Тиманюк В.А., Животова Е.Н. Биофизика

Подождите немного. Документ загружается.

411

§ 13.3. ÄÈÔÐÀÊÖÈß ÑÂÅÒÀ

ßâëåíèå îãèáàíèÿ ñâåòîì ìàëûõ ïðåïÿòñòâèé (íåîäíîðîäíîñ-

òåé ñðåäû), ñîïðîâîæäàþùååñÿ ïðîíèêíîâåíèåì âîëí â îáëàñòü

ãåîìåòðè÷åñêîé òåíè, íàçûâàåòñÿ äèôðàêöèåé. Â îáùåì ñìûñëå

äèôðàêöèåé íàçûâàåòñÿ ëþáîå îòêëîíåíèå ðàñïðîñòðàíåíèÿ ñâåòà

îò çàêîíîâ ãåîìåòðè÷åñêîé îïòèêè. Äèôðàêöèÿ ïðèâîäèò ê òîìó,

÷òî âìåñòî ðåçêîé ãðàíèöû ìåæäó ñâåòîì è òåíüþ, êàê òîãî òðåáó-

þò çàêîíû ãåîìåòðè÷åñêîé îïòèêè, ïîëó÷àåòñÿ ñëîæíàÿ êàðòèíà

ðàñïðåäåëåíèÿ èíòåíñèâíîñòè ñâåòà — äèôðàêöèîííàÿ êàðòèíà.

Â îñíîâå òåîðèè äèôðàêöèè ëåæèò ïðèí-

öèï Ãþéãåíñà—Ôðåíåëÿ. Ñîãëàñíî ãèïîòåçå

Ãþéãåíñà, âûäâèíóòîé â 1678 ãîäó, êàæäàÿ òî÷-

êà âîëíîâîé ïîâåðõíîñòè S

, êîòîðîé äîñòèãëà

â äàííûé ìîìåíò âîëíà, ÿâëÿåòñÿ èñòî÷íèêîì

âòîðè÷íûõ âîëí; èõ âíåøíÿÿ îãèáàþùàÿ äàåò

ïîëîæåíèå âîëíîâîãî ôðîíòà S

â ñëåäóþùèé

ìîìåíò âðåìåíè (ðèñ. 13.3.1). Ïðèíöèï Ãþé-

ãåíñà ïî ñâîåé ñóòè ÿâëÿåòñÿ çàêîíîì ãåîìåò-

ðè÷åñêîé îïòèêè, òàê êàê ïîçâîëÿåò îïðåäå-

ëèòü íàïðàâëåíèå ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëíû, íî

íå îáúÿñíÿåò ÿâëåíèå äèôðàêöèè. Â 1815 ãîäó

ýòîò ïðèíöèï áûë äîïîëíåí ôðàíöóçñêèì ôè-

çèêîì Î. Æ. Ôðåíåëåì, êîòîðûé ïðåäïîëîæèë,

÷òî ýëåìåíòàðíûå âòîðè÷íûå âîëíû ÿâëÿþòñÿ

êîãåðåíòíûìè è ìîãóò èíòåðôåðèðîâàòü ìåæ-

äó ñîáîé. Òàêèì îáðàçîì, ñîãëàñíî ïðèíöèïó

Ãþéãåíñà—Ôðåíåëÿ, ðåçóëüòèðóþùåå êîëåáàíèå

â íåêîòîðîé òî÷êå ïðîñòðàíñòâà ÿâëÿåòñÿ ñó-

ïåðïîçèöèåé ýëåìåíòàðíûõ âòîðè÷íûõ âîëí, èç-

ëó÷àåìûõ êàæäûì ýëåìåíòîì íåêîòîðîé âîëíî-

âîé ïîâåðõíîñòè. Âîçíèêàþùàÿ ïðè ýòîì

äèôðàêöèîííàÿ êàðòèíà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ÷å-

ðåäóþùèåñÿ ìàêñèìóìû è ìèíèìóìû èíòåí-

ñèâíîñòè ñâåòà.

