Шинкарик М.І. Вища математика
Подождите немного. Документ загружается.
471
16. Каплан И. А. Практические занятия по высшей математике:
Учеб. пособие.
− ч.V− Харьков: Изд-во ХГУ, 1968. − Ч. І, ІІ.−
412 с.
17. Карасев А.
И., Аксютина З. М., Савельева Т. И. Курс высшей
математики для економических вузов.
− Ч. ІІ. Теория вероятнос-
тей и математическая статистика. Линейное программирование:
Учеб. пособие.
− М.: Высш. шк., 1982.− 320 с.
18. Красс М.С., Чупрынов Б.П. Основы математики и ее приложе-
ния в экономическом образовании: Учеб.- 2-е изд., испр.-М.: Де-
ло, 2001. –688с.
19. Крыньский Х. Э. Математика для економистов: Пер. с польск.
Меникера В. Д. Под ред. Баренгольца М. И. – М.: Статистика,
1970.
− 584 с.
20. Кудрявцев В.А. Демидович Б.П. Краткий курс высшей матема-
тики.Учебное пособие. М.: Наука,1986.-576 с.
21. Ляшко И.И., Боярчук А. К., Гай Я.Г., Головач Г.П. Математиче-
ский анализ в примерах и задачах.ч.1 Введение в анализ, произ-
водная, интеграл. «Вища школа»,1974,680 с.
22. Ляшко
И.И., Боярчук А. К., та ін. Диференціальні рівняння. К.:
Вища школа., 1981, - 504 с Малыхин В.И. Математика в эконо-
мике: Учебное пособие.- М.: ИНФРА-М,2000.-356 с.
23. Никайдо Х. Выпуклые структуры и математическая экономика.-
М.: Мир, 1972. – 517с.
24. Неміш В.М., Процик А.І., Березька К.М. Вища математика
(практикум):
Навчальний посібник.- Тернопіль: Економічна дум-
ка, 2001.-266с.
25. Сирл С., Госман У. Матричная алгебра в экономике: Пер. с англ.
/ Науч. Ред. Е. М. Четыркина и Р. М. Энтона. – М.: Статистика,
1974. – 376 с.
26. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального
исчисления: В 3 т.-М.: Наука, 1969-1970.-т.1-3.
27. Шиманський І.Є. Математичний аналіз. - Київ: Вища математи-
ка, 1972.-632 с.
28. Шкіль М.І., Колесник Т.В. Вища математика:Підручник: У 3
кн.,Кн.3.-Київ: Либідь, 1994.-352 с.
29. Весkmann M.,I.,Künzi H.P. Mathematik für Ökonomen І, ІІ. – Ber-
lin Heidelverg: Springer Verlag.-New York? 1969.
472
30. Chiang Upha C. Fundamental methods of mathematical economics.-
McGRAW – HIU BOOK COMPANY, 1984.
31. R.G.D. Allen. Mathematical Economics. Macmillan. ST MARTINS
PRESS, 1970, 812 p.
32. By FRANK AYRES, JR. Theory and problems of diffirential and
integral CALCULUS. Schanm’s outline serics McGRAW-HILL
Book Company, 1964, 345 p.
33. A. Clyde Schock, Bernard S. Warshaw. Analytic geometry and an
introduction to calculus. Prenfice-hall, inc., 1965, 167 p.
34. Budnik,Franks S. Applied Mathematisk for business, economiks, and
social sciences.-N.Y., … : McGraw-Hill book company, 1988.
35. Rommelfanger Henrich. Mathematik fur Wirschaftswissenschaftler.-
Mancheim; Leipzig; Wien; Zurich:BI-Wiss.-Verl, 1992.
473
ЗМІСТ
Передмова
……………………………………………………
3
Розділ 1. ЕЛЕМЕНТИ ЛІНІЙНОЇ АЛГЕБРИ
§1. Поняття визначника. Визначники другого і третього
порядків…………………………………………..……… 5
§2. Властивості визначників ………………………………. 8
§3. Обчислення визначників довільного порядку ………... 18
§4. Поняття матриці………………………………………... 24
§5. Дії над матрицями………………………………………. 27
§6. Обернена матриця………………………………………. 36
§7. Ранг матриці ……………………………………………. 41
§8. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь………………. 46
§9. Метод Крамера …………………………………………. 47
§10. Матричний метод……………………………………… 50
§11. Метод Гаусса…………………………………………... 52
§12. Метод Жордана-Гаусса……………………………….. 59
§13. Довільні системи лінійних алгебраїчних рівнянь…… 65
§14. Системи лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь.. 72
§15. Деякі економічні задачі……………………………….. 76
Розділ 2. АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ І ЕЛЕМЕНТИ
ВЕКТОРНОЇ АЛГЕБРИ
§1. Метод координат на прямій та його застосування…… 88
§2. Прямокутна система координат на площині та її за-
стосування ……………………………………………. 90
§3. Декартова прямокутна система координат в просторі.. 94
§4. Скалярні і векторні величини………..………………… 95
§5. Дії над векторами……………………………….………. 96
§6. Проекція вектора на вісь……………………………….. 98
§7. Проекція вектора на осі координат……………………. 99
§8. Напрямні косинуси вектора……………………………. 100
§9. Розклад вектора по ортам………………………………. 101
§10. Дії над векторами, заданими в координатній формі…
102
§11. Скалярний добуток двох векторів……………………. 103
§12. n-мірний вектор і векторний простір ………………... 108
§13. Базис. Розклад вектора по даному базису…………… 110
474
§14. Власні числа та власні вектори матриці……………... 114
14.1. Лінійна модель торгівлі………………………….. 120
§15. Квадратичні форми……………………………………. 123
§16. Пряма лінія на площині……………………………….. 128
16.1. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом ……... 129
16.2. Рівняння прямої, що проходить через задану
точку в даному напрямку………………………..
130
16.3. Рівняння прямої, що проходить через дві зада-
ні точки……………………………………… 130
16.4. Рівняння прямої у відрізках …..………………... 131
16.5. Кут між двома прямими……
……….…………...
132
16.6. Загальне рівняння прямої та його дослідження.. 134
16.7. Нормальне рівняння прямої…………………….. 136
16.8. Віддаль від точки до прямої ……………………. 137
§17. Площина та її рівняння………………………………... 138
17.1. Дослідження загального рівняння площини…... 140
17.2. Рівняння площини у відрізках………………….. 141
17.3. Кут між двома площинами. Умови паралельно-
сті і перпендикулярності площин…. 142
17.4. Нормальне рівняння площини ………………… 143
17.5. Віддаль від точки до площини………………….. 145
§18. Пряма в просторі………………………………………. 145
18.1. Загальне рівняння прямої…………………….…. 146
18.2. Канонічне рівняння прямої
……………………...
146
18.3. Рівняння прямої, що проходить через дві задані
точки……………………………………………… 148
18.4. Кут між двома прямими
…………………………
149
18.5. Взаємне розміщення прямої і площини………... 150
§19. Криві другого порядку………………………………… 151
19.1. Коло і його рівняння………………………….…. 152
19.2. Еліпс і його рівняння………………………….… 154
19.3. Гіпербола та її рівняння……………………….… 157
19.4. Асимптоти гіперболи……………………………. 160
19.5. Парабола та її рівняння………………………….. 162
§20. Перетворення прямокутних координат……………… 164
20.1. Перенесення початку координат………………. 164
20.2. Поворот осей координат
………………………. .
165
§21. Полярна система координат…………………………... 167
475
Розділ 3. ВСТУП У МАТЕМАТИЧНИЙ АНАЛІЗ
§ 1. Множини дійсних чисел……………………………….. 170
1.1. Сталі і змінні величини……………………………. 170
1.2. Множини дійсних чисел…………………………… 170
1.3. Абсолютна величина дійсного числа……………... 172
1.4. Властивості абсолютної величини, зв’язаної з
нерівностями величин. Окіл точки……………….. 172
1.5. Верхня і нижня грані дійсних чисел………..…….. 173
§2. Класифікація функцій
…………………………………..
