Тевяшев А.Д., Литвин О.Г. Вища математика. Загальний курс: Збірник задач та вправ
Подождите немного. Документ загружается.
зворотний хід методу Гаусса).
Приклади розв'язання систем рівнянь матричним методом, за форму-
:ами Крамера і методом Гаусса наведено в зразку виконання індивідуально-
го
завдання 2 .
Система рівнянь називається однорідною , якщо В = 0 , тобто систе-
ма має вигляд АХ = 0 .
Однорідна система завжди сумісна, тобто має розв'язок X = 0 .
Однорідна система має нетривіальні розв'язки, якщо К§Л = г<«,
ж
п - число невідомих . У цьому випадку система має безліч розв'язків ,
юсі записуються у вигляді загального розв'язку. Розв'язання однорідної сис-
теми здійснюється методом Гаусса .
Фундаментальна система розв'язків однорідної системи рівнянь є сис-
"емою лінійно незалежних розв'язків .
Фундаментальна система містить (п-г) розв'язків і одержується з
загального розв'язку, якщо вільним змінним надавати послідовно значен-
чя : 1, 0, 0, ..., 0 ; 0, 1,
0,...,
0 ; ... ; 0.0,0',...,!.
Приклад 1. Записати в матричному вигляді систему рівнянь :
АХ = В
або
с
(3 2-1 0
ҐЛ
1 0
1
-1 2
V
2 2
З -1
л-
4
;
51
Приклад 2. Розв'язати однорідну систему, використовуючи метод
Гаусса:
2х\ - Зх
2
+ х
3
= 0 ;
х
\
+
х
2 +
х
3
=
0 >
Зх, - 2х
2
+
= 0 .
Розв'язання. Випишемо матрицю системи і будемо виконувати еле-
ментарні перетворення рядків матриці
'2 -3
0
(\
1
{
1
1
(\
і Г
А = 1 1
1
~
2 -3
1|~
0 -5
-1
-
~
0 5 1
,3 -2
2
У
?
-2
2)
,°
-5
ч 1°
0 о
у
К.§Л = г = 2<я = 3, п - число невідомих . Система має нетривіальні
1 1
розв'язки. Базисний мінор
0 5
Ставимо у відповідність матриці спрощену систему :
Гх] +
х
2
+
х
3
=
0 ;
5х
2
+
х
3
=
0 ,
де *ь
х
2 - базисні змінні, Х3 - вільна змінна;
х
1+
х
2
=-х
3
;
|*1--*3+у--у*з;
5х
2
= -х
3
Х2
~
5
Загальний розв'язок : х\ = -
—
х
3
х
г
—
т
х
3
є К
Якщо лерепозначити вільну змінну х
3
= С, отримаємо загальний
розв'язок у вигляді
х,
5
і
5
Підставивши отриманий розв'язок у систему , переконаємось у пра-
вильності отриманого розв'язку .
52
Приклад 3. Знайти фундаментальну систему розв'язків однорідної
жтеми рівнянь :
X] + 2х
2
+ _
ЗХ4
=
0 ;
Зх] + 5х
2
+ 6х
3
- 4х
4
- 0 ;
4х| + 5x2
_
2х
3
+ Зх
4
= 0 ;
Зх, +8х
2
+24х
3
-19х
4
=0 .
Розв'язання.
'12 4
3 5 6
4 5-2
ч
3 8 24
- ^
- 4
З
19
2
-1
-З
і
4
-6
-18
12
3
]
ґ
\ 2
4
-3'
5 0
-1
-6
5
15 0 0 0 0
0 0
Ь
К.£/1 = г = 2<п = 4.системамає нетривіальні розв'язки
1 2
Базисний мінор
0
1
і- + 2х
2
+ 4х
3
- Зх
4
= 0 ;
І
х, + 2х
2
= -4х
3
+ Зх
4
;
О
<
о
- х
2
- 6х
3
+ 5x4
=
0 , [х
2
= _
6х
3
+ 5x4 '
[х,
= -4х
3
+ Зх
4
- 2(-6х
3
+ 5х
4
) = -4х
3
+ Зх
4
+12х
3
-10х
4
= 8х
3
- 7х
4
;
<=>
[х
2
= -6х
3
+ 5х
4
,
їх,
= 8х
3
-7х
4
;
1 х
2
= -6х
3
+ 5х
4
.
