Тевяшев А.Д., Литвин О.Г. Вища математика у прикладах та задачах. Ч 1
Подождите немного. Документ загружается.
§2.
Застосування диференціального числення
321
Теореми про диференційовні функції
Теорема 1 (Ферма). Якщо функція /(х) :
1) неперервна на [а, Ь];
2) диференційовна на
(а,Ь);
3) приймає в точці с є (а,Ь) найменше або найбільше значення,
то ]'(с) = 0 .
Теорема 2 (Ролля). Якщо функція /(х):
1) неперервна на [а, Ь];
2) диференційовна на (а, Ь);
3) Да)
=
ДЬ),
то існує така точка с є
(а,Ь),
що Д(с) = 0 .
Теорема 3 (Коші). Якщо функції Дх) та §(х) :
1) неперервні на [а,Ь];
2) диференційовні на
(а,Ь);
3) £'(*)* 0 на (а,/Ь),
то існує така точка с є
(а,Ь),
що
/(6)-/(д)
=
Лс)
ф)-£(а) £'(с)
Теорема 4 (Лагранжа). Якщо функція /(х):
1) неперервна на [а,Ь];
2) диференційовна на
(а,Ь),
то існує така точка с є
(а,Ь),
що
/(*)-/(а) =
Лс)(*-а).
Розкриття невизначеностей за правилом Лопіталя
[0]
Розкриття невизначеностей типу
<.
— >
та
Теорема 5 (правило Лопіталя). Якщо функції /'(х) та §(х):
1) задовольняють умовам теореми Коші в деякому околі точки х = а ;
322
Глава
8. Диференціальне числення функцій однієї змінної
2) прямують до нуля (або ±
оо)
при х
—>
а ;
Г(х)
3) існує границя Ііт (скінченна або нескінченна, рівна +
оо
або
-оо),
х^а
<г'(х)
•
,. Дх)
то існує і пт , причому
*-*
а
8(х)
1іт/«=1.тЛ£).
х^а
£(Х)
ї->«
сг'(х)
Правило Лопіталя справедливе і при а =
±<х>.
Правило Лопіталя може застосовуватись повторно. На кожному етапі
застосування правила Лопіталя слід користуватись спрощующими тотожни-
ми перетвореннями, а також комбінувати це правило з будь-якими іншими
способами обчислення границь, зокрема, використовувати еквівалентні не-
скінченно малі та нескінченно великі.
Дх) . .. /'(*)
Слід також пам ятати, що Ііт- може існувати, а Ііт- не
*->О
£(х) Л-*Ї £'(х)
існує. Тоді правило Лопіталя не може бути застосовано.
Розкриття невизначеностей типу
{0-со}
та
{оо-оо}
У цих випадках слід алгебраїчно перетворити дану функцію так, щоб
І°1
« І
00
!
привести п до невизначеностей типу
<
—
>
або
<
— >, а далі використовувати
[0] [оо]
правило Лопіталя.
а) нехай /(х)
—>
0, ^(х)
—>
оо
при х
—>
а . Перетворимо Дх)-&(х)
таким чином:
./••£
= 1 або / Я=У-
•7
7
Тоді маємо невизначеність типу і —І або і —
1
при х
—>
а .
10/
Іоо]
б) нехай Дх)
—>
+оо,
§(х)
—>
+оо
при х
—>
а . Перетворимо вираз
/*(*) —£(х) таким чином:
1 1
1 1 Я
_
7
1
І 1 І
І 8 / 8
§2.
Застосування диференціального числення
323
Маємо невизначеність типу |Ц| при х -> а .
Розкриття невизначеностей типу
{°°
0
},
{о
0
}
У всіх трьох випадках розглядаємо обчислення границі виразу
(/(х))
8(х)
при х -» а , причому:
якщо /
—>
1,
£
—>
<», маємо невизначеність типу \і™};
якщо /
—»
оо,
£
—>
0 , маємо невизначеність типу
|оо°
};
якщо /
—»
0, £
—»
0, маємо невизначеність типу |о°}.
Перетворимо вираз (/(х))
і
'
(г)
таким чином:
р
= е
?1п/
.
Тоді
Ііт %
1п
/'
Ііт/
8
= 1іте«
1п/
=е^«
В усіх трьох випадках вираз §
1п
/ при х
—>
а представляє невизна-
ченість типу
{О-оо}.
До такого ж результату приходимо, якщо попередньо прологарифмує-
мо ліву та праву частину рівності
У = /*-
Маємо
\пу =
8
\п/.
Звідси
у = е*
1п
'
або
Формула Тейлора
Нехай функція Дх) диференційовна п + \ раз у точці х = а та деяко-
му її околі 0(а,г). Тоді для будь-якого х є 0(а,г) справедлива формула
т
= ^1—^.(х-а)
к
+
К
п
(х),
де К „(х) - залишковий член, /
<0)
(
а
) = /(а), яка називається формулою
Тейлора для функції /(х) з центром у точці а .
324
Глава
8.
Диференціальне числення функцій однієї змінної
Формула Тейлора
дає
представлення функції
у
вигляді многочлена
та
залишкового члена.
Залишковий член
у
формі Лагранжа
має
вигляд:
К„(
х
) =
1
^(
Х
_
а)
«
+
і,
(л
+
1)!
де Ь, лежить
між
точками
а і х ,
тобто
£
= а +
0(х
-
а),
причому
0
<
0
<
1.
Залишковий член
у
формі Пеапо
має
вигляд:
К
„(х)
=
о((х-а)")
при
х-»а.
При
о = 0 з
формули Тейлора,
як
частинний випадок, отримуємо
$&ор-
мулу Маклорена:
Ах)=±£^-х
к
+
Я
п
(х).
Для цієї формули залишкові члени мають вигляд:
у формі Лагранжа
Я „(х)
= ^
і—-х"
+1
,
0 <
0
<
1;
(я +1)!
у формі Пеано
Я
„(х)
=
о(х")
при х
—»
0 .
Наведемо основні розклади функцій
за
формулою Маклорена
з
залиш-
ковим членом
у
формі Пеано.
"
х
к
е
х
= У±_
+
о(х");
к=0
К
-
п
г
2*-1
8Іпх =
У(-1)
44
-— +
о(х
2
");
~, (2*-1)!
со8х=
+
о(х
2п+І
);
*=о
(2*)!
1п(1
+
х)=Х(-1)
4
-'^
+
о(х");
(1+х)
=1+2,
Т.
х + 0
У
Х
)•
§2.
Застосування диференціального числення
325
У випадку залишкового члена у формі Лагранжа маємо
х"
+|
для функції е
х
: Я „(х) = е°
1
, 0 < 8 < 1;
(п +1)!
для функції зіп х Я
X
1 \<
2п
І —
(2и +
1)!
'
2п+2
<— ;
(2/7 + 2)!
для функції созх
для функції
1п (1
+ х): Я „(х) =
п
+
[[\
+
вх) '
т(т-
\)...(т-п)
(л + 1)!
(~1)У х у
+|
, 0 < в <
1
;
для функції (1 + х)'": Я
(і
(х) =
х"
+|
(1 + 9х)
,0<в<1.
Формула Тейлора широко застосовується при обчисленні значень
функції з заданою точністю. Нехай, наприклад, треба обчислити значення
функції /(х) в точці х
0
з абсолютною похибкою, яка не перевищує є , якщо
відомо значення цієї функції та її похідних у точці а . З формули Тейлора
випливає, що
Дослідження функцій та побудова графіків
Зростання та спадання функцій. Функція /(х) називається зрос-
таючою на інтервалі
(а,Ь),
якщо для Ух,,х
2
є {а,Ь) і таких, що х, < х
2
,
виконується нерівність /(х,)<
/(х
2
).
Якщо ж при х
]
< х
2
виконується
нерівність /(х,)>
/(х
2
),
то функція називається спадною.
Якщо / '(х) > 0 на
(а,Ь),
то функція {(х) зростає на цьому інтервалі.
Якщо /'(х) < 0 на
(а,Ь),
то функція /(х) спадає на цьому інтервалі.
Інтервали зростання та спадання функції називаються інтерваламилю-
нотонності.
Екстремуми функцій. Точка х = х
0
називається точкою локального
максимуму функції /(х), якщо існує такий окіл точки х
0
О{х
0
,Ь), що для
\/х є О(х
0
,5), х
Ф
х
0
виконується нерівність
де л
0
- мінімальний з номерів п , для яких | Я
п+[
(х) | < £.
Дх)</(х
0
).
326
Глава 8. Диференціальне числення функцій однієї змінної
Аналогічно точка х = х
0
- точка локального мінімуму функції /(х),
якщо для \/х є О(х
0
,8), х
Ф
х
0
виконується нерівність
Дх)>Дх
0
).
Точки локального максимуму та локального мінімуму функції /(х)
називаються точками локального екстремуму цієї функції.
Необхідна умова екстремуму. Якщо функція /(х) диференційовна в
точці х
0
і має в цій точці екстремум, то /'(х
0
) = 0.
