Тиманюк В.А., Животова Е.Н. Биофизика

Подождите немного. Документ загружается.

291

äðóã äðóãó. Ôåððîìàãíåòèçì èìååò êâàíòîâîìåõàíè÷åñêóþ ïðèðî-

äó. Â îòñóòñòâèè âíåøíåãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ äîìåíû îðèåíòèðîâà-

íû ïî îòíîøåíèþ äðóã ê äðóãó áåñïîðÿäî÷íûì îáðàçîì, òàê ÷òî

ñóììàðíûé ìàãíèòíûé ìîìåíò âåùåñòâà ðàâåí íóëþ. Ïðè íàëîæå-

íèè äàæå îòíîñèòåëüíî ìàëîãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ ãðàíèöû ìåæäó

äîìåíàìè ñìåùàþòñÿ òàê, ÷òî çà ñ÷åò îñòàëüíûõ äîìåíîâ óâåëè÷è-

âàþòñÿ ðàçìåðû òåõ èç íèõ, ìàãíèòíûå ìîìåíòû êîòîðûõ íàïðàâ-

ëåíû âäîëü ïîëÿ. Ïðè ýòîì ñóììàðíûé ìàãíèòíûé ìîìåíò âåùå-

ñòâà óâåëè÷èâàåòñÿ äî òåõ ïîð, ïîêà âñå ìàãíèòíûå ìîìåíòû, åãî

ñîñòàâëÿþùèå, íå âûñòðîÿòñÿ âäîëü ïîëÿ (ÿâëåíèå ìàãíèòíîãî íà-

ñûùåíèÿ). Ôåððîìàãíåòèêè ñïîñîáíû ñîõðàíÿòü íàìàãíè÷åííîñòü

äàæå ïîñëå ñíÿòèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ. Îíà ñíèæàåòñÿ ñ ðîñòîì òåì-

ïåðàòóðû è ïðè íåêîòîðîì åå çíà÷åíèè — òåìïåðàòóðå Êþðè — ñòà-

íîâèòñÿ ðàâíîé íóëþ.

Ìàãíèòíàÿ âîñïðèèì÷èâîñòü è ìàãíèòíàÿ ïðîíèöàåìîñòü ôåð-

ðîìàãíåòèêîâ î÷åíü âåëèêè (

0 ,

1) è, â îòëè÷èå îò äèà-

è ïàðàìàãíåòèêîâ, äëÿ êîòîðûõ µ è χ ïîñòîÿííû, ñèëüíî çàâèñÿò

îò âåëè÷èíû íàïðÿæåííîñòè ìàãíèòíîãî ïîëÿ.

Ê ôåððîìàãíåòèêàì îòíîñÿòñÿ Fe, Co, Ni è ìíîãèå èõ ñîåäèíå-

íèÿ. Ôåððîìàãíåòèêè øèðîêî ïðèìåíÿþò â ìåäèöèíå, íàïðèìåð,

äëÿ óäàëåíèÿ ìàãíèòíûõ ïûëèíîê è îïèëîê èç ãëàç è ðàí; â õèðóð-

ãèè äëÿ ñîåäèíåíèÿ êîíöîâ ïðîîïåðèðîâàííîé êèøêè (äëÿ ýòîãî

èñïîëüçóþò êîëüöà èç ñèëèêîíîâîé ðåçèíû ñ âëîæåííûìè ñòå-

ðèëüíûìè ôåððîìàãíåòèêàìè; êîãäà ÷åðåç íåñêîëüêî äíåé øîâ

ñðàñòàåòñÿ, êîëüöà âûâîäÿòñÿ åñòåñòâåííûì ïóòåì).

§ 9.7. ÝËÅÊÒÐÎÌÀÃÍÈÒÍÀß ÈÍÄÓÊÖÈß

Ýëåêòðè÷åñêèé òîê ÿâëÿåòñÿ èñòî÷íèêîì ìàãíèòíîãî ïîëÿ.

Â ñâÿçè ñ ýòèì âîçíèêàåò âîïðîñ, ìîæåò ëè ìàãíèòíîå ïîëå ïîðî-

äèòü ýëåêòðè÷åñêèé òîê? Â 1831 ãîäó Ì. Ôàðàäååì áûëî ïîêàçàíî,

÷òî åñëè ïðîâîäÿùèé êîíòóð ïîìåñòèòü â ïåðåìåííîå ìàãíèòíîå

ïîëå (íàïðèìåð ïåðåìåùàòü ïîñòîÿííûé ìàãíèò îòíîñèòåëüíî êîí-

òóðà), òî â ïðîâîäíèêå âîçíèêàåò èíäóöèðîâàííîå ýëåêòðè÷åñêîå

ïîëå, êîòîðîå âûçûâàåò ïîÿâëåíèå ý ë å ê ò ð î ä â è æ ó ù å é ñ è ë û

èíäóêöèè E

. Â ïðîâîäÿùåì çàìêíóòîì êîíòóðå ïðè ýòîì âîç-

íèêàåò ýëåêòðè÷åñêèé òîê, íàçûâàåìûé è í ä ó ê ö è î í í û ì ò î -

êîì

. Ýòî ÿâëåíèå íàçûâàåòñÿ ýëåêòðîìàãíèòíîé èíäóêöèåé.

Ïåðåìåííîå ìàãíèòíîå ïîëå ïîðîæäàåò èíäóêöèîííûé òîê íå òîëüêî â ïðî-

âîäÿùèõ êîíòóðàõ, íî è â ëþáûõ ìàññèâíûõ òîêîïðîâîäÿùèõ òåëàõ. Âîçíèêàþùèå

ïðè ýòîì âèõðåâûå èíäóêöèîííûå òîêè íàçûâàþòñÿ òîêàìè Ôóêî. Èõ ïðîòåêàíèå

ñîïðîâîæäàåòñÿ âûäåëåíèåì çíà÷èòåëüíîãî êîëè÷åñòâà òåïëà. Ñ îäíîé ñòîðîíû, ýòî

ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàíî äëÿ ïëàâëåíèÿ èëè íàãðåâàíèÿ òåë, ñ äðóãîé — ïðèâîäèòü

ê íåæåëàòåëüíîìó ïåðåãðåâó ìåòàëëè÷åñêèõ ÷àñòåé òðàíñôîðìàòîðîâ.

§ 9.7. Ýëåêòðîìàãíèòíàÿ èíäóêöèÿ

292

òîê åãî ñîáñòâåííîãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ ïðîòèâîäåéñòâîâàë èçìåíåíèþ

ïåðâè÷íîãî ìàãíèòíîãî ïîòîêà, êîòîðûé âûçâàë ýòîò èíäóêöèîííûé

òîê. Òàê, åñëè ïîñòîÿííûé ìàãíèò ïðèáëèæàòü ê çàìêíóòîé êàòóø-

êå, òî îí áóäåò îòòàëêèâàòüñÿ, à åñëè îòîäâèãàòü, òî — ïðèòÿãèâàòü-

ñÿ.

Ðàññìîòðèì ïðîâîäíèê, ñêîëüçÿùèé ïî çàìêíóòîé öåïè (ðèñ. 9.5.5).

Ïðè åãî ïåðåìåùåíèè íà ðàññòîÿíèå dx çà âðåìÿ dt â êîíòóðå âîçíèêàåò

ýëåêòðîäâèæóùàÿ ñèëà èíäóêöèè E

. Ðàáîòà, ñîâåðøàåìàÿ òîêîì, ðàâíà

AI t

. (9.7.1)

Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïðè ïåðåìåùåíèè ïðîâîäíèêà ñ ïîñòîÿííûì òî-

êîì íàä ñèëàìè ìàãíèòíîãî ïîëÿ ñîâåðøàåòñÿ ðàáîòà, ðàâíàÿ ïðîèçâåäå-

íèþ âåëè÷èíû òîêà íà ìàãíèòíûé ïîòîê ÷åðåç ïîâåðõíîñòü, «ïåðåñå÷åí-

íóþ» ïðîâîäíèêîì ïðè åãî äâèæåíèè:

=− Φdd.AI (9.7.2)

Çíàê «–» ìàòåìàòè÷åñêè îòîáðàæàåò çàêîí Ëåíöà.

Ïðèðàâíÿâ ôîðìóëû (9.7.1) è (9.5.21), ïîëó÷àåì ç à ê î í Ô à-

ðàäåÿ:

=−

, (9.7.3)

êîòîðûé ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì: ïðè ëþáîì

èçìåíåíèè ìàãíèòíîãî ïîòîêà, ïðîíèçûâàþùåãî ïîâåðõíîñòü, îõâà-

òûâàåìóþ ïðîâîäÿùèì êîíòóðîì, â íåì âîçíèêàåò ÝÄÑ èíäóêöèè E

ïðîïîðöèîíàëüíàÿ ñêîðîñòè èçìåíåíèÿ ýòîãî ïîòîêà.

Ïî îïðåäåëåíèþ,

∫

ст

— ýòî ðàáîòà «ñòîðîííèõ» ñèë

ïî ïåðåíîñó åäèíèöû çàðÿäà ïî çàìêíóòîìó êîíòóðó. Òîãäà, ó÷èòû-

âàÿ, ÷òî

Φ=

, çàêîí Ôàðàäåÿ ïðèîáðåòàåò âèä:

ст

d(d)

El BS

=− ⋅

∫∫





, (9.7.4)

ãäå S — ïîâåðõíîñòü, îõâàòûâàåìàÿ êîíòóðîì l. Ðàâåíñòâî (9.7.4) ÿâ-

ëÿåòñÿ èíòåãðàëüíîé ôîðìîé çàïèñè çàêîíà ýëåêòðîìàãíèòíîé èí-

äóêöèè.

Åñëè êîíòóð, â êîòîðîì èíäóöèðóåòñÿ ÝÄÑ, ñîñòîèò íå èç îä-

íîãî âèòêà, à èç N ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíåííûõ âèòêîâ, òî åñòü

ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñîëåíîèä, E

áóäåò ðàâíà ñóììå ÝÄÑ, èíäóöè-

ðóåìûõ â êàæäîì èç âèòêîâ:



=− =− Φ





∑∑

. (9.7.5)

Ãëàâà 9. Ýëåêòðîìàãíåòèçì

293

Âåëè÷èíà

Φ= Φ

∑

(9.7.6)

íàçûâàåòñÿ ïîëíûì ìàãíèòíûì ïîòîêîì. Åñëè ïîòîê, ïðîíèçûâàþ-

ùèé êàæäûé èç âèòêîâ, îäèíàêîâ, òî

Φ= Φ

.N (9.7.7)

Ýëåêòðè÷åñêèé òîê I, òåêóùèé â ëþáîì êîíòóðå, ñîçäàåò ïðî-

íèçûâàþùèé ýòîò êîíòóð ìàãíèòíûé ïîòîê Φ; ïðè èçìåíåíèÿõ I

èçìåíÿåòñÿ òàêæå è Φ, ñëåäîâàòåëüíî, â êîíòóðå áóäåò èíäóöèðî-

âàòüñÿ ÝÄÑ. Ýòî ÿâëåíèå íàçûâàåòñÿ ñàìîèíäóêöèåé.

Â ñîîòâåòñòâèè ñ çàêîíîì Áèî—Ñàâàðà—Ëàïëàñà, ìàãíèòíàÿ

èíäóêöèÿ Â ïðîïîðöèîíàëüíà òîêó, âûçâàâøåìó ïîëå. Îòñþäà ñëå-

äóåò, ÷òî òîê â êîíòóðå I è ñîçäàâàåìûé èì ïîëíûé ìàãíèòíûé

ïîòîê Φ ÷åðåç êîíòóð ïðÿìî ïðîïîðöèîíàëüíû:

Φ=

.LI

(9.7.8)

Êîýôôèöèåíò ïðîïîðöèîíàëüíîñòè L ìåæäó òîêîì è ïîëíûì

ìàãíèòíûì ïîòîêîì íàçûâàåòñÿ èíäóêòèâíîñòüþ ïðîâîäíèêà. Â ÑÈ

èíäóêòèâíîñòü èçìåðÿþò â ãåíðè (Ãí),

[]L

= 1 Ãí = 1 Âá/ñ. Èí-

äóêòèâíîñòü çàâèñèò òîëüêî îò ãåîìåòðèè ïðîâîäíèêà è ìàãíèò-

íûõ ñâîéñòâ ñðåäû è íå çàâèñèò îò õèìè÷åñêîãî ñîñòàâà ïðîâîä-

íèêà.

Ïðè èçìåíåíèè òîêà â êîíòóðå âîçíèêàåò ÝÄÑ ñàìîèíäóêöèè E

ðàâíàÿ

()



=− =− =− +





ddd

dd dd

tt tt

. (9.7.9.)

Åñëè L ïðè èçìåíåíèè òîêà îñòàåòñÿ ïîñòîÿííîé (â îòñóòñòâèå

ôåððîìàãíåòèêîâ), âûðàæåíèå äëÿ E

, ïðèíèìàåò âèä:

=−

. (9.7.10)

Âû÷èñëèì èíäóêòèâíîñòü äëèííîãî ñîëåíîèäà. Â ñîîòâåòñòâèè

ñ ôîðìóëàìè (9.7.7), (9.5.13) è (9.5.34) ìàãíèòíûé ïîòîê, ïðîíè-

çûâàþùèé ñîëåíîèä, ðàâåí

Φ= = µµ =µµ

NBS N I S n IV

ãäå N — ÷èñëî âèòêîâ ñîëåíîèäà; S — ïëîùàäü ïîïåðå÷íîãî ñå÷å-

íèÿ êàæäîãî âèòêà; ï — ÷èñëî âèòêîâ íà åäèíèöó äëèíû; l — äëèíà

§ 9.7. Ýëåêòðîìàãíèòíàÿ èíäóêöèÿ

294

íîèäà;

VlS

îáúåì ñîëåíîèäà. Èç âûðàæåíèÿ (9.7.8) ïîëó÷àåì èí-

äóêòèâíîñòü äëèííîãî ñîëåíîèäà:

=µµ

LnV. (9.7.11)

Â ñîîòâåòñòâèè ñ ôîðìóëîé (9.7.11) åäèíèöåé èçìåðåíèÿ ìàãíèò-

íîé ïîñòîÿííîé ÿâëÿåòñÿ ãåíðè íà ìåòð [µ

] = Ãí/ì.

Ïî ïðàâèëó Ëåíöà, äîïîëíèòåëüíûå òîêè, âîçíèêàþùèå â ïðî-

âîäíèêàõ âñëåäñòâèå ñàìîèíäóêöèè, âñåãäà íàïðàâëåíû òàê, ÷òîáû

âîñïðåïÿòñòâîâàòü èçìåíåíèþ òîêà, òåêóùåãî â öåïè. Ýòî ïðèâî-

äèò ê òîìó, ÷òî óñòàíîâëåíèå òîêà ïðè çàìûêàíèè öåïè è óáûâà-

íèå òîêà ïðè ðàçìûêàíèè öåïè ïðîèñõîäèò íå ìãíîâåííî.

Ïðè çàìûêàíèè öåïè, ñîñòîÿùåé èç âêëþ÷åííûõ ïîñëåäîâàòåëüíî

àêòèâíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ R, âêëþ÷àÿ âíåøíåå ñîïðîòèâëåíèå öåïè è âíóò-

ðåííåå ñîïðîòèâëåíèå èñòî÷íèêà òîêà, èíäóêòèâíîñòè L è èñòî÷íèêà ÝÄÑ

, áóäåò äåéñòâîâàòü ÝÄÑ ñàìîèíäóêöèè E

. Çàïèøåì çàêîí Îìà äëÿ ýòîé

öåïè:

èëè

IR I R L

=−

, (9.7.12)

ãäå

;

I — ïîñòîÿííûé òîê, êîòîðûé áóäåò òå÷ü â öåïè ïîä äåé-

ñòâèåì ÝÄÑ

Ðàçäåëèì ïåðåìåííûå â óðàâíåíèè (9.7.12):

II L

=−

−

Ïîñëå èíòåãðèðîâàíèÿ â ïðåäåëàõ âðåìåíè îò t = 0 äî ïðîèçâîëüíîãî

ìîìåíòà t è ñèëû òîêà îò I = 0 äî I, ñîîòâåòñòâóþùåãî ìîìåíòó âðåìåíè t,

ïîëó÷àåì:

II L

=−

−

∫∫

;

()

II t

−=−

;

ïîäñòàâèì ïðåäåëû èíòåãðèðîâàíèÿ

II R

−

=−

−

è âûðàçèì I:

−





=−





Ãëàâà 9. Ýëåêòðîìàãíåòèçì

295

Ïðè ðàçìûêàíèè öåïè ÝÄÑ èñòî÷íèêà òîêà ðàâíà íóëþ, íî âîçíèêàåò

ÝÄÑ ñàìîèíäóêöèè, òî åñòü

IR E ,

èëè

IR L

=−

. (9.7.13)

Ðàçäåëèì ïåðåìåííûå è ïðîèíòåãðèðóåì â ïðåäåëàõ t = 0 äî ïðîèç-

âîëüíîãî ìîìåíòà t è ñèëû òîêà îò I = I

äî I, ñîîòâåòñòâóþùåãî ìîìåíòó

âðåìåíè t:

=−

∫∫

;

=− ;

−

Òàêèì îáðàçîì, ïðè çàìûêàíèè öåïè, ñîñòîÿùåé èç âêëþ÷åí-

íûõ ïîñëåäîâàòåëüíî àêòèâíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ R è èíäóêòèâíîñ-

òè L, ñèëà òîêà âîçðàñòàåò ïî çàêîíó

−





=−





, (9.7.14)

à ïðè ðàçìûêàíèè öåïè — óáûâàåò ïî çàêîíó

−

. (9.7.15)

Åñëè, îòêëþ÷èâ ñîëåíîèä îò áàòàðåè, çàìêíóòü åãî íà ñîïðî-

òèâëåíèå R', òî â îáðàçîâàâøåéñÿ öåïè áóäåò íåêîòîðîå âðåìÿ òå÷ü

ïîñòîÿííî óìåíüøàþùèéñÿ òîê. Óáûëü ýíåðãèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ

çà âðåìÿ dt áóäåò ðàâíà ðàáîòå, ñîâåðøàåìîé òîêîì ðàçìûêàíèÿ è

ðàâíîé äæîóëåâîé òåïëîòå, âûäåëÿþùåéñÿ íà ñîïðîòèâëåíèè:

dddAI t QE

. (9.7.16)

Ñ ó÷åòîì âûðàæåíèÿ (9.7.10) çàïèøåì:

=−

dd.ALII

(9.7.17)

Åñëè èíäóêòèâíîñòü íå çàâèñèò îò òîêà I, òî ïîëíàÿ ðàáîòà çà

âñå âðåìÿ, â òå÷åíèå êîòîðîãî ïðîèñõîäèò èñ÷åçíîâåíèå ìàãíèò-

íîãî ïîëÿ, ðàâíà

§ 9.7. Ýëåêòðîìàãíèòíàÿ èíäóêöèÿ

296

=− =

∫

ALII

. (9.7.18)

Òàêèì îáðàçîì, ýíåðãèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ òîêà (òî åñòü ïðîâîäíè-

êà ñ èíäóêòèâíîñòüþ L, ïî êîòîðîìó òå÷åò òîê I):

W =

. (9.7.19)

Ñîïîñòàâëÿÿ âûðàæåíèå (9.7.19) ñ ôîðìóëîé äëÿ êèíåòè÷åñêîé

ýíåðãèè, ìîæíî çàêëþ÷èòü, ÷òî èíäóêòèâíîñòü ÿâëÿåòñÿ ìåðîé

èíåðòíîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî êîíòóðà, òàê æå êàê ìàññà ÿâëÿåòñÿ

ìåðîé èíåðòíîñòè ìåõàíè÷åñêîãî òåëà ïðè ïîñòóïàòåëüíîì äâè-

æåíèè.

Âûðàçèì ýíåðãèþ ìàãíèòíîãî ïîëÿ (9.7.19) ÷åðåç âåëè÷èíû,

õàðàêòåðèçóþùèå ñàìî ïîëå. Â ñëó÷àå î÷åíü äëèííîãî ñîëåíîèäà

=µµ

LnV; = ,HnI èëè

. (9.7.20)

Ïîäñòàâëÿÿ ýòè âûðàæåíèÿ â óðàâíåíèå (9.7.19), ïîëó÷àåì:

µµ

. (9.7.21)

Ìàãíèòíîå ïîëå áåñêîíå÷íî äëèííîãî ñîëåíîèäà îäíîðîäíî

è îòëè÷íî îò íóëÿ òîëüêî âíóòðè ñîëåíîèäà [ñì. ôîðìóëó (9.5.34)

è ðèñ. 9.5.7]. Òîãäà îáúåìíàÿ ïëîòíîñòü ýíåðãèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ

ðàâíà

µµ

ω= = =

. (9.7.22)

Ðàññìîòðèì äâà êîíòóðà, ðàñïîëîæåííûõ íà íåêîòîðîì ðàñ-

ñòîÿíèè äðóã îò äðóãà. Åñëè â ïåðâîì êîíòóðå òå÷åò òîê I

, òî îí

ñîçäàåò â äðóãîì êîíòóðå ïðîïîðöèîíàëüíûé I

ïîòîê:

Φ=

2211

LI. (9.7.23)

Ïðè èçìåíåíèè òîêà I

âî âòîðîì êîíòóðå èíäóöèðóåòñÿ ÝÄÑ:

=−

221

. (9.7.24)

Àíàëîãè÷íî ïðè ïðîòåêàíèè âî âòîðîì êîíòóðå ñ òîêîì I

âîç-

íèêàåò ñâÿçàííûé ñ ïåðâûì êîíòóðîì ïîòîê:

Ãëàâà 9. Ýëåêòðîìàãíåòèçì

297

Φ=

1122

LI. (9.7.25)

Ïðè èçìåíåíèè òîêà I

â ïåðâîì êîíòóðå èíäóöèðóåòñÿ ÝÄÑ:

=−

112

. (9.7.26)

Òàêèå êîíòóðû íàçûâàþòñÿ ñâÿçàííûìè, à ÿâëåíèå âîçíèêíîâå-

íèÿ ÝÄÑ â îäíîì êîíòóðå ïðè èçìåíåíèè òîêà â äðóãîì íàçûâàåò-

ñÿ âçàèìíîé èíäóêöèåé.

Êîýôôèöèåíòû L

è L

íàçûâàþòñÿ âçàèìíîé èíäóêòèâíîñ-

òüþ êîíòóðîâ. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî

12 21

LL. (9.7.27)

Ýíåðãèÿ äâóõ ñâÿçàííûõ êîíòóðîâ â îòñóòñòâèå ôåððîìàãíåòè-

êîâ, ðàâíà

=++

11 22

12 1 2

LI LI

WLII

. (9.7.28)

§ 9.8. ÏÅÐÅÌÅÍÍÛÉ ÒÎÊ

Ïåðåìåííûì òîêîì íàçûâàåòñÿ òîê, ñèëà êîòîðîãî èçìåíÿåòñÿ

âî âðåìåíè. Çàêîíû Îìà è âûòåêàþùèå èç íåãî ïðàâèëà Êèðõãîôà

áûëè óñòàíîâëåíû äëÿ ïîñòîÿííîãî òîêà, îäíàêî îíè îñòàþòñÿ

ñïðàâåäëèâûìè è äëÿ ìãíîâåííîãî çíà÷åíèÿ èçìåíÿþùåãîñÿ òîêà,

åñëè èçìåíåíèå åãî íå ïðîèñõîäèò ñëèøêîì áûñòðî

. Òàêîé òîê

íàçûâàåòñÿ ê â à ç è ñ ò à ö è î í à ð í û ì . Óñëîâèåì êâàçèñòàöèî-

íàðíîñòè ÿâëÿåòñÿ

τ= 

(9.8.1)

ãäå τ — âðåìÿ, íåîáõîäèìîå äëÿ óñòàíîâëåíèÿ îäèíàêîâîãî çíà÷å-

íèÿ ñèëû òîêà â öåïè äëèíîé l (âîçìóùåíèå ïåðåäàåòñÿ ñî ñêîðî-

ñòüþ ñâåòà ñ); Ò — ïåðèîä èçìåíåíèÿ òîêà. Ïðè ðàçìåðàõ öåïè ïî-

ðÿäêà 3 ì τ ñîñòàâëÿåò 10

–8

ñ. Òàêèì îáðàçîì, âïëîòü äî Ò = 10

–6

òîê â öåïè ìîæíî ñ÷èòàòü êâàçèñòàöèîíàðíûì. Òîê ïðîìûøëåí-

íîé ÷àñòîòû (v = 50 Ãö, Ò = 0,02 ñ) êâàçèñòàöèîíàðåí äëÿ öåïåé

äëèíîé ïîðÿäêà 100 êì.

Ðàññìîòðèì ïðèìåíåíèå çàêîíà Îìà äëÿ êàæäîãî èç ýëåìåíòîâ

öåïè: ñîïðîòèâëåíèÿ R, èíäóêòèâíîñòè L è åìêîñòè C. Ïóñòü ê çà-

Â ñëó÷àå ïåðåìåííîãî òîêà ñîïðîòèâëåíèå öåïè çàâèñèò îò ÷àñòîòû èçìåíå-

íèÿ òîêà.

§ 9.8. Ïåðåìåííûé òîê

298

æèìàì ïðîâîäíèêà ñ àêòèâíûì ñîïðîòèâëåíèåì R (ðèñ. 9.8.1, à)

ïðèëîæåíî íàïðÿæåíèå, èçìåíÿþùååñÿ ïî ãàðìîíè÷åñêîìó çàêîíó:

=ω

cosUU t, (9.8.2)

ãäå U

— àìïëèòóäíîå çíà÷åíèå íàïðÿæåíèÿ.

Ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ êâàçèñòàöèîíàðíîñòè òîê ÷åðåç ñî-

ïðîòèâëåíèå R îïðåäåëÿåòñÿ çàêîíîì Îìà:

== ω= ω

cos cos ,

ItIt

(9.8.3)

ãäå I

— àìïëèòóäíîå çíà÷åíèå ñèëû òîêà. Àìïëèòóäíûå çíà÷åíèÿ

ñèëû òîêà è íàïðÿæåíèÿ ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì

. (9.8.4)

Íà ðèñ. 9.8.1, á ïðåäñòàâëåíà âåêòîðíàÿ äèàãðàììà öåïè ñ àê-

òèâíûì ñîïðîòèâëåíèåì. Âûáðàâ ïðîèçâîëüíîå íàïðàâëåíèå, íà-

çîâåì åãî îñüþ òîêîâ. Îòëîæèì íà íåì âåêòîð òîêà äëèíîé I

Ïîñêîëüêó íàïðÿæåíèå è òîê èçìåíÿþòñÿ ñèíôàçíî (ðèñ. 9.8.1, â),

âåêòîð U

òàêæå íàïðàâëåí âäîëü îñè òîêîâ è åãî äëèíà ðàâíà I

Ðàññìîòðèì êàòóøêó èíäóêòèâíîñòüþ L ñ íè÷òîæíî ìàëûìè àê-

òèâíûì ñîïðîòèâëåíèåì ( =

) è åìêîñòüþ ( =

), ñ ïîäàííûì

ïåðåìåííûì íàïðÿæåíèåì, èçìåíÿþùèìñÿ ïî çàêîíó (9.8.2) (ðèñ.

9.8.2, à). Â êàòóøêå èíäóêòèâíîñòè íà÷èíàåò òå÷ü ïåðåìåííûé òîê,

âñëåäñòâèå ÷åãî âîçíèêàåò ÝÄÑ ñàìîèíäóêöèè:

=−

(9.8.5)

Ðèñ. 9.8.1. Öåïü ñ àêòèâíûì ñîïðîòèâëåíèåì R (à), åå âåêòîðíàÿ äèàãðàììà (á),

êîëåáàíèÿ íàïðÿæåíèÿ è ñèëû òîêà (â)

Ãëàâà 9. Ýëåêòðîìàãíåòèçì

299

(ïîëàãàåì, ÷òî L = const). Çàïèøåì çàêîí Îìà äëÿ äàííîé öåïè:

.IR U

(9.8.6)

Â íàøåì ñëó÷àå =

. Ïîäñòàâèâ âûðàæåíèÿ (9.8.2) è (9.8.5)

â ôîðìóëó (9.8.6), ïîëó÷àåì:

ω− =

cos 0,

UtL

(9.8.7)

îòêóäà

=ω

dcosd.

Itt

(9.8.8)

Èíòåãðèðîâàíèå äàåò



=ω=ω−





sin cos

ItIt

, (9.8.9)

ãäå

. (9.8.10)

Âåëè÷èíà

=ω

(9.8.11)

íàçûâàåòñÿ èíäóêòèâíûì ñîïðîòèâëåíèåì, [Õ

] = Ãí/ñ = Îì.

Ïàäåíèå íàïðÿæåíèÿ íà èíäóêòèâíîñòè ðàâíî:

==ω ω

cos

UIX LI t

. (9.8.12)

Èç ñîïîñòàâëåíèÿ âûðàæåíèé (9.8.9) è (9.8.12) ñëåäóåò, ÷òî êî-

ëåáàíèÿ òîêà íà èíäóêòèâíîñòè îòñòàþò îò êîëåáàíèé íàïðÿæåíèÿ

ïî ôàçå íà π/2 (ðèñ. 9.8.2, á, â), òàê êàê âîçíèêàþùàÿ ÝÄÑ ñàìîèí-

äóêöèè ïðåïÿòñòâóåò èçìåíåíèþ ñèëû òîêà â öåïè.

Ðèñ. 9.8.2. Öåïü ñ èíäóêòèâíîñòüþ L (à), åå âåêòîðíàÿ äèàãðàììà (á), êîëåáàíèÿ

íàïðÿæåíèÿ è ñèëû òîêà (â)

§ 9.8. Ïåðåìåííûé òîê

300

Ïîäàäèì íàïðÿæåíèå, èçìåíÿþùååñÿ ïî çàêîíó (9.8.2), íà êîí-

äåíñàòîð åìêîñòüþ C (ðèñ. 9.8.3, à). Åñëè ñîïðîòèâëåíèåì ïîäâî-

äÿùèõ ïðîâîäîâ è èíäóêòèâíîñòüþ öåïè ïðåíåáðå÷ü (

0L ),

òî â ýòîì ñëó÷àå íàïðÿæåíèå íà êîíäåíñàòîðå /

UqC

ìîæíî

ñ÷èòàòü ðàâíûì âíåøíåìó íàïðÿæåíèþ U :

== ω

cos ,

UUt

(9.8.13)

îòêóäà

=ω

cos .qCU t (9.8.14)

Ïðîèçâîäíàÿ îò çàðÿäà ïî âðåìåíè äàåò òîê â öåïè I:

sin cos

ICUtIt



==−ω ω= ω+





, (9.8.15)

ãäå

=ω =







ICU

. (9.8.16)

Âåëè÷èíà

, (9.8.17)

íàçûâàåòñÿ åìêîñòíûì ñîïðîòèâëåíèåì [Õ

] = Ô

–1

•ñ

–1

= Îì. Çà-

ìåíèâ â âûðàæåíèè (9.8.13) U

íà

[÷òî ñëåäóåò èç ôîðìóëû

(9.8.16)], ïîëó÷àåì:

=ω

cos

UIt

. (9.8.18)

Ñîïîñòàâëÿÿ âûðàæåíèÿ (9.8.15) è (9.8.18), âèäèì, ÷òî òîê îïå-

ðåæàåò ïî ôàçå ïàäåíèå íàïðÿæåíèÿ íà åìêîñòè îò òîêà íà π/2

(ðèñ. 9.8.3, á). Ýòî îáúÿñíÿåòñÿ òåì, ÷òî çàðÿä, à ñëåäîâàòåëüíî,

è íàïðÿæåíèå íà êîíäåíñàòîðå âîçðàñòàþò, ïîêà òîê èìååò îäíî

íàïðàâëåíèå (I > 0). Â íåêîòîðûé ìîìåíò âðåìåíè ñèëà òîêà äîñ-

òèãàåò ìàêñèìóìà è íà÷èíàåò óìåíüøàòüñÿ (I < 0), â òî âðåìÿ êàê

íàïðÿæåíèå åùå âîçðàñòàåò. Â ìîìåíò, êîãäà òîê ìåíÿåò íàïðàâëå-

íèå (

), íàïðÿæåíèå ìàêñèìàëüíî (ðèñ. 9.8.3, â).

Ðàññìîòðèì öåïü, ñîñòàâëåííóþ èç àêòèâíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ R,

èíäóêòèâíîñòè L è åìêîñòè Ñ (ðèñ. 9.8.4, à). Ïîäêëþ÷èì ê ýòîé

öåïè íàïðÿæåíèå, èçìåíÿþùååñÿ ïî çàêîíó (9.8.2). Â öåïè âîçíè-

êàåò òîê òîé æå ÷àñòîòû è àìïëèòóäû I

, ôàçà êîòîðîãî îïðåäåëÿåò-

Ãëàâà 9. Ýëåêòðîìàãíåòèçì