Тиманюк В.А., Животова Е.Н. Биофизика

Подождите немного. Документ загружается.

301

ñÿ ïàðàìåòðàìè öåïè R, L è Ñ. Ýòîò òîê âûçûâàåò ïàäåíèå íàïðÿæå-

íèÿ íà àêòèâíîì ñîïðîòèâëåíèè U

àìïëèòóäîé RI

, ôàçà êîòîðîãî

ñîâïàäàåò ñ ôàçîé òîêà. Ïàäåíèå íàïðÿæåíèÿ íà èíäóêòèâíîñòè U

(ñ àìïëèòóäîé

LI ) îïåðåæàåò òîê ïî ôàçå íà π/2, à ïàäåíèå íà-

ïðÿæåíèÿ íà åìêîñòè U

(ñ àìïëèòóäîé

) îòñòàåò ïî ôàçå îò

òîêà íà π/2 (ðèñ. 9.8.4, á).

Ñóììà ïàäåíèé íàïðÿæåíèé U

, U

è U

äîëæíà áûòü ðàâíà

ïðèëîæåííîìó íàïðÿæåíèþ U. Ñëîæèâ âåêòîðû U

, U

è U

, ïî-

ëó÷àåì âåêòîð U, èìåþùèé àìïëèòóäó U

. Ýòîò âåêòîð îáðàçóåò

ñ îñüþ òîêîâ óãîë ϕ, òàíãåíñ êîòîðîãî ðàâåí

Ðèñ. 9.8.4. Öåïü ñ àêòèâíûì ñîïðîòèâëåíèåì R, èíäóêòèâíîñòüþ L, åìêîñòüþ Ñ

(à), åå âåêòîðíàÿ äèàãðàììà (á), êîëåáàíèÿ íàïðÿæåíèÿ è ñèëû òîêà (â)

Ðèñ. 9.8.3. Öåïü ñ åìêîñòüþ Ñ (à), åå âåêòîðíàÿ äèàãðàììà (á), êîëåáàíèÿ íàïðÿæå-

íèÿ è ñèëû òîêà (â)

§ 9.8. Ïåðåìåííûé òîê

302

−

ϕ=

. (9.8.19)

Óãîë ϕ îïðåäåëÿåò ðàçíîñòü ôàç ìåæäó íàïðÿæåíèåì è òîêîì

(ðèñ. 9.8.4, â). Èç âåêòîðíîé äèàãðàììû (ðèñ. 9.8.4, á) ñëåäóåò, ÷òî

()( )



=+−



00 0LC

URI XXI, (9.8.20)

îòêóäà

()

+−

RXX

. (9.8.21)

Èòàê, åñëè íàïðÿæåíèå íà çàæèìàõ öåïè èçìåíÿåòñÿ ïî çàêîíó

=ω

cos ,UU t

(9.8.22)

òî â öåïè òå÷åò òîê

()

=ω−ϕ

cos ,II t (9.8.23)

à âåëè÷èíà

()

=+−

ZRXX

(9.8.24)

íàçûâàåòñÿ ïîëíûì ñîïðîòèâëåíèåì öåïè ïåðåìåííîìó òîêó, èëè

èìïåäàíñîì. Âåëè÷èíà

=−=ω−

XX X L

(9.8.25)

íàçûâàåòñÿ ðåàêòèâíûì ñîïðîòèâëåíèåì, èëè ðåàêòàíñîì. Íà ðå-

àêòèâíîì ñîïðîòèâëåíèè â îòëè÷èå îò àêòèâíîãî íå ïðîèñõîäèò

ïîòåðü ýíåðãèè â âèäå âûäåëåíèÿ òåïëà.

Ïðè

XX òîê îòñòàåò ïî ôàçå îò íàïðÿæåíèÿ, à ïðè

XX òîê îïåðåæàåò íàïðÿæåíèå. Åñëè

XX, òî åñòü ðåàê-

òèâíîå ñîïðîòèâëåíèå îòñóòñòâóåò, èçìåíåíèÿ òîêà è íàïðÿæåíèÿ

ïðîèñõîäÿò ñèíôàçíî. Ïðè óäîâëåòâîðÿþùåé ýòîìó óñëîâèþ ÷àñ-

òîòå

рез

ω=

(9.8.26)

ïîëíîå ñîïðîòèâëåíèå Z ìèíèìàëüíî è ðàâíî R. Ñîîòâåòñòâåííî

ñèëà òîêà äîñòèãàåò íàèáîëüøåãî çíà÷åíèÿ ïðè äàííîì U. Ïàäå-

íèÿ íàïðÿæåíèÿ íà åìêîñòè U

è èíäóêòèâíîñòè U

îäèíàêîâû ïî

àìïëèòóäå è ïðîòèâîïîëîæíû ïî ôàçå. Ýòî ÿâëåíèå íàçûâàåòñÿ

ðåçîíàíñîì íàïðÿæåíèé, à ÷àñòîòà (9.8.26) — ðåçîíàíñíîé ÷àñòîòîé.

Ãëàâà 9. Ýëåêòðîìàãíåòèçì

303

Ìãíîâåííîå çíà÷åíèå ìîùíîñòè, âûäåëÿåìîé â öåïè, ðàâíî

ïðîèçâåäåíèþ ìãíîâåííûõ çíà÷åíèé íàïðÿæåíèÿ è ñèëû òîêà:

() () () ( )

=⋅= ω⋅ ω−ϕ

cos cos .Pt Ut It U t I t (9.8.27)

Âîñïîëüçîâàâøèñü ôîðìóëîé

() ()

cos cos cos cos ,

α⋅

=α−

+α+

âûðàæåíèþ äëÿ ìîùíîñòè ìîæíî ïðèäàòü âèä

() ()

00 00

cos cos 2 .

Pt UI UI t

+ω−

(9.8.28)

Ïðàêòè÷åñêèé èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿåò ñðåäíåå ïî âðåìåíè çíà-

÷åíèå Ð(t). Ñðåäíåå ïî âðåìåíè çíà÷åíèå ôóíêöèè, èçìåíÿþùåé-

ñÿ ïî ãàðìîíè÷åñêîìó çàêîíó, ðàâíî èíòåãðàëó îò ýòîé ôóíêöèè

â ïðåäåëàõ îäíîãî ïåðèîäà T, äåëåííîìó íà âåëè÷èíó ïåðèîäà

()



=ϕ+ω−ϕ=





∫

00 00

11 1

cos cos 2 d

PUI UItt

()

=ϕ+ ω−ϕ

∫∫

00 00

cos d cos 2 d

UI t UI t t

ãäå

∫

;

()

ω−ϕ =

∫

cos 2 d 0,

, òàê êàê

ω=

Òîãäà ñðåäíåå çíà÷åíèå ìîùíîñòè ïåðåìåííîãî òîêà ñîñòàâëÿåò:

=ϕ

cos

. (9.8.29)

Åñëè òîê â öåïè íå ñîâåðøàåò ìåõàíè÷åñêîé ðàáîòû, ñðåäíÿÿ

ìîùíîñòü (9.8.29) âûäåëÿåòñÿ íà àêòèâíîì ñîïðîòèâëåíèè â âèäå

òåïëîòû. Êàê âèäíî èç ðèñ. 9.8.4, á

()

ϕ= =

+−

cos

RXX

. (9.8.30)

Ïîäñòàâëÿÿ ýòî çíà÷åíèå â ôîðìóëó (9.8.29) è ó÷èòûâàÿ, ÷òî

, ïîëó÷àåì:

§ 9.8. Ïåðåìåííûé òîê

304

P =

. (9.8.31)

Òàêóþ æå ìîùíîñòü ðàçâèâàåò ïîñòîÿííûé òîê, ðàâíûé

эф

. (9.8.32)

Âåëè÷èíà (9.8.32) íàçûâàåòñÿ äåéñòâóþùèì (èëè ýôôåêòèâíûì)

çíà÷åíèåì òîêà. Àíàëîãè÷íî âåëè÷èíà

эф

(9.8.33)

íàçûâàåòñÿ äåéñòâóþùèì çíà÷åíèåì íàïðÿæåíèÿ.

Ñ ó÷åòîì äåéñòâóþùèõ çíà÷åíèé ôîðìóëå (9.8.29) ìîæíî ïðè-

äàòü âèä:

эф эф

=ϕcosPIU . (9.8.34)

Ìíîæèòåëü

cos íàçûâàåòñÿ êîýôôèöèåíòîì ìîùíîñòè. Åñëè

ðåàêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå ðàâíî íóëþ (X

= X

), òî

cos 1

è P = UI. Ïðè ÷èñòî ðåàêòèâíîì ñîïðîòèâëåíèè ( =

)

cos 0

ïîýòîìó è ñðåäíÿÿ ìîùíîñòü, âûäåëÿåìàÿ â öåïè, ðàâíà íóëþ.

Òàêèì îáðàçîì, åñëè

cos 0

, òî íèêàêîé òîê íå äàñò â öåïè

ñðåäíþþ ìîùíîñòü, îòëè÷íóþ îò íóëÿ. Â òåõíèêå ñòðåìÿòñÿ ñäå-

ëàòü

cos êàê ìîæíî áîëüøå

. Ïðè ìàëîì cos ϕ äëÿ âûäåëåíèÿ

â öåïè íåîáõîäèìîé ìîùíîñòè íóæíî ïðîïóñêàòü áîëüøèé òîê,

ïðè ýòîì ïîòåðè â ïîäâîäÿùèõ ïðîâîäàõ âîçðàñòàþò, è ïðèõîäèò-

ñÿ óâåëè÷èâàòü èõ ñå÷åíèå.

§ 9.9. ÝËÅÊÒÐÎÌÀÃÍÈÒÍÛÅ ÊÎËÅÁÀÍÈß

Ýëåêòðîìàãíèòíûìè êîëåáàíèÿìè íàçûâàþòñÿ ïåðèîäè÷åñêèå

èçìåíåíèÿ çàðÿäà, òîêà, íàïðÿæåííîñòåé ýëåêòðè÷åñêîãî è ìàã-

íèòíîãî ïîëåé. Îíè âîçíèêàþò â öåïè, ñîäåðæàùåé èíäóêòèâíîñòü,

åìêîñòü è àêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå. Òàêàÿ ýëåêòðè÷åñêàÿ öåïü íà-

çûâàåòñÿ êîëåáàòåëüíûì êîíòóðîì.

Ðàññìîòðèì èäåàëüíûé êîëåáàòåëüíûé êîíòóð, òî åñòü êîíòóð,

â êîòîðîì àêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå ðàâíî íóëþ (ðèñ. 9.9.1). Âûç-

âàòü ýëåêòðîìàãíèòíûå êîëåáàíèÿ â êîíòóðå ìîæíî, åñëè çàðÿ-

Íàèìåíüøåå çíà÷åíèå

cos ϕ

íà ïðîèçâîäñòâå ñîñòàâëÿåò 0,85.

Ãëàâà 9. Ýëåêòðîìàãíåòèçì

305

æåííûé êîíäåíñàòîð ïîäêëþ÷èòü ê êà-

òóøêå èíäóêòèâíîñòè, âñëåäñòâèå ÷åãî

êîíäåíñàòîð íà÷íåò ðàçðÿæàòüñÿ

è â êîíòóðå ïîòå÷åò òîê. Ýíåðãèÿ ýëåê-

òðè÷åñêîãî ïîëÿ êîíäåíñàòîðà íà÷íåò

óìåíüøàòüñÿ, à ýíåðãèÿ ìàãíèòíîãî

ïîëÿ, îáóñëîâëåííàÿ òîêîì, òåêóùèì

÷åðåç èíäóêòèâíîñòü, — âîçðàñòàòü.

Êîãäà êîíäåíñàòîð ïîëíîñòüþ ðàçðÿ-

äèòñÿ, òîê â êîíòóðå äîñòèãíåò ìàêñè-

ìàëüíîãî çíà÷åíèÿ, ïîñëå ÷åãî êîíäåí-

ñàòîð íà÷íåò ïåðåçàðÿæàòüñÿ äî òåõ ïîð,

ïîêà ìîäóëü íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ â êîíäåíñàòîðå

íå äîñòèãíåò ìàêñèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ. Çàòåì ñíîâà íà÷íåòñÿ ïðî-

öåññ ðàçðÿäà êîíäåíñàòîðà, ïðè ýòîì òîê â êîíòóðå ïîòå÷åò â îá-

ðàòíîì íàïðàâëåíèè. Ïîëíàÿ ýíåðãèÿ èäåàëüíîãî êîëåáàòåëüíîãî

êîíòóðà, ñîñòîÿùàÿ èç ýíåðãèè ýëåêòðè÷åñêîãî è ìàãíèòíîãî ïî-

ëåé, íå ðàñõîäóåòñÿ íà âûäåëåíèå äæîóëåâà òåïëà (òàê êàê

0R )

è îñòàíåòñÿ ïîñòîÿííîé.

Èç ñîïîñòàâëåíèÿ ýëåêòðè÷åñêèõ è ìåõàíè÷åñêèõ êîëåáàíèé

ñëåäóåò, ÷òî ýíåðãèÿ ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ

(9.9.1)

àíàëîãè÷íà ïîòåíöèàëüíîé óïðóãîé äåôîðìàöèè, à ýíåðãèÿ ìàã-

íèòíîãî ïîëÿ

WLI

(9.9.2)

àíàëîãè÷íà êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè. Âåëè÷èíà, îáðàòíàÿ åìêîñòè







, èãðàåò ðîëü êîýôôèöèåíòà æåñòêîñòè k, çàðÿä q ñîîòâåòñòâó-

åò ñìåùåíèþ îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ õ, èíäóêòèâíîñòü L — ìàñ-

ñå m, òîê =

— ñêîðîñòè

. Ñèëà òîêà, êàê è ñêîðîñòü

ÿâëÿåòñÿ àëãåáðàè÷åñêîé âåëè÷èíîé, òî åñòü ìîæåò ïðèíèìàòü êàê

ïîëîæèòåëüíûå, òàê è îòðèöàòåëüíûå çíà÷åíèÿ. Ïðè ñîñòàâëåíèè

äàëüíåéøèõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé óñëîâèìñÿ ñ÷èòàòü ïî-

ëîæèòåëüíûì òàêîå íàïðàâëåíèå òîêà, ïðè êîòîðîì êîíäåíñàòîð

çàðÿæàåòñÿ, è íàîáîðîò.

Âî âðåìÿ êîëåáàíèé âíåøíåå íàïðÿæåíèå ê êîíòóðó (ðèñ. 9.9.1)

íå ïðèëîæåíî (íàïðÿæåíèå ïðèêëàäûâàåòñÿ òîëüêî äëÿ òîãî, ÷òî-

Ðèñ. 9.9.1. Èäåàëüíûé êîëåáà-

òåëüíûé êîíòóð

§ 9.9. Ýëåêòðîìàãíèòíûå êîëåáàíèÿ

306

áû çàðÿäèòü êîíäåíñàòîð, è çàòåì îòêëþ÷àåòñÿ, òî åñòü

0IR

), òîã-

äà, ñîãëàñíî çàêîíó Îìà,

=+=

0IR U

, (9.9.3)

ãäå

=−

(9.9.4)

âûðàæàåò ïàäåíèå íàïðÿæåíèé íà åìêîñòè ïðè ðàçðÿäêå êîíäåí-

ñàòîðà,

=−

(9.9.5)

îïðåäåëÿåò ÝÄÑ ñàìîèíäóêöèè, âîçíèêàþùóþ ïðè ïðîõîæäåíèè

òîêà ÷åðåç êàòóøêó.

Òîãäà óðàâíåíèå (9.9.3) ïðèíèìàåò âèä:

. (9.9.6)

Ðàçäåëèâ âûðàæåíèå (9.9.6) íà L è çàìåíèâ

íà

, ïîëó-

÷àåì óðàâíåíèå

. (9.9.7)

Åñëè ââåñòè îáîçíà÷åíèå

ω=

, (9.9.8)

òî äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå ñâîáîäíûõ íåçàòóõàþùèõ ýëåêòðî-

ìàãíèòíûõ êîëåáàíèé (9.9.7) ïðèìåò âèä:

+ω =

, (9.9.9)

÷òî ìàòåìàòè÷åñêè òîæäåñòâåííî äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíå-

íèþ íåçàòóõàþùèõ ìåõàíè÷åñêèõ êîëåáàíèé [ñì. óðàâíåíèå (2.3.7)].

Ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (9.9.9) ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèÿ

()

=ω+α

000

cosqq t

. (9.9.10)

Òàêèì îáðàçîì, çàðÿä íà îáêëàäêàõ êîíäåíñàòîðà èçìåíÿåòñÿ ïî

ãàðìîíè÷åñêîìó çàêîíó ñ ÷àñòîòîé, îïðåäåëÿåìîé âûðàæåíèåì (9.9.8),

Ãëàâà 9. Ýëåêòðîìàãíåòèçì

307

è íà÷àëüíîé ôàçîé α

. ×àñòîòà ω

íàçûâàåòñÿ ñîáñòâåííîé ÷àñòîòîé

êîíòóðà. Ïåðèîä êîëåáàíèé îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé Òîìñîíà:

=π2TLC. (9.9.11)

Ñîîòâåòñòâåííî èçìåíåíèþ çàðÿäà èçìåíÿåòñÿ è íàïðÿæåíèå íà

êîíäåíñàòîðå:

()

= = ω+α = ω+α

00 0 00

cos ( ) cos ,

UtUt

(9.9.12)

ãäå

(9.9.13)

ðàâíî àìïëèòóäíîìó çíà÷åíèþ íàïðÿæåíèÿ.

Ïðîäèôôåðåíöèðîâàâ ôóíêöèþ (9.9.10) ïî âðåìåíè, ïîëó÷àåì

âûðàæåíèå äëÿ ïåðèîäè÷åñêèõ êîëåáàíèé òîêà:

() ( )



=−ω ω +α = ω +α +





00 0 0 0 0 0

sin cos

It q t I t , (9.9.14)

ãäå

=ω

000

Iq (9.9.15)

îïðåäåëÿåò àìïëèòóäíîå çíà÷åíèå ñèëû òîêà.

Ñîïîñòàâëÿÿ ôîðìóëû (9.9.10), (9.9.12) è (9.9.14), çàêëþ÷àåì, ÷òî

â ìîìåíò, êîãäà òîê äîñòèãàåò ìàêñèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ, çàðÿä êîí-

äåíñàòîðà è íàïðÿæåíèå îáðàùàþòñÿ â íóëü è íàîáîðîò.

Èç ôîðìóë (9.9.13), (9.9.15) è (9.9.8) ïîëó÷àåì ñîîòíîøåíèå

ìåæäó àìïëèòóäíûìè çíà÷åíèÿìè ñèëû òîêà è íàïðÿæåíèÿ:

. (9.9.16)

Ëþáîé ðåàëüíûé êîíòóð îáëàäàåò

àêòèâíûì ñîïðîòèâëåíèåì (ðèñ. 9.9.2).

Ýíåðãèÿ, çàïàñåííàÿ â êîíòóðå, ïîñòå-

ïåííî ðàñõîäóåòñÿ íà íàãðåâàíèå ïðî-

âîäíèêîâ, èç êîòîðûõ ñîñòîèò êîíòóð,

âñëåäñòâèå ÷åãî ñâîáîäíûå êîëåáàíèÿ

çàòóõàþò. Çàïèøåì çàêîí Îìà äëÿ ýòî-

ãî ñëó÷àÿ:

IR U

. (9.9.17)

Ðèñ. 9.9.2. Êîëåáàòåëüíûé êîí-

òóð ñ àêòèâíûì ñîïðîòèâëåíèåì

§ 9.9. Ýëåêòðîìàãíèòíûå êîëåáàíèÿ

308

Ñ ó÷åòîì ôîðìóë (9.9.4) è (9.9.5) óðàâíåíèå (9.9.17) ïðèíèìàåò

âèä:

++ =

LRIq

. (9.9.18)

Ðàçäåëèâ âûðàæåíèå (9.9.18) íà L è ïðîèçâåäÿ çàìåíû =

, ïîëó÷èì

+⋅ + =

dd1

qR q

LtLC

. (9.9.19)

Ââåäÿ îáîçíà÷åíèå

β=

(9.9.20)

è ïðîèçâåäÿ çàìåíó =ω

, äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå çàòó-

õàþùèõ ýëåêòðîìàãíèòíûõ êîëåáàíèé (9.9.19) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå:

+β +ω =

, (9.9.21)

÷òî ìàòåìàòè÷åñêè òîæäåñòâåííî äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ

çàòóõàþùèõ ìåõàíè÷åñêèõ êîëåáàíèé [ñì. óðàâíåíèå (2.3.19)].

Ïðè óñëîâèè, ÷òî β<ω

, ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (9.9.21) áóäåò

èìåòü âèä:

()

−β

=ω+α

ecos

qq t , (9.9.22)

ãäå

ω= ω −β

. (9.9.23)

Ïîäñòàâëÿÿ âûðàæåíèÿ (9.9.8) è (9.9.20) â óðàâíåíèå (9.9.23),

èìååì:

ω= −

. (9.9.24)

Ïðè

âûðàæåíèå (9.9.24) ïåðåõîäèò â âûðàæåíèå (9.9.8.).

Ðàçäåëèâ óðàâíåíèå (9.9.22) íà åìêîñòü Ñ, ïîëó÷àåì íàïðÿæåíèå

íà êîíäåíñàòîðå:

Ãëàâà 9. Ýëåêòðîìàãíåòèçì

309

() ()

−β −β

=ω+α=ω+α

00 0

ecos ecos

UtUt

. (9.9.25)

×òîáû íàéòè òîê, ïðîäèôôåðåíöèðóåì óðàâíåíèå (9.9.22) ïî

âðåìåíè:

() ()

−β



== −β ω+α−ω ω+α



000

ecos sin

Iq t t

. (9.9.26)

Óìíîæèâ è ðàçäåëèâ ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå (9.9.26) íà

ω+β =ω

[ñì. óðàâíåíèå (9.9.23)] è ââåäÿ óãîë ϕ, îïðåäåëÿå-

ìûé óñëîâèÿìè

ββ

ϕ=− =−

ω+β

cos ;

ωω

ϕ= =

ω+β

sin

ïîëó÷àåì:

()

−β

=ω ω +α +ϕ

00 0

ecos .

Iq t (9.9.27)

Ïîñêîëüêó

cos 0

, à

sin 0

, òî

<ϕ<π

Òàêèì îáðàçîì, ïðè íàëè÷èè â êîíòóðå àêòèâíîãî ñîïðîòèâëå-

íèÿ òîê îïåðåæàåò ïî ôàçå íàïðÿæåíèå íà êîíäåíñàòîðå áîëåå ÷åì

íà

(ïðè

îïåðåæåíèå ñîñòàâëÿåò

Çàòóõàíèå êîëåáàíèé ïðèíÿòî õàðàêòåðèçîâàòü ëîãàðèôìè÷åñêèì

äåêðåìåíòîì çàòóõàíèÿ [ñì. ôîðìóëó (2.3.24)]:

()

λ= =β

ln ,

At T

(9.9.28)

ãäå À(t) — àìïëèòóäà ñîîòâåòñòâóþùåé âåëè÷èíû (q, U èëè I ). À(t+T ) —

àìïëèòóäà òîé æå âåëè÷èíû ÷åðåç âðåìÿ, ðàâíîå ïåðèîäó T.

Êîëåáàòåëüíûé êîíòóð ÷àñòî õàðàêòåðèçóþò åãî äîáðîòíîñòüþ

Q, êîòîðàÿ îïðåäåëÿåòñÿ êàê âåëè÷èíà, îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëü-

íàÿ ëîãàðèôìè÷åñêîìó äåêðåìåíòó çàòóõàíèÿ:

ππ π ω



== = =



λβ β β



, (9.9.29)

èëè ñ ó÷åòîì ôîðìóë (9.9.8) è (9.9.20)

1 L

. (9.9.30)

§ 9.9. Ýëåêòðîìàãíèòíûå êîëåáàíèÿ

310

Ïðè

β>ω

, òî åñòü

≥

, âìåñòî êîëåáàíèé ïðîèñõîäèò

àïåðèîäè÷åñêèé ðàçðÿä êîíäåíñàòîðà, è âñÿ âûäåëèâøàÿñÿ ïðè ýòîì

ýíåðãèÿ ðàñõîäóåòñÿ íà íàãðåâ ïðîâîäíèêîâ. Ñîïðîòèâëåíèå êîí-

òóðà, ïðè êîòîðîì êîëåáàòåëüíûé ïðîöåññ ïåðåõîäèò â àïåðèîäè-

÷åñêèé, íàçûâàåòñÿ êðèòè÷åñêèì. Èç óñëîâèÿ

, íàõîäèì

. (9.9.31)

×òîáû ïîääåðæèâàòü íåçàòóõàþùèå êîëåáàíèÿ, íà êîíòóð ïî-

äàþò ïåðåìåííîå íàïðÿæåíèå (ðèñ. 9.8.4, à). Çàïèøåì çàêîí Îìà

äëÿ ýòîãî ñëó÷àÿ:

=− − + ω

cos .

IR L U t

(9.9.32)

Ïîñëå ïðåîáðàçîâàíèé ïîëó÷èì äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå

âûíóæäåííûõ ýëåêòðîìàãíèòíûõ êîëåáàíèé:

+β +ω = ω

2cos,

(9.9.33)

ìàòåìàòè÷åñêè òîæäåñòâåííîå äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèå âû-

íóæäåííûõ ìåõàíè÷åñêèõ êîëåáàíèé [ñì. óðàâíåíèå (2.3.28)]. Ðå-

øåíèå äëÿ óñòàíîâèâøèõñÿ (ñì. ðèñ. 2.3.5) âûíóæäåííûõ êîëåáà-

íèé èìååò âèä



=ω−ϕ−





cos

qq t , (9.9.34)

ãäå

()

ω−ω +βω

22 22

; (9.9.35)

πβω



ϕ+ =− =



ω−ω



2tg

. (9.9.36)

Óðàâíåíèå (9.9.34) ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ðåøåíèåì íåîäíîðîäíîãî ëèíåéíîãî

äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ (9.9.33). Äëÿ íàõîæäåíèÿ îáùåãî ðåøåíèÿ íåîáõî-

äèìî ê (9.9.34) ïðèáàâèòü îáùåå ðåøåíèå ñîîòâåòñòâóþùåãî îäíîðîäíîãî äèôôå-

ðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ (9.9.21), òî åñòü âûðàæåíèå (9.9.22).

Ãëàâà 9. Ýëåêòðîìàãíåòèçì