Шинкарик М.І. Вища математика
Подождите немного. Документ загружается.
61
Це означає, що третьому рівнянню не можуть задовольняти
жодні значення невідомих. Тобто вихідна система рівнянь розв’язків
немає.
Особливо зручно користуватись методом Жордана-Гаусса в
матричній формі, яка представлена таблицею. При цьому її перетво-
рення здійснюється з допомогою певних кроків.
1. Вибираємо ключовий елемент
0a
ij
≠ . Ключовий рядок на
кожному етапі вибирається інший так, щоб йому відповідала тільки
одна невідома.
2. Елементи
i -го рядка (ключового) ділимо на
ij
a
і записує-
мо в
i -ий рядок наступної розрахункової таблиці.
3. Елементи ключового стовпця (крім ключового елемента,
який рівний 1 ) записуємо нульовими.
4. Інші елементи наступної розрахункової таблиці (в тому
числі і контрольного стовпця) обчислюємо за формулою
kl
ij
il
klkl
a
a
a
aa −=
′
)lk;ik;n,...,2,1l;n,...,2,1k( ≠≠== .
5. Порівнюємо суму елементів рядка розрахункової таблиці з
відповідним елементом контрольного стовпця (
Σ
).
Перехід від однієї матриці-таблиці до іншої за методом Жор-
дана-Гаусса називається симплексним перетворенням матриць-
таблиць.
Приклад 2. Розв’язати методом Жордана-Гаусса систему
лінійних рівнянь:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=+−
=++
−=−+
.8xxx3
,6xx3x4
,1x4xx2
321
321
321
Розв’язування. Запишемо задану систему в табличній формі.
За ключовий елемент тут взято коефіцієнт “2” при
х
1
в першому
рівнянні і взято в рамки. Стовпець ∑ є контрольним, а елементи йо-
го дорівнюють сумі інших чисел цього рядка, тобто сумі коефіцієн-
тів біля невідомих і вільного члена відповідного рівняння.
Таблиця 1. За ключовий елемент взято число “2”. Поділивши
на нього елементи першого рядка, одержимо відповідні елементи
першого рядка таблиці
2(на це вказує число “
2
1
” в першому рядку
поза таблицею).
62
Таблиця 2. Напроти першого рядка записано число “-4” і на-
правлена стрілка до другого рядка табл.1. Це означає, що елементи
першого рядка множаться на “-4” і додаються до відповідних
елементів другого рядка табл.1. Число “-3” і стрілка, направлена до
третьої стрічки означає,що на це число “-3” множаться всі елементи
першого рядка табл.2 і додаються
до відповідних елементів третього
рядка табл.1. Цим самим в табл. 2 в першому стовпці під числом “1”
отримали нульові елементи. За ключовий елемент цієї таблиці ви-
бираємо число “1” в другому рядку (взято в рамку). Запис “
2
1
−
” із
стрілкою до першого рядка означає, що елементи ключового рядка
другої таблиці потрібно помножити на “
2
1
−
” і додати до
відповідних елементів першого рядка. Цим самим отримаємо еле-
менти таблиці 3.
Аналогічно - “
2
5
” і стрілка до третього рядка означає мно-
ження елементів ключового рядка цієї таблиці на “
2
5
” і додавання
до відповідних чисел третього рядка для запису в
третьому рядку таблиці 3.
Результатом виконання дій цієї таблиці є виключення
невідомої
1
x
із другого і третього рівнянь системи.
Таблиця
3. За ключовий елемент цієї таблиці взято “
2
59
” із
третього рядка і третього стовпця (взято в рамку). Запис “
59
2
” в цій
стрічці поза таблицею означає, що всі її елементи треба помножити
на це число, тобто робимо ключовий елемент одиницею. Результат
множення записуємо третім рядком табл. 4. Підсумком виконання
цих дій табл. 3 є виключення невідомої
2
x з першого і третього
рівнянь.
Таблиця
4. Числа “-9” і “
2
13
”, які записані справа від таблиці
із стрілками до другого і першого рядків табл. 3 означають: елемен-
63
ти третього рядка табл.4 множимо на “-9” і “
2
13
” і додаємо до від-
повідних елементів другого і першого рядків табл.3.
