Носко В.П. Эконометрика для начинающих. Дополнительные главы

Подождите немного. Документ загружается.

Модели с дискретными объясняемыми переменными…

где 1

=y , если i -я семья не имеет автомобиля, 2

=y , если i -я

семья имеет один автомобиль, и

=y , если i -я семья имеет два

(или более) автомобиля. На следующем графике показана

зависимость полученных значений

∗

y от

-1000

-500

500

1000

1500

2000

2500

3000

LEVEL1

LEVEL2

Горизонтальные линии соответствуют разделительным порогам

LEVEL1=1100 и LEVEL2=1850.

Наблюдения с 1100≤

∗

y встречаются в группе семей с доходами

от 200 до 1600 у.е. Наблюдения с

18501100 ≤<

∗

y встречаются в

группе семей с доходами от 548 до 2094 у.е. Наблюдения с

1850>

∗

y встречаются в группе семей с доходами от 1318 у.е. и

выше. Важно отметить, что эти группы пересекаются, и это связано

как раз с наличием случайной составляющей в уравнении

полезности. Если бы этой составляющей не было, то мы имели

следующую картину.

Глава 1

500

1000

1500

2000

2500

И тогда мы получили бы разбиение на три непересекающиеся

группы. Для всех семей с доходами, не превышающими 1100 у.е.,

y . Для всех семей с доходами, превышающими 1100 у.е., но не

превышающими 1850 у.е.,

y . Для всех семей с доходами,

превышающими 1850 у.е.,

y .

Представим теперь, что мы имеем в распоряжении только

выборочные данные, т.е. пары

()

yx , , 1000,,1 K=i . Оценивание

методом максимального правдоподобия порядковой пробит-модели

с нормализацией

, 0=

(именно такая нормализация

используется в пакете EVIEWS), дает следующие результаты:

Coefficient Std. Error z-Statistic Prob.

X 0.003361 0.000158 21.31648 0.0000

Limit Points

3.693723 0.185109 19.95431 0.0000

6.306692 0.279737 22.54510 0.0000

Иначе говоря, нормализованная модель оценивается как

Модели с дискретными объясняемыми переменными…

uxy

∗

003361.0 ,

где

u ~

()

1,0N , и

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

≤<

≤

∗

.306692.6если,3

,306692.6693723.3если,2

,693723.3если,1

Если учесть, что мы сами смоделировали выборку и поэтому

знаем значение

, то переход к модели с 300=

соответствует

оцененной модели

iiii

xuxy

+=⋅+⋅=

∗

0083.1300003361.0300 ,

где

(

)

300,0N , и

1169.1108693723.3300

=⋅=

0076.1892306692.6300

=⋅=

Как видим, параметры оцененной модели очень близки к

параметрам истинной модели. Результаты прогнозов по оцененной

модели приведены в следующей таблице.

Ошибка

Кол-во

набл.

Кол-во

набл.

−

1 499 1 500 -1

2 369 2 387 -18

3 132 3 113 19

Содержимое таблицы отражает следующая диаграмма.

Глава 1

Объемы групп с y=k

100

200

300

400

500

600

123

Истинные

Прогнозные

Для сравнения приведем результаты прогнозов по тривиальной

модели, не учитывающей в уравнении для

∗

y влияние доходов i-й

семьи:

Ошибка

Кол-во

набл.

Кол-во

набл.

−

1 499 1 1000 -501

2 369 2 0 369

3 132 3 0 132

Приведем также сводную таблицу количеств правильных и

неправильных прогнозов для значений

3,2,1=

y .

Модели с дискретными объясняемыми переменными…

y =1

438 61 0

y =2

62 265 42

y =3

0 61 71

Таким образом, из 1000 прогнозов правильными оказались 774,

т.е. 77.4%. При этом значения

y правильно прогнозируются в

438 случаях из 499, т.е. в 87.8% случаев; значения

y правильно

прогнозируются в 71.8% случаев; значения

y правильно

прогнозируются в 53.8% случаев.

1.6.2. Мультиномиальная модель

В целом ряде случаев не существует естественного

упорядочения альтернатив, благодаря которому и возникает

монотонная связь между непрерывной латентной переменной и

наблюдаемой переменной, принимающей конечное количество

значений.

Пусть мы имеем

таких альтернатив (мы занумеруем их в

произвольном

порядке числами K,,1 K ) и пусть i -й субъект

исследования приписывает

k -й альтернативе полезность

u , так

что

ikikkippki

xxx

εβεββ

+=+++

,,11

L , ni ,,1 K= ,

где

()

kipkiik

xxx

,,1

,,K= , а

( ni ,,1 K= , Kk ,,1 K= ) – независимые

в совокупности (и независимые от

x ) случайные величины,

имеющие одинаковое распределение.

Предположим, что

i -й субъект выбирает альтернативу k , если

для него эта альтернатива имеет максимальную полезность

. В этом

случае мы полагаем

= . Тогда (условная при заданных

значениях

x , Kk ,,1 K= ) вероятность того, что i -й субъект

выберет альтернативу

k , равна

Глава 1

{}

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

===

iki

uuPkyP

,,1

max

()

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

+>+

≠=

kjKj

xxP

εβεβ

,,,1

max

Выразить такую вероятность в явном виде весьма проблематично.

Однако если предположить, что общим для всех случайных величин

является стандартное распределение экстремальных значений

(максимума) I-го типа с функцией распределения

(

)

ezG

−

−= exp)( , – ∞ < z < ∞ ,

(это распределение часто называют также распределением Гумбеля),

то формула для вычисления вероятности

{}

kyP

= принимает

достаточно простой вид, а именно:

{}

(

)

() () ( )

βββ

xxx

kyP

expexpexp

exp

+++

Заметим, однако, что если и числитель и знаменатель правой

части последнего выражения разделить на

(

)

exp , то получим

{}

(

)

()( )

ββββ

ββ

xxxx

kyP

112

expexp1

exp

−++−+

−

Следовательно, каким бы ни было значение линейной комбинации

, вероятность

{}

kyP

= будет зависеть только от разностей

(

)

(

)

ββββ

xxxx

112

,, −− K . Это обстоятельство приводит к

естественной нормализации, при которой полагают

xni ,,1 K= ,

так что тогда

{}

(

)

() ( )

ββ

kyP

expexp1

exp

+++

Такую модель разные авторы называют по-разному. Так, в книгах

[Verbeek (2000)] и [Amemiya (1985)] об этой модели говорится как о

мультиномиальной логит-модели (multinomial logit model). В

книгах [Green (1993)] и [Davidson, MacKinnon (1993)] эта модель

Модели с дискретными объясняемыми переменными…

именуется условной логит-моделью (conditional logit model), а под

мультиномиальной логит-моделью подразумевается модель

{}

(

)

() ( ) ( )

xxx

kyP

βββ

expexpexp

exp

+++

в которой объясняющие переменные специфичны только в

отношении самих субъектов исследования

(но не в отношении

альтернатив), а специфичными в отношении альтернатив являются

коэффициенты

модели. Соответственно, здесь

()

kpk

,,1

βββ

K= –

вектор коэффициентов при объясняющих переменных в

представлении функции полезности для

k -й альтернативы:

iikipkpik

xxx

εβεββ

+=+++

,1,1

L , ni ,,1 K= .

Последняя модель под названием мультиномиальной логит-

модели появляется и в пакете EVIEWS. Поскольку в этой модели

x не зависят от альтернативы, являясь собственными атрибутами

субъекта, то

{}

(

)

(

)

()() ()()

112

expexp1

exp

ββββ

ββ

−++−+

−

kyP

так что эта вероятность зависит только от разностей

ββ

− ,

ββ

−

, и для нормализации можно положить вектор

равным нулевому вектору. При такой нормализации

{}

(

)

() ( )

kyP

ββ

expexp1

exp

+++

В этом случае (условная при фиксированных

x , pj ,,1 K= ,

ni ,,1 K= ) совместная вероятность получения конкретного набора

наблюдений

yy ,,

K (конкретного набора значений K,,1 K ) равна

произведению

Глава 1

{}()

∏∏

kyP

()

() ( )

∏∏

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+++

expexp1

exp

ββ

где

⎩

⎨

⎧

≠

. если,0

, если,1

Правая часть этого выражения является при фиксированных

x ,

ni ,,1 K= , функцией от вектора неизвестных параметров

),,(

βββ

K= :

()

() ( )

∏∏

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+++

xxLL

expexp1

exp

,,)(

ββ

и эта функция как функция правдоподобия является объектом

максимизации по

. Результатом такой максимизации являются

оценки максимального правдоподобия для векторов

коэффициентов

()

kpk

,,1

ˆˆ

βββ

K= , Kk ,,1 K= .

П р и м е р

Рассмотрим смоделированную ситуацию, в которой, как и в

последней модели, переменные специфичны только в отношении

самих субъектов исследования.

Пусть

≡

x ,

x – типичное количество посещений

продуктового магазина в неделю

i -й семьей (от 1 до 7),

x –

среднемесячный доход на одного члена

i -й семьи (от 50 до 250 у.е.).

Выбранная модель порождения данных имитирует поведение 1000

семей, проживающих в одном и том же многоэтажном доме и

приобретающих продукты в трех продуктовых магазинах,

ближайших к этому дому. Каждая семья отдает предпочтение

одному из трех магазинов, так что мы имеем здесь 3 альтернативы.

Магазины различаются тремя сравнительными

характеристиками:

Модели с дискретными объясняемыми переменными…

ассортиментом (наименее разнообразный из трех, наиболее

разнообразный из трех, промежуточный), удаленностью от дома

(наибольшая, наименьшая, средняя) и уровнем цен (максимальный,

минимальный, средний). Альтернативы были занумерованы числами

3,2,1 произвольным образом. В итоге была получена следующая

нумерация.

Характеристики k-го магазина

Ассортимент Удаленность Уровень цен

1 Богатый Максимальная Средний

2 Бедный Минимальная Минимальный

3 Промежуточный Средняя Максимальный

Предполагается, что

i -я семья приписывает k -й альтернативе

полезность

u , где

ikikikik

xxx

εβββ

+++

332211

, 1000,,1 K=i ,

где

( 1000,,1 K=i , 3,2,1=k ) – независимые в совокупности (и

независимые от

x ) случайные величины, имеющие одинаковое

распределение с функцией распределения

(

)

ezG

−

−= exp)( , – ∞ < z < ∞ .

При этом мы используем нормализацию

0,0,0

131211

===

βββ

Остальные коэффициенты выбраны следующим образом:

0032.0,0.1,8.0

232221

−==−=

βββ

0032.0,3.0,4.0

333231

==−=

βββ

так что функции полезности для трех альтернатив имеют вид

232

0032.08.0

iii

+−+− ,

3321

0032.03.04.0

iiii

xxx

+++− .

Глава 1

Их поведение иллюстрирует следующий график.

-8

-4

0 1000

В соответствии с моделью порождения данных,

i -я семья выбирает

альтернативу

k , если для этой семьи альтернатива k имеет

максимальную полезность. В этом случае полагаем

= .

Результаты оценивания методом максимального правдоподобия:

Coefficient Std. Error z-Statistic Prob.

-1.655130 0.358914 -4.611496 0.0000

1.270612 0.097636 13.01381 0.0000

-0.001778 0.002134 -0.833304 0.4047

-1.031242 0.327444 -3.149372 0.0016

0.439590 0.087563 5.020273 0.0000

0.006283 0.001957 3.211368 0.0013

Все оцененные коэффициенты, за исключением

, имеют

высокую статистическую значимость.