Носко В.П. Эконометрика для начинающих. Дополнительные главы
Подождите немного. Документ загружается.
Структурные и приведенные формы…
361
Ранги всех трех матриц равны 2, так что и эта группа условий
выполнена. Таким образом, коинтегрирующие векторы
1
β
,
2
β
,
3
β
идентифицируемы.
Если
r
коинтегрирующих векторов идентифицируемы, то на
каждый их них накладывается не менее
1−
r
линейных
ограничений. В случае, когда на каждый из этих векторов
накладывается ровно
1−
r
ограничений, мы имеем дело с точной
идентифицируемостью. Если же хотя бы для одного из векторов
количество ограничений превышает
1−
r
, то мы имеем дело со
сверхидентифицируемостью. В последнем случае имеются
“лишние” ограничения и имеется возможность проверки гипотезы о
том, что заявленные дополнительные ограничения на векторы
r
βββ
,,,
21
K действительно выполняются.
В рассмотренном примере можно, например, следуя работе
[Johansen, Juselius (1994)], наложить следующие более строгие
ограничения на векторы
1
β
,
2
β
,
3
β
.
Вектор
1
β
нормализуется на
t
inc , коэффициенты при
t
m и
t
p
равны по абсолютной величине и противоположны по знаку, а
коэффициенты при обеих процентных ставках равны нулю.
Соответствующая равновесная связь интерпретируется как прокси
для совокупного дохода относительно линейного тренда. Это дает
матрицу
.
010000
001000
000101
1
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=R
У вектора
2
β
равны нулю все коэффициенты кроме
коэффициентов при
s
t
r и
b
t
r , которые равны по абсолютной
величине и противоположны по знаку; вектор нормализуется на
Глава 4
362
один из них. Интерпретация: стационарность дифференциала
процентных ставок. Матрица
2
R принимает вид:
.
100000
011000
000100
000010
000001
2
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=R
Наконец, у вектора
3
β
равны нулю коэффициенты при
t
m ,
t
inc
и
s
t
r ; вектор нормализуется на
b
t
r . Интерпретация: долгосрочная
процентная ставка определяется как функция от цены и временного
тренда. Матрица
3
R имеет вид:
.
001000
000010
000001
3
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=R
В итоге мы получаем следующую картину:
Вектор Кол-во ограничений Кол-во “лишних” ограничений
1
β
3 1
2
β
5 3
3
β
3 1
Всего 11 5
Проверка гипотезы
0
H о выполнении совокупности всех
сверхидентифицирующих ограничений производится с
использованием асимптотического критерия хи-квадрат, указанного
в работе [Johansen, Juselius (1994)]. При справедливости гипотезы
0
H статистика этого критерия имеет асимптотическое
распределение хи-квадрат с
q степенями свободы, где q –
Структурные и приведенные формы…
363
суммарное количество дополнительных ограничений. Гипотеза
0
H
отвергается при слишком больших значениях этой статистики.
Однако неотвержение гипотезы
0
H отнюдь не означает, что именно
указанную в гипотезе совокупность сверхидентифицирующих
ограничений следует использовать, поскольку вообще-то можно
сформировать не один, а несколько различных наборов
сверхидентифицирующих ограничений, которые также могут
оказаться неотвергнутыми. Приемлемость некоторого конкретного
множества ограничений должна подкрепляться еще и другими
соображениями, среди которых можно выделить следующие два:
• являются ли
осмысленными с точки зрения экономической
теории числовые значения оценок коэффициентов,
получаемых при выбранных ограничениях;
• являются ли осмысленными с точки зрения экономической
теории коэффициенты адаптации
ij
α
.
В нашем примере наблюдаемое значение статистики этого
критерия равно 3.5; асимптотическое критическое значение,
соответствующее уровню значимости 0.05, равно
()
07.115
2
95.0
=
χ
, так
что нулевая гипотеза о выполнении всех 5 сверхидентифицирующих
ограничений не отвергается.
После уточнения идентифицирующих ограничений, которые
накладываются на коинтегрирующие векторы, производится
оценивание параметров приведенной формы ECM
,
111 tptptt
T
t
yyyy
εαβ
++++=
−−−
∆Γ∆Γ∆ K
в результате чего находятся, в частности, и оценки
коинтегрирующих векторов
r
βββ
ˆ
,,
ˆ
,
ˆ
21
K . Эти оценки
подставляются в уравнение структурной ECM
tt
T
ptptt
yayyy
ζβ
++++=
−−
∗
−
∗
111
∆Γ∆ΓΦ∆ K
Глава 4
364
вместо неизвестных “истинных” коинтегрирующих векторов
r
βββ
,,,
21
K . Возможность получения состоятельных оценок для
параметров
a
p
,,,,
1
∗∗
ΓΓΦ K структурной формы связана с
идентифицируемостью этой системы; ее можно записать также виде
()
t
t
T
pt
t
t
p
y
y
y
y
a
ζ
β
=
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−−
−
−
−
∗∗
1
1
1
,,,,
∆
∆
∆
ΓΓΦ
M
K ,
или
tt
T
ZA
ζ
= ,
где
(
)
aA
p
T
−−−=
∗∗
,,,,
1
ΓΓΦ K – матрица размера
()
rNpNNN ++× ,
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
−
−
−
1
1
t
T
pt
t
t
t
y
y
y
y
Z
β
∆
∆
∆
M
–
()
1×++ rNpNN -вектор стационарных
переменных.
Каждая строка матрицы
T
A , т.е. каждый столбец матрицы A,
относится к отдельному уравнению. Соответственно, для
идентифицируемости
i -го уравнения необходимо наложить на i -й
столбец
i
A матрицы A не менее 1−N ограничений в виде
0=
ii
AR (неявная форма)
или
iii
HA
ϑ
= (явная форма), .0=
ii
HR
Как и в главе 2, гарантией идентифицируемости
i -го структурного
уравнения служит выполнение рангового условия
Структурные и приведенные формы…
365
идентифицируемости; само оценивание должно проводиться
системными методами (например, FIML). На основании оцененной
структурной ECM (SECM) строится приведенная форма – ECM с
ограничениями, соответствующая этой SECM.
Проиллюстрируем процесс построения ECM с ограничениями
примером для модели IS/LM, который мы уже начали рассматривать
ранее. В работе [Johansen, Juselius (1994)] такое построение
проводилось по статистическим данным для Австралии
(квартальные данные, период с III кв. 1975 г. по
I кв. 1991 г.).
Оценивание ECM с учетом указанных выше 11 линейных
ограничений на коинтегрирующие векторы и того, что по
результатам предварительного анализа модель VAR в уровнях имеет
порядок 2, приводит к следующим оценкам для коинтегрирующих
векторов
i
β
и векторов коэффициентов адаптации
i
α
:
Переменная
1
β
2
β
3
β
t
m
– 0.193 0 0
t
inc
1 0 0
t
p
0.193 0 –0.488
s
t
r
0 1 0
b
t
r
0 –1 1
t
– 0.005 0 0.009
Уравнение для
α
t
m∆
0.030 0.159 –0.569
t
inc∆
–0.458 – 0.001 0.405
t
p∆
0.325 – 0.039 0.054
s
t
r∆
0.337 – 0.008 –0.168
b
t
r∆
0.109 0.023 –0.213
Глава 4
366
Для того чтобы коинтегрирующие линейные комбинации
флуктуировали вокруг нулевого уровня, к ним были добавлены
константа и дамми-переменная D84
t
, равная 1 в период с I кв. 1984
г. по I кв. 1991 г., и равная нулю на остальной части периода
наблюдений, отражающая изменение правил регулирования в
банковском секторе. В результате в правых частях уравнений ECM
вместо переменных
,
1,1 −t
z ,
1,2 −t
z
1,3 −t
z используются переменные
,1
1−t
ecm ,2
1−t
ecm ,3
1−t
ecm где
()
,43.884027.0005.0193.01 −⋅−−−−=
ttttt
Dtpmincecm
(
)
,03.08400967.02 +⋅+−=
t
b
t
s
tt
Drrecm
()
52.084008.0019.0488.03 −⋅−−−=
tt
b
tt
Dtprecm .
Как мы уже говорили ранее, необходимость в построении
структурной ECM возникает из-за наличия коррелированности
между переменными, стоящими в левых частях ECM. В
рассматриваемом примере в левых частях ECM находятся
переменные
,
t
m∆
t
inc∆ ,
t
p∆ ,
s
t
r∆ и
b
t
r∆ . Следовательно, надо
выяснить, имеется ли между ними заметная корреляция.
Вычисленные выборочные коэффициенты корреляции между этими
переменными приведены в следующей таблице:
t
m∆
t
inc∆
t
p∆
s
t
r∆
b
t
r∆
t
m∆
1 0.29 0.20 –0.10 –0.10
t
inc∆
0.29 1 0.35 –0.18 0.00
t
p∆
0.20 0.35 1 –0.12 –0.10
s
t
r∆
–0.10 –0.18 –0.12 1 0.65
b
t
r∆
–0.10 0.00 –0.10 0.65 1
Ориентируясь на эту таблицу, Johansen и Juselius делают вывод о
наличии коррелированности переменных, что требует системного
оценивания. Если исходить из того, что модель VAR в уровнях
Структурные и приведенные формы…
367
имеет порядок 2, то в правую часть ECM могут входить значения
приращений переменных, запаздывающие не более, чем на один
шаг. Соответственно, в правых частях уравнений структурной ECM
потенциально могут присутствовать следующие переменные:
,
t
m∆
t
inc∆ ,
t
p∆ ,
s
t
r∆ ,
b
t
r∆ , ,
1−t
m∆
1−t
inc∆ ,
1−t
p∆ ,
s
t
r
1−
∆ ,
b
t
r
1−
∆ , ,1
1−t
ecm ,2
1−t
ecm
1
3
−t
ecm , так что в каждом из 5 уравнений (для ,
t
m∆
t
inc∆ ,
t
p∆ ,
s
t
r∆ и
b
t
r∆ ) потенциально может быть 12 коэффициентов, подлежащих
оцениванию. Однако при таком количестве неизвестных
(неспецифицированных) коэффициентов уравнения не могут быть
идентифицируемыми. Для их идентифицируемости необходимо
наложить на коэффициенты каждого уравнения как минимум
415 =− ограничения. И здесь, в отличие от выбора
идентифицирующих ограничений на коинтегрирующие векторы,
ориентирующегося главным образом на экономические
представления, приходится опираться по большей части на
статистическую информацию, содержащуюся в самих данных, т.е.
на эмпирическую картину адаптации, а не на строгое априорное
обусловливание.
Первоначально Johansen и Juselius берут ровно по 4
ограничения на каждое
уравнение, что обеспечивает точную
идентифицируемость системы:
Уравнение Зануляются коэффициенты при переменных:
t
m∆
s
t
r∆
t
inc∆
b
t
r∆
1−t
inc∆
t
inc∆
s
t
r∆
t
p∆
b
t
r∆
b
t
r
1−
∆
t
p∆
b
t
r∆
1−t
p∆
s
t
r
1−
∆
b
t
r
1−
∆
s
t
r∆
s
t
r
1−
∆
1−t
inc∆
1−t
p∆
b
t
r
1−
∆
b
t
r∆
t
inc∆
t
m∆
t
p∆
b
t
r
1−
∆
Глава 4
368
Однако в оцененной с такими ограничениями модели оказались
статистически незначимыми (по t-статистикам) почти все оцененные
коэффициенты. В связи с этим производились эксперименты с
различными выборами ограничений, и в итоге Johansen и Juselius
пришли к разбиению системы 5 уравнений на два блока, один из
которых содержит уравнения для
,
t
m∆
t
inc∆ ,
s
t
r∆ , а другой –
уравнения для
t
p∆ и
b
t
r∆ . При этом первый блок носит системный
характер, а второй – характер приведенной формы, т.е. в правых
частях уравнений первого блока имеются эндогенные переменные,
порождаемые в рамках системы трех уравнений, а в рамках второго
блока – нет. Специфицированные коэффициенты уравнений
приведены в следующей таблице:
∆m
t
∆inc
t
∆r
t
s
∆p
t
∆r
b
t
∆m
t-1
∆inc
t-1
∆r
s
t-1
∆p
t-1
∆r
b
t-1
∆m
t
–1 0 0
0
0 0
0
∆inc
t
–1 0
0 0 0
0 0
∆r
t
s
0 0 –1 0
0
∆p
t
0 0 0 –1 0
0 0
0
∆r
b
t
0 0 0 0 –1
0 0 0 0
ecm1
t-1
ecm2
t-1
ecm3
t-1
∆m
t
0
∆inc
t
0
∆r
t
s
0
∆p
t
∆r
b
t
0
В системе из трех первых уравнений помимо нормализующих
накладывается еще 7+7+5=19 ограничений (зануляется 19
коэффициентов). Однако необходимым минимумом для каждого из
трех уравнений является наличие двух (
213 =− ) ограничений.
Таким образом, “избыточными” здесь являются: 5 ограничений в
первом уравнении, 5 ограничений во втором уравнении и 3
ограничения в третьем уравнении – всего 13 ограничений.
Структурные и приведенные формы…
369
Оценивание SECM с такими ограничениями дает следующие
результаты (в скобках приведены значения t-статистик для
оцененных коэффициентов):
∆m
t
∆inc
t
∆r
t
s
∆p
t
∆r
b
t
∆m
t-1
∆r
s
t-1
∆p
t-1
∆r
b
t-1
∆m
t
–1 0.35
(2.6)
0.31
(2.9)
0.41
(3.4)
∆inc
t
0.25
(1.1)
–1 0.31
(2.0)
0.17
(1.3)
∆r
t
s
–1 1.10
(6.5)
0.21
(3.0)
0.34
(3.2)
– 0.24
(2.8)
– 0.45
(2.1)
∆p
t
–1 – 0.08
(0.8)
– 0.13
(1.0)
∆r
b
t
–1 0.08
(1.7)
ecm1
t-1
ecm2
t-1
ecm3
t-1
∆m
t
0.20
(2.3)
– 0.55
(3.6)
∆inc
t
–0.44
(4.1)
0.28
(1.3)
∆r
t
s
0.19
(2.8)
– 0.28
(4.7)
∆p
t
0.20
(2.2)
– 0.12
(1.4)
0.48
(3.4)
∆r
b
t
0.12
(3.0)
– 0.09
(1.3)
Иначе говоря, оцененная SECM имеет вид:
1111
355.0220.041.031.035.0
−−−−
−+++=
tttttt
ecmecmpmpm ∆∆∆∆ ,
111
328.0144.017.031.025.0
−−−
+−++=
tt
s
ttt
ecmecmrpminc ∆∆∆ ,
,228.0119.0
45.024.034.021.010.1
11
1111
−−
−−−−
−+
+−−++=
tt
b
tt
s
tt
b
t
s
t
ecmecm
rprmrr ∆∆∆∆∆
Глава 4
370
1
1111
348.0
212.0120.013.008.0
−
−−−−
+
+−+∆−∆−=∆
t
ttttt
ecm
ecmecmpmp
1111
309.0112.008.0
−−−−
−+=
ttt
b
t
ecmecmmr ∆∆ .
При этом оцененные коэффициенты по большей части
статистически значимы. Поскольку система оценивалась с
наложением количества ограничений больше необходимого для
идентифицируемости уравнений, имеется возможность проверки
гипотезы о действительном выполнении “лишних” ограничений.
Статистика соответствующего критерия принимает значение 4.82,
что намного меньше критического значения
()
36.2213
2
95.0
=
χ
, так что
указанная гипотеза не отвергается.
Заметим теперь,что оцененной SECM соответствуют следующие
матрицы
Φ и a :
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−−
−
=
10000
01000
1.10100
031.00125.0
035.0001
Φ
,
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
−
−
=
09.0012.0
48.012.020.0
028.019.0
28.0044.0
55.02.00
a
.
При переходе от структурной формы к приведенной матрица
коэффициентов адаптации находится по формуле
a
1−
= Φ
α
. В
результате получаются следующие коэффициенты адаптации: