Шинкарик М.І. Вища математика
Подождите немного. Документ загружается.
21
Приклад 3. Обчислити визначник 5-го порядку
13121
21312
51041
32211
13102
−
−
−
=Δ
.
Розв’язування. Додамо до елементів першого стовпця відпові-
дні елементи третього стовпця, помножені на “-2”, а від елементів
четвертого стовпця віднімемо потроєні елементи третього і від
п’ятого – віднімемо елементи третього. В результаті одержимо
.
2623
1814
5541
1415
)1(1
26123
18314
51041
14215
00100
31
−−−
−
−−
−⋅=
−
−−−
−
−−
=Δ
+
Додамо до елементів першого стовпця відповідні елементи
четвертого стовпця, помножені на “5”, від елементів другого стовп-
ця віднімемо відповідні елементи четвертого стовпця, а до елемен-
тів третього стовпця додамо відповідні елементи четвертого стовп-
ця, помножені на число “4”.
.
14013
1229
19126
)1(1
214013
11229
519126
1000
41
−−
−
−⋅=
−−−
−
=Δ
+
Додамо до елементів другого рядка подвоєні елементи першо-
го рядка:
.264338602
1413
2643
)1()1(
14013
26043
19126
14013
1229
19126
21
=−=
=−⋅−=
−
=−−
−
+
Отже, визначник
.264−=Δ
Визначник
−
n
го порядку можна обчислити, звівши його до
трикутного вигляду.
Означення
. Визначником трикутного вигляду називається
визначник, в якого нижче (або вище) головної діагоналі всі нульові
елементи, тобто:
22
,
a...000
...............
a...a00
a...aa0
a...aaa
nn
n333
n22322
n1131211
1
=Δ .
a...aaa
...............
0...aaa
0...0aa
0...00a
nn3n2n1n
333231
2221
11
2
=Δ
ТЕОРЕМА. Визначник трикутного вигляду дорівнює до-
бутку діагональних елементів.
Доведення. Дійсно, оскільки визначник дорівнює алгебраїчній
сумі добутків його елементів, узятих по одному з кожного рядка і
кожного стовпця, то єдиним відмінним від нуля доданком є добуток
елементів, які стоять по головній діагоналі:
nn33221121
a...aaa ⋅⋅⋅=Δ=Δ
⋅
.
Довільний визначник можна звести до визначника трикутного
вигляду, використавши його властивості.
Приклад 4. Обчислити визначник третього порядку, звівши
його до трикутного вигляду:
.
351
493
372
=Δ
Розв’язування. Поміняємо місцями елементи першого та тре-
тього рядків, змінивши знак перед визначником на протилежний:
.
372
493
351
−=Δ
Додамо до елементів другого та третього рядків відповідні
елементи першого рядка, помножені відповідно на “-3” і “-2”:
.
330
560
351
−−
−−−=Δ
З третього рядка винесемо спільний множник “-3” за знак ви-
значника і одночасно поміняємо місцями другий та третій рядки.
При цьому перед визначником знак зміниться на протилежний:
.
560
110
351
)3(
−−
−=Δ
Додамо до елементів третього рядка відповідні елементи дру-
гого рядка, помножені на “6”.
23
.
100
110
351
)3(−=Δ
Звідси одержимо
.31113 −=⋅⋅⋅−=Δ
Приклад 5. Обчислити визначник п’ятого порядку:
2143
3214
4321
1432
=Δ
.
Розв’язування. Поміняємо місцями два перші рядки, змінивши
знак перед визначником на протилежний:
.
2143
3214
1432
4321
−=Δ
Додамо до елементів другого, третього та четвертого рядків
відповідні елементи першого рядка, помножені відповідно на “-2”,
“-4”,“-3”. Одержимо
.
10820
131070
7210
4321
−−−
−−−
−−−
−=Δ
Додамо до елементів третього та четвертого рядків відповідні
елементи другого рядка, помножені на “–7” і “–
2”.
.
4400
36400
7210
4321
−
−−−
−=Δ
Якщо додати елементи третього і четвертого рядків, то визна-
чник матиме трикутний вигляд:
,
40000
36400
7210
4321
−−−
−=Δ
який дорівнює добутку елементів головної діагоналі:
.160404)1()1( =⋅⋅−⋅−=Δ
24
§ 4. Поняття матриці
Матрицею називається прямокутна таблиця із
n
m
× чисел,
яка містить
m
рядків та
n
стовпців, взята в квадратні або круглі
дужки.
.
a...aa
............
a...aa
a...aa
a...aa
............
a...aa
a...aa
mn2m1m
n22221
n11211
mn2m1m
n22221
n11211
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
(1.2)
Або коротко
[]
ij
а ).n,...,2,1j;m,...,2,1i( ==
В цьому випадку вважають, що матриця має розмірність
n
m
×
.
Матриці позначають великими латинськими буквами
,...Е,С,В,А
Числа
ij
a
називаються елементами матриці, де перший ін-
декс
i означає номер рядка, а другий
j
- номер стовпця. Якщо кіль-
кість рядків не рівна кількості стовпців, тобто
n
m
≠ , то матриця
називається прямокутною, розмірності
n
m
× , а якщо
n
m
= - ква-
дратною. В цьому випадку число
n
m
=
називається порядком ма-
триці. Елементи квадратної матриці, в яких
ji = утворюють голов-
ну діагональ.
Квадратна матриця називається
діагональною
, якщо всі її еле-
менти, крім елементів головної діагоналі, дорівнюють нулю, тобто
.
a...00
............
0...a0
0...0a
A
nn
22
11
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
Тут окремі елементи головної діагоналі можуть бути нульо-
вими.
Якщо в діагональній матриці всі елементи головної діагоналі
дорівнюють одиниці, то її називають одиничною матрицею. Вона
позначається буквою
Е
і має вигляд
.
1...00
............
0...10
0...01
Е
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
25
Дві матриці А і В називаються рівними, якщо вони мають рі-
вну кількість рядків та стовпців і відповідні елементи яких співпа-
дають.
Матриця, в якої всі елементи дорівнюють нулю, називається
нуль-матрицею або нульовою. ЇЇ позначають буквою О.
Якщо матриця складається тільки з одного рядка, то вона на-
зивається матрицею
-рядком.
Матриця, яка складається з одного стовпця, називається мат-
рицею-стовпцем.
Якщо в матриці А поміняти рядки на стовпці, а стовпці – на
відповідні рядки, то одержану матрицю називають транспонова-
ною і позначають
.А
T
Якщо визначник квадратної матриці дорівнює нулю
)0А( = ,
то матриця А називається виродженою (або особливою) і при
0А ≠
невиродженою (або неособливою).
Матриця вигляду
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
nn
n333
n22322
n1131211
a...000
...............
a...a00
a...aa0
a...aaa
А
а матриця
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
nn3n2n1n
333231
2221
11
a...aaa
...............
0...aaa
0...0aa
0...00a
А
Матрицю
0...0...000
.....................
a...a...000
a...a...a00
a...a...aa0
a...a...aaa
A
jnjj
n3j333
n2j22322
n1j1131211
=
називається
верхньою
трикутною,
називається
нижньою
трикутною.
26
називають матрицею трапецеїдального вигляду, якщо одночасно
jj2211
a,...,a,a відмінні від нуля.
Приклад 1. Задано матриці :
1)
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=
041
123
A
, 2) ,
01
42
13
A
T
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
=
3) ,
5
1
2
B
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−=
4)
[]
6103C = , 5)
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
=
3060
0000
0020
0004
D
, 6)
.
00
00
О
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
Тут:
1)
A
− прямокутна матриця розмірності 32× ;
2)
−
T
A
транспонована матриця до матриці
A
;
3)
−
B
матриця-стовпець;
4)
−C матриця-рядок;
5)
−
D
діагональна матриця четвертого порядку;
6)
−О нульова матриця другого порядку.
Приклад 2. Для виготовлення п’яти видів ялинкових прикрас
на фабриці витрачається певна кількість матеріалу. Конкретні циф-
рові дані вказані в таблиці:
Матеріал 1 2 3 4 5
Скло (кг) 2,5 3,0 2,8 4,0 1,8
Залізні прищіпки (к-ть) 180 192 185 410 156
Фарба (кг) 1,3 1,5 1,4 2,0 1,0
Охарактеризувати зміст рядків та стовпців цієї таблиці.
Розв’язування. Вказані 15 чисел можна записати у вигляді
прямокутної матриці розмірності
53× .
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
0,10,24,15,13,1
156410185192180
8,10,48,20,35,2
.
Кожен рядок і стовпець цієї матриці мають певний економіч-
ний зміст. Так, елементи першого рядка вказують кількість витраче-
ного скла ( в кг) на виготовлення кожного із п’яти видів ялинкових
прикрас. Числа другого рядка вказують на потреби в кількості заліз-
27
них прищіпок, які потрібні на виготовлення цих виробів. Елементи
третього рядка характеризують потреби фарби (в кг) , яка викорис-
товується при виготовленні відповідного виду продукції.
Стовпці матриці вказують на конкретну кількість скла, заліз-
них прищіпок та фарби, які потрібні на виготовлення кожного із
п’яти видів ялинкових прикрас.
Так, наприклад, елементи
третього стовпця означають, що на
виготовлення прикрас третього виду потрібно 2,8 кг скла, 185 шт.
залізних прищіпок і 1,4 кг фарби.
Приклад 3. Ціни на деякі види товару характеризуються у
гривнях, доларах США(USD), євро(EUR), англійських фунтах(GBR)
і рублях Росії(RUR).
Вид товару Грн. USD EUD GBR RUR
Чоловіча куртка 1230 232,1 238,8 155,3 7318,5
Жіноча кофта 120 22,6 23,3 15,2 714
Спортивний костюм 320 60,4 62,1 40,4 1904
Чоботи 415 78,3 80,30,3 52,4 1592,8
Охарактеризувати зміст окремих елементів таблиці.
Розв’язування. Числові дані цієї таблиці можна записати у ви-
гляді прямокутної матриці:
.
8,15924,523,803,78415
19044,401,624,60320
7142,153,236,22120
5,73183,1558,2381,2321230
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
Кожний елемент має певний економічний зміст. Наприклад,
елемент
21
a
означає, що жіноча кофта коштує 120 гр., елемент
32
a
означає, що спортивний костюм коштує 60,4 доларів США, а еле-
мент
44
a
вказує на ціну чобіт в 52,4 англійських фунтів.
Елементи, наприклад, першого рядка визначають ціни чолові-
чої куртки в різних грошових одиницях: 1230 грн.;232,1 доларів
США; 238,8 євро; 155,3 англійських фунтів; 7318,5 рублів Росії.
§ 5. Дії над матрицями
Нехай задано дві матриці однієї розмірності
n
m
×
:
28
,
a...aa
............
a...aa
a...aa
A
mn2m1m
n22221
n11211
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
= .
b...bb
............
b...bb
b...bb
B
mn2m1m
n22221
n11211
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
Означення. Сумою (різницею) двох матриць
А
і
В
назива-
ється така матриця
С розмірності
n
m
×
, елементи якої
ij
с
до-
рівнюють алгебраїчній сумі ( різниці ) відповідних елементів
ij
a і
ij
b
матриць
А
і В , тобто
.
ba...baba
............
ba...baba
ba...baba
BAC
mnmn2m2m1m1m
n2n222222121
n1n112121111
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
±±±
±±±
±±±
=±=
Із цього означення випливають властивості:
1.
A
B
B
A
+=+ (комутативність);
2.
C)BA()CB(A ++=++ (асоціативність);
3.
AA00A =±=± (нейтральність);
4.
TTT
BA)BA( ±=± ( транспонованість).
Приклад 1. Знайти суму і різницю матриць.
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=
014
213
A
,
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
=
653
412
В
.
Розв’язування.
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
++−+
−++−+
=+
661
205
6051)3(4
)4(21123
BA
,
.
647
621
6051)3(4
)4(21123
BA
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−−−
−−−−−
=−
Приклад 2. Три магазини “Продтовари” продають продукти
протягом робочого дня. Дані про торгівлю двох змін характеризу-
ються таблицями:
І зміна
Вид
п
р
од
у
кції
1
магазин
2
магазин
3
магазин
Масло
селянське
(
кг
)
8
12
10
Ковбаса
(
кг
)
26
20
18
Міне
р
альна
вода
(
шт
.
пл
. )
48
52
61
Го
р
ілка
(
шт
.
пл
. )
21
25
35
29
ІІ зміна
Ви
д
п
р
о
ду
к
ц
ії
1
магазин
2
магазин
3
магазин
Масло
селянське
(
кг
)
14
16
21
Ковбаса
(
кг
)
31
33
42
Міне
р
альна
во
д
а
(
шт
.
пл
. )
56
40
62
Го
р
ілка
(
шт
.
пл
. )
23
28
34
Знайти дані про сукупний одноденний продаж товару кожним
магазином.
Розв’язування. Зміст цих таблиць можна записати у вигляді
двох прямокутних таблиць:
,
352521
615248
182026
10128
А
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
342823
624056
423331
211614
В .
Сума цих двох матриць характеризує дані про сукупний одно-
денний продаж кожного із видів продукції:
+
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=+=
352521
615248
182026
10128
BAС
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
342823
624056
423331
211614
=
.
695344
12392104
605357
312822
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
Означення. Добутком матриці
A
на число k (або числa k
на матрицю
A
) називається матриця , елементами якої є до-
бутки елементів матриці
A
на число k :
.
ka...kaka
............
ka...kaka
ka...kaka
a...aa
............
a...aa
a...aa
kAkkA
mn2m1m
n22221
n11211
mn2m1m
n22221
n11211
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⋅=⋅==⋅
Із означення добутку матриці на число (або числа на матрицю) ви-
пливає, що
1.
;A)km()mA(k =
2.
;AmAkmAkA)mk(AA)mk( +=+=+=+
3.
;BA)BA( λ+λ=+λ
4.
,0A =λ якщо ;0=λ
5.
,0A =λ
якщо .0A =
30
Приклад 3. Знайти матрицю
A
4
, якщо матриця
.
026
532
104
213
A
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
=
Розв’язування. Згідно з означенням, одержимо:
.
0824
20128
4016
8412
042464
54)3(424
)1(40444
)2(41434
A4
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⋅⋅⋅
⋅−⋅⋅
−⋅⋅⋅
−⋅⋅⋅
=
Приклад 4. Обчислити матрицю
B4A2C −= , якщо
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−=
04
15
23
A , .
62
42
01
B
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−=
Розв’язування. Використавши формулу множення матриці на
число і формулу віднімання матриць, одержимо:
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−=
08
210
46
A2
,
,
248
168
04
B4
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−=
.
240
1818
42
248
168
04
08
210
46
C
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−=
Приклад 5. Підприємство виробляє три види продукції
А,В,С.
Норми витрат ресурсів на одиницю продукції задані в таблиці:
Ресурси
А В С
Сировина
X
(шт.) 3 4 1
Сировина
Y
(кг) 2 1,5 1,4
Сировина
Z
(кг) 5 6 2,3
Знайти витрати ресурсів на виготовлення 6 комплектів проду-
кції.
Розв’язування. Витрати ресурсів на виробництво одиниці ви-
робів можна представити у вигляді матриці: