Шинкарик М.І. Вища математика

Подождите немного. Документ загружается.

421

142

321

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−−

−

Розв’язування. Обчислимо визначник цієї матриці:

.02161221216

421

142

321

A =++−−+−=

−−

−

Оскільки

0A = , тобто матриця

вироджена, то оберненої

для неї не існує.

Зауваження 2. Квадратна невироджена матриця другого по-

рядку

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

2221

1211

має обернену

−

і вона знаходиться за фор-

мулою :

1121

1222

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

Приклад 3. Знайти обернену матрицю до матриці

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

Розв’язування. Задана квадратна матриця другого порядку не-

вироджена, оскільки її визначник

,0114151453

≠=−=⋅−⋅=

тому обернена до матриці

існує і її можна знайти за попередньою

формулою:

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

§7. Ранг матриці

Розглянемо прямокутну матрицю розмірності

n (1.2).

Означення. Рангом матриці називається найвищий поря-

док відмінних від нуля мінорів. Його позначають через

(або

)A(rang ).

Із означення випливають такі властивості рангу матриці.

1. Ранг матриці рівний нулю тільки тоді, якщо матриця нульо-

ва. В інших випадках ранг матриці рівний деякому додатному числу.

2. Ранг прямокутної матриці не перевищує меншого із двох

чисел

тобто ).n,mmin(r0 ≤≤

3. Для квадратної матриці

n-го порядку

тільки тоді, як-

що матриця невироджена.

4. Якщо

< то визначник матриці дорівнює нулю.

Розглянемо два методи знаходження рангу матриці.

Перший метод – метод окантування – полягає у наступному.

Якщо всі мінори І-го порядку, тобто елементи матриці, рівні нулю,

то

0r = .

Якщо хоч один із мінорів І-го порядку не дорівнює нулю, а всі

мінори 2-го порядку дорівнюють нулю, то

= . Аналогічно, якщо

мінор 2-го порядку відмінний від нуля, то досліджуємо мінори 3-го

порядку. Таким способом знаходять мінор

k-го порядку і перевіря-

ють, чи не дорівнюють нулю мінори

(k+1) -го порядку. Якщо всі

мінори

)1k( + -го порядку дорівнюють нулю, то ранг матриці

до-

рівнює числу

k . Такі мінори )1k( + -го порядку, як правило, знахо-

дять шляхом “окантування ” мінора

k -го порядку.

Приклад 1. Знайти ранг матриці:

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

−−

963

321

Розв’язування. Всі мінори 2-го порядку

−

−−

= 0

−

дорівнюють нулю. Значить, ранг матриці

дорівнює одиниці:

.1)A(r =

Приклад 2. Знайти ранг матриці:

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

410864

01352

32164

25432

Розв’язування. Оскільки в матриці

є мінори І-го порядку,

відмінні від нуля, то ранг її може бути рівний одиниці. Мінор 2-го

порядку

−

але, наприклад, мінор

−

відмінний від нуля. Окантовуючи мінор

, одержимо мінор 3-го

порядку (в матриці

показано пунктиром)

135

216

543

−

Розглянемо мінори 4-го порядку, які окантовують даний мінор

;

41086

0135

3216

2543

−

;

41084

0132

3214

2542

−

;

4864

0352

3164

2432

−

10864

1352

2164

5432

−

Всі вони дорівнюють нулю, тому, що перший і четвертий ряд-

ки пропорційні. Значить ранг матриці

дорівнює 3 ).3r( =

Розглянутий спосіб знаходження рангу матриці не завжди

зручний, оскільки потрібно обчислювати велику кількість мінорів.

Другий метод визначення рангу матриці полягає в застосу-

ванні елементарних перетворень матриці при зведенні її до діагона-

льного вигляду.

Елементарними перетвореннями матриці називаються такі

операції:

1) перестановка місцями довільних двох рядків(або стовпців);

2) множення кожного елемента

довільного рядка(або стовпця)

на відмінне від нуля число;

3) викреслювання рядка (або стовпця) , який містить всі ну-

льові елементи;

4) додавання до елементів довільного рядка ( або стовпця) ві-

дповідних елементів іншого рядка (або стовпця) , помножених на

одне і теж відмінне від нуля число.

При таких елементарних перетвореннях ранг матриці не змі-

нюється.

Дві матриці називаються еквівалентними, якщо одна із них

одержується з другої за допомогою скінченого числа елементарних

перетворень.

Еквівалентні матриці не рівні між собою, зате вони

мають однакові ранги.

Якщо матриці

еквівалентні, то це записують так:⇔ .

З допомогою елементарних перетворень матрицю можна звес-

ти до діагонального вигляду. Ранг такої матриці дорівнює кількості

відмінних від нуля діагональних елементів.

Приклад 3. Знайти ранг матриці

14175

70513

52331

43253

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−−

Розв’язування.

1-й крок. В заданій матриці переставимо перший і другий

рядки. На місці елемента

а маємо елемент рівний 1.

2-й крок. Додамо до елементів другого і третього рядків відпо-

відні елементи першого рядка, помножені на “–3”, а до елементів чет-

вертого рядка – відповідні елементи першого, помножені на “–5”.

3-й крок. В першому рядку можна автоматично записати всі ну-

лі, крім першого елемента “1”. Цього можна добитись, якщо до

елеме-

нтів 2-го, 3-го, 4-го і 5-го стовпців додати відповідні елементи першого

стовпця, помножені відповідно на числа: “–3”,“–3”,“–2”,“–5”.

4-й крок. Додамо до елементів третього і четвертого рядків ві-

дповідні елементи другого рядка, помножені на число “–2”.

5-й крок. В другому рядку на місці елементів “–7”,“–3”,“–11”

запишемо нулі (аналогічно як на третьому кроці).

Розглянуті

кроки зведення матриці

до діагонального ви-

гляду покажемо схематично так:

20000

00000

00040

00001

20000

00000

113740

00001

2461480

2261480

113740

00001

2461480

2261480

113740

52331

14175

70513

43253

52331

14175

70513

52331

43253

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

⇔

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

−−−−

⇔

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−−−−

⇔

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−−−−

⇔

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−−

⇔

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−−

В останній матриці викреслимо третій рядок і третій та четвертий

стовпці, які містять всі нульові елементи:

200

040

001

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

−⇔

Ранг цієї матриці дорівнює трьом, а значить і ранг матриці

теж дорівнює 3, тобто

3r = .

Приклад 4. Знайти ранг матриці:

53165

31343

23532

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−−

Розв’язування.

1-й крок.Від елементів другого рядка віднімемо відповідні

елементи першого і поміняємо їх місцями.

2-й крок.До елементів другого і третього рядків додамо відпо-

відні елементи першого, помножені відповідно на “–3” і “–5”.

3-й крок.Запишемо в першому рядку всі нулі, крім першого

елемента “1”.

4-й крок. Віднімемо відповідні

елементи другого і третього

рядків.

5-й крок. Аналогічно, як на 3-му кроці, одержимо в другому

рядку нулі на місці елементів “9” і “–7”. Покажемо розглянуті кроки

схематично.

00000

00010

00001

00000

07910

00001

07910

00001

07910

12211

53165

23532

12211

53165

31343

23532

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⇔

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−⇔

⇔

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

−⇔

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

−−

⇔

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−−

⇔

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−−

Ранг останньої матриці дорівнює двом, а значить і ранг

матриці

дорівнює 2, тобто .2r =

§ 8. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь

Рівняння називається лінійним, якщо воно містить невідомі

величини

n21

x,...,x,x тільки в першому степені і не містить їх до-

бутки. Це рівняння такого вигляду:

bxa...xaxa

nn2211

=+++ , де b,a,...,a,a

n21

- довільні дійсні числа.

Розглянемо систему

m лінійних алгебраїчних рівнянь з n

невідомими:

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

=+++

.bxa...xaxa

..................................................

,bxa...xaxa

mnmn22m11m

2nn2222121

1nn1212111

(1.3)

Тут числа

)n,...,2,1j;m,...,2,1i(a

== називаються коефіціє-

нтами біля невідомих

)n,...,2,1j(x

= , а

)m,...,2,1i(b

- вільними

членами.

Перший індекс “

i ” біля коефіцієнтів вказує, в якому рівнянні

знаходиться коефіцієнт, а другий “

j ” при якому із невідомих він

знаходиться.

Означення. Розв'язком системи лінійних алгебраїчних рів-

нянь (1.3) називається така впорядкована сукупність

чисел

n21

,...,, ααα , яка при

nn2211

x,...,x,x α=α=α= перетворює кож-

не з рівнянь системи в правильну рівність.

Якщо праві частини всіх рівнянь системи дорівнюють нулю,

то систему рівнянь називають однорідною і неоднорідною, якщо

).m...,2,1j(0b

=≠

Якщо система лінійних алгебраїчних рівнянь має хоч один

розв’язок, то вона називається сумісною, в іншому випадку – несу-

місною.

Якщо розв’язок системи єдиний, то система лінійних рівнянь

називається визначеною. У випадку, коли розв’язок сумісної сис-

теми не єдиний, систему рівнянь називають невизначеною.

Дві системи лінійних рівнянь називаються

еквівалентними

(або рівносильними), якщо всі розв’язки однієї системи є

розв’язками другої, і навпаки.

Еквівалентні (або рівносильні ) системи отримуємо з допомо-

гою еквівалентних перетворень. До еквівалентних перетворень

системи відносяться:

1) переставлення місцями рівнянь;

2) множення (або ділення) рівнянь на відмінне від нуля число;

3) додавання до деякого рівняння іншого рівняння

, помноже-

ного на довільне, відмінне від нуля число.

§ 9. Метод Крамера

Розглянемо систему

лінійних алгебраїчних рівнянь з

не-

відомими:

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

=+++

.bxa...xaxa

..................................................

,bxa...xaxa

nnnn22n11n

2nn2222121

1nn1212111

(1.4)

Означення. Визначник, складений із коефіцієнтів при неві-

домих цієї системи

nn2n1n

n22221

n11211

a...aa

............

a...aa

=Δ

(1.5)

називається визначником системи (або головним визначником).

ТЕОРЕМА КРАМЕРА. Якщо визначник

Δ системи

лі-

нійних алгебраїчних рівнянь з

невідомими відмінний від нуля

(

)0≠Δ

, то ця система має єдиний розв’язок, який знаходиться

за формулами Крамера:

x,...,x,x . (1.6)

Тут

Δ - визначник, утворений із визначника

заміною

-го

стовпця, стовпцем із вільних членів.

Доведення. Нехай

1n2111

A,...,A,A - алгебраїчні доповнення

елементів першого стовпця визначника системи. Помножимо перше

рівняння системи

лінійних алгебраїчних рівнянь з

невідомими

на

A , друге – на

A ,…,

- не - на

A і додамо. Одержимо

∑∑∑∑

====

=+++

1iin1iin21i

2i1

1i1i

Abx)Aa(...x)Aa(x)Aa( (1.7)

Тут

Δ=+++=

∑

1n1n21211111

1i1i

Aa...AaAaAa ( за теоремою

Лапласа).

За теоремою анулювання

........................................................................

,0Aa...AaAaAa

1n2n21221112

1i2i

=+++=

∑

.0Aa...AaAaAa

1nnn21n211n1

1iin

=+++=

∑

За теоремою заміщення

.Ab...AbAbAb

11nn212111

1ii

Δ=+++=

∑

Тут

nn2nn

n2222

n1121

a...ab

............

a...ab

=Δ

Рівність (1.7) запишеться так:

x Δ=⋅Δ .

Оскільки 0≠Δ , то .x

Так само можна показати, що мають місце інші формули із (1.6).

Приклад 1. Користуючись теоремою Крамера, розв’язати си-

стему рівнянь :

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

−=++

−=−+

=+−

.1xx2x3

,8x3xx2

,1xx3x

321

Розв’язування. Обчислимо визначник системи

.416632741

123

312

131

=++−++=−

−

=Δ

Оскільки

0≠Δ , то задана система рівнянь сумісна і має єди-

ний розв’язок. Обчислимо визначники:

,4162419161

121

318

131

−=+−+−−=

−

−−

−

=Δ

.8216637241

123

812

131

,03224928

113

382

111

=+−−++−=

−

=Δ

=−−+−−−=

−

−−=Δ

Значить, за формулами Крамера

x;0

x;1

===

=−=

−

Таким чином,

2x,0x,1x

321

==−= -єдиний розв’язок систе-

ми.

Зауваження.1.Якщо

0=Δ

)n,...,2,1j(0

==Δ

, то система

лінійних рівнянь має безліч розв’язків.

Зауваження 2. Якщо

0=Δ і хоч один з визначників

)n,...,2,1j(

=Δ не дорівнює нулю, то система лінійних рівнянь не

має розв’язків.

При розв’язуванні

лінійних алгебраїчних рівнянь з

неві-

домими за правилом Крамера потрібно обчислювати

)1n( +

визна-

чники

-го порядку. Тому при 4n ≥ знаходження визначників

приводить до громіздких обчислень, а значить, користуватись фор-

мулами Крамера незручно.

Зауваження 3. Формули Крамера найкраще використовувати

тоді, коли визначник системи

0≠Δ , тобто коли розв’язок єдиний.

Якщо кількість лінійних алгебраїчних рівнянь більша кількості не-

відомих, то ефективніше використовувати інші методи (методи пос-

лідовного або повного виключення невідомих), які будуть розгляну-

ті пізніше.

§ 10. Матричний метод

Нехай задана система

лінійних алгебраїчних рівнянь з

невідомими (1.4).

Позначимо через

матрицю, складену із коефіцієнтів при

невідомих (так звану основну матрицю системи);

−

матрицю-

стовпець із невідомих;

- матрицю-стовпець із вільних членів, тоб-

то

;

a...aa

............

a...aa

nn2n1n

n22221

n11211

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

= ;

...

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

= .

...

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

Тоді систему рівнянь (1.4) можна переписати у вигляді матри-

чного рівняння:

.BAX =

Якщо квадратна матриця

має не нульовий визначник

, то

для неї існує обернена

−

. Помноживши зліва в цьому рівнянні на

−

, одержимо

11 −−

або

BAX)AA(

11 −−

. Враховуючи,

що

−

, одержимо матричний розв’язок системи

.BAX

1−

Знаходження матричного розв’язку називається матричним

способом розв’язування системи лінійних алгебраїчних рівнянь.

Приклад 1. Записати і розв’язати в матричній формі систему

рівнянь