Носко В.П. Эконометрика для начинающих. Дополнительные главы
Подождите немного. Документ загружается.
Панельные данные
291
R-sq: within = 0.0664 Obs per group: min = 1
between = 0.2098 avg = 4.6
overall = 0.1463 max = 12
Wald chi2(5) = 1446.37 Prob > chi2 = 0.0000
corr(α_i, X) = 0 (assumed)
ln_wage Coef. Std. Err. z P>z
tenure .1391798 .0078756 17.67 0.000
age .0279649 .0054182 5.16 0.000
age_2 -.0008357 .0000871 -9.60 0.000
not_smsa -.2235103 .0111371 -20.07 0.000
black -.2078613 .0125803 -16.52 0.000
cons 1.337684 .0844988 15.83 0.000
sigma_α | .36582493
sigma_u | .63031479
rho | .25197078 (fraction of variance due to α_i)
------------------------------------------------------------------------------
Instrumented: tenure
Instruments: age age2 not_smsa black union birth_yr south
3.10. Модели с индивидуально-специфическими
переменными
3.10.1. Оценивание в RE- и FE-моделях
До сих пор в модели с фиксированными эффектами
неоднородность субъектов исследования характеризовалась
наличием ненаблюдаемых характеристик, влияние которых
отражалось в модели посредством параметров
i
α
. Однако
неоднородность субъектов может выражаться также в различных
значениях для этих субъектов некоторых наблюдаемых
характеристик, не изменяющихся для каждого субъекта в процессе
Глава 3
292
наблюдений. Например, в исследованиях, касающихся зависимости
размера заработной платы индивида от различных факторов, такими
характеристиками могут быть пол, базовое образование и т.п. В
связи с этим мы рассмотрим теперь модель
itiitiit
uzxy ++++=
γβαµ
, TtNi ,,1,,,1 KK == ,
где
i
z – переменная, специфическая только в отношении субъекта.
Если эта модель трактуется как RE-модель, в которой эффекты
не коррелированы с
it
x и
i
z , то проблем с оцениванием
коэффициентов
β
и
γ
не возникает: в этом случае BLUE являются
GLS-оценки для
β
и
γ
.
Если же эта модель трактуется как FE-модель или если
i
α
случайны и
()
0=
ii
zE
α
, но
()
0≠
iti
xE
α
, то тогда GLS-оценки
(строящиеся, как в RE-модели) несостоятельны, и приходится искать
другие оценки. Усредним обе части уравнения по
t
:
iiiii
uzxy ++++=
γβαµ
, Ni ,,1 K= .
Тогда
()()
uuxxyy
itiitiit
−+−=−
β
, Ni ,,1 K= .
В применении к последнему уравнению метод наименьших
квадратов приводит опять к оценке с фиксированными эффектами
(
)
CV
β
ˆ
. Но при таком подходе из исходного уравнения выметаются
не только
i
α
, но и
i
z . Однако если
i
α
фиксированы или
()
0≠
iti
xE
α
, но
()
0=
ii
zE
α
, то тогда все же можно построить
состоятельную оценку коэффициента
γ
.
Для этого заметим, что
()
iiiii
uzxy +++=−
αγµβ
. Если
считать значение
β
известным, то мы можем оценить эту модель,
минимизируя
()
∑
=
+
N
i
ii
u
1
2
α
, и получить between-оценки
Панельные данные
293
()()()()
()
∑
∑
=
=
−
−−−−
=
N
i
i
i
N
i
ii
zz
zzxxyy
1
2
1
ˆ
β
γ
,
γβµ
ˆˆ
zxy −−= .
Подставляя
CV
β
ˆ
вместо
β
в эти два выражения, получаем оценки
γ
~
и
µ
~
для
γ
и
µ
; при этом
γγ
=
→∞
~
plim
N
,
т.е.
γ
~
– состоятельная оценка.
[В пакете STATA используeм predict residfe, ue после xtreg…, fe
и затем xtreg…, fe Z
i
, be ]
П р и м е р (объяснение размеров заработной платы,
продолжение)
При оценивании модели с фиксированными эффектами
оказались выметенными переменные scooling, black, hispanic.
Попробуем все же получить оценки коэффициентов при этих
переменных. Использование процедуры, предусмотренной Stata8,
приводит к следующему результату.
Between regression (regression on group means)
R-sq:
within = 0.0000
between = 0.2119
overall = 0.1264
F(3,541) = 48.47, Prob > F = 0.0000
Coef. Std. Err. t P>t
SCHOOL .1015825 .0089372 11.37 0.000
BLACK -.1442396 .0484007 -2.98 0.003
HISP .0210173 .0435069 0.48 0.629
Глава 3
294
Полученные оценки практически совпадают с оценками для
соответствующих коэффициентов в модели со случайными
коэффициентами (при GLS-оценивании).
3.10.2. Модель Хаусмана–Тейлора
Рассмотрим модель
itiiitit
uZXy +++=
αγβ
, TtNi ,,1,,,1 KK == ,
где
it
X – строка k наблюдаемых переменных, изменяющихся и от
субъекта к субъекту и во времени, а
i
Z – строка
g
наблюдаемых
переменных, инвариантных относительно времени на периоде
наблюдений. Предполагается, что выполнены обычные
предположения RE-модели (в частности, что все объясняющие
переменные экзогенны в обычном смысле), за исключением того,
что теперь ненаблюдаемые индивидуальные эффекты
i
α
могут быть
коррелироваными с одними объясняющими переменными и
некоррелироваными с другими объясняющими переменными.
Хаусман и Тейлор предложили в таком случае производить
разбиение:
[]
ititit
XXX
21
= ,
[]
iii
ZZZ
21
= ,
где
1
k переменных, входящих в состав
it
X
1
, и
1
g переменных,
входящих в состав
i
Z
1
, экзогенны по отношению к
i
α
в том
смысле, что
()()
0
11
==
iiiit
ZEXE
αα
,
а
2
k переменных, входящих в состав
it
X
2
, и
2
g переменных,
входящих в состав
i
Z
2
, эндогенны по отношению к
i
α
в том
смысле, что
()
0
2
≠
iit
XE
α
,
()
0
2
≠
ii
ZE
α
.
При таком разбиении модель записывается в виде
itiiiititit
uZZXXy +++++=
αγγββ
22112211
,
Панельные данные
295
и переход к модели, скорректированной на индивидуальные
средние,
()()
itiitiitiit
uXXXXyy +−+−=−
222111
ββ
,
приводит к возможно неэффективной, но состоятельной оценке
CV
β
ˆ
для
()
T
TT
21
,
βββ
= . Однако при этом опять вместе с
i
α
выметаются переменные, инвариантные относительно времени.
Получив оценку
()
T
T
CV
T
CVCV ,2,1
ˆ
,
ˆˆ
βββ
= для
β
, вычисляем для
каждого субъекта остатки от оцененной “внутри”-регрессии:
()
()()
CViitCViitiitit
XXXXyyd
,222,111
ˆˆ
ββ
−−−−−=
и получаем состоятельную оценку для дисперсии случайных ошибок
()
2
uit
uD
σ
= :
()
21
2
ˆ
kkNT
RSS
CV
u
+−
=
σ
.
Далее, по аналогии с уже делавшимся ранее, замечаем, что
()
itiiiiii
uZZXXy +++=−−
αγγββ
22112211
.
Только на этот раз в правой части
()
0
2
≠
ii
ZE
α
, так что OLS-оценки
для
1
γ
и
2
γ
, получаемые по этой модели (between-оценки) смещены
и несостоятельны. Поэтому здесь для получения состоятельных
оценок для
1
γ
и
2
γ
применяем метод инструментальных
переменных (2SLS), используя инструменты
[]
iti
XZ
11
. При этом
количество экзогенных переменных в
it
X
1
()
1
k должно быть не
меньше числа эндогенных переменных в
i
Z
2
()
2
g . Полученные
оценки для
1
γ
и
2
γ
обозначим
IV,1
ˆ
γ
и
IV,2
ˆ
γ
.
Используя теперь все четыре полученные оценки, образуем
“остатки”
IViIViCVitCVititit
ZZXXye
,22,11,22,11
ˆˆ
ˆˆ
γγββ
−−−−=
и на их основе определим статистику
Глава 3
296
∑∑
==
=
N
i
T
t
it
e
NT
S
11
22
1
,
которая является состоятельной оценкой для суммы
22
α
σσ
T
u
+ .
Тогда состоятельная оценка для
2
α
σ
получается как
T
S
u
22
2
ˆ
ˆ
σ
σ
α
−
=
.
Следующим шагом является выполнение стандартного GLS-
преобразования всех переменных, используемого в RE-модели:
iitit
yyy
θ
−=
∗
и т.п.
Для реализации этого преобразования в качестве оценки параметра
θ
берется Ψ−=
ˆ
1
ˆ
θ
, где
22
2
ˆˆ
ˆ
ˆ
α
σσ
σ
T
u
u
+
=Ψ
,
а
2
ˆ
u
σ
и
2
ˆ
α
σ
– полученные выше состоятельные оценки для
2
u
σ
и
2
α
σ
.
Это приводит к преобразованному уравнению
∗∗∗∗∗∗
++++=
itiiititit
ZZXXy
νγγββ
22112211
.
К этому уравнению применяем метод IV (2SLS), используя
инструменты
[]
iiiitiit
ZXXXXX
112211
,,, −− , и получаем в результате
для вектора
[]
T
TT
γβδ
,= инструментальную оценку Хаусмана–
Тейлора
[]
T
T
HT
T
HTHT
γβδ
ˆ
,
ˆˆ
=
.
З а м е ч а н и я
1. В процедуре Хаусмана–Тейлора инструменты берутся
внутри самой модели.
2.
it
X
1
используется как инструмент дважды: как среднее и как
отклонение от среднего.
3. Если
21
gk < , то параметр
γ
не идентифицируем. В этом
случае
CVHT
ββ
ˆˆ
=
и
HT
γ
ˆ
не существует.
Панельные данные
297
4. Если
21
gk = , то
CVHT
ββ
ˆˆ
=
и
()
T
T
IV
T
IVIVHT
,2,1
ˆ
,
ˆˆˆ
γγγγ
== .
(Случай точной идентифицируемости.)
5. Если
21
gk > , то уравнение сверхидентифицируемо. В этом
случае матрица
(
)
(
)
HTCV
CovCov
ββ
ˆˆ
−
положительно
определена и оценка Хаусмана–Тейлора более эффективна,
чем “внутри”-оценка.
Влияние метода Хаусмана–Тейлора на прикладные
исследования относительно мало из-за трудности нахождения
экзогенных переменных
1
X , которые можно было бы уверенно
рассматривать как не коррелированные с
i
α
(так что
()
0
1
=
iit
XE
α
).
3.11. Динамические модели
Рассмотрим динамическую модель.
ititiit
uyy ++=
−
αγ
1,
, ,,,1,,,1 TtNi KK ==
в которой
1<
γ
,
it
u ~
(
)
2
,0...
u
Ndii
σ
– инновации (так что
(
)
0
,
=
−ktiit
yuE для 0>k ). Будем предполагать, что значения
it
y
наблюдаются для
Tt ,,1,0 K= . “Bнутри”-оценка для
γ
имеет вид:
()
()
()
∑∑
∑∑
==
−−
==
−−
−
−−
=
N
i
T
t
iti
N
i
T
t
itiiit
CV
yy
yyyy
11
2
1,1,
11
1,1,
ˆ
γ
,
где
∑
=
=
T
t
iti
y
T
y
1
1
,
∑
=
−−
=
T
t
tii
y
T
y
1
1,1,
1
.
В соответствии с определением модели,
Глава 3
298
()
iii
T
t
ititii
uyuy
T
y ++=++=
−
=
−
∑
αγαγ
1,
1
1,
1
,
так что
(
)
()
iititiiit
uuyyyy −+−=−
−− 1,1,
γ
и
()
()
()
∑∑
∑∑
==
−−
==
−−
−
−−
+=
N
i
T
t
iti
N
i
T
t
itiiit
CV
NTyy
NTyyuu
11
2
1,1,
11
1,1,
ˆ
γγ
.
Рассмотрим предел по вероятности числителя дроби в правой
части последнего выражения:
()
()
=−−
∑∑
==
−−
∞→
N
i
T
t
itiiit
N
yyuu
NT
p
11
1,1,
1
lim
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−−=
∑∑ ∑∑
== =
−−
=
−−
∞→
N
i
T
t
T
t
iiiti
T
t
tiitiit
N
yuTuyyuyu
NT
p
11 1
1,1,
1
1,1,
1
lim
()
∑
=
−
∞→
−=
N
i
ii
N
yu
N
p
1
1,
1
lim
.
Заметим, что
101 iiii
uyy ++=
αγ
,
()
210
2
212
1
iiiiiiii
uuyuyy ++++=++=
γαγγαγ
,
...
(
)
()
ittii
t
i
t
i
t
it
uuuyy ++++−−+=
−
−
1,1
1
0
11
γγγαγγ
L .
Отсюда, в частности, получаем, что при
2=T указанный предел по
вероятности равен
()()()
=++++−
∑
=
∞→
N
i
iiiii
N
uuuy
N
p
1
2110
1
4
1
lim
αγ
0
44
1
lim
2
1
2
1
≠−=−
∑
=
∞→
u
N
i
i
N
u
N
p
σ
,
Панельные данные
299
так что оценка
CV
γ
ˆ
несостоятельна.
При произвольном Т получаем:
()
()
=−−
∑∑
==
−−
∞→
N
i
T
t
itiiit
N
yyuu
NT
p
11
1,1,
1
lim
()
=−=
∑
=
−
∞→
N
i
ii
N
yu
N
p
1
1,
1
lim
()
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
+−−
−
2
2
2
1
1
γ
γγ
σ
T
TT
T
u
,
()
∑∑
==
−−
∞→
=−
N
i
T
t
iti
N
yy
NT
p
11
2
1,1,
1
lim
()
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
+−−
−−
−
2
2
2
2
1
1
2
1
1
1
γ
γγ
γ
γ
σ
T
TT
T
T
u
.
Отсюда вытекает, что если не только N → ∞, но и T → ∞, то
первый предел по вероятности стремится к нулю, а второй – к
0
1
ˆ
lim
2
2
,
≠
−
=
∞→∞→
γ
σ
γ
u
CV
TN
p
,
так что
γγ
=
∞→
CV
N
p
ˆ
lim . Если же значение Т фиксировано, то тогда
первый предел не равен нулю и
γγ
≠
∞→
CV
N
p
ˆ
lim , так что оценка
CV
γ
ˆ
несостоятельна.
Асимптотическое смещение вызывается “внутри”-
преобразованием, исключающим индивидуальные эффекты
i
α
из
каждого наблюдения, что порождает корреляцию между остатками
()
iit
uu − в преобразованной модели и “объясняющей переменной”
(
)
1,1, −−
−
iti
yy . Когда Т велико, эта корреляция близка к нулю. Для
малых значений Т смещение отрицательно, если
0>
γ
. Например,
для Т асимптотическое смещение равно
()
21
γ
−− . Следующий
график иллюстрирует, как асимптотическое смещение оценки
CV
γ
ˆ
изменяется c ростом Т.
Глава 3
300
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
2345678910
T
lim_gamma_estim
GAM=0.1 GAM=0.3 GAM=0.5 GAM=0.7 GAM=0.9
”Внутри”-оценка остается несостоятельной при малых
T и
когда в правую часть уравнения модели добавляются экзогенные
объясняющие переменные.
Для преодоления этой проблемы можно воспользоваться другим
преобразованием, “выметающим”
i
α
: вместо вычитания средних по
времени перейти к первым разностям временных рядов для каждого
субъекта. При этом получаем:
(
)
(
)
1,2,1,1,, −−−−
−+−=−
tiittitititi
uuyyyy
γ
,
или
ittiti
uyy ∆∆∆ +=
−1,,
γ
,
где обозначено
1,1,,,
,
−−
−=−=
tiitittititi
uuuyyy ∆∆ .
Здесь
(
)
(
)
=−−=
−−−− 1,2,1,1,
,,
tiittitiitti
uuyyCovuyCov ∆∆
(
)
0,
1,1,
≠−=
−− titi
uyCov .