174
2.1. Поняття функції. Способи задання функції……… 174
2.2. Класифікація функцій…………………
……………
175
2.3.
Криві
попит
у
і
пропозиції
.
Точка
рівноваги
………
179
§ 3. Границя числової послідовності
………………………
180
3.1. Числова послідовність
…………..………………….
180
3.2. Границя числової послідовності…………………... 186
3.3. Основні теореми про границі числових
послідовностей 187
3.4. Деякі правила розкриття невизначеностей (
∞
∞
)…
190
3.5. Павутинна модель ринку………………………….. 191
3.6. Існування границі монотонної числової
послідовності………………………………………..
192
3.7. Нескінчено малі величини та їх властивості
……...
194
§ 4. Границя функції
………………………………………...
195
4.1. Означення границі функції………………………... 195
4.2. Односторонні границі……..
……………………….
198
4.3. Перша визначна границя…………………………... 199
4.4. Допоміжні твердження…………………………….. 201
4.5. Число
.
e
Друга визначна границя
…………………
201
4.6. Порівняння нескінчено малих величин…………... 204
§5. Неперервність функції
………………………………….
207
5.1. Означення неперервності функції в точці і на
відрізку………………………………………………
207
5.2. Класифікація точок розриву функції……………... 208
§6. Властивості неперервних на відрізку функцій……….. 210
6.1. Обмеженість функції………………………………. 210
6.2. Існування найменшого і найбільшого значення
….
210
476
6.3. Теорема про перетворення функції в нуль……….. 211
§7. Деякі економічні задачі і їх розв’язування
…………….
213
Розділ 4. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ
ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ
§1. Означення похідної……………………………………... 215
§2. Задачі, що приводять до поняття похідної……………. 217
2.1. Геометричний зміст похідної
………………………
217
2.2. Дотична і нормаль до графіка функції……………. 218
2.3. Механічний зміст похідної………………………… 219
2.4. Економічний зміст похідної……………………….. 219
§3. Зв’язок між неперервністю та диференційовністю
функції…………………………………………………… 220
§4. Основні правила диференціювання
…………………….
221
§5. Похідна від складної функції…………………………... 226
§6. Похідна від оберненої функції…………………………. 228
6.1. Поняття оберненої функції і її похідна
……………
228
6.2. Похідні від обернених тригонометричних
функцій……………………………………………… 229
§7. Диференціювання функцій, заданих неявно та па-
раметрично……………………………………………. 230
§8. Похідні деяких елементарних функцій………………... 231
8.1. Похідна логарифмічної функції…………………… 231
8.2. Похідна від показникової функції………………… 231
8.3. Похідна степеневої функції…………………..…… 232
§9. Таблиця похідних……………………………………….. 232
9.1. Приклади на використання таблиці похідних…… 233
§10. Похідні вищих порядків
……………………………….
235
§11. Диференціал функції………………………………….. 236
11.1. Означення диференціала
…………..…………….
236
11.2. Геометричний зміст диференціал………………. 236
11.3. Основні властивості диференціала……………... 237
11.4. Властивість інваріантності форми
диференціала
…………………………………….
238
11.5. Застосування диференціалів при наближених
обчисленнях………………….…………………... 238
§12. Основні теореми диференціального числення
……….
239
12.1. Теорема Ферма………..…………………………. 239
477
12.2. Теорема Ролля………..…………………… 240
12.3. Теорема Лагранжа…….………………………….. 241
12.4. Теорема Коші………………………………..…….
242
12.5. Правило Лопіталя…..……………………………. 243
§13. Формула Тейлора……………………………………… 245
13.1. Формула Тейлора для многочлена……..……….. 245
13.2. Формула Тейлора для довільної функції……….. 246
13.3. Формула Маклорена
………..……………………
247
§14. Зростання і спадання функції на проміжку………….. 248
14.1. Необхідна умова зростання та спадання функцій 249
14.2. Достатні умови зростання і спадання функції….
249
§15. Екстремум функції…………………………………….. 250
15.1. Поняття екстремуму…………………………..…. 250
15.2. Необхідні умови екстремуму………………..…... 251
15.3. Достатні умови екстремуму……………….…….. 252
§16. Найменше та найбільше значення функції на відрізку 254
§17. Приклади задач оптимізації з економічним змістом... 255
§18. Опуклість і вгнутість графіка функції. Точки перегину. 259
§19. Асимптоти графіка функції…………………………… 261
§20. Загальна схема дослідження функції і побудова її графіка 263
§21. Еластичність функції………………………………….. 269
21.1. Означення і властивості еластичності функцій.. 269
21.2. Еластичність попиту відносно ціни……………. 270
21.3. Еластичність пропозиції відносно ціни………... 272
Розділ 5. ФУНКЦІЇ БАГАТЬОХ ЗМІННИХ
§1. Основні поняття про функції багатьох змінних………. 274
1.1. Означення функції багатьох змінних.
Функція двох змінних та її графічне зображення... 274
1.2. Економічні задачі, що приводять до поняття
функцій багатьох змінних…………………………. 75
§2. Лінії та поверхні рівня. Гіперповерхні рівня………….. 276
2.1. Поняття лінії та поверхні рівня
……………………
276
2.2. Поверхні другого порядку………………………….
277
2.3. Гіперповерхня рівня………………………………... 279
§3. Границя функції двох змінних в точці………………… 279
Неперервність функції двох змінних………………….. 279
3.1. Границя функції двох змінних…………………….. 279
478
3.2. Неперервність функції двох змінних в точці…….. 280
§4. Частинні похідні функції багатьох змінних. Геомет-
ричний та економічний зміст частинних похідних 281
4.1. Частинні похідні першого порядку
………………..
281
4.2. Геометричний зміст частинних похідних
…………
282
4.3. Економічний зміст частинних похідних………….. 283
4.4. Частинні похідні функції багатьох змінних……… 285
§5. Градієнт функції багатьох змінних.
Похідна функції по напрямку………………………….. 285
5.1. Градієнт функції багатьох змінних……………….. 285
5.2. Похідна складної функції………………………….. 286
5.3. Похідна функції по напрямку……………………... 287
§6. Повний приріст та повний диференціал функції бага-
тьох змінних……………………………………….. 289
§7. Частинні похідні вищих порядків
……………………...
290
§8. Екстремум функції двох змінних. Необхідні та
достатні умови екстремуму функції…………….. 292
§9. Екстремум функції багатьох змінних. Необхідна та
достатня умови екстремуму. Критерій Рауса-Гурвіца.. 298
§10. Умовний екстремум функції багатьох змінних
……...
300
§11. Емпіричні формули. Побудова формули лінійної за-
лежності методом найменших квадратів………….. 302
§12. Побудова емпіричних формул у випадку нелінійної
залежності……………………………………………... 305
12.1. Параболічна залежність………………………….. 305
12.2. Нелінійні залежності, які зводяться до лінійних.
Гіперболічна залежність
………………………….
306
12.3. Показникова залежність
………………………….
307
12.4. Степенева залежність
…………………………….
308
Розділ 6. ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ
ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ
§1. Невизначений інтеграл…………
…………………….
312
1.1.
Первісна
ф
у
нкція
та
невизначений
інтеграл
……....
312
1.2. Основні властивості невизначеного інтеграла…….
313
1.3. Таблиця невизначених інтегралів
…………………..
314
1.4. Методи обчислення інтегралів…………………….. 317
1.5. Інтегрування раціональних дробів…………
………
321
479
1.6. Інтегрування тригонометричних функцій………… 327
1.7. Інтегрування деяких ірраціональних функцій……. 329
1.8. Поняття про невизначений інтеграл, що не має
первісних в елементарних функціях………………. 330
§2. Визначений інтеграл…………
………………………….
330
2.1. Задачі, що приводять до поняття визначеного
інтеграла ……………………………………………
330
2.2. Визначений інтеграл, як границя інтегральних сум 331
2.3.
Основні
властивості
визначеного
інтеграла
………
333
2.4. Теорема про середнє значення визначеного
інтеграла……………………………………………. 335
2.5. Геометричний
зміст
визначеного
інтеграла
………
336
2.6. Зв'язок невизначеного і визначеного інтегралів.
Формула Ньютона-Лейбніца…………………….
337
2.7. Методи обчислення визначеного інтеграла
……..
339
2.8. Наближене обчислення визначених інтегралів
….
340
§3.Невласні інтеграли та їх знаходження…………
……...
343
3.1. Інтеграл з нескінченними межами інтегрування
...
343
3.2. Інтеграл від розривної функції………..………....
344
§ 4. Застосування визначених інтегралів………………….. 345
4.1. Обчислення площ………………………………….. 345
4.2.
Задача
про
розподіл
доходів
населення
держави
..
346
4.3. Обчислення об’ємів. ……………………………… 347
4.4. Обчислення довжини дуги плоскої кривої
……….
349
4.5. Задача про максимізацію прибутку за часом
…….
349
4.6. Задача про витрати, дохід і прибуток
…………….
350
§ 5. Поняття про подвійний інтеграл. Зведення
подвійного інтеграла до повторного………………….. 350
5.1. Поняття про подвійний інтег
р
ал
………………….
350
5.2. Повторний інтеграл. Перехід від подвійного до
повторного…………………………………………. 351
5.3. Інтеграл Ейлера-Пуассона……………………
352
Розділ 7. ЗВИЧАЙНІ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ
І РІЗНИЦЕВІ РІВНЯННЯ
§ 1. Основні поняття про диференціальні рівняння……… 354
§ 2. Диференціальні рівняння першого порядку…………..
355
2.1. Диференціальні рівняння з відокремленими змінними
357
480
2.2. Диференціальні рівняння з відокремлюваними
змінними…………………………………………… 358
2.3.
Однорідні
диференціальні
рівняння
………………
359
2.4. Лінійні диференціальні рівняння………………….
361
2.5. Диференціальне рівняння Бернуллі……………… 363
2.6. Економічні задачі, що приводять до диференціа-
льних рівнянь першого порядку……. 365
§ 3. Диференціальні рівняння другого порядк
у…………...
368
3.1. Лінійні однорідні диференціальні рівняння друго-
го порядку 369
3.2. Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння
другого порядку…………………………………... 371
3.3. Метод варіації довільних сталих
…………………
372
3.4. Лінійні однорідні диференціальні рівняння
другого порядку з сталими коефіцієнтами………. 374
3.5. Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння
другого порядку з сталими коефіцієнтами 378
§4. Система звичайних диференціальних рівнянь
………...
386
4.1. Системи диференціальних рівнянь першого порядку 387
4.2. Системи лінійних диференціальних рівнянь із
сталими коефіцієнтами 390
§5. Різницеві рівняння
………………………………………
394
5.1. Поняття різниці та різницевого рівняння
………...
394
5.2. Різницеві рівняння першого порядку з сталими
коефіцієнтами
………………………………………
397
5.4. Приклади застосування різницевих рівнянь в
економічних задачах………………………………. 400
Розділ. 8. РЯДИ
§1. Числовий ряд та його збіжність. Ряд геометричної
прогресії.……………………………………… 402
§2. Гармонічний ряд
………………………………………...
405
§3. Необхідна ознака збіжності числового ряду………….. 406
§4. Достатні ознаки збіжності числових рядів з додатніми
членами
407
4.1. Ознака порівняння рядів…………………………... 407
4.2. Ознака Даламбера
…………………………………..
409
4.3. Інтегральна ознака Коші…………………………... 411