Носко В.П. Эконометрика для начинающих. Дополнительные главы

Модели с дискретными объясняемыми переменными…

71

отклонениям переменной

∗

i

price от “средней линии”

xprice

βα

+=

∗

. Возможные отрицательные значения

∗

i

price

свидетельствуют о наличии факторов, в той или иной степени

препятствующих

планированию каких бы то ни было расходов на

покупку автомобиля.

Предположим теперь, что i-я семья покупает автомобиль по цене

∗

i

price , если последняя превышает минимально возможную

стоимость

γ

автомобиля на рынке (первичном и вторичном), т.е.

если

γ

>

∗

i

price .

В такой модели наблюдений значения переменной

∗

i

price

наблюдаются лишь для части наблюдений – только для семей,

имеющих

автомобиль. Для остальных семей известно только, что

γ

≤

∗

i

price . Такие данные называют цензурированными (в данном

случае данные цензурированы слева на уровне

γ

), а саму модель

получения этих данных называют цензурированной линейной

моделью. При этом мы наблюдаем цензурированную переменную

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

≤

>

=

∗

∗∗

. если ,

,

если ,

_

γγ

γ

i

ii

price

priceprice

censoredprice

i

В нашем примере диаграмма рассеяния переменных

ii

censoredpricex _, принимает вид

Глава 1

72

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

0 600 1200 1800

x

price_censored

Если значение

γ

известно, то вместо переменной

∗

i

price можно

рассмотреть переменную

γ

−=

∗

i

pricey

i

.

Значения последней также наблюдаются только для семей,

имеющих автомобиль. Для остальных семей положим

0=

i

y , так что

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

≤

>−

=

∗

∗∗

.если,0

,

если,

γ

γγ

i

ii

price

priceprice

y

i

Диаграмма рассеяния переменных

ii

yx , в нашем примере имеет вид

Модели с дискретными объясняемыми переменными…

73

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

0 600 1200 1800

x

y

Теперь мы можем поставить вопрос о подходящем методе

оценивания параметров цензурированных линейных моделей.

Обычно при рассмотрении подобных ситуаций опираются на

предположение нормальности распределения ошибок

i

ε

.

(Впрочем, имеющиеся пакеты статистических программ позволяют

проводить статистический анализ и для других распределений

ошибок. Например, в пакете EVIEWS допускается использование

вместо нормального распределения ошибок логистического

распределения и распределения экстремальных значений первого

типа.)

Будем предполагать, что мы имеем дело с некоторым

показателем

∗

i

y , значения которого наблюдаются только при

условии

0>

∗

i

y (в нашем примере в качестве такого показателя

выступала переменная

2000−

∗

i

price ). Пусть в правую часть модели

для этого показателя включаются

p

объясняющих переменных

(показателей, характеризующих i-й субъект), т.е.

iippi

xxy

i

εθθ

+++=

∗

L

11

, ni ,,1 K= ,

Глава 1

74

и ошибки

n

εε

,,

1

K – независимые в совокупности (и независимые от

pjx

ij

,,1, K= ) случайные величины, имеющие одинаковое

нормальное распределение

i

ε

~

(

)

2

,0

σ

N . Наблюдаемыми являются

значения

pjx

ij

,,1, K= , ni ,,1 K= , и значения переменной

i

y ,

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

≤

>

=

∗

∗∗

.0если,0

,0

если,

i

ii

y

yy

y

i

О такой цензурированной модели регрессии говорят как о

стандартной тобит-модели (tobit model).

В стандартной тобит-модели для фиксированных значений

pjx

ij

,,1, K= , имеем

(

)

2

11

,~

σθθ

ippi

xxNy

i

++

∗

L ,

и

(

)

ippiij

xxpjxyE

i

θθ

++==

∗

LK

11

,,1, ,

т.е.

(

)

θ

T

ii

xxyE

i

=

∗

,

где, как и ранее, обозначено

T

p

T

ipii

xxx ),,(,),,(

11

θθθ

KK == . В

нашем примере значение коэффициента

j

θ

определяет изменение

ожидаемой суммы расходов на (возможную) покупку автомобиля

для семьи с вектором показателей

T

ipii

xxx ),,(

1

K= при увеличении

на единицу значения

j

-го показателя.

Если для оценивания коэффициентов

j

θ

использовать только

наблюдения с

0>

i

y , то получаем усеченную модель регрессии

iippii

xxy

εθθ

+++= L

11

,

1

,,1 ni K= ,

где

1

n – количество семей, имеющих автомобиль (среди всех n

рассматриваемых семей). Конечно, при переходе к усеченной

Модели с дискретными объясняемыми переменными…

75

модели придется заново перенумеровать используемые

1

n

наблюдений. В такой модели для значений

0>w имеем

{}

{

}

{}

0

>

≤<

=>≤=≤

∗

∗∗

i

ii

yP

wyP

ywyPwyP

i

,

где

{}

=

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

−

≤

−

<

−

=≤<

∗

σ

θ

σ

θ

σ

θ

T

i

T

i

T

i

xw

xy

x

PwyP

i

0

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

=

σ

θ

σ

θ

T

i

T

i

xxw

ΦΦ

и

{}

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

−=

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

−

≤

−

−=>

∗

σ

θ

σ

θ

σ

θ

σ

θ

T

i

T

i

T

i

T

i

xxxw

xy

PyP

i

ΦΦ110 .

Если взять теперь производную

{}

dwwydP

i

≤ , то получим

функцию плотности распределения случайной величины

i

y

(условного при заданном

i

x ):

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

=

σ

θ

σ

θ

ϕ

σ

T

i

T

i

y

xxw

wp

i

Φ

1

)( .

Отсюда получаем выражение для условного математического

ожидания

i

y :

()

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+==

∫

∞

σ

θ

λσθ

T

i

T

iyii

x

xdwwpwxyE

i

)(

0

,

где обозначено

() ()

zzz Φ

ϕλ

=)( .

Таким образом,

()

ii

xyE – нелинейная функция от

i

x и

ϕ

,

причем

()

θ

T

iii

xxyE > .

Глава 1

76

Рассмотрим теперь другой подход к оцениванию коэффициентов

исходной модели

iippi

xxy

i

εθθ

+++=

∗

L

11

, ni ,,1 K= ,

при котором неполные наблюдения не отбрасываются, а

учитываются при оценивании. В рамках этого подхода мы берем в

качестве объясняемой переменную

⎩

⎨

⎧

≤+

>++

=

0если,0

0 если,

i

T

i

T

ii

T

i

x

xx

y

εθ

εθεθ

.

В этом случае

{}

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−=−≤==

σ

θ

σ

θ

θε

T

i

T

i

T

iiii

xx

xPxyP ΦΦ 10

,

а для

0>w

{}

=

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

−

≤

−

=≤

σ

θ

σ

θ

T

i

T

ii

xwxy

PxwyP

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

σ

θ

T

i

xw

Φ

.

Это приводит к следующему выражению для условного

математического ожидания

i

y :

()

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−⋅=

∫

∞

σ

θ

σ

θ

ϕ

σ

θ

T

i

T

i

T

i

ii

x

dw

xw

w

x

xyE ΦΦ

0

10

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+=

σ

θ

σ

θ

λσθ

T

i

T

i

T

i

xx

x Φ

.

Оно отличается от выражения для

()

ii

xyE в усеченной модели

умножением последнего на

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

σ

θ

T

i

x

Φ

, т.е. на величину, меньшую

единицы. Раскрывая скобки в правой части, получаем представление

()

=

ii

xyE

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅

σ

θ

σ

θ

λσ

σ

θ

T

i

T

i

T

i

T

i

xxx

x ΦΦ

=

Модели с дискретными объясняемыми переменными…

77

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅=

σ

θ

ϕσ

σ

θ

T

i

T

i

T

i

xx

x Φ

.

Предельный эффект изменения переменной

ij

x равен

()

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅=

∂

σ

θ

T

i

j

ij

ii

x

xyE

Φ

,

т.е. меньше

значения коэффициента

j

θ

в исходной модели: он

получается умножением этого коэффициента на вероятность того,

что

0>

∗

i

y .

Заметим в связи с этим, что если

()

ii

xyE

~

– условное

математическое ожидание значения

i

y в усеченной модели, то для

него

()

[]

)()(1

~

2

zzz

x

xyE

j

ij

ii

λλθ

−−=

∂

,

где

() ()

zzz Φ

ϕλ

=)( ,

σ

θ

T

i

x

z =

.

Продолжим рассмотрение смоделированной выборки, состоящей

из 1000 семей, 582 из которых имеют автомобиль. Подберем к тем

же данным усеченную и цензурированную модели.

Заметим, что если переменная

2000−=

∗∗

i

pricey

i

порождается

моделью

ii

xy

i

εβα

++=

∗

, 1000,,1 K=i , то сама переменная

∗

i

price

порождается моделью

ii

xprice

i

εβα

+++=

∗

)2000( . Поэтому

достаточно произвести оценивание коэффициентов модели

ii

xy

i

εβα

++=

∗

, опираясь на данные

()

ii

yx , . Такое оценивание

приводит к следующим результатам.

Глава 1

78

Усеченная модель:

Coefficient Std. Error z-Statistic Prob.

C -5710.678 480.1485 -11.89357 0.0000

X 8.103471 0.376079 21.54728 0.0000

Error Distribution

σ

1822.273 66.21537 27.52040 0.0000

Цензурированная модель:

Coefficient Std. Error z-Statistic Prob.

C -6041.883 233.5302 -25.87195 0.0000

X 8.363125 0.209276 39.96215 0.0000

Error Distribution

σ

1823.565 53.95272 33.79933 0.0000

Это приводит к следующим оцененным моделям для прогноза

значений переменной

∗

i

price :

i

x..price

i

10347186783710 +−=

∗

(усеченная модель),

i

xprice

i

8.3631254041.883 +−=

∗

(цензурированная модель).

Дисперсии случайных составляющих оцениваются, соответственно,

как 1822.273 и 1823.565. Заметим, что “теоретическая” модель, по

которой генерировались данные, имела вид

ii

uxprice

i

180083600 ++−=

∗

,

где

10001

,, uu K – независимые случайные величины, имеющие

одинаковое стандартное нормальное распределение

)1,0(N .

На следующем графике для сравнения показаны значения

переменной

∗

i

price и прогнозные значения для этой переменной,

полученные по оцененной усеченной модели (

trunstarfprice __ ) и

по оцененной цензурированной модели (

censstarfprice __ ).

Модели с дискретными объясняемыми переменными…

79

-8000

-6000

-4000

-2000

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

0 1800

PRIСE_STAR PRICE_STARF_CENS PRICE_STARF_TRUN

Отметим, что прогнозные значения, полученные по двум оцененным

моделям, весьма близки.

На следующем графике представлены значения переменной

i

y и

ожидаемые значения переменной

i

y , рассчитанные по двум

оцененным моделям.

Глава 1

80

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

0 600 1200 1800

Y Y F_TRUNC YF_CENSORED

Отметим, что для значений

1330≥

i

x ожидаемые значения

i

y ,

рассчитанные по цензурированной модели, больше

ожидаемых

значений

i

y , рассчитанных по модели; однако это различие

практически незаметно. В то же время, для значений

1330<

i

x

ожидаемые значения

i

y , рассчитанные по цензурированной модели,

меньше

ожидаемых значений

i

y , рассчитанных по усеченной

модели, причем это различие становится весьма заметным при

уменьшении значений

i

x .

Заметим еще, что ожидаемые значения

i

y , рассчитанные и по

усеченной и по цензурированной модели, положительны для всех

1000 наблюдений, тогда как это не выполняется для линейных

моделей, подобранных методом наименьших квадратов

Так, оценивание обычным методом наименьших квадратов

модели

iii

xy

εβα

++= по всем 1000 наблюдениям дает

следующую картину:

Носко В.П. Эконометрика для начинающих. Дополнительные главы

Подождите немного. Документ загружается.