Точка х
0
, в якій /'(
х
о)
=
0, називається стаціонарною. Точки, в яких
/'(х
0
) = 0, нескінченності або не існує, називаються критичними точками.
В цих точках дотична до кривої у = /(х) або горизонтальна, або вертикаль-
на, або немає двосторонньої дотичної.
Достатні умови екстремуму. Ці умови задаються такими правилами:
1.
Нехай функція /Хх) диференційовна в деякому околі О(х
0
,8) кри-
тичної точки х
0
, за виключенням, можливо, самої точки х
0
. Тоді, якщо:
а
) /'М> 0, х є(х
0
-8,х
0
) і /'(х) < 0, х є (х
0
,х
0
+8), то х
0
-точ-
ка локального максимуму функції Дх);
б) /'(х) < 0, х є (х
0
-8,х
0
) і /'(х) > 0, х є (х
0
,х
0
+8), то х
0
-точ-
ка локального мінімуму функції /(х);
в
) /'(*)
не
змінює знака при х є О(х
0
,8), х
Ф
х
0
, то точка х
0
не є
точкою локального екстремуму.
2.
Нехай функція /(х) двічі диференційовна в критичній точці х
0
і в
деякому її околі. Тоді, якщо:
а) /"(х
0
) < 0, то х
0
- точка максимуму;
б) /""(х
0
) > 0 , то х
0
- точка мінімуму;
в) /"(х
0
) = 0 , то потрібне додаткове дослідження.
3.
Нехай функція /(х) п раз диференційовна в критичній точці х
0
і в дея-
кому її околі і/'(х
0
) = Г(х
0
) = .-• = /
(
""'
)
(х
0
) = 0, /
м
(х
0
)
Ф
0. Тоді, якщо:
а) п - парне число, то х
0
- точка локального екстремуму. При цьому,
якщо
/*"'(х
0
) < 0, то точка х
0
- точка локального максимуму,
§2.
Застосування диференціального числення
327
/ (х
0
) > 0, то точка х
0
- точка локального мінімуму;
б) п - непарне число, то точка х
0
- не є точкою локального екстремуму.
Опуклість, вгнутість. Точки перегину. Нехай /(х) диференційов-
на функція на інтервалі (а,Ь) . Графік функції Дх) називається опуклим
уверх або опуклим на інтервалі
(а,Ь),
якщо він розташований нижче дотич-
ної, проведеної в будь-якій точці цього інтервалу. Графік функції /(х) на-
зивається вгнутим униз або вгнутим на інтервалі (а,Ь) , якщо він розташо-
ваний вище дотичної, проведеної в будь-якій точці цього інтервалу.
Точка (х
0
,/(х
0
)) графіка функції, яка відділяє його опуклу частину
від вгнутої, називається точкою перегину.
Достатня умова опуклості (вгнутості) графіка
функції.
Нехай функ-
ція /(х) двічі диференційовна на інтервалі
(а,Ь).
Тоді, якщо:
а
) /"(
х
) < 0 на
(а,Ь),
то графік функції /(х) є опуклим на
(а,Ь);
б) /"(х) > 0 на
(а,Ь),
то графік функції /їх) є вгнутим на
(а,Ь).
Із означення точки перегину та достатніх умов опуклості (вгнутості)
випливає, що, коли х
0
- абсциса точки перегину графіка функції у = /(х),
то друга похідна дорівнює нулю, нескінченності або не існує.
Точки, в яких /"(х) = 0 . нескінченності або не існує, називаються кри-
тичними точками другого
;ч>і)у.
Достатня умова точки перегину. Нехай функція /(х) двічі диференці-
йовна в деякому околі О(х
0
,5) критичної точки другого роду х
0
, за виклю-
ченням, можливо, самої точки х
0
. Тоді, якщо /"(х) в інтервалах (х
0
- 5,х
0
),
(х
0
,х
0
+ 8) має протилежні знаки, то х
0
- абсциса точки перегину. Якщо ж
/"(х) має однаковий знак у цих інтервалах, то точка з абсцисою х
0
не є
точкою перегину.
Асимптоти. Пряма Ь називається асимптотою графіка функції /(х),
якщо відстань від точки М графіка функції до прямої Ь р(М,Ь)
—>
0 при
віддаленні точки М у нескінченність.
Вертикальні асимптоти. Пряма х = а є вертикальною асимптотою
графіка функції /(х), якщо Ііт /(х) =
±оо
. Неперервні функції не мають
х—>а
вертикальних асимптот.
328
Глава
8.
Диференціальне числення функцій однієї змінної
Похилі асимптоти. Пряма у =кх + Ь є похилою асимптотою графіка
функції /(х), якщо існують скінченні границі
\іт^-
= к, 1\т[/(х)-кх] = Ь.
Х-*±<*>
X
Х->±°0
Горизонтальні асимптоти. Пряма у = Ь є горизонтальною асимпто-
тою графіка функції /(х). Горизонтальна асимптота є частинним випад-
ком похилої асимптоти у = кх + Ь при к = 0 .
Схема повного дослідження функції. Для повного дослідження
функції та побудови її графіка можна рекомендувати таку схему:
1) вказати область визначення функції;
2) дослідити функцію на парність, непарність (симетрію графіка), пе-
ріодичність;
3) знайти точки перетину функції з осями координат;
4) знайти точки розриву функції, якщо вони існують, і встановити їх
характер;
5) знайти асимптоти графіка функції;
6) визначити інтервали зростання та спадання функції та екстремуми;
7) визначити інтервали опуклості та вгнутості функції
і
а точки перегину;
8) провести необхідні додаткові дослідження: сталість знаку функції,
розташування графіка відносно осей координат (вище, нижче), поведінка
функції на нескінченності, тощо.
Побудову графіка рекомендується виконувати поступово, переходячи
від пункту до пункту схеми, з нанесенням знайдених у кожному пункті ха-
рактеристик.
Знаходження найбільшого та найменшого
з її а ч е її •• я ф у її к ц
і
ї на відрізку
Якщо функція /(ДҐ) неперервна на відрізку [а,Ь], то вона досягає на
цьому відрізку своїх найбільшого та найменшого значень. Для знаходження
цих значень треба:
а) знайти все критичні точки функції /(х) на відрізку [а,Ь];
б) обчислити значення функції /(х) у критичних точках;
в) обчислити значення функції /(х) у точках х = а , х-Ь;
г) серед обчислених значень вибрати найбільше та найменше.
§2.
Застосування диференціального числення
329
//. Контрольні питання та завдання
1.
Сформулюйте теорему
Ролля.
Вкажіть її геометричний зміст.
2.
Сформулюйте теорему Лагранжа. Вкажіть її геометрич-
3.
Сформулюйте правило Лопіталя для розкриття невизна-
з використанням правила Лопіталя?
5.
Як розкриваються степеневі невизначеності з викорис-
танням правила Лопіталя?
6. Запишіть формулу Тейлора з залишковим членом у формі
Лагранжа.
7.
Який вигляд має залишковий член у формулі Тейлора у
формі Пеано?
8. Запишіть формулу Маклорена.
9. Як знаходяться інтервали зростання та спадання функції?
10.
Яка необхідна умова локального екстремуму?
11.
Які точки називаються критичними?
12.
Сформулюйте достатню ознаку екстремуму функції, по-
в'язану з похідною першого порядку?
13.
Сформулюйте достатню ознаку екстремуму функції, по-
в'язану з похідною другого порядку?
14.
Як знаходити проміжки опуклості, вгнутості, точки пе-
регину?
15.
Які точки називаються критичними точками другого роду?
16.
Як знаходити вертикальні асимптоти графіка функції;
похилі асимптоти?
17.
Як знаходиться найбільше та найменше значення функції
на відрізку?
ний ЗМІСТ.
4.
Як розкриваються невизначеності типів {0
•
оо}
та {
оо
—
оо
330
Глава 8. Диференціальне числення функцій однієї змінної
///. Приклади розв'язання задач
У цьому пункті наведено 28 прикладів розв'язання задач,
які за своєю тематикою розподілились таким чином:
1.
Геометричні та механічні застосування похідної:
приклади 1-6.
2.
Теореми про диференційовні функції: приклади 7-11.
3.
Розкриття невизначеностей за правилом Лопіталя:
приклади 12-17.
4.
Формула Тейлора: приклади 18 - 22.
5. Дослідження функцій та побудова графіків:
приклади 23 - 26.
6. Знаходження найбільшого та найменшого значення
функції: приклади 27, 28.
Геометричні та механічні застосування похідної
Приклад 1. Які кути утворюють з віссю Ох дотичні до
кривої у = х - х у точках з абсцисами:
а) х = 0; б) х = ; в) х =
1
?
• Знайдемо похідну від функції у = х - х
2
: у' =
1
- 2х .
а) при х = 0 : у' = 1, тобто г§ а = 1, а = 45° ;
б) при х = 1: у' = 0 , тобто
1§
а = 0, а = 0° ;
в) при х =
1
: у' =
-1,
тобто і§ а =
-1,
а = 135° .
Результати проілюстровано на рис.8.3.
х
Рис.8.3 <