Носко В.П. Эконометрика для начинающих. Дополнительные главы

Подождите немного. Документ загружается.

Модели с дискретными объясняемыми переменными…

Сравним истинные и оцененные значения коэффициентов:

Истинное

значение

Оценка

-0.8 -1.655130

1.0 1.270612

-0.0032 -0.001778

-0.4 -1.031242

0.3 0.439590

0.0032 0.006283

Знаки оцененных коэффициентов соответствуют знакам истинных

значений коэффициентов. Кроме того, соблюдается упорядочение

значений соответственных коэффициентов, имеющих одинаковые

знаки:

31213121

ˆˆ

ββββ

<< ,

32223222

ˆˆ

ββββ

>> .

На основании полученных оценок коэффицентов можно

вычислить прогнозные

значения вероятностей

{}

kyP

предпочтения альтернатив

3,2,1=k , полагая

{}

(

)

()()

exp

exp1

exp

ββ

kyP

и, используя эти прогнозные значения, дать предсказание номера

альтернативы, которую предпочтет семья из рассматриваемого дома

с заданной частотой посещения продуктового магазина и заданным

уровнем месячного дохода на одного члена семьи. Можно,

например, предсказывать для

i -й семьи в качестве

предпочтительной альтернативу

k , если

{}{}

ˆˆ

kllyPkyP

≠=>=

Глава 1

Применяя такое правило к нашему примеру, получаем следующие

результаты.

Альтернатива ( k )

1 2 3

Истинный объем

группы

146 603 251

Прогноз объема

группы

101 664 235

Здесь под группой k подразумевается группа семей (среди

рассматриваемых 1000 семей), отдающих предпочтение

альтернативе

k .

Следующая диаграмма отображает содержимое таблицы.

Объемы групп

100

200

300

400

500

600

700

123

Истинные

Прогнозные

Предсказанные объемы групп правильно воспроизводят

упорядочение между наблюдаемыми размерами групп: в обоих

случаях максимальное количество семей предпочитает альтернативу

2 и минимальное количество семей предпочитает альтернативу 1.

Хотя индивидуальные прогнозы и не являются главной целью в

подобных исследованиях, мы все же приведем сводную таблицу

Модели с дискретными объясняемыми переменными…

количеств правильных и неправильных прогнозов для значений

3,2,1=

y .

y =1

48 26 72

y =2

11 550 42

y =3

42 88 121

Таким образом, из 1000 прогнозов правильными оказались 719, т.е.

71.9%. При этом значения

y правильно прогнозируются в 48

случаях из 146, т.е. только в 32.9% случаев, тогда как значения

y правильно прогнозируются в 91.2% случаев; значения

y правильно прогнозируются в 48.2% случаев.

П р и м е р

В следующей ситуации, в отличие от предыдущих примеров,

одна из переменных специфична только в отношении альтернатив, а

другая зависит и от альтернативы и от субъекта

Пусть

stores – количество магазинов в k -м (из трех) торговом

центре,

dist – расстояние от места проживания i -й семьи до k -го

торгового центра. Выбранная модель порождения данных

имитирует поведение 1000 семей, предпочитающих совершать

покупки в этих трех торговых центрах. Каждая семья отдает

предпочтение одному из трех торговых центров, так что мы имеем

здесь 3 альтернативы. Альтернативы были занумерованы числами

3,2,1 произвольным образом.

Здесь переменная

stores специфична только в отношении

альтернатив, тогда как значения переменной

dist зависят и от

альтернативы и от конкретной семьи.

Предполагается, что

i -я семья приписывает k -й альтернативе

полезность

u ,

ikikk

diststores

εββ

, 1000,,1 K=i ,

Глава 1

где

( 1000,,1 K=i , 3,2,1=k ) – независимые в совокупности (и

независимые от

stores и

dist ) случайные величины, имеющие

одинаковое распределение с функцией распределения

(

)

ezG

−

−= exp)( ,– ∞ < z < ∞ .

Коэффициенты выбраны следующим образом:

0.1,6.0

−==

ββ

так что функции полезности для трех альтернатив имеют вид

111

6.0

diststores

+− ,

222

6.0

diststores

+− ,

333

6.0

diststores

+− .

В соответствии с моделью порождения данных,

i -я семья выбирает

альтернативу

k , если для этой семьи альтернатива k имеет

максимальную полезность. В этом случае полагаем

= .

Результаты оценивания методом максимального правдоподобия:

Coefficient Std. Error z-Statistic Prob.

0.932414 0.061646 15.12519 0.0000

-1.521518 0.101902 -14.93120 0.0000

Будем опять предсказывать для

i -й семьи в качестве

предпочтительной альтернативу

k , если

{}{}

ˆˆ

kllyPkyP

≠=>=

Применяя такое правило к нашему примеру, получаем следующие

результаты.

Альтернатива ( k )

1 2 3

Истинный объем

группы

674 275 51

Прогноз объема

группы

681 272 47

Модели с дискретными объясняемыми переменными…

Следующая диаграмма отображает содержимое таблицы.

Объемы групп

100

200

300

400

500

600

700

800

123

Истинные

Прогнозные

З а м е ч а н и е 1

Как мы уже отмечали выше, в рассмотренной нами

мультиномиальной логит-модели, в которой объясняющие

переменные специфичны только в отношении самих субъектов

исследования,

{}

(

)

(

)

()() ()()

112

expexp1

exp

ββββ

ββ

−++−+

−

kyP

Отсюда вытекает, что

{}

(

)

(

)

()()

mkT

myP

kyP

ββ

−=

−

exp

т.е. отношение вероятностей выбора альтернатив k и m

определяется только параметрами уравнений для полезностей этих

Глава 1

двух альтернатив и собственными атрибутами i -го субъекта и не

зависит от параметров уравнений для полезностей остальных 2−

альтернатив.

З а м е ч а н и е 2

Если рассматривается условная логит-модель (с постоянными

значениями коэффициентов во всех

уравнениях полезности), в

которой объясняющие переменные специфичны в отношении

альтернатив, то, как уже говорилось выше, в такой ситуации

{}

()

() ( )

ββ

kyP

expexp

exp

так что здесь

{}

(

)

()

()()

myP

kyP

−==

exp

т.е. отношение вероятностей выбора альтернатив

k и m

определяется только общим параметром уравнений для полезностей

различных альтернатив и значениями в

i -м наблюдении

объясняющих переменных, соответствующих

k -й и m -й

альтернативам. Это отношение не зависит

от значений в i -м

наблюдении объясняющих переменных, соответствующих

остальным

2−

альтернативам. Такое свойство независимости

оказывается нежелательным во многих ситуациях.

З а м е ч а н и е 3

Пусть среди объясняющих переменных в условной логит-

модели (с постоянными значениями коэффициентов

во всех

уравнениях полезности) имеются переменные, специфичные только

в отношении субъектов (т.е. значения этих переменных для i -го

субъекта не зависят от альтернативы). Пусть, соответственно,

(

)

wvx ,= ,

Модели с дискретными объясняемыми переменными…

где

v – вектор значений для i -го субъекта переменных, значения

которых зависят

от альтернативы, а

w - вектор значений для i -го

субъекта переменных, значения которых не зависят

от

альтернативы; соответственно разбивается и вектор коэффициентов:

(

)

TTT

δγβ

,= .

Тогда

{}

(

)

()( )

++++

δγδγ

δγ

wvwv

kyP

expexp

exp

(

)

() ( )

γγ

expexp

exp

так что эта вероятность не зависит

от значений переменных,

специфичных только

в отношении субъектов.

Чтобы (в рамках модели с постоянным вектором

коэффициентов) учесть возможное влияние таких переменных на

вероятности

{}

kyP

= , модель надо модифицировать. Одним из

возможных способов модификации является создание группы дамми

переменных для альтернатив (DUMMY для альтернативы

принимает значение 1, если

= , и принимает значение 0 в

противном случае) и умножение каждой из них на переменные, не

зависящие от альтернатив. Тем самым достигается изменение

коэффициентов при этих переменных в зависимости от альтернатив.

1.7. Цензурированная модель регрессии (тобит–

модель)

Развивая пример с наличием или отсутствием у семьи

собственного автомобиля, представим, что мы имеем следующие

данные. Для семей, имеющих автомобиль, известна стоимость этого

автомобиля

s (если в семье несколько автомобилей, то

s –

суммарная стоимость этих автомобилей). Таким образом, здесь мы

Глава 1

наблюдаем пары

()

observedpricex _, , где

x – среднедушевой

месячный доход i-й семьи,

⎩

⎨

⎧

автомобиля имеет не семья я- если ,0

автомобиль имеет семья я- если ,

observedprice

Обратимся к смоделированной выборке, состоящей из 1000

семей со среднедушевым месячным доходом от 100 до 1600 у.е. Для

удобства наблюдения переупорядочены в соответствии в

возрастанием

x , так что

100021

xxx ≤≤≤ L .

Диаграмма рассеяния для этих данных имеет весьма

специфический вид:

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

0 600 1200 1800

price_observed

Обращает на себя внимание большое количество точек,

расположенных на оси абсцисс. Таких точек 418, и это означает, что

418 из 1000 рассматриваемых семей не имеет собственного

автомобиля. В то же время среди семей, владеющих автомобилем,

минимальное значение цены автомобиля равно 2002 у.е., и это

может просто означать, что на автомобильном рынке, в том

числе и

вторичном, просто нет автомобилей с ценой менее 2000 у.е.

Модели с дискретными объясняемыми переменными…

Как проводить статистический анализ подобных данных?

Можно попытаться, например, использовать все 1000 наблюдений и

оценить по этим наблюдениям методом наименьших квадратов

линейную статистическую модель

iii

xobservedprice

εβα

++=_ .

При этом оцененная модель имеет вид

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C -2427.821 121.0156 -20.06205 0.0000

X 6.915595 0.126948 54.47591 0.0000

R-squared 0.748337

С другой стороны, можно проигнорировать наблюдения с

0_ =

observedprice и произвести оценивание той же линейной

модели только по таким наблюдениям (в количестве 582). При таком

подходе получаем

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C -1037.189 274.4903 -3.778599 0.0002

X 6.119677 0.233812 26.17353 0.0000

R-squared 0.541521 Mean dependent var 5919.670

Следующий график позволяет сравнить значения

observedprice_ ,

прогнозные значения, получаемые по первой модели (по 1000

наблюдениям), т.е.

iii

xxpricef 6.915595-2427.821

1000_ +=+=

βα

и прогнозные значения, получаемые по второй модели (по 582

наблюдениям), т.е.

iii

xxpricef 6.119677-1037.189

582_ +=+=

βα

Глава 1

-4000

-2000

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

0 600 1200 1800

PRICE_OBSERVED PRICEF_1000 PRICEF_582

Конечно, имея такую картину, мы вряд ли можем говорить об

адекватном представлении данных этими двумя моделями.

Желательно было бы построить модель процесса, который мог

породить такого рода данные. Для этой цели можно опять

использовать идею латентной переменной, но в данной ситуации

скорее следовало бы говорить о частично наблюдаемой

переменной.

Обращаясь к той же выборке, состоящей из 1000 семей,

рассмотрим линейную модель наблюдений

xprice

εσβα

++=

∗

, ni ,,1 K= ,

в которой

∗

price – цена, которую уплатила за покупку автомобиля

(автомобилей) i-я семья, если эта семья имеет автомобиль, или цена,

которую уплатила бы

за покупку автомобиля i-я семья, не имеющая

автомобиля, если бы эта семья решила приобрести автомобиль.

Естественно предполагать, что при этом

, так что возрастание

x приводит в среднем к возрастанию

∗

price . Однако существенное

влияние других ненаблюдаемых факторов, объединяемых в

случайную составляющую, может приводить к значительным