Èç âûøåñêàçàííîãî ñëåäóåò, ÷òî ìåæäó äèôðàêöèåé è èíòåðôå-

ðåíöèåé íåò ïðèíöèïèàëüíûõ ðàçëè÷èé. Îáà ýòè ÿâëåíèÿ çàêëþ-

÷àþòñÿ â ïðîñòðàíñòâåííîì ïåðåðàñïðåäåëåíèè èíòåíñèâíîñòè

ñâåòîâîãî èçëó÷åíèÿ âñëåäñòâèå ñëîæåíèÿ âîëí. Òîëüêî èíòåðôå-

ðåíöèåé ïðèíÿòî íàçûâàòü ïåðåðàñïðåäåëåíèå èíòåíñèâíîñòè,

âûçâàííîå ñëîæåíèåì âîëí, èñïóñêàåìûõ êîíå÷íûì ÷èñëîì îò-

äåëüíî ðàñïîëîæåííûõ êîãåðåíòíûõ èñòî÷íèêîâ, à äèôðàêöèåé —

ïåðåðàñïðåäåëåíèå èíòåíñèâíîñòè, âûçâàííîå ñëîæåíèåì âîëí, èñ-

ïóñêàåìûõ íåïðåðûâíî ðàñïîëîæåííûìè êîãåðåíòíûìè èñòî÷íè-

Ðèñ. 13.3.1. Ïðèíöèï

Ãþéãåíñà—Ôðåíåëÿ

§ 13.3. Äèôðàêöèÿ ñâåòà

412

êàìè. Íàïðèìåð, ðàññìîòðåííîå â § 13.2 ÿâëåíèå ñëîæåíèÿ êîãå-

ðåíòíûõ ïó÷êîâ îò äâóõ îòâåðñòèé (îïûò Þíãà, ðèñ. 13.2.1) íàçû-

âàåòñÿ èíòåðôåðåíöèåé, à ÿâëåíèå ñëîæåíèÿ êîãåðåíòíûõ âîëí,

ïðîøåäøèõ ÷åðåç îäíî îò-

âåðñòèå (ðèñ. 13.3.2), — äè-

ôðàêöèåé (ñì. íèæå äèôðàê-

öèþ ñâåòà íà ùåëè).

Ðàçëè÷àþò äèôðàêöèþ

ïëîñêèõ ñâåòîâûõ âîëí —

äèôðàêöèþ Ôðàóíãîôåðà,

è ñôåðè÷åñêèõ ñâåòîâûõ

âîëí — äèôðàêöèþ Ôðåíåëÿ.

Ðàññìîòðèì îäèí èç ïðî-

ñòåéøèõ ñëó÷àåâ — äèôðàê-

öèþ Ôðàóíãîôåðà íà ùåëè.

Ïóñòü íà óçêóþ äëèííóþ

ùåëü øèðèíîé à íîðìàëüíî

ïàäàåò ïëîñêàÿ ìîíîõðîìà-

òè÷åñêàÿ âîëíà äëèíîé λ

(a  λ). Ïëîñêóþ ñâåòîâóþ âîëíó ìîæíî ïîëó÷èòü, åñëè âçÿòü íà-

ñòîëüêî óçêóþ ùåëü, ÷òîáû ìîæíî áûëî ïðåíåáðå÷ü êðèâèçíîé

ôðîíòà âîëíû, èëè, åñëè ðàñïîëîæèòü òî÷å÷íûé èñòî÷íèê ñâåòà

íà áîëüøîì ðàññòîÿíèè îò ùåëè, òàê ÷òîáû ëó÷è, èäóùèå îò íåãî

è ïîïàäàþùèå â ùåëü, ìîãëè ñ÷èòàòüñÿ ïàðàëëåëüíûìè. Ïîñëå-

äíèé ñïîñîá ìîæåò áûòü ðåàëèçîâàí, åñëè ïîìåñòèòü òî÷å÷íûé

èñòî÷íèê ñâåòà â ôîêóñ ëèíçû, ðàñïîëîæåííîé ïåðåä ùåëüþ.

Äëÿ íàáëþäåíèÿ äèôðàêöèè Ôðàóíãîôåðà íà ùåëè ìåæäó ùå-

ëüþ è ýêðàíîì ïîìåùàþò ñîáèðàþùóþ ëèíçó, à ýêðàí ðàñïîëàãà-

þò â ôîêàëüíîé ïëîñêîñòè ëèíçû (ðèñ. 13.3.2). Â îòñóòñòâèè äè-

ôðàêöèè âñå ëó÷è ñôîêóñèðîâàëèñü áû â òî÷êå Î, íî, ñîãëàñíî

ïðèíöèïó Ãþéãåíñà, ëó÷è, ïðîøåäøèå ÷åðåç îòâåðñòèå, ÿâëÿþòñÿ

âòîðè÷íûìè èñòî÷íèêàìè ñâåòà è áóäóò ðàñïðîñòðàíÿòüñÿ ïî âñåì

íàïðàâëåíèÿì.

Â ðåçóëüòàòå â êàæäîé òî÷êå ýêðàíà ëèíçà áóäåò ôîêóñèðîâàòü

ëó÷è, èäóùèå ïîä îäíèì óãëîì α ê íàïðàâëåíèþ ïàäàþùåãî ïó÷-

êà. Âñå ëó÷è, ðàñïðîñòðàíÿþùèåñÿ ïî íîðìàëè ê ýêðàíó, ñîáåðóò-

ñÿ â òî÷êå Î. Ëèíçà íå ñîçäàåò äîïîëíèòåëüíîé îïòè÷åñêîé ðàçíî-

ñòè õîäà âîëí, ïîýòîìó â òî÷êå Î àìïëèòóäû âñåõ âîëí ñëîæàòñÿ

è îñâåùåííîñòü ýêðàíà áóäåò ìàêñèìàëüíîé.

Ðåçóëüòàò äèôðàêöèè íà ýêðàíå â ïðîèçâîëüíîé òî÷êå Ð áóäåò

çàâèñåòü îò îïòè÷åñêîé ðàçíîñòè ∆r (îòðåçîê ÂÑ íà ðèñ. 13.3.2) õîäà

ëó÷åé, èäóùèõ â ýòó òî÷êó îò êðàåâ ùåëè. Èç ðèñóíêà íàõîäèì:

sin ,ra

∆= α

(13.3.1)

ãäå α — óãîë äèôðàêöèè.

Ðèñ. 13.3.2. Ñõåìà íàáëþäåíèÿ äèôðàêöèè

Ôðàóíãîôåðà íà ùåëè:

L — ñîáèðàþùàÿ ëèíçà; Ý — ýêðàí

Ãëàâà 13. Îïòèêà

413

Ðàçîáüåì îòðåçîê ÂÑ íà ó÷àñòêè äëèíîé λ/2. Ïðè ýòîì ôðîíò

ïåðâè÷íîé âîëíû òàêæå ðàçáèâàåòñÿ íà ó÷àñòêè, èëè çîíû, (îòðåç-

êè AA

, A

B) òàê, ÷òî ðàññòîÿíèÿ îò ãðàíèö ñîñåäíèõ çîí

äî òî÷êè íàáëþäåíèÿ Ð îòëè÷àþòñÿ íà ïîëäëèíû âîëíû. Ýòè çîíû

íàçûâàþòñÿ ç î í à ì è Ô ð å í å ë ÿ. Ïîäîáíîå ðàçáèåíèå ôðîíòà

ïåðâè÷íîé âîëíû, âïåðâûå ââåäåííîå Ôðåíåëåì, çíà÷èòåëüíî îá-

ëåã÷àåò ðàñ÷åòû èíòåðôåðåíöèè âòîðè÷íûõ âîëí.

Äëÿ ëþáîé âîëíû, èñõîäÿùåé èç îäíîé çîíû Ôðåíåëÿ, âñåãäà

íàéäåòñÿ ñîîòâåòñòâóþùàÿ âîëíà, èñõîäÿùàÿ èç ñîñåäíåé çîíû,

òàêàÿ, ÷òî îïòè÷åñêàÿ ðàçíîñòü õîäà âîëí ìåæäó íèìè áóäåò ðàâíà

λ/2. Äâå òàêèå âîëíû âçàèìíî ïîãàøàþò äðóã äðóãà. Ñîîòâåòñòâåí-

íî âñå âîëíû äâóõ ñîñåäíèõ çîí Ôðåíåëÿ âçàèìíî óíè÷òîæàþòñÿ.

Â ðåçóëüòàòå, åñëè îïòè÷åñêàÿ ðàçíîñòü õîäà âîëí (îòðåçîê ÂÑ)

ðàâíà

∆=±

(13.3.2)

ãäå ïîðÿäîê äèôðàêöèè k = 1, 2, 3, … (òî åñòü íà ùåëè óêëàäûâàåò-

ñÿ ÷åòíîå ÷èñëî çîí Ôðåíåëÿ, êàê íà ðèñ. 13.3.2), òî â òî÷êå Ð

áóäåò íàáëþäàòüñÿ ìèíèìóì îñâåùåííîñòè. Èç ñîîòíîøåíèé

(13.3.1) è (13.3.2) ïîëó÷àåì óñëîâèå ìèíèìóìà äèôðàêöèè:

sin 2 , 0.

akk

α=± ≠

(13.3.3)

Ñîîòâåòñòâåííî åñëè íà ùåëè óêëàäûâàåòñÿ íå÷åòíîå ÷èñëî çîí

Ôðåíåëÿ, òî íàáëþäàåòñÿ ìàêñèìóì äèôðàêöèè:

sin (2 1) .

α= +

(13.3.4)

Ñòðîãèå ðàñ÷åòû ïîêàçûâàþò, ÷òî àìïëèòóäà ðåçóëüòèðóþùåãî

êîëåáàíèÿ â íàïðàâëåíèè, ñîñòàâëÿþùåì óãîë α ñ íîðìàëüþ ê ïëîñ-

êîñòè ùåëè, èìååò âèä:

sin sin

() ,

sin







α=

(13.3.5)

ãäå À

— àìïëèòóäà ïàäàþùåé íà ùåëü ïëîñêîé âîëíû (àìïëèòóäà

â öåíòðå äèôðàêöèîííîé êàðòèíû). Èíòåíñèâíîñòü ñâåòà ïðîïîð-

öèîíàëüíà êâàäðàòó àìïëèòóäû, ïîýòîìó

§ 13.3. Äèôðàêöèÿ ñâåòà

414

()

sin / sin

/sin



πλ α



α=



πλ α



(13.3.6)

ãäå I

— èíòåíñèâíîñòü â ñåðåäèíå äèôðàêöèîííîé êàðòèíû; I(α) —

èíòåíñèâíîñòü â òî÷êå, ñîîòâåòñòâóþùåé óãëó α.

Èç ôîðìóëû (13.3.6) âèäíî, ÷òî ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ (13.3.3)

íàáëþäàåòñÿ ìèíèìóì èíòåíñèâíîñòè, à ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ

(13.3.4) — ìàêñèìóì.

Â íàïðàâëåíèè, ñîîòâåòñòâóþùåì óãëó äèôðàêöèè a = 0, òàêæå

áóäåò íàáëþäàòüñÿ ìàêñèìóì èíòåíñèâíîñòè, ïîòîìó ÷òî âòîðè÷-

íûå âîëíû ïðèäóò â òî÷êó Î â îäèíàêîâîé ôàçå. Òàêèì îáðàçîì,

íà ýêðàíå ïîëó÷èòñÿ ñåðèÿ òåìíûõ è ñâåòëûõ ïîëîñ, ñèììåòðè÷-

íûõ îòíîñèòåëüíî öåíòðàëüíîãî ìàêñèìóìà. Åãî èíòåíñèâíîñòü

ñ ìàêñèìàëüíûì çíà÷åíèåì

ôóíêöèè (13.3.6) ïðè α = 0

çíà÷èòåëüíî ïðåâîñõîäèò èí-

òåíñèâíîñòè îñòàëüíûõ ìàê-

ñèìóìîâ, êîòîðûå óáûâàþò

â íàïðàâëåíèè îò öåíòðà êàð-

òèíû êàê 1 : 0,045 : 0,016 : … .

Ãðàôèê ôóíêöèè (13.3.6) ïðè-

âåäåí íà ðèñ. 13.3.3. Åñëè

ùåëü îñâåùàòü áåëûì ñâåòîì,

òî ïîëó÷èòñÿ ñåðèÿ öâåòíûõ

ïîëîñ, è òîëüêî öåíòðàëüíûé

ìàêñèìóì áóäåò áåëûì.

Äëÿ íàáëþäåíèÿ äèôðàêöèè ùåëü äîëæíà áûòü äîñòàòî÷íî

ìàëûõ ðàçìåðîâ. Òàê, ïðè à >> λ èç ôîðìóëû (13.3.4) ïîëó÷àåì:

lim sin lim (2 1) 0,

→∞ →∞

λλ



α= ± + =





òî åñòü äèôðàêöèîííûå ìàêñèìóìû íå íàáëþäàþòñÿ.

Íàîáîðîò, ïðè ìàëûõ ðàçìåðàõ ùåëè (à ≤ λ) èç ôîðìóëû (13.3.3)

ïîëó÷àåì:

sin 1,

α=± ≥

îäíàêî

sin 1α≤

. Ïîýòîìó âìåñòî ñèñòåìû ìàêñèìóìîâ è ìèíè-

ìóìîâ èíòåíñèâíîñòü ñâåòà ìîíîòîííî óáûâàåò îò ñåðåäèíû äè-

ôðàêöèîííîé êàðòèíû ê êðàÿì.

Ðèñ. 13.3.3. Çàâèñèìîñòü èíòåíñèâíîñòè I

îò sin α ïðè äèôðàêöèè îò îäíîé ùåëè

Ãëàâà 13. Îïòèêà

415

Ðàññìîòðèì òåïåðü äèô-

ðàêöèþ íà áîëüøîì ÷èñëå

îäèíàêîâûõ è îòñòîÿùèõ

äðóã îò äðóãà íà ðàâíûõ

ðàññòîÿíèÿõ ùåëåé. Òàêîå

óñòðîéñòâî íàçûâàåòñÿ

äèôðàêöèîííîé ðå-

ø å ò ê î é, êîòîðóþ ìîæíî

ïîëó÷èòü íàíåñåíèåì íå-

ïðîçðà÷íûõ øòðèõîâ íà ïðî-

çðà÷íóþ ïëàñòèíêó.

Øèðèíà ùåëåé à è ðàñ-

ñòîÿíèå ìåæäó íèìè b â ñóì-

ìå îïðåäåëÿþò ïåðèîä èëè

ïîñòîÿííóþ äèôðàêöèîííîé

ðåøåòêè c (ðèñ. 13.3.4):

.cab

(13.3.7)

Ïðè íîðìàëüíîì ïàäåíèè íà ðåøåòêó ïëîñêîé ìîíîõðîìàòè-

÷åñêîé âîëíû ïðîèñõîäèò èíòåðôåðåíöèÿ âòîðè÷íûõ âîëí, èäó-

ùèõ ïî âñåâîçìîæíûì íàïðàâëåíèÿì èç ðàçíûõ ùåëåé, ôîðìèðóÿ

ïîñëå ôîêóñèðîâêè äèôðàêöèîííóþ êàðòèíó íà ýêðàíå.

Â ïðîèçâîëüíîé òî÷êå Ð ýêðàíà, ðàñïîëîæåííîãî â ôîêàëüíîé

ïëîñêîñòè ëèíçû, ñôîêóñèðóþòñÿ âñå ëó÷è, êîòîðûå äî ëèíçû ðàñ-

ïðîñòðàíÿëèñü ïîä îïðåäåëåííûì óãëîì α ê íîðìàëè (ðèñ. 13.3.4).

Ðåçóëüòèðóþùåå êîëåáàíèå â òî÷êå Ð îïðåäåëÿåòñÿ èíòåðôåðåí-

öèåé âòîðè÷íûõ âîëí îò âñåõ ùåëåé è çàâèñèò îò ðàçíîñòè õîäà

âîëí:

sin .rc

∆= α

(13.3.8)

Ïðè ðàâåíñòâå îïòè÷åñêîé ðàçíîñòè õîäà âîëí ÷åòíîìó ÷èñëó

ïîëóâîëí íàáëþäàåòñÿ ìàêñèìóì èíòåíñèâíîñòè:

sin 2 .

α= ± λ

(13.3.9)

Ïðè ýòîì íà ýêðàíå âîçíèêàþò ãëàâíûå ìàêñèìóìû äèôðàêöè-

îííîé êàðòèíû, çäåñü k = 1, 2, 3, … — ïîðÿäîê ãëàâíûõ ìàêñèìó-

ìîâ èíòåíñèâíîñòè (ïîðÿäîê ñïåêòðà). Îíè ðàñïîëîæåíû ñèììåò-

ðè÷íî îòíîñèòåëüíî öåíòðàëüíîãî ìàêñèìóìà, k = 0 è α = 0.

Ôîðìóëà (13.3.9) ïîçâîëÿåò ñ âûñîêîé òî÷íîñòüþ èçìåðÿòü äëèíó

âîëíû ìîíîõðîìàòè÷åñêîãî èçëó÷åíèÿ ïðè èçâåñòíîì ïåðèîäå ðå-

øåòêè.

Ðèñ. 13.3.4. Äèôðàêöèÿ ñâåòà íà äèôðàê-

öèîííîé ðåøåòêå

§ 13.3. Äèôðàêöèÿ ñâåòà

416

Â òåõ òî÷êàõ, ãäå èíòåíñèâíîñòü, ñîçäàííàÿ êàæäîé èç ùåëåé

â îòäåëüíîñòè, ðàâíà íóëþ, íàáëþäàåòñÿ ìèíèìóì èíòåíñèâíîñòè:

sin 2

α=±

≠

(13.3.10)

[ñì. óñëîâèå (13.3.3)].

Êàæäàÿ ùåëü äèôðàêöèîííîé ðåøåòêè ñîçäàåò ñâîþ ñîáñòâåí-

íóþ äèôðàêöèîííóþ êàðòèíó ñî ñâîèìè ìàêñèìóìàìè è ìèíèìó-

ìàìè. Ïîýòîìó ìåæäó êàæäûìè äâóìÿ ãëàâíûìè ìàêñèìóìàìè

ðàñïîëàãàþòñÿ äîáàâî÷íûå ìàêñèìóìû è ìèíèìóìû, ÷èñëî êîòî-

ðûõ îïðåäåëÿåòñÿ êîëè÷åñòâîì N ùåëåé â ðåøåòêå. Îáðàçóåòñÿ

( 1N

−

) äîáàâî÷íûõ äèôðàêöèîííûõ ìèíèìóìîâ è ( 2N

−

) äîáà-

âî÷íûõ ìàêñèìóìîâ, èíòåíñèâíîñòü êîòîðûõ ñîñòàâëÿåò íå áîëåå

5 % îò èíòåíñèâíîñòè ãëàâíîãî ìàêñèìóìà (ðèñ. 13.3.5).

Ðèñ. 13.3.5. Çàâèñèìîñòü èíòåíñèâíîñòè I îò sin α

ïðè äèôðàêöèè íà äèôðàêöèîííîé ðåøåòêå (äëÿ N = 8)

Ïðè ïàäåíèè íà äèôðàêöèîííóþ ðåøåòêó èçëó÷åíèÿ ñëîæíîãî

ñïåêòðàëüíîãî ñîñòàâà äëÿ êàæäîé äëèíû âîëíû ïîëó÷àåòñÿ ñâîé

íàáîð ñïåêòðàëüíûõ ïîëîñ. Ñëåäîâàòåëüíî, ïàäàþùåå íåìîíîõðî-

ìàòè÷åñêîå èçëó÷åíèå áóäåò ðàçëîæåíî â ñïåêòðû ïî ÷èñëó âîçìîæ-

íûõ çíà÷åíèé k. Òàêèì îáðàçîì, äèôðàêöèîííàÿ ðåøåòêà, òàê æå

êàê ïðèçìà è ùåëü, ÿâëÿåòñÿ ñïåêòðàëüíûì ïðèáîðîì, îñíîâíîå

ñâîéñòâî êîòîðîãî — ñïîñîáíîñòü ðàçëàãàòü ïàäàþùèé íà íåãî ñâåò

Ãëàâà 13. Îïòèêà

417

ïî äëèíàì âîëí. Ïîýòîìó äèôðàêöèîííàÿ ðåøåòêà èñïîëüçóåòñÿ

â êà÷åñòâå äèñïåðãèðóþùåãî ýëåìåíòà â ñïåêòðàëüíûõ ïðèáîðàõ.

Îñíîâíûìè õàðàêòåðèñòèêàìè äèôðàêöèîííîé ðåøåòêè ÿâëÿ-

þòñÿ òå, êîòîðûå ïîçâîëÿþò îöåíèòü åå ñïîñîáíîñòü ðàçðåøàòü

(ðàçëè÷àòü) ñïåêòðàëüíûå ëèíèè — óãëîâàÿ äèñïåðñèÿ è ðàçðåøàþ-

ùàÿ ñïîñîáíîñòü.

Óãëîâàÿ äèñïåðñèÿ D õàðàêòåðèçóåò óãëîâóþ øèðèíó ñïåêòðà, òî

åñòü îïðåäåëÿåò óãëîâîå ðàññòîÿíèå ìåæäó äâóìÿ ñïåêòðàëüíûìè

ëèíèÿìè, îòëè÷àþùèìèñÿ ïî äëèíå âîëíû íà dλ:

(13.3.11)

Ïðîäèôôåðåíöèðîâàâ óðàâíåíèå (13.3.9), ïîëó÷àåì:

cos d d ,ck

αα= λ

(13.3.12)

îòêóäà

dcos

λα

(13.3.13)

Äëÿ íåáîëüøèõ óãëîâ äèôðàêöèè α òàêèõ, ÷òî cos α ≈ 1,

≈

(13.3.14)

Òàêèì îáðàçîì, óãëîâàÿ äèñïåðñèÿ îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíà

ïåðèîäó ðåøåòêè ñ è âîçðàñòàåò ñ óâåëè÷åíèåì ïîðÿäêà ñïåêòðà k.

Ðàçðåøàþùàÿ ñïîñîáíîñòü äèôðàêöèîííîé ðåøåòêè, òî åñòü

ñïîñîáíîñòü äàâàòü ðàçäåëüíîå èçîáðàæåíèå äâóõ áëèçêèõ ñïåêò-

ðàëüíûõ ëèíèé, îïðåäåëÿåòñÿ êàê

∆λ

(13.3.15)

ãäå ∆λ — ìèíèìàëüíàÿ ðàçíîñòü äëèíû âîëí äâóõ ñïåêòðàëüíûõ

ëèíèé, ïðè êîòîðîé îíè åùå âèäíû ðàçäåëüíî.

Ðàçðåøàþùàÿ ñïîñîáíîñòü çàâèñèò êàê îò ðàññòîÿíèÿ ìåæäó

ëèíèÿìè, òàê è îò øèðèíû ëèíèé. Ãëàç âîñïðèíèìàåò äâå ëèíèè

ðàçäåëüíî, åñëè èíòåíñèâíîñòü ìèíèìóìà ìåæäó íèìè ñîñòàâëÿåò

íå áîëåå 80 % îò èíòåíñèâíîñòè ìàêñèìóìà.

Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî äëÿ äèôðàêöèîííîé ðåøåòêè

.RkN

(13.3.16)

Ýòî óñëîâèå ðåàëèçóåòñÿ ïðè âûïîëíåíèè êðèòåðèÿ Ðåëåÿ: äâå

áëèçêèå ñïåêòðàëüíûå ëèíèþ ïîëíîñòüþ ðàçðåøåíû, åñëè ìàêñè-

§ 13.3. Äèôðàêöèÿ ñâåòà

418

Äèôðàêöèîííûå ðåøåòêè, ïðèìåíÿåìûå äëÿ ðàáîòû â ðàçëè÷-

íûõ îáëàñòÿõ ñïåêòðà, îòëè÷àþòñÿ ðàçìåðàìè, ôîðìîé, ìàòåðèàëîì

ïîâåðõíîñòè, ïðîôèëåì øòðèõîâ è èõ ÷àñòîòîé (îò 0,25 øòðèõ/ìì

â ÈÊ-îáëàñòè äî 6000 øòðèõ/ìì â ðåíòãåíîâñêîé îáëàñòè ñïåêòðà).

Áîëüøèíñòâî ñîâðåìåííûõ äèôðàêöèîííûõ ðåøåòîê èìåþò øòðèõè

ñòóïåí÷àòîãî ïðîôèëÿ (ýøåëåòò), ïîçâîëÿþùèå ñêîíöåíòðèðîâàòü

îñíîâíóþ ÷àñòü ïàäàþùåãî èçëó÷åíèÿ â íàïðàâëåíèè êàêîãî-ëèáî

îäíîãî íåíóëåâîãî ïîðÿäêà ñïåêòðà, îñëàáëÿÿ îñòàëüíûå. Èñïîëü-

çîâàíèå òàêèõ ðåøåòîê ïîçâîëÿåò ñîçäàâàòü ñïåêòðàëüíûå ïðèáîðû

ñ áîëüøîé ñâåòîñèëîé è î÷åíü âûñîêîé ðàçðåøàþùåé ñïîñîá-

íîñòüþ.

Ðàçðåøàþùàÿ ñïîñîáíîñòü îïòè÷åñêèõ ïðèáîðîâ õàðàêòåðèçó-

åò ñïîñîáíîñòü ýòèõ ñèñòåì äàâàòü ðàçäåëüíîå èçîáðàæåíèå äâóõ

ðàñïîëîæåííûõ áëèçêî äðóã ê äðóãó òî÷åê îáúåêòà. Ìèíèìàëüíîå

ëèíåéíîå (èëè óãëîâîå) ðàññòîÿíèå ìåæäó äâóìÿ òî÷êàìè, íà÷èíàÿ

ñ êîòîðîãî èõ èçîáðàæåíèÿ ñëèâàþòñÿ è ïåðåñòàþò áûòü ðàçëè÷è-

ìûìè, íàçûâàåòñÿ ëèíåéíûì (èëè óãëîâûì) ïðåäåëîì ðàçðåøåíèÿ.

Îáðàòíàÿ âåëè÷èíà ÿâëÿåòñÿ êîëè÷åñòâåííîé ìåðîé ðàçðåøàþùåé

ñïîñîáíîñòè îïòè÷åñêèõ ïðèáîðîâ, êîòîðàÿ îáóñëîâëåíà âîëíîâû-

ìè ñâîéñòâàìè ñâåòà. Âñëåäñòâèå äèôðàêöèè ëó÷åé îò ïðåäìåòà â îï-

òè÷åñêîé ñèñòåìå ëþáàÿ òî÷êà îáúåêòà èçîáðàæàåòñÿ â âèäå ñâåòëîãî

ïÿòíà, îêðóæåííîãî ïîïåðåìåííî òåìíûìè è ñâåòëûìè êîëüöàìè.

Ïîýòîìó âûðàæåíèå äëÿ ïðåäåëà ðàçðåøåíèÿ ìîæíî ïîëó÷èòü, òîëü-

êî ó÷èòûâàÿ äèôðàêöèîííûå ÿâëåíèÿ.

Ðèñ. 13.3.6. Çàâèñèìîñòü èíòåíñèâíîñòè I îò äëèíû âîëíû λ äëÿ îòäåëüíûõ ëèíèé

(ñïëîøíûå ëèíèè) è èõ ñóììàðíàÿ èíòåíñèâíîñòü (ïóíêòèðíàÿ ëèíèÿ):

à — äâå áëèçêèå ñïåêòðàëüíûå ëèíèè ñëèâàþòñÿ â îäíó, è äâà ìàêñèìóìà âîñïðèíèìàþòñÿ êàê

îäèí; á — ìàêñèìóì îäíîé ñïåêòðàëüíîé ëèíèè ñîâïàäàåò ñ áëèæàