Носко В.П. Эконометрика для начинающих. Дополнительные главы

Подождите немного. Документ загружается.

Модели с дискретными объясняемыми переменными…

где

– пороговое значение, и индикаторная переменная

отмечает наличие (

y ) или отсутствие ( 0=

y ) данного предмета

i -й семьи. Тогда

{}

{

}

{}

=>+++=>==

∗

iiiippiiiiii

xxxPxyPxyP

γεββγ

{

}

iippiii

xxxP

ββγε

−−−>= L

и если

≡

x , то

{}

()

(){}

iippiiiii

xxxPxyP

βββγε

++−−>== L

221

1 .

Если предположить, что ошибки

εε

K – независимые в

совокупности (и независимые от

pjx

,,1, K= ) случайные

величины, имеющие одинаковое нормальное распределение

(

)

N , то тогда

{}

()

(

)

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

−==

ββ

βγ

ippi

xyP

11 Φ

()

(

)

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+−

ββ

βγ

ippi

xx L

Φ .

(Здесь мы использовали вытекающее из симметрии стандартного

нормального распределения соотношение

)()(1 xx −=− ΦΦ .)

Обозначая

()

βγ

+−

= ,

получаем:

{}

()

(

)

θθθ

iippiii

xxxxyP ΦΦ =++== L

1 .

Но именно таким образом и определяется пробит-модель.

Пусть мы имеем в наличии только значения

y ,

ipi

xx ,,

K , а

значения

∗

y не доступны наблюдению. В таком случае переменную

∗

y называют латентной (скрытой) переменной. Применяя метод

Глава 1

максимального правдоподобия, мы получаем оценки параметров

пробит-модели

θθ

K , но не можем однозначно восстановить по

ним значения параметров

ββ

K , если не известны значения

γγ

K . Действительно, если оценки

γγ

K ,

ββ

таковы, что

()

βγ

+−

= ,

то к тем же значениям

θθ

K приводят и оценки

γγ

K ,

ββ

K , где k – произвольное число, – ∞ < k < ∞.

Таким образом, в рассмотренной ситуации для однозначной

идентификации коэффициентов

ββ

K необходима какая-то

нормализация функции полезности. В стандартной модели

предполагается, что

и 0

===

γγ

L , так что

θβθβ

ˆˆ

== K ,

и именно такую модель мы будем теперь рассматривать.

Прежде всего заметим, что при получении оценок параметров

ββ

K в такой модели методом максимального правдоподобия

мы принципиально опираемся на предположение о нормальности

ошибок

εε

K :

()

1,0N . Поэтому важной является задача

проверки этого предположения, т.е. проверка гипотезы

εε

K ~ i.i.d.,

()

1,0N .

Наряду со стандартной моделью (модель 1) рассмотрим

модель 2, отличающуюся от стандартной тем, что в ней

{}

(

)

ttttP

ωωε

++=≤ Φ ,

так что

{}

() ()

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

++==

θωθωθ

iii

xxxxyP Φ .

Модели с дискретными объясняемыми переменными…

При этом модель 1 является частным случаем модели 2 (при

ωω

), так что модель 1 и модель 2 – гнездовые модели, и в

рамках более общей модели 2 гипотеза

H принимает вид

210

ωω

H .

Класс распределений вида

{}

(

)

ttttP

ωωε

++=≤ Φ допускает

асимметрию и положительный эксцесс (островершинность)

распределения. Следующий график позволяет сравнить поведение

функции стандартного нормального распределения

()

tΦ (толстая

линия) и функции

(

)

5.05.0 ttt ++Φ (тонкая линия).

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

-6 -4 -2 0 2 4 6

Пусть

L – максимум функции правдоподобия в модели

2,1=j , и )ln(ln2

LLLR −= . Критерий отношения

правдоподобий отвергает гипотезу

H , если наблюдаемое значение

статистики

R превышает критическое значение

crit

LR ,

соответствующее выбранному уровню значимости

. Этот

критерий асимптотический

: критическое значение

crit

вычисляется на основе распределения, к которому стремится при

Глава 1

n → ∞ распределение статистики

R , если гипотеза

H верна.

Этим предельным распределением является распределение хи-

квадрат с двумя степенями свободы. Итак, в соответствии с

критерием отношения правдоподобий, гипотеза

H отвергается, если

()

−

>LR ,

где

()

−

– квантиль уровня

−1 распределения хи-квадрат с

двумя степенями свободы.

Обратимся опять к смоделированным данным о наличии или

отсутствии собственных автомобилей у 1000 домохозяйств.

Оценивая пробит-модель (модель 1) по этим данным, мы

получили следующие результаты:

Коэффициент Оценка Std. Error z-Statistic Prob.

-3.503812 0.200637 -17.46343 0.0000

0.003254 0.000178 18.25529 0.0000

ln L

-275.7686 Akaike info criterion 0.555537

Schwarz criterion 0.565353

Hannan-Quinn criter. 0.559268

Оценивание модели 2 дает следующие результаты:

Коэффициент Оценка Std. Error z-Statistic Prob.

-3.851178 0.324895 -11.85359 0.0000

0.003540 0.000292 12.11708 0.0000

0.022954 0.025086 0.915039 0.3602

-0.017232 0.010178 -1.693097 0.0904

ln L

-274.6286 Akaike info criterion 0.557257

Schwarz criterion 0.576888

Hannan-Quinn criter. 0.564718

Модели с дискретными объясняемыми переменными…

Соответственно, здесь

28.2)274.6286275.7686(2)ln(ln2

=−=−= LLLR .

Поскольку же

()

99.52

95.0

, то критерий отношения

правдоподобий не отвергает

гипотезу

H при уровне значимости

0.05. Заметим еще, что значению

28.2=LR соответствует

(вычисляемое по асимптотическому распределению

)2(

)

значение 0.6802. Таким образом, критерий отношения

правдоподобий не отвергает гипотезу

H при любом разумном

уровне значимости.

Еще одним “стандартным предположением” является

предположение об одинаковой распределенности

случайных ошибок

в процессе порождения данных. В сочетании с предположением

нормальности этих ошибок, данное условие сводится к совпадению

дисперсий всех этих ошибок. Нарушение этого условия приводит к

гетероскедастичной модели и к несостоятельности оценок

максимального правдоподобия, получаемых на основании

стандартной модели. Для проверки гипотезы совпадения дисперсий

мы можем опять рассмотреть какую-нибудь более общую модель с

наличием гетероскедастичности, частным случаем которой является

стандартная пробит-модель.

В примере с автомобилями можно допустить, что дисперсии

случайных ошибок в процессе порождения данных возрастают с

возрастанием значений

x , например, как

()

iii

xkxD exp=

, 0>k ,

так что (модель 3)

{}

()

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

xyP

exp

βα

Здесь мы имеем две гнездовые модели – модель 3, допускающую

гетероскедастичность в указанной форме, и модель 1 (стандартную

Глава 1

пробит-модель) как ее частный случай. В рамках модели 3

выполнение стандартных предположений соответствует гипотезе

=kH .

Оценивание модели 3 по смоделированным данным дает

следующие результаты:

Coefficient Std. Error z-Statistic Prob.

-3.141966 0.317695 -9.889867 0.0000

0.002883 0.000316 9.132687 0.0000

k -0.000236 0.000186 -1.269192 0.2044

ln L

-275.2619 Akaike info criterion 0.556524

Schwarz criterion 0.571247

Hannan-Quinn criter. 0.562120

При сравнении с моделью 1 получаем:

27.1)274.6286275.2619(2)ln(ln2

=−=−= LLLR .

Это значение меньше критического значения 3.84,

соответствующего уровню значимости 0.05 и вычисленного как

квантиль уровня 0.95 асимптотического распределения хи-квадрат с

одной степенью свободы. Следовательно, гипотеза

=kH не

отвергается.

Отметим, что решения, принятые нами на основании критерия

отношения правдоподобий, согласуются с решениями,

принимаемыми в рассматриваемом примере на основании

информационных критериев:

AIC SC HQ

Модель 1

(пробит)

0.555537 0.565353 0.559268

Модель 2 0.557257 0.576888 0.564718

Модель 3

(гетеро)

0.556524 0.571247 0.562120

По всем трем критериям стандартная пробит-модель

предпочтительнее альтернативных моделей.

Модели с дискретными объясняемыми переменными…

1.6. Модели, в которых объясняемая переменная

принимает несколько различных значений

1.6.1. Порядковая пробит-модель

В том же примере с наличием или отсутствием у семьи

собственного автомобиля значение

y говорило только о том, что

i-я семья имеет собственный автомобиль, но не говорило о том,

сколько в действительности автомобилей имеет семья – один, два

или, быть может, еще больше. Обращаясь к процессу порождения

данных, ориентирующемуся на значения функции полезности и

сравнение ее с пороговыми значениями, можно предположить

наличие не одного, а

двух пороговых значений для каждой семьи,

так что при превышении первого порога семья имеет в наличии

один автомобиль, а при превышении второго (более высокого)

порога – два или более автомобилей.

Обобщая эту ситуацию, рассмотрим процесс порождения

данных, в котором имеется некоторая ненаблюдаемая (латентная)

переменная

∗

y , значения которой связаны со значениями

ipi

xx ,,

объясняющих переменных для

i -го субъекта исследования

следующим образом:

iippi

xxy

εββ

+++=

∗

, ni ,,1 K= .

Здесь

– случайная ошибка, отражающая влияние на значение

∗

неучтенных дополнительных факторов. Вместе со значениями

ipi

xx ,,

K наблюдаются также значения переменной

y , которая

может принимать

различных значений, в соответствии со

следующей схемой:

Глава 1

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

≤<

≤

−

∗

−

∗

,если,

,если,1

,1,

kiki

γγ

где

1,,1, −

<<<<

Kikii

γγγ

LL – пороговые значения, вообще говоря,

ненаблюдаемые.

Предполагая, что ошибки

εε

K – независимые в

совокупности (и независимые от

pjx

,,1, K= ) случайные

величины, имеющие одинаковое нормальное распределение

(

)

N , мы получаем порядковую пробит-модель.

Рассмотрим частный случай, когда

3=K и пороговые значения

одинаковы для всех субъектов исследования, так что

11,

γγ

≡

22,

γγ

≡

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

≤<

≤

∗

.если,3

,если,2

,если,1

γγ

При этом

{}

{

}

{}

=≤+++=≤==

∗

iiippiiiii

xxxPxyPxyP

1111

γεββγ

(

)

{

}

=++−−≤=

iippii

xxxP

βββγε

2211

)(

()

(

)

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

ββ

βγ

ippi

xx L

Φ .

Модели с дискретными объясняемыми переменными…

{}

{

}

=≤<==

∗

iiii

xyPxyP

γγ

{

}

=≤+++<=

iiippi

xxxP

2111

γεββγ

()

(

)

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

ββ

βγ

ippi

xx L

()

(

)

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

ββ

βγ

ippi

xx L

Φ ,

{}

{

}

{}

=>+++=>==

∗

iiippiiiii

xxxPxyPxyP

2112

γεββγ

(

)

{

}

=++−−>=

iippii

xxxP

βββγε

2212

)(

()

(

)

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

−=

ββ

βγ

ippi

xx L

1 Φ .

Пусть мы имеем в наличии только значения

y ,

ipi

xx ,,

K ,

ni ,,1 K= . Применяя метод максимального правдоподобия, мы, как

и в случае пробит-модели с двумя исходами, не можем однозначно

восстановить значения параметров

ββ

K , если не известны

значения

. Поэтому и здесь для однозначной

идентификации коэффициентов

ββ

K необходима какая-то

нормализация. В стандартной модели предполагается, что

, хотя возможны и другие нормализации.

Используя стандартную нормализацию и обозначая

γγ

, мы

получаем в модели с тремя исходами:

{}

{

}

(

)

iiiii

xxyPxyP −=≤==

∗

Φ01

{}

{

}

(

)

(

)

ββγγ

iiiii

xxxyPxyP −−−=≤<==

∗

ΦΦ02 ,

{}

{

}

(

)

βγγ

iiiii

xxyPxyP −−=>==

∗

Φ13 .

При этом коэффициент

допускает двойное истолкование. В

соответствии с моделью для

∗

y , положительное значение этого

Глава 1

коэффициента означает, что переменная

∗

y возрастает с

возрастанием j-й объясняющей переменной. В соответствии с

приведенными выражениями для вероятностей получения значений

y , 2=

y и 3=

y , последнее приводит к возрастанию

вероятности

{}

xyP 3= и к убыванию вероятности

{}

xyP 1= . Что

же касается вероятности

{}

xyP 2= , то здесь возможно как

возрастание, так и убывание этой вероятности, в зависимости от

конкретной ситуации.

Прогнозирование

по оцененной модели производится в

соответствии со следующим соглашением. Прогнозное значение

полагается равным

k , если

{} {}

xkyPxkyP ===

max

,,1

П р и м е р

Рассмотрим теперь выборку, состоящую из 1000 семей со

среднедушевым месячным доходом от 100 до 2100 условных

единиц (у.е.), среди которых 499 семей не имеет собственного

автомобиля, 369 семей имеет один автомобиль, 132 семьи имеют два

автомобиля. Выборка получена посредством моделирования; при

этом был использован процесс порождения данных в виде

∗

, 1000,,1 K=i ,

где

– независимые в совокупности (и независимые от

x )

случайные величины, имеющие одинаковое нормальное

распределение

(

)

300,0N , т.е. 300=

. Здесь 3=K и границы

были выбраны равными, соответственно, 1100

1850

, так что в результате получаем порядковую пробит-модель

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

≤<

≤

∗

,если,3

,если,2

,если,1

γγ