№ таблиці
1
x
2
x
3
x
i
b
∑
1
2 1 -4 -1 -2
4 3 1 6 14
3 -1 1 8 11
2
1
½
-
2
−½
-
1
0 1 9 8 18
0
-
2
5
7
2
19
14
3
1 0
-
2
13
-
2
9
-10
0 1 9 8 18
0 0
2
59
2
59
59
4
1 0 0 2 3
0 1 0 -1 0
0 0 1 1 2
Останній таблиці 4 відповідає така система рівнянь:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=⋅+⋅+⋅
−=⋅+⋅+⋅
=⋅+⋅+⋅
,1x1x0x0
,1x0x1x0
,2x0x0x1
321
321
321
тобто
1x;1x;2x
321
=−==
є розв’язком вихідної системи трьох
лінійних рівнянь з трьома невідомими.
Зауваження
1. Ключовий елемент вибирається тільки один раз
у відповідному рядку або стовпці.
Зауваження
2. Ключовий елемент не вибирається серед віль-
них членів, тобто серед елементів
.b
i
Зауваження
3. Для спрощення обчислень в якості ключового
елемента доцільно вибирати найменший і не обов'язково
11
a
.
Приклад 3. Розв’язати методом Жордана-Гаусса систему лі-
нійних рівнянь:
Ключовий
елемент
Ключовий
стовпець
+
×
(½)
Ключовий
р
ядок
(
-3
)
×
(
-
4
),
+
×
(
-
½)
(
2
5
)
+
×
(
-
9
),
(
2
13
)
+
+
×(
59
2
)
+
64
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=++
−=+−
=+−
.4xx2x3
,3x2x4x
,5x3xx2
321
321
321
Розв
’язування. Складемо таблицю із коефіцієнтів, які стоять
біля невідомих і вільних членів. Стовпець
Σ є контрольним.
№ таблиці
1
x
2
x
3
x
i
b
Σ
1
2 -1 3 5 9
1 -4 2 -3 -4
3 2 1 4 10
2
0 7 -1 11 17
1 -4 2 -3 -4
0 14 -5 13 22
3
0 -7 1 -11 -17
1 10 0 19 30
0 -21 0 -42 -63
4
0 0 1 3 4
1 0 0 -1 0
0 1 0 2 3
Рядки цих таблиць заповнювались в такій послідовності.
Таблиця
1. За ключовий елемент вибрано коефіцієнт біля x
1
другого рівняння, тобто число “1”.
Таблиця
2.
1 рядок: елементи другого рядка табл.1 множимо на “-2” і до-
даємо до відповідних елементів першого рядка;
2 рядок : перенесено без зміни з таблиці 1.
3 рядок: елементи другого рядка табл. 1 множимо на
“-3” і додаємо до відповідних елементів третього рядка.
За ключовий елемент в табл.2 вибираємо число “-1”, яке зна-
ходиться в першому рядку.
Таблиця
3.
1 рядок: елементи першого рядка табл.2 множимо на “-1”.
2 рядок: елементи першого рядка табл.3 множимо на “-2” і
додаємо до відповідних елементів другого рядка табл.2.
3 рядок: елементи першого рядка табл. 3 множимо на “5” і
додаємо до відповідних елементів третього рядка табл.2.
×(-1)
×(-3)
×(-2),
×(-10),
×(-
21
1
)
×(-2),
(5)
(7)
65
За ключовий елемент цієї таблиці вибираємо число “-21”.
Таблиця
4.
3 рядок: елементи третього рядка табл.3 ділимо на “-21”.
1 рядок: елементи третього рядка табл.4 множимо на “7” і
додаємо до відповідних елементів першого рядка табл.3.
2 рядок:елементи третього рядка табл. 4 множимо на “-10” і
додаємо до відповідних елементів другого рядка табл.3.
Із останньої таблиці 4 випливає, що
x
1
= −1, x
2
= 2, x
3
=3.
§13. Довільні системи лінійних алгебраїчних рівнянь
Розглянемо систему
m лінійних рівнянь з n невідомими (1.3).
Складемо основну (
A
) і розширену (
A
~
) матриці цієї системи:
;
a...aa
............
a...aa
a...aa
A
mn2m1m
n22221
n11211
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
.
b
...
b
b
a...aa
............
a...aa
a...aa
A
~
m
2
1
mn2m1m
n22221
n11211
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
ТЕОРЕМА Кронекера-Капеллі. Система
m лінійних рів-
нянь з
n невідомими має розв’язок, тобто сумісна тоді і тільки
тоді, коли ранг основної матриці (
r(A)) дорівнює рангу розшире-
ної матриці
))A
~
(r( .
Відмітимо, що
)A(r і )A
~
(r не можуть перевищувати кіль-
кість невідомих, тобто
n)A(r ≤ , n)A
~
(r ≤ .
Розглянемо три випадки.
1. Якщо
)A
~
(r)A(r ≠ , то система лінійних рівнянь не суміс-
на.
2. Якщо
n)A
~
(r)A(r ==
, то система лінійних рівнянь суміс-
на і має розв’язок, який знаходиться за одним із методів, розгляну-
тих в попередніх параграфах.
3. Якщо
r)A
~
(r)A(r == і
n
r
< , то система лінійних рівнянь
сумісна і має безліч розв’язків.
Базисним мінором матриці називається відмінний від нуля
мінор, порядок якого рівний рангу матриці. Допустимо, що
r)A
~
(r)A(r == . Для знаходження розв’язків системи візьмемо
r
66
рівнянь, в яких коефіцієнти при невідомих утворюють базисний мі-
нор. Інші рівняння відкидаємо. Невідомі, коефіцієнти при яких
утворюють базисний мінор, називають основними (або базисними)
і залишають зліва. Інші
)rn( −
невідомі називають вільними і пе-
реносять в праві частини рівнянь. Надаючи довільних числових зна-
чень вільним невідомим, знаходимо відповідні значення основних
невідомих.
Приклад 1. Дослідити на сумісність систему рівнянь
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=−−++
=−−+−
=+−+−
.8x3x2x2xx2
,6xx3x5xx3
,2x2xx3x2x
54321
54321
54321
Розв
’язування. Знайдемо ранги основної і розширеної матриць
системи. В розширеній матриці
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−−−
−−
=
8
6
2
32212
13513
21321
A
~
до вертикальної лінії розміщені елементи основної матриці. Тому
всі елементарні перетворення, які будемо виконувати над матрицею
A
~
, мають місце і для матриці
A
:
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−−−
−−
=
8
6
2
32212
13513
21321
A
~
⇔
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−−
−−
⇔
4
0
2
70450
70450
21321
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−−⇔
4
0
0
70450
70450
00001
⇔
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−⇔
4
0
0
00000
70450
00001
.
4
0
0
00
50
01
4
0
0
00000
00050
00001
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⇔
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⇔
Звідси видно, що
,
400
050
001
A
~
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⇔
.
50
01
A
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⇔
Значить, ранг розширеної матриці
A
~
рівний 3, а ранг основної
×(-3)
×(-2)
×(-1)
67
матриці
A
- 2. За теоремою Кронекера-Капеллі система лінійних
рівнянь несумісна.
Приклад 2. Дослідити на сумісність систему лінійних рівнянь
і розв’язати її, якщо вона сумісна:
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
=+
=−+
=++
=++
=++
.3xx
,5xx3x2
,6xxx
,10xx2x3
,14x3x2x
21
321
321
321
321
Розв
’язування. Складемо розширену матрицю системи і вико-
наємо елементарні перетворення.
⇔
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
3
5
6
10
14
011
132
111
123
321
⇔
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
−−
−−
−−
−−
11
23
8
32
14
310
710
210
840
321
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
−−
−−
−−
−−
11
23
32
8
0
310
710
840
210
001
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−
⇔
3
3
0
0
100
100
010
001
⇔
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
0
3
0
0
000
100
010
001
.
Значить
r(A)=r(Ã)=3, оскільки найвищий порядок мінора як
матриці
А так і матриці Ã, дорівнює 3. За теоремою Кронекера-
Капеллі вихідна система лінійних рівнянь має розв’язок, причому
єдиний, так як кількість невідомих теж дорівнює 3.
Це означає, що два рівняння системи можна відкинути. Запи-
шемо ті три рівняння, визначник із коефіцієнтів, які стоять біля
невідомих, відмінний від нуля, наприклад
.1
11
23
)1(
011
100
123
011
111
123
5
−=−===Δ
+
×(-4) (-1) (-
1)
×(-4) (-1) (-
1)
×(-1) (-2) (-1) (-3)
68
Тобто розглянемо систему рівнянь:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=+
=++
=++
.3xx
,6xxx
,10xx2x3
21
321
321
Знайдемо розв’язок цієї системи за одним із методів, напри-
клад, за методом Крамера. Для цього обчислимо
)3,2,1j(
j
=Δ , які
одержуються з визначника системи
Δ
, шляхом заміни стовпців із
коефіцієнтів, які стоять біля невідомих
,x,x,x
321
стовпцем із віль-
них членів:
,1)34(
13
14
)1(
013
116
014
013
116
1210
5
1
−=−−=−===Δ
,2)46(
31
42
)1(
031
161
042
131
161
1103
5
2
−=−−=−===Δ
.3)23(3
11
23
)1(3
311
300
1023
311
611
1023
5
3
−=−−=−===Δ
Розв’язок вихідної системи такий:
,1
1
1
x
1
1
=
−
−
=
Δ
Δ
= ,2
1
2
x
2
2
=
−
−
=
Δ
Δ
= .3
1
3
x
3
3
=
−
−
=
Δ
Δ
=
Приклад 3. Дослідити на сумісність і розв’язати систему рів-
нянь:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=+++
=−+−
=+++
.1xx8x3x5
,0xx2xx2
,1x3x4x5x
4321
4321
4321
Розв
’язування. З допомогою елементарних перетворень зведе-
мо до діагонального вигляду матрицю
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−=
1
0
1
1835
1212
3451
A
~
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−−−
−−−⇔
4
2
1
1412220
76110
3451
×(-2)
×(-2) (-5)
69
⇔
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−−−⇔
0
2
0
0000
76110
0001
.
0
0
110
01
0
0
00110
0001
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
⇔
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
Як бачимо
r(A)=r(Ã)=2. Це означає, що система лінійних рів-
нянь сумісна і має безліч розв’язків (оскільки ранг менший, ніж кі-
лькість невідомих).За базисний мінор візьмемо мінор 2-го порядку
(
2
r
=
), наприклад, ,11101
12
51
−=−−=
−
який не дорівнює нулю.
В даному випадку за основні невідомі приймемо
х
1
, х
2
. Невідомі х
3
та х
4
будуть вільними.
Задана система еквівалентна такій:
⎩
⎨
⎧
=−+−
=+++
,0xx2xx2
,1x3x4x5x
4321
4321
або
⎩
⎨
⎧
+−=−
−−=+
.xx2xx2
,x3x41x5x
4321
4321
За формулами Крамера знаходимо
;
11
1
x
11
2
x
11
14
11
x5x10x3x41
12
51
1xx2
5x3x41
x
4
3
4343
43
43
1
++
+−=
−
−+++−
=
−
−+−
−−
=
.
11
2
x
11
7
x
11
6
11
x6x82xx2
12
51
xx22
x3x411
x
4
3
4343
43
43
2
+−
−−=
−
++−+−
=
−
+−
−−
=
Отже, загальний розв’язок вихідної системи такий:
;
11
1
x
11
2
x
11
14
x
431
++−=
.
11
2
x
11
7
x
11
6
x
432
+−−=
Надаючи вільним невідомим
х
3
, х
4
довільних значень, одер-
жимо відповідні значення базисних невідомих
х
1
, х
2
.
Наприклад, один із часткових розв’язків розглянутої системи
рівнянь буде
,
11
17
x
1
= ,
11
1
x
2
=
,1x
3
−= .1x
4
=
70
×(-1/30)
Зауваження. При знаходженні рангів r(A) і r(Ã) зручно корис-
туватись методом окантування мінора. При цьому одночасно знахо-
димо і базисний мінор.
Системи
m лінійних рівнянь з n невідомими можна
розв’язувати методом Жордана-Гаусса.
Приклад 4. Дослідити на сумісність і розв’язати методом
Жордана-Гаусса систему лінійних рівнянь:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=++++
−=−++−−
=+−++
.3x2xx5x3x2
,1xx3xx2x
,2xxx2xx3
54321
54321
54321
Розв
’язування. Запишемо цю систему в табличній формі:
№ таблиці х
1
х
2
х
3
х
4
х
5
b
i
∑
1
3 1 2 -1 1 2 8
-1 -2 1 3 -1 -1 -1
2 3 5 1 2 3 16
2
3 1 2 -1 1 2 8
5 0 5 1 1 3 15
-7 0 -1 4 -1 -3 -8
3
-11 1 0 7 -1 -4 -8
-30 0 0 21 -4 -12 -25
7 0 1 -4 1 3 8
4
0 1 0
10
7
−
15
7
5
2
6
7
1 0 0
-
10
7
15
2
5
2
6
5
0 0 1
10
9
15
1
5
1
6
13
Дамо коротке пояснення до таблиць.
Таблиця
1. За ключовий елемент взято число “1” – коефіцієнт
біля невідомої
х
2
. Помножимо всі елементи ключового рядка на “2”
і додамо до відповідних елементів другого рядка. Помножимо всі
елементи цього ж ключового рядка на “-3 ” і додамо до відповідних
елементів третього рядка. При цьому отримали таблицю 2 (тут еле-
менти першого рядка залишимо без зміни).
Таблиця
2. За ключовий елемент взято число “-1” (окреслено
рамкою). Поділимо елементи ключового рядка на “-1” і утворимо
нулі в третьому стовпці ( на місці елементів “2” і “5”).
×(2),(-3)
×(-2),(-5)
×(-7),(11)
×(2),(-3)
×(-1)