Носко В.П. Эконометрика для начинающих. Дополнительные главы

Подождите немного. Документ загружается.

Панельные данные

321

Соответственно,

{}{}

==+−==+

βαβα

,,,1)1,0(1,,,1)0,1(

2121 iitiiiitii

xyyPxyyP

()

{}

exp1

−+

Таким образом, все условные вероятности

()

{}

βα

,,,),(,

2121 iitiiii

xlyysryyP =+= ,

где ,1,0, =sr 2,1,0=l , не зависят от индивидуальных эффектов,

так что продолжительность периодов безработицы является

достаточной статистикой для

, и использование условного

правдоподобия приводит к состоятельной оценке для

Полученные результаты означают, что при 2=T мы можем

оценивать логит-модель с фиксированными эффектами, используя

стандартную логит модель, в которой в качестве объясняющей

переменной выступает

12 ii

xx − , а в качестве наблюдаемой бинарной

переменной – переменная, отражающая изменение значения

переменной

y при переходе от первого ко второму наблюдению (1

–

при возрастании

y , 0 – при убывании

y ). Соответственно,

функцию правдоподобия можно записать в виде:

{}{}{}{}

=⋅⋅⋅⋅=

∏

)1,1()0,1()1,0()0,0(

PPPPL

()

{}

()

{}

()

{}

1001

exp1

exp

1212

xxxx

⋅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−+

⋅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−+

−

⋅=

∏

ββ

где 1=

S , если ry

, sy

, и 0=

S в противном случае.

Мы видим, что субъекты, для которых 0

yy или 1

yy ,

не вносят дополнительный вклад в функцию правдоподобия и

фактически игнорируются при оценивании. Для оценивания

существенны только те субъекты, которые хотя бы однажды

изменяют свой статус в отношении

y .

Глава 3

322

Параметр

идентифицируется здесь по одному только

“within”-

измерению данных. Вклад в оценивание вносят только те

субъекты, которые изменили свой статус. При значениях 2>T

вычисление условных вероятностей более хлопотно, но также

возможно.

Проверку

гипотезы

H об отсутствии индивидуальных

эффектов можно осуществить с помощью критерия типа Хаусмана,

основанного на разности между оценкой

CML

для

, полученной с

использованием условного правдоподобия и обычной логит ML-

оценкой

, игнорирующей индивидуальные эффекты (при

вычислении последней константа исключается). Логит MLE

состоятельна и эффективна только при гипотезе

H и

несостоятельна при альтернативе. Условная же MLE состоятельна и

при гипотезе

H и при альтернативе, но не эффективна, так как

использует не все данные. Таким образом, положение здесь

соответствует тому, при котором реализуется схема Хаусмана (см.

Главу 2, разд. 2.6.5.). Статистика критерия

()()()()()

MLCMLMLCML

MLCML

voCvoCH

ββββββ

ˆˆˆ

ˆˆ

−−−=

−

имеет при гипотезе

H асимптотическое распределение хи-квадрат

с числом степеней свободы, равным размерности вектора

З а м е ч а н и е

Существенным

недостатком метода условного правдоподобия

является то, что он предполагает (условную) независимость

iTi

yy ,,

K при фиксированных

βα

iit

x . Метод неприменим к

моделям с запаздывающими значениями объясняющей переменной

в правой части.

Панельные данные

323

3.12.2. Пробит-модель со случайными эффектами

Если

статистически независимы от объясняющих

переменных, то модель со случайными эффектами представляется

более подходящей, и в этом случае проще рассматривать не логит, а

пробит-модель. (Хотя можно использовать и логит-модель, что и

делается в приводимом далее примере.)

Здесь мы отправляемся от спецификации

⎩

⎨

⎧

−

∗

случае, противном в0

если,1

uxy

∗

itiit

εα

+= ,

где

– случайные индивидуальные эффекты,

~ i.i.d.

(

)

N ,

– случайные ошибки,

~ i.i.d.

(

)

N ,

причем индивидуальные эффекты и ошибки статистически

независимы. В этих условиях совместное распределение случайных

величин

iTi

uu ,,

K нормально, причем

()

uE ,

()

εα

σσ

uD ,

()( )

σεαεα

=++=

isiitiisit

CovuuCov для t

≠ , так что значение

коэффициента корреляции

()

εα

σσ

isit

uDuD

uuCov

между

ошибками

u и

u внутри одной группы (субъекта) одинаково для

любых t

≠ . В “стандартной” спецификации

()

uD и

σρ

= .

Это соответствует предположению о том, что

αε

σσ

−= .

Совместная вероятность получения набора

iTi

yy ,,

K при

заданных

iTi

xx ,,

K определяется как

Глава 3

324

()()

()

.,,

,,,,,,,,,,,

1111

iitit

iiiiTiiTiiTiiTi

dfxyf

dfxxyyfxxyyf

ααβα

ααβαβ

∫

∏

∫

∞

∞−

∞

∞−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

KKKK

В рассматриваемой пробит-модели

()

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

если,

iitit

xyf

αβ

βα

()

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

−=

exp

πσ

Итоговый интеграл вычисляется численными методами.

Соответствующие программы имеются в некоторых пакетах

(

например, в Stata).

При гипотезе

H об отсутствии индивидуальных эффектов

σρ

так что проверка отсутствия индивидуальных эффектов сводится к

проверке гипотезы 0=

З а м е ч а н и е

В контексте панельных данных построение порядковых пробит

моделей с несколькими категориями отклика довольно

затруднительно.

Панельные данные

325

3.12.3. Пример

Рассмотрим

результаты исследования панельных данных по

Германии (German Socio-Economic Panel) за 5-летний период с 1985

по 1989 гг., проводившихся с целью выяснения влияния состояния

безработицы на степень удовлетворенности жизнью (“well-being”).

Исходные данные были представлены в порядковой шкале и

индексировались числами от 0 до 10. Ввиду сложности построения

порядковых логит- и пробит-моделей для панельных данных,

данные были затем сжаты до бинарных. Индивиды, у которых

удовлетворенность жизнью индексировалась числами от 0 до 4,

считались неудовлетворенными жизнью, тогда как индивиды с

индексами 5 и выше считались более или менее удовлетворенными

жизнью.

В качестве объясняющих переменных первоначально были

привлечены следующие характеристики индивидов:

Непрерывная переменная:

LOGINCOME –

логарифм (располагаемого) дохода – см. ниже.

Дамми-переменные:

UNEMP (

безработный), NOPARTIC (не включен в рынок труда),

SELFEMP (

самозанятый), PARTTIME (частично занятый) –

указывают текущий сатус на рынке труда (категория “полностью

занятый” не снабжается дамми-переменнной),

MALE –

индивид мужского пола,

OKHEALTH –

хорошее состояние здоровья,

AGE –

возраст и AGESQUARED – квадрат возраста,

VOCATIONAL D. –

наличие профессиональной степени,

UNIVERSITY D. –

наличие университетской степени,

MARRIED –

состояние в браке.

Для правильной интерпретации влияния безработицы на

удовлетворенность жизнью надо учитывать целый ряд

обстоятельств.

Например, безработица обычно ведет к сокращению дохода, что,

в свою очередь, может уменьшить удовлетворенность. Однако, если

Глава 3

326

доход включается в число объясняющих переменных, то

коэффициент при безработице фактически измеряет влияние

безработицы при прочих равных, т.е. при сохранении дохода

постоянным. Это могло быть в реальности, если бы страховое

возмещение при безработице достигало 100%. При высоком

(

отрицательном) коэффициенте корреляции между безработицей и

доходом оценки остаются несмещенными, но их точность может

значительно уменьшаться.

Удовлетворенность индивида может уменьшаться вследствие

безработицы также и потому, что доля его вклада в общий семейный

бюджет уменьшается. Поскольку, в отличие от доходов

домохозяйства, имеющиеся в панели данные в отношении

индивидуального дохода ограничены прошлыми доходами, в

уравнение включается не индивидуальный доход, а доход

домохозяйства.

Включение в модель взаимодействий факторов позволяет

выделять дифференциальные эффекты влияния безработицы в

группах, имеющих разные атрибуты, например, в разных

возрастных группах. В связи с этим в модель включены помимо

собственно UNEMP также и переменные

UNEMP*AGE<29

UNEMP*AGE30-49.

Другим важным взаимодействием является взаимодействие

между безработицей и продолжительностью текущего периода

пребывания в состоянии безработного. Влияние продолжительности

безработицы на психическое состояние индивида достаточно

хорошо документировано в литературе по психологии. В

соответствии с этим, в уравнение включается переменная

UNEMPDUR (

продолжительность периода безработицы,

продолжающегося в настоящее время) и, для учета возможной

нелинейности, переменная

UNEMPDURSQ*10

-2

Панельные данные

327

К сожалению, в данных полностью отсутствовал региональный

аспект, так что не удалось выяснить влияние локального уровня

безработицы.

Следует отметить очень существенное взаимодействие

безработицы и пола индивида. По этой причине обработка данных

производилась также раздельно по мужчинам и женщинам.

Наличие протяженных наблюдений позволяет, в принципе,

включать в модель элементы динамики. Мы, однако, уже говорили о

проблемах с оцениванием динамических моделей бинарного выбора,

в частности, с включением в правую часть запаздывающих значений

объясняемой переменной. В данном анализе предполагается

устойчивость индивидуальных откликов во времени, и она как раз

учитывается введением в модель индивидуальных эффектов. Для

проверки этого свойства в модель помимо переменной UNEMPDUR

включается также переменная PREVDUR, указывающая на

суммарную продолжительность периодов безработицы за 10 лет,

предшествующих анализируемому периоду.

Кроме того в модели используется в качестве объясняющей еще

и переменная CHANGEINC – относительное изменение дохода

домохозяйства по сравнению с предыдущим годом. Это связано с

некоторой неясностью в отношении того, что именно влияет на

удовлетворенность – собственно уровень доходов или его

изменение.

Наконец, нельзя исключать возможного наличия и обратной

причинной связи между безработицей и уровнем

удовлетворенности, т.е. того, что внутренне менее удовлетворенные

индивиды скорее и оказываются безработными. Если это так, то

переменная UNEMP коррелирует со случайным эффектом в модели

случайных эффектов и оценка максимального правдоподобия, не

учитывающая этого, оказывается несостоятельной. Поскольку далее

приводятся результаты статистического анализа и по модели с

фиксированными эффектами и по модели со случайными

эффектами, имеется возможность оценить устойчивость результатов

к этой возможной эндогенности.

Глава 3

328

Основная задача состоит в проверке гипотезы о негативном

влиянии безработицы на удовлетворенность при очистке от влияния

прочих факторов, включая влияние уменьшения доходов.

В приводимых ниже табл. А1 и А2 указаны результаты

оценивания порядковой пробит-модели, не учитывающей панельной

структуры данных (данные усреднены по времени), но включающей

временные дамми. В рассмотренной порядковой пробит-модели

предполагается, что уравнение полезности имеет вид

itit

εβ

∗

и наблюдаемое значение индекса удовлетворенности определяется

соотношениями

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

∗

.если,10

если,1

если,0

Таблицы B1 и B2 содержат результаты оценивания FE логит-

модели и RE пробит-модели с бинарным откликом (1 – если уровень

удовлетворенности равен 5 или выше, 0 – если уровень

удовлетворенности ниже 5).

Таблица А1 (объединенная выборка)

Pooled

coeff.

s.e.

Constant 1.661

(0.168)

MALE -0.059

(0.015)

UNEMP -0.265

(0.050)

Панельные данные

329

UNEMP*AGE<29

-0.164

(0.078)

UNEMP*AGE30-49 -0.221

(0.065)

UNEMPDUR -0.011

(0.007)

UNEMPDURSQ*10

-2

0.013

(0.020)

PREVDUR -0.009

(0.001)

NOPARTIC

-0.042

(0.018)

SELFEMP -0.107

(0.033)

PARTTIME -0.060

(0.028)

MARRIED 0.140

(0.017)

OKHEALTH 0.428

(0.014)

AGE

-0.050

(0.004)

AGESQ*10

-2

0.062

(0.005)

VOCATIONAL D. 0.083

(0.013)

UNIVERSITY D.

0.106

(0.033)

LOGINCOME

0.208

(0.017)

CHANGEINC 0.018

(0.022)

1986

-0.027

(0.020)

1987

-0.127

(0.020)

1988 -0.191

(0.020)

1989

-0.219

(0.021)

Observations 24055

Глава 3

330

Таблица А2 (раздельное оценивание по мужчинам и женщинам)

Male

Female

coeff.

s.e.

coeff.

s.e.

Constant

2.273

(0.246)

1.259

(0.234)

UNEMP

-0.402

(0.063)

-0.118

(0.089)

UNEMP*AGE<29 -0.321

(0.105)

-0.064

(0.126)

UNEMP*AGE30-49

-0.245

(0.085)

-0.175

(0.109)

UNEMPDUR -0.003

(0.010)

-0.010

(0.018)

UNEMPDURSQ*10

-2

-0.013

(0.028)

0.042

(0.064)

PREVDUR -0.010

(0.001)

-0.008

(0.001)

NOPARTIC -0.273

(0.035)

0.056

(0.024)

SELFEMP

-0.087

(0.038)

-0.155

(0.069)

PARTTIME -0.180

(0.129)

-0.001

(0.031)

MARRIED 0.133

(0.024)

0.110

(0.026)

OKHEALTH 0.409

(0.021)

0.426

(0.021)

AGE -0.063

(0.006)

-0.049

(0.006)

AGESQ*10

-2

0.078

(0.007)

0.062

(0.007)

VOCATIONAL D.

0.066

(0.019)

0.093

(0.019)

UNIVERSITY D. 0.086

(0.040)

0.174

(0.059)

LOGINCOME

0.165

(0.024)

0.253

(0.025)

CHANGEINC

0.014

(0.030)

0.015

(0.031)

1986

-0.018

(0.028)

-0.037

(0.029)

1987

-0.104

(0.028)

-0.152

(0.030)

1988

-0.175

(0.028)

-0.206

(0.030)

1989

-0.178

(0.029)

-0.258

(0.030)

Observations

12605 11450