Загальний
розв'
язок: х, = 8х
3
- 7х
4
, х
2
= -6х
3
+ 5х
4
, х
3
, х
4
є Л .
Перепозначимо змінні х
3
= Сі, х
4
= С
2
.
Загальний розв'язок:
: =8С,-7С
2
, х
2
=-6С,+5С
2
, х
3
=С,, х
4
=С
2
\/С
ь
С
2
єК.
Поклавши С, =1, С
2
- 0 та С, = 0, С
2
=1, з загального розв'язку
тлємо
фундаментальну систему розв'язків :
х | = 8, х
2
= -6, х
3
= 1, х
4
= 0 ;
х,=-7,
х
2
= 5, х
3
=0, х
4
=
1
.
53
Маємо фундаментальну систему розв'язків : {(8,-6,1,0), (-7, 5, 0,1)
Зауважимо, що наведена обчислювальна процедура гауссових вик-
лючень може бути формалізована за допомогою простих правил .
Назвемо змінну, що виключалася , розв'язувальною , коефіцієнт пр*
ній -розв'язувальним елементом, рядок і стовпець матриці, в яких розміше-
ний розв'язувальний елемент - розв'язувальними .
Перерахування елементів розширеної матриці при виконанні елемен-
тарних перетворень виконується за наступними правилами :
1) елементи розв'язувального рядка і всіх вище розташованих рядкщ
залишаються незмінними ;
2) елементи розв'язувального стовпця , що розташовані нижч;
розв'язувального елемента, обертаються в нулі;
3) усі інші елементи матриці обчислюються за правилом прямокут-
ника : перетворюваний елемент дорівнює різниці добутків еле-
ментів головної і побічної діагоналей ( рис. 2.1).
О О О О О 0 0
о о о о о о о
Рис.
2 .1
При розгляді прикладів 2, 3, а також задач 3 ,4 індивідуального завдаь-
ня 2 використовувалася саме така процедура перетворення розширеної мат-і
риці. Дотримання означених правил полегшує процес обчислень і викорис-
тання обчислювальних засобів для розв'язання задач .
Метод повного виключення (метод Жордана - Гаусса) полягає >
тому, що в результаті перетворень розширеної матриці в ній виділяється діа-
гональна підматриця і тоді розв'язок вихідної системи виписується просто
54
Метод повного виключення працює за наступними правилами:
1) призначається розв'язувальний елемент ; ним буде коефіцієнт при
невідомій , що виключається ;
2) елементи розв'язувального рядка залишаються незмінними ;
3) усі елементи розв'язувального стовпця (окрім розв'язувального еле-
мента) замінюються нулями і залишаються такими до кінця пере-
творень ;
4) усі інші елементи матриці перераховуються за правилом прямо-
кутника .
Приклад 4. Розв'язати систему рівнянь методом повного виключення:
Х[ + 2x2 +
~~
х
4 =
^
>
Зх[ + 2х
2
+ Х3 - х
4
= 1;
2х[ 4 Зх
2
+ х
3
+ х
4
= 1;
і
5х, + 5х
2
+ 2хз = 2.
Розв'язання. Скористаємось алгоритмом методу повного виключення :
1
2
3 -1 0
'\
0
3 -1
1 '
'-4
0
4
0
0
и
2
1 -1
1 0
_4 _
8 2
-
2
0
-4
-8
2
-2
1
3 1 1 1 0 -1 - 5 3
-
1
0
0
12
-10
2
5
5 2 0
->
)
-5 -
13
5
-
0
0 12
-10
2
(\
0 -1 0
ґ
6 0
0
- 5
г
0 2 4 -•1 1
~
0 12 0 14
2
V
0
0
и -
5 1 0 0 6 -5
\
За виглядом останньої матриці, записуємо загальний розв'язок систе-
15 17 15
*и рівнянь : Х[ = —+ —х
4
, х
2
= х
4
,
Х3
= —+ —х
4
, де х
4
- будь-яке
6 6 6 6 6 6
гйсне число .
Метод повного виключення може бути використаний для обернення
55
матриць (відомий також під назвою метод елементарних перетворень)
Для даної матриці А п -то порядку будується прямокутна матриця [А
|
£
розміру п х 2п , до якої застосовуються перетворення за алгоритмом повного
виключення , в результаті чого матриця приводиться до вигляду [Е В) , Д:
В
= /Г
1
. Це завжди можливо , якщо матриця А невироджена .
Приклад 5. Використовуючи метод повного виключення, знайти мат-
рицю,
обернену матриці А :
А =
(2
1
4
4^
5
6
Розв'язання.
3 4
1
0 г/ 2 3
4
1 0
'2
0 -14 4 -6
<Г
1
2
5
0 1 0
~
о Ш
6
-1 2
0 0 1
6
-1 2
0
,
4
7
6
0 0
1
0 2
-4 -4 0
2
)
0
V
0
І-16І
-2 -4
2,
-32
0
0 -16
о о
0 -92 40 28^ (\ 0 0 92/32 -40/3
2
-28/32І
0 28 -8 -12 - 0 1 0 -28/16 8/16 12/16
І -4 2 0 0 1 2/16 4/16 - 2/16
Праворуч від вертикальної риски отримали обернену матрицю. Отже
23/8 -10/8 ~ 7/8Л Г-23 10 7^
14/8 4/8 6/8
1/8 2/8 -1/8
А'
1
=
V
V
14
- 1
•4 -6
-2 1
Можна перевірити, що А
-
А
1
= А
1
•
А = Е .
Уведемо поняття власного вектора і власного значення матриці А .
Будь-який ненульовий вектор х називається власним вектором квад-
ратної матриці А , якщо знайдеться таке число Я, що буде виконуватися
рівність
Ах
=
Ах .
56
Число Я називається власним значенням матриці А , що відповідає
! золеному вектору X .
Наведену рівність можна записати у матричному вигляді
АХ
= ЛХ
(А-ЛЕ)Х
= 0 .
Лисим чином, власні вектори знаходяться з розв'язку однорідної системи
изнянь
(А-ЯЕ)Х
=
О
,
то
можна записати в розгорнутому вигляді так :
(а\
\
-А) х\ + а
2
] х
2
+ ... + аі
й
х„ = 0 ;
«21*1 +(«22-
Х
)
х
2 +-+«2л
х
п =°
:
а
п\
х
\
+а
п2
х
2
+•••
+ (а„„ - Я) х„ = 0 ;
Ненульові розв'язки цієї системи існують тоді і тільки тоді, коли
х\(
А - ХЕ) = 0, тобто
а
п
-Л а
{2
«21
а
22
-Л
а
\п
а
2п
а ПІ
а
п2
а
пп
- Я
=
0
Останнє рівняння називається характеристичним рівнянням .
Розв'язавши характеристичне рівняння, отримаємо власні значення
патриці, а після цього із записаної системи рівнянь - її ненульові розв'язки,
тобто власні вектори.
Приклад 6. Знайти власні значення і власні вектори матриці
(\ А
А= " .
V Ч
Розв'язання. Складаємо характеристичне рівняння
1-А 2
2
1-А
=
0
5
озкривши визначник, отримаємо рівняння Я - 2Я - 3 = 0
57
Знаходимо власні значення Д|=3,
А
2
= -\ .
Запишемо систему рівнянь
для
визначення власних векторів
Г(1
-
Я)л:і
+ 2х
2
= 0 ;
[2*!
+(1-А)х
2
=0 .
Вважаємо
А
х
- 3 .
Система приймає вигляд
Г-2х
І
+2х
2
=0;
і І
2х\
-2х
2
= 0 ,
Вважаючи
х
2
=1
.одержуємо фундаментальну систему розв'язків однорідної
. Звідси
х
(1)
=С(1, 1) , С*0.
системи:
=
Аналогічно, приймаючи
Я
2
=
-1,
знаходимо
|2х]
+ 2х
2
= 0 ;
2х]
+ 2х
2
= 0 ,
Приймаючи
х
2
=
1
,
знаходимо
Е
2
|х]+х
2
=0,
=>
{х|=-л
V
* 7
,
х
(2)
=
С(-1,
1) , С*0 •
Отже, маємо
: Я,=3, А
г
=-\ \
х
(1)
=С(1,1)
,
х
(2)
=С(-1,1)
С*0
.
ЗАПИТАННЯ
І
ЗАВДАННЯ
ДЛЯ
САМОПЕРЕВІРКИ
1.
Запишіть загальний вигляд системи
т
лінійних рівнянь
з п
невідо-
мими
.
2.
Запишіть формули Крамера
.
3.
Що
називається матрицею
?
4.
Як
помножити
дві
матриці
?
5.
Дайте означення рангу матриці.
6. Дайте означення оберненої матриці.
7.
Яка
система лінійних алгебраїчних рівнянь називається сумісною
"
8. Сформулюйте теорему Кронекера
-
Капеллі.
58
2.3. Задачі для практичних занять
З 1
0 0
З 1
2 З
-7 2
2 0
-4 5
7 0
2.2.
-2 2 3 3
0 3-12
3-1 4 6
1 2 0 1
2.3.
2 3-14
12 3 5
-12 0 1
5 8 11
2.4.
Задані матриці
'2 0
-П <~ 1
2
3^
0 0
А =
4 :> 5
, в =
- 3 1
4
, с =
2
-2
1
,°
7
-4,
1
5
-7
4
у
1-»
4
5
Знайти: а)2А
+
ЗВ-С
б) А-В
+
2С
У задачах 2.5 - 2.9 виконати вказані дії:
ґ і \
2.5. (-1 2 2 3)
0
V 1,
2.6.
V
2 -
3 5
^3 0^
17.
З 0 1
2-10
1^3 0 1
ґ-1
П
2
-2
)
. 5
V V
2.8.
6 1
2.9.
0 1 0^
2 0 3
0 0 1
У задачах 2.10-2.13 знайти матриці, обернені даним , якщо вони існу-
ють . Перевірити виконання рівності : А А =Е.
110.
а) А--
-1 2
-З 5
б) А
2 4
2.11.
А =
3-12
0 -2 1
5 0 3
112.
А--
(2 -1
4 2 5
6 1 -2
2.13.
/1 =
2 1 1
1 0 2
3 1 2
59
У задачах 2.1 -2.3 обчислити визначники :
У задачах 2.14 - 2.16 знайти ранг матриці А методом елементарн,
перетворень:
Ґ1
-2
-1 (Г
'1
-1
1 "Г]
2.14. А =
4 3
7
11
2.15. А =
2
0
1 3
,5
1
6
,
3
-1
2
Ґ1
2
-1
А
0
1
2
2.16.
А =
1
2
-1
0
1
3
1
1
,2
5
0
Ь
У задачах 2.17 - 2.19 розв'язати системи , використовуючи формулі
Крамера:
2.17. |
\
Х[ + 2х
2
= 8
Зх[ +4х
2
= 18
2.18.
2х, - Зх
2
+ х
3
= 5 ;
х\
+ 4х
2
- х
3
= -3 ;
Зх] + 2х
2
+ Зх
3
= 1 .
2Х]
+ Зх
2
+ х
3
=
1
;
2.19.
І3х
х
- х
2
+2х
3
=1 ;
Х|
+ 4х
2
- х
3
= 2 .
У задачах 2.20 - 2.22 розв'язати системи , використовуючи матричний
спосіб ;
2.20. і
X]
- 2х
2
+ х
3
= 0 ;
2Х(
- х
2
=
1
;
Зх] + 2х
2
- х
3
= 4 .
Зх) +х
2
+ х
3
= 2 ;
2.21.
^
Хі-2х
2
+ 2х
3
=-1 ;
4хі - Зх
2
- х
3
= 5
Зх] + х
2
- х
3
= 2 ;
2.22. \ х\~ х
2
+ х
3
= 2 ;
х'і + 2х
2
+ 2х
3
= 7 .
У задачах 2.23 - 2.27 дослідити систему на сумісність і у випадку
сумісності розв'язати її . Використати метод Гаусса (або метод повного вик-
лючення) •
60