Носко В.П. Эконометрика для начинающих. Дополнительные главы

Панельные данные

271

RE=EGLS (FGLS) соответствует θ = 0.64

FE=CV соответствует θ = 1

OLS соответствует θ = 0

Значения RE и OLS заключены между Between и FE.

Если выполнены предположения модели со случайными

эффектами, то все четыре оценки состоятельны. Если, однако,

индивидуальные эффекты

i

α

коррелированы хотя бы с одной из

объясняющих переменных, то состоятельной остается только FE-

оценка. Поэтому встает вопрос о проверке гипотезы

0

H

о том, что

модель является RE-моделью. Для этого можно сравнивать оценки

“внутри” (FE) и “между” или оценки “внутри” (FE) и RE

(соответствующие критерии равносильны). Проще сравнивать

вторую пару, используя критерий Хаусмана, описанный ранее.

Coefficients

(b) (B) (b-B) sqrt(diag(V_b-V_B))

fix S.E.

EXPER .116457 .1117851 .0046718 .0016345

EXPER2 -.0042886 .0040575 -.0002311 .0001269

MAR .0451061 .0625465 -.0174403 .0073395

PUB .0349267 .0301555 .0047713 .0126785

UNION .081203 .1064134 -.0252104 .0073402

chi2(5) = (b-B)'[(V_b-V_B)^(-1)](b-B) = 31.75

Prob>chi2 = 0.0000

Вычисленное значение статистики этого критерия равно 31.75 и

отражает различия в FE- и RE-оценках коэффициентов при 5

переменных: experience, experience

2

, Union member, married, Public

sector. Для распределения

()

5

2

χ

значение 31.75 соответствует P-

значению

6

106.6

−

⋅ , так что нулевая гипотеза (RE-модель) заведомо

отвергается. Чем это может объясняться?

Глава 3

272

Ненаблюдаемая гетерогенность

i

α

может, например,

коррелировать с семейным положением, что подтверждается

данными приведенной таблицы. Если из модели выметаются

индивидуальные эффекты и используется FE-оценка, то влияние

этого фактора уменьшается до 4.5%, тогда как для “between”-оценки

это влияние составляет 14.5%. Заметим, что влияние этого фактора

идентифицируется только благодаря наличию в выборке индивидов,

изменивших свое семейное положение в

период наблюдений.

Аналогичные замечания справедливы и в отношении членства в

профсоюзе.

Следует, впрочем, заметить, что все использованные оценки

предполагают некоррелированность объясняющих переменных с

it

u , и при нарушении этого условия даже FE-оценка оказывается

несостоятельной.

Приведенные в конце таблицы значения трех различных мер

согласия показывает, что наибольшее значение within-R

2

достигается

для FE-оценки, т.е. именно она наилучшим образом объясняет

внутригрупповую изменчивость. OLS-оценка максимизирует

обычный overall-R

2

. RE-оценка дает близкие значения всем трем

мерам согласия. Отметим еще, что стандартные ошибки OLS-оценки

вообще-то говоря не соответствуют действительности, т.к. не

принимают во внимание коррелированность ошибок между собой.

Правильные их значения должны быть больше стандартных ошибок

EGLS-оценок, принимающих во внимание эту коррелированность.

3.6. Автокоррелированные ошибки

Во всех рассмотренных выше ситуациях предполагалось, что

случайные составляющие

it

u – взаимно независимые случайные

величины, имеющие одинаковое распределение

(

)

2

,0

u

N

σ

. Между

тем, вполне возможно, что для

i -го субъекта последовательные

ошибки

iTii

uuu ,,,

21

K не являются независимыми, а следуют, скажем,

Панельные данные

273

стационарному процессу авторегрессии первого порядка с нулевым

средним.

Точнее говоря, пусть мы имеем дело с моделью

ititiit

uxy +++=

βαµ

, TtNi ,,1,,,1 KK == ,

в которой

ittiit

uu

ερ

+=

−1,

,

где

1<

ρ

, а случайные величины

iTii

εεε

,,,

21

K являются

гауссовскими инновациями, так что они взаимно независимы и

имеют одинаковое распределение

(

)

2

,0

ε

σ

N и, кроме того,

it

ε

не

зависит от значений

kti

u

−,

, 1≥k . Общий для всех субъектов

коэффициент

ρ

можно оценить различными способами. При этом в

большинстве случаев сначала переходят к модели,

скорректированной на групповые средние:

()()

iitiitiit

uuxxyy −+−=−

β

,

т.е.

ititit

uxy

~

+=

β

,

а затем поступают по-разному.

Можно, например, оценить (методом наименьших квадратов)

последнюю модель без учета автокоррелированности ошибок,

получить последовательность остатков

iTii

uuu

ˆ

~

,,

ˆ

~

,

ˆ

~

21

K , вычислить

значение статистики Дарбина–Уотсона

()

∑∑

==

−

=

N

i

T

t

it

N

i

T

t

tiit

u

uu

d

11

2

12

2

1,

ˆ

~

ˆ

~

ˆ

~

и, используя приближенное соотношение

21 d−≅

ρ

, получить

оценку

21

ˆ

d

DW

−≅

ρ

.

Глава 3

274

Можно поступить иначе: получив последовательность остатков

iTii

uuu

ˆ

~

,,

ˆ

~

,

ˆ

~

21

K , использовать оценку наименьших квадратов,

получаемую при оценивании уравнения регрессии

ittiit

uu

ηρ

+=

−1,

ˆ

~

ˆ

~

.

Искомая оценка вычисляется по формуле:

∑∑

==

−

=

N

i

T

t

it

N

i

T

t

tiit

u

uu

11

2

12

1,

ˆ

~

ˆ

~

ˆ

~

ˆ

ρ

.

[В пакете Stata8 эта оценка обозначена как

tscorr

ρ

ˆ

.]

После получения оценки для

ρ

производится преобразование

переменных, призванное получить модель с независимыми

ошибками. Наконец, в рамках преобразованной модели

производится обычный анализ на фиксированные или случайные

эффекты.

П р и м е р

В примере с тремя предприятиями для модели с

фиксированными эффектами получаем следующие результаты.

При использовании DW-оценки:

. xtregar y x, fe rhotype(dw) lbi -

FE (within) regression with AR(1) disturbances

Number of obs = 27

R-sq:

within = 0.9569

b

etween = 0.1111

overall = 0.9252

F(1,23) = 510.54, Prob > F = 0.0000

corr(α_i, Xb) = -0.1625

Панельные данные

275

y Coef. Std. Err. t P>t

x 1.105796 .0489398 22.60 0.000

cons -1.317209 .6964634 -1.89 0.071

rho_ar .170171

sigma_α 1.423608

sigma_u 1.773845

rho_fov .3917622 (доля дисперсии, соответствующей

индивидуальным эффектам α_i)

F test that all alfa_i=0:

F(2,23)= 3.82, Prob > F = 0.0370

modified Bhargava et al. Durbin-Watson = 1.664958

Baltagi-Wu LBI = 1.8196862

Оценка коэффициента

β

по сравнению со значением 1.102192,

полученным ранее без учета возможной автокоррелированности

ошибок, практически не изменилась. И это согласуется со значением

статистики Дарбина–Уотсона. Вывод об отсутствии

индивидуальных эффектов также не изменяется.

При использовании tscorr-оценки:

. xtregar y x, fe rhotype(tscorr)

FE (within) regression with AR(1) disturbances

Number of obs = 27

R-sq: within = 0.9540

between = 0.1111

overall = 0.9252

F(1,23)= 476.47, Prob > F = 0.0000

corr(α_i, Xb) = -0.1626

y Coef. Std. Err. t P>t

x 1.109267 .050818 21.83 0.000

cons -1.392025 .7698403 -1.81 0.084

Глава 3

276

rho_ar .09213053

sigma_α 1.4281087

sigma_u 1.7701594

rho_fov .39426073 (доля дисперсии, соответствующей

индивидуальным эффектам α_i))

F test that all alfa_i=0:

F(2,23) = 4.66, Prob > F = 0.0199

Оцененное значение коэффициента автокорреляции

ρ

на этот раз

почти в два раза меньше. Оценка коэффициента

β

практически не

изменилась.

3.7. Двухфакторные (двунаправленные) модели

3.7.1. Фиксированные эффекты

Здесь мы рассматриваем модель, в которую помимо

индивидуальных эффектов

i

α

включаются также и временные

эффекты

t

λ

:

itittiit

uxy ++++=

βλαµ

, TtNi ,,1,,,1 KK == ,

где

∑

=

N

i

1

0

α

,

∑

=

T

t

1

0

λ

, так что

i

α

и

t

λ

– “дифференциальные

эффекты”. При этом и

i

α

и

t

λ

интерпретируются как неизвестные

постоянные

.

Обозначая

∑

=

N

i

itt

y

N

y

1

и т.д. (средние по субъектам),

∑

=

T

t

iti

y

T

y

1

и т.д. (средние по времени),

Панельные данные

277

∑∑

==

=

N

i

T

t

it

y

NT

y

11

1

(среднее по всем наблюдениям),

получаем:

()()()

uuuuxxxxyyyy

tiittiittiit

+−−++−−=+−−

β

.

Оценка наименьших квадратов для коэффициента

β

в этом

уравнении (двухфакторная внутригрупповая оценка) имеет вид

()()

()

xx

xy

N

i

T

t

tiit

N

i

T

t

tiittiit

CV

W

xxxx

xxxxyyyy

=

+−−

+−−+−−

=

∑∑

==

11

2

11

ˆ

β

.

На основании соотношений

() ()

)( uuxxyy

iiii

−+−+=−

βα

,

() ()

)( uuxxyy

tttt

−+−+=−

βλ

можно получить оценки для

i

α

и

t

λ

:

() ()

xxyy

iCVii

−−−=

βα

ˆ

,

()()

xxyy

tCVtt

−−−=

βλ

ˆˆ

.

Для оценивания двунаправленной модели с фиксированными

эффектами в пакете Stata применяется процедура xtreg, fe с

включением дамми-переменных для временных периодов.

П р и м е р

(объяснение размеров заработной платы, продолжение)

Fixed-effects (within) regression

R-sq:

within = 0.1808

b

etween = 0.0005

overall = 0.0638

F(11,3804) = 76.30, Prob > F = 0.0000

Глава 3

278

corr(α_i, Xb) = -0.1203

WAGE_LN Coef. Std. Err. t P>t

BLACK (dropped)

EXPER .1317361 .0098356 13.39 0.000

EXPER2 -.0051704 .0007047 -7.34 0.000

HISP (dropped)

MAR .0464781 .0183123 2.54 0.011

PUB .0347278 .0385989 0.90 0.368

SCHOOL

(dropped)

UNION .0791253 .0193354 4.09 0.000

Y80

(dropped)

Y81 .0193045 .0203652 0.95 0.343

Y82 -.0112773 .0202281 -0.56 0.577

Y83 -.0419533 .0203211 -2.06 0.039

Y84 -.0383904 .0203151 -1.89 0.059

Y85 -.0428743 .0202506 -2.12 0.034

Y86 -.0275581 .0203878 -1.35 0.177

cons 1.028383 .0299620 34.32 0.000

Заметим, что значимыми оказываются здесь оцененные

коэффициенты при тех же переменных что и в однонаправленной

модели с фиксированными эффектами.

sigma_α .40078197

sigma_u .3509988

rho .56593121 (fraction of variance due to α_i)

F test that all α_i=0:

F(544, 3804) = 7.97 Prob > F = 0.0000

. test Y81=Y82=Y83=Y84=Y85=Y86=0

Панельные данные

279

(Здесь Y81 – дамми-переменная, равная 1 в 1981 г. и равная 0 в

остальные годы; аналогично определяются Y82,…,Y86.)

F(6, 3804) = 1.96

Prob > F = 0.0680

Результаты последнего теста не выявляют значимого влияния

временных эффектов.

3.7.2. Случайные эффекты

В этой двухфакторной модели

itittiit

uxy ++++=

βλαµ

, TtNi ,,1,,,1 KK ==

предполагается, что

i

α

и

t

λ

– случайные величины и что

() () ()

0===

itti

uEEE

λα

,

()

⎩

⎨

⎧

≠

=

, если,0

, если,

2

ji

E

ji

α

σ

αα

()

⎩

⎨

⎧

≠

=

, если,0

, если,

2

st

E

st

λ

σ

λλ

()

⎩

⎨

⎧

==

=

,случае противном в,0

, и если,

2

stji

uuE

u

jsit

σ

()

0=

ti

E

λα

,

()

0=

iti

uE

α

,

()

0=

itt

uE

λ

,

()()()

0===

ititittiti

xuExExE

λα

.

Определим

ittiit

u++=

λαν

. Тогда

()

222

uititit

xyDD

σσσν

λα

++== ,

так что ошибка состоит из трех компонент. При этом

()

⎩

⎨

⎧

≠=

=

,, если,

,

2

jist

stji

Cov

jsit

λ

α

σ

νν

Глава 3

280

()

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

≠≠

==

≠=

=

., если,0

,, если,1

,, если,

,

2

jist

D

stji

D

Corr

it

jsit

ν

σ

ν

σ

νν

λ

α

“Межсубъектная” оценка определяется как

()()

()

xx

xy

N

i

N

i

ii

bi

B

xx

yyxx

=

−

−−

=

∑

=

1

2

1

ˆ

β

,

а “межвременная” оценка определяется как

()()

()

xx

xy

T

t

T

t

tt

bt

C

xx

yyxx

=

−

−−

=

∑

=

1

2

1

ˆ

β

.

GLS-оценка равна

btbiCVGLS

βωβωβωβ

ˆˆˆˆ

321

++= ,

где

xx

xxxxxx

xx

T

W

CBW

W

=

+

=

2

3

2

1

φφ

ω

,

xx

T

B

2

φ

ω

= ,

xx

T

C

2

3

φ

ω

= ,

22

2

α

σσ

σ

φ

T

u

+

=

,

22

2

3

λ

σσ

σ

φ

N

u

+

=

,

Носко В.П. Эконометрика для начинающих. Дополнительные главы

Подождите немного. Документ загружается.