Санагурський Д.І. Об’єкти біофізики: монографія

Подождите немного. Документ загружается.

281

Такі структури є якісним етапом для оцінення

взаємодіючих елементів і джерелом для складання математичних

моделей з кількісним їхнім дослідженням. Усі розрахунки за

запропонованою схемою проводили на електронно обчислю-

вальних засобах різної потужності.

6.4. Äîñë³äæåííÿ äèíàì³êè

ïðîöåñ³â: êîðåëÿö³éíèé

³ ñïåêòðàëüíèé àíàë³çè ÷àñîâèõ

ðÿä³â

Більшість методів аналізу динаміки

процесів засновано на припущенні, що зміни у часі різних

показників можна розглядати як стаціонарний випадковий

процес, який володіє ергодичними властивостями (Н.Б. Игошева и

др., 2001; Н.А. Хованова, И.А. Хованов, 2001). Під випадковим

процесом розуміють процес зміни стану деякої системи в часі, що

підкоряється ймовірнісним (статистичним) законам. Перехід

системи з одного стану в інший є випадковою подією, що загалом

залежить від усього попереднього перебігу процесу.

Завданням нашого дослідження стало вивчення

багатомірного випадкового процесу, який описується багатьма

параметрами. Розпочинаючи це дослідження, необхідно було

передбачити насамперед відбір експериментальних даних як

вихідний матеріал для розрахунків часових характеристик

досліджуваних процесів. Об’єктами аналізу були послідовні

282

значення різних фізико-хімічних та метаболічних показників

зародків в’юна та шпорцевої жаби, виміряні у дискретні моменти

часу – часові ряди. Якщо одночасно реєструють декілька

характеристик процесу, то йдеться про багатомірні часові ряди.

Множину значень кожного ряду X(t

), …, X(t

) розглядали як

сукупність спостережень над деяким багатомірним комплексом.

Для кожного завдання ряди динаміки групували за спільною

часовою основою та підбирали однаковий інтервал часу ∆t між

сусідніми вимірами, які позначали символами X

, X

, …, X

тощо (М. Кендэл, А. Стьюарт, 1976).

Метою аналізу часових рядів є визначення характеристик

процесу, якому належить часовий ряд. Це означає, що та чи інша

характеристика має віддзеркалювати властивості не окремо взятої

реалізації, а всього статистичного ансамблю реалізацій

випадкового процесу. Визначення будь-якої характеристики має

включати операцію обчислення середніх за ансамблем значень.

Але дуже важливий клас процесів, які можна охарактеризувати, не

володіючи статистичним ансамблем. Це т. зв. ергодичні процеси.

Властивість ергодичності є принциповою у методах аналізу

часових рядів і означає, що всі статистичні характеристики

процесу можна отримати на основі вивчення однієї реалізації

випадкового процесу, якщо процедуру обчислення середніх за

ансамблем значень замінити усередненням за часом. Отже, для

математичного аналізу динаміки показників важливе значення мав

об’єм вибірки або довжина ряду, тобто число значень кожного

показника N.

283

Послідовність часових значень різних показників,

наприклад, динаміка трансмембранного потенціалу чи швидкості

поглинання кисню, включає у себе стаціонарні та перехідні

процеси, чи нестаціонарні зміни, які можна описати як:

(

)

(

)

(

)

tUtMtX += ,

де X(t) – експериментально отримана реалізація

нестаціонарного випадкового процесу;

M(t) – деяка детермінована функція, що визначає

нестаціонарну частину аналізованих даних (тренд);

U(t) – реалізація стаціонарного випадкового процесу.

Після виділення і видалення тренду з часового ряду

нестаціонарних даних X(t) аналіз зводиться до аналізу стаціонарної

складової U(t) класичними статистичними методами. Тренд – це

плавні загальні зміни неколивного типу протягом тривалого

відрізку часу. Якщо виключити тренд – залишається коливний ряд,

який може в одному разі відображати випадкові флуктуації, а у

другому – ритмічний коливний рух. Цей коливний ряд прийнято

називати осциляцією. Коли зміни загального рівня досить

повільні, порівняно до динаміки, яку оцінюють, використовують

стандартний підхід до дослідження систем з повільно-мінливими

параметрами. У цьому разі припускають, що на невеликих

проміжках часу процес приблизно можна вважати стаціонарним і

застосовувати класичний апарат аналізу динаміки процесів

(Н.А. Хованова, И.А. Хованов, 2001).

У процесі дослідження динаміки показників ми засто-

совували статистичні методи:

284

1. Розрахунок авто- та крос-кореляційних функцій, які

дають змогу оцінити статистичні особливості випадкових процесів

у часовій області.

2. Метод спектрального аналізу, за яким можна оха-

рактеризувати особливості процесів у області частот: розрахунок

спектра потужності.

Для виявлення та кількісного оцінення ступеня

взаємозв’язку між значеннями даних, які розділяє певний часовий

інтервал, часто користуються нормованою кореляційною

функцією, що відображає залежність коефіцієнта кореляції від

величини часового зсуву.

Якщо ці значення даних належать до одного часового ряду,

тоді зазначену функцію вважають авто кореляційною, а коли

вибірка динаміки показника X(t) відповідає моментам часу 0, ∆t,

2∆t, …, N∆t і їхні значення рівні X

, X

, …, X

, її розраховують за

такою формулою:

де кількість часових зсувів n = 0, 1, 2, … , M; M << N;

N – кількість значень показника;

M – вибіркове середнє ряду.

∑

−

∑

−−

+−

=Δ

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

xnkxk

MXMX

t nR

6.12

285

Якщо ж ці значення даних належать до різних часових

рядів X(t) та Y(t), тоді нормовану кореляційну функцію вважають

крос-кореляційною, або функцією взаємної кореляції, розраховану

за формулою:

Функції кореляції, або залежність коефіцієнта кореляції від

величини зсуву, графічно описують авто- та крос-корелограмами.

Форма корелограм несе важливу інформацію про характер

динаміки процесів та є самостійним параметром оцінення

динаміки показників. Аналіз R

(nΔt) у широкому діапазоні змінної

nΔt дає змогу більш детально дослідити характер динаміки

показників та визначити період їхніх коливань.

Положення максимумів функції автокореляції

відповідають такому часовому зсуву, при якому відбувається збіг

періодів коливань цього показника. Криву автокореляційної

функції можна проаналізувати таким чином: якщо при зсуві на

певну кількість часових інтервалів спостерігається максимум, то

йому відповідає повторення змін показника з певним періодом T

(рівний величині зсуву). Ще один максимум, який спостерігається

при зсуві на іншу кількість часових інтервалів (не кратну першому

зсуву), означатиме, що є ще ритмічні зміни цього показника з

іншим періодом Т.

Нагадаємо, що коефіцієнт кореляції може набувати

значення від -1 до 1 і не залежить від одиниць вимірювання

[]

.MYMX

MYMX

1nN

nΔΔR

1/2

ynk

ynkxk

∑

−

∑

−

∑

−−

+−

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

6.13

286

показника X(t). Причому, максимальне значення коефіцієнт

автокореляції набуває на нулі (за браком зсуву). Залежно від

внутрішньої структури експериментальних даних швидкість

зменшення R

(nΔt) на автокорелограмах може істотно

змінюватись у різних діапазонах за змінною nΔt.

За формою крос-корелограм між коливними складовими

різних показників можна виконати такий аналіз. По-перше,

виявити взаємозв’язок між їхніми змінами та оцінити, з яким

періодом він відбувається. По-друге, за часом появи та величиною

першого максимуму R

можна розрахувати фазові співвідношення

між процесами (упередження чи відставання одного від другого), а

також оцінити стабільність виявлених взаємозв’язків у часі.

На відміну від раніше розглянутих імовірнісних методів,

які дають змогу описати статистичні особливості динаміки

процесів у часовій області, за допомогою спектрального аналізу

можна охарактеризувати частотний склад досліджуваного процесу

(часового ряду). Його суть полягає в розкладанні складного

процесу на прості періодичні складові (гармонічні коливання типу

синусоїди). Аналіз теоретично оснований на перетворенні Фур’є.

Пряме перетворення Фур’є дає нам спектр функції, що

описується рівнянням:

()

dtX(t)e

tiω

∫

∞+

∞−

⋅−

(6.14)

де X (t) – часова функція (досліджуваний процес);

ω– кругова частота, ω = 2π f;

287

i – уявна одиниця ((-1)

-2

);

ƒ=1/T, де T – період коливних складових.

Зворотне перетворення Фур’є для опису функції спектром

має вигляд:

() ()

[]

dttsinωωibtcosωωa2X(t)

∫

⋅+⋅=

∞

. (6.15)

Слід відзначити, що для реалізації стаціонарних

випадкових процесів перетворення Фур’є немає, оскільки не

виконується умова абсолютного інтегрування. Для аналізу

особливостей випадкового процесу X(t) у частотній області

користуються іншою характеристикою – спектром потужності S(f).

Відмінність F(f) і S(f) у тому, що F(f) визначає амплітудний спектр,

a S(f) - енергетичний спектр (Н.А. Хованова, И.А. Хованов, 2001).

Практичні формули опису функції у вигляді спектра:

tωa...tsωatωa

(t)X

kx2211

coscocos

++++=

(6.16)

tsinωb...tsinωbtsinωb(t)X

kk22112

+++= , (6.17)

де

kωω

×= – кратні частоти (гармоніки основної частоти).

Тобто функцію описують за сумою синусів і косинусів.

Розкладання в ряд Фур’є фактично є комплексною

величиною: має два ряди коефіцієнтів a і b, що у векторній сумі

дають модуль с. Якщо виразити функцію через коефіцієнт с, тоді

)(ωc...)t(ωc)t(ωc

X(t)

kkk222111

ϕϕϕ

+++++++= coscoscos

.(6.18)

Тобто в загальному вигляді часову функцію можна

зобразити так:

288

() ()

∑

+++=

kkk

ε)t(ωctMtX

cos , (6.19)

де М(t) – біжуче середнє значення процесу (тренд);

σ)N(0;~ε

– залишкові відхилення (похибка) опису

дискретної функції X(t) обмеженим числом частот.

Ряд коефіцієнтів с

характеризує амплітуди періодичних

складових, квадрати величини яких є енергетичним спектром, або

періодограмою цього процесу:

baс +=

, (6.20)

де k = 1 ... n/2 – загальна кількість спектральних складових;

arctg=

(6.21)

– фази, з якими вони входять у сумарний опис процесу.

Енергетичний спектр, описаний рядом коефіцієнтів

c ,

тобто періодограма, засвідчує вклад кожної частоти в загальну

динаміку процесу, оскільки за таким параметром спектральні

складові є адитивними (Н.А. Хованова, И.А. Хованов, 2001).

За аналогією з амплітудним спектром, спектр потужності

періодичного сигналу з періодом T є періодичним та містить

базову частоту f =1/T і гармоніки, тобто частоти складових, кратні

основній частоті k∙f, k = 2, 3, 4,… .

289

6.5. Ñõåìà òà åòàïè

äîñë³äæåííÿ äèíàì³êè

ìåòàáîë³÷íèõ ³ á³îåëåêòðè÷íèõ

ïðîöåñ³â

Після відбору експериментального мате-

ріалу оцінювали та аналізували динаміку фізико-хімічних показ-

ників за такою схемою:

1. Підготування даних до аналізу.

2. Розрахунок основних часових характеристик динаміки

окремих досліджуваних показників.

3. Аналіз загальної картини динаміки у ранньому ембріо-

генезі метаболічних і біоелектричних процесів як цілісної системи.

4. Оцінення достовірності одержаних результатів аналізу.

5. Інтерпретація результатів часового аналізу та їхнє

узагальнення.

Під час математичного аналізу динаміки використали

пакет прикладних програм STATGRAРНICS, зокрема, програм з

розділу TIME SERIES PROCEDURES.

Попереднє оброблення відібраних даних про зміни

реєстрованих показників полягало у переведенні їх з графічної у

цифрову форму. Цю процедуру виконано за допомогою програми

GRAPH DIGITIZER, що забезпечує певний самоконтроль відбору

даних. Одержані часові ряди проквантовано з однаковим часовим

інтервалом між значеннями показників. Візуальний аналіз

динаміки показників проводили за допомогою графічних методів

290

опису даних з використанням підпрограми HORIZONTAL TIME

SEQUENSE PLOT з підрозділу TIME SERIES ANALYSIS. За

допомогою графічного опису часових рядів контролювали

можливість появи помилок, які можуть виникати під час відбору

даних. Такий аналіз давав змогу зробити попередні висновки про

характер процесу, які надалі перевіряли та уточнювали за

допомогою розрахунків конкретних характеристик ряду. Оскільки

візуально динаміка більшості досліджуваних показників

характеризується короткотривалими коливаннями відносно більш

довготривалих змін, тому насамперед ці ряди розкладено на

адитивні компоненти – часовий тренд та коливний процес. Для

виділення тренду з динаміки деяких показників було використано

підпрограму POLINOMIAL SMOOTHING з підрозділу

SMOOTHING. Видалення повільних неперіодичних змін із

динаміки показників з одержанням у результаті коливних

складових проводили за допомогою поліноміальної моделі,

використовуючи підпрограму MEAN OR TREND REMOVAL з

підрозділу TIME SERIES ANALYSIS. Числові значення

аперіодичних та періодичних складових досліджуваних показників

надалі використовували як вихідні дані та аналізували окремо.

На наступному етапі оцінювали основні часові

характеристики динаміки окремих досліджуваних параметрів

зародкових клітин. Він включав автокореляційний та

спектральний аналізи динаміки кожного з досліджуваних

показників для виявлення періодичності (або майже

періодичності) в характері динаміки процесу, який описує певний

показник. Таку подвійну перевірку проводили з метою уникнення