

−tii

xx K , и, соответственно, накладываются моментные условия

(

)

− itjti

uxE ∆ для 1,,1 −= tj K .

Разумеется, если в состав

x входят как строго эндогенные, так

и предетерминированные переменные, то списки инструментов

соответствующим образом корректируются.

З а м е ч а н и е

Указанная

выше “оптимальная” взвешивающая матрица

является оптимальной в отношении выбранного множества

инструментов. В то же время возникает вопрос об “оптимальном”

выборе самих инструментов.

Привлечение большего количества инструментов подразумевает

получение более эффективных оценок. Однако здесь возникают две

опасности:

•

некоторые из переменных, привлеченных в качестве

инструментов, в действительности могут быть

коррелированными с ошибками; для предотвращения таких

ситуаций необходимо проверять гипотезу о выполнении

соответствующих условий ортогональности;

•

оценки коэффициентов могут иметь значительное смещение

вследствие оценивания взвешивающей матрицы

W .

Глава 3

308

Проверка гипотез о правильности спецификации

динамической модели

П р и м е р

Вернемся

к рассмотренным ранее данным об объемах

инвестиций

и прибыли

трех предприятий ( 3=N ) за

десятилетний период ( 10=T ) и рассмотрим на этот раз

динамическую модель первого порядка

ittiittiiit

uxxyy +++++=

−− 1,211,

ββγαµ

, ,3,2,1=i 10,,2 K=t .

Дифференцирование приводит к модели для разностей:

ittiittiit

uxxyy ∆∆∆∆∆ +++=

−− 1,211,

ββγ

, ,3,2,1=i 10,,3 K=t .

Если следовать описанию программы xtabond в пакете Stata8, то в

этой программе будут использованы в качестве инструментов:

Инструменты Кол-во

321

iii

yyy

4321

,,,

iiii

yyyy

54321

,,,,

iiiii

yyyyy

654321

,,,,,

iiiiii

yyyyyy

7654321

,,,,,,

iiiiiii

yyyyyyy

87654321

,,,,,,,

iiiiiiii

yyyyyyyy

Всего:

а также

10,3 ii

xx ∆∆ ++L и

92 ii

xx ∆∆ ++L . Это дает всего 38236 =+

моментных условий. Поскольку модель в разностях содержит 3

неизвестных коэффициента, для оценивания этих коэффициентов

достаточно использовать только 3 моментных условия, а остальные

35338 =− условий – избыточные. Их можно было бы не

Панельные данные

309

использовать вовсе, но это снизило бы эффективность получаемых

оценок.

Вместе с тем наличие избыточных условий позволяет проверять

адекватность сделанных в отношении модели предположений.

Точнее говоря, возникает возможность проверки гипотезы

H о том,

что избыточные условия (выведенные на основании исходных

предположений о рассматриваемой модели) действительно

выполняются. Для проверки этой гипотезы используется

статистика Саргана (Sargan):

(

)

GMM

QNS

где

GMM

– GMM-оценка вектора коэффициентов

модели (в

нашем примере

()

ββγθ

= ), а

(

)

GMM

– значение при

GMM

θθ

минимизируемой в методе GMM квадратичной формы. Если

гипотеза

H справедлива, то статистика Саргана имеет

асимптотическое (при N → ∞) распределение хи-квадрат с числом

степеней свободы, равным количеству избыточных моментных

условий (в нашем примере оно равно 35).

Приведем теперь результаты применения программы xtabond

при использовании взвешивающей матрицы

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∑

opt

ZGZ

(

так что оценивание производится за один шаг).

. xtabond y x l1(x), lags(1)

Arellano-Bond dynamic panel-data estimation

Number of obs = 24

Number of groups = 3

Obs per group: min = 8

Глава 3

310

One-step results

Coef. Std. Err. z P>z

1−

y∆

.0830295 .2100682 0.40 0.693

x∆ 1.132349 .0606134 18.68 0.000

1−

x∆

-.0423772 .2375232 -0.18 0.858

cons .1032841 .1361505 0.76 0.448

Sargan test of over-identifying restrictions:

chi2(35) = 21.81 Prob > chi2 = 0.9600

Результаты применения критерия Саргана говорят в пользу

гипотезы о выполнении избыточных предположений. В то же время

коэффициенты при запаздывающей разности значений объясняемой

переменной и запаздывающей разности объясняющей переменной

статистически незначимы, что возвращает нас к статической модели

регрессии.

В программе xtabond используется еще один критерий проверки

адекватности модели. Он основан на следующем обстоятельстве.

Если ошибки

iTi

uu ,,

K взаимно независимы, то

• “

соседние” разности

−tiit

uu ∆∆ коррелированы, т.к.

()( )

2,1,1,1,

utititiittiit

uuuuCorruuCorr

−=−−=

−−−−

∆∆ ;

•

отстоящие на большее количество периодов времени

разности ,

u∆

sti

−,

∆ , K,3,2=s напротив, не являются

коррелированными.

Соответственно, с целью дополнительной проверки

адекватности оцененной модели проверяется “наличие

автокоррелированности первого порядка” и “отсутствие

автокоррелированности второго порядка”. Приведем результаты

такой проверки для только что оцененной модели:

Arellano-Bond test that average autocovariance in residuals

of order 1 is 0:

H0: no autocorrelation z = -2.56, Pr > z = 0.0106.

Arellano-Bond test that average autocovariance in residuals of

order 2 is 0:

H0: no autocorrelation z = 0.77, Pr > z = 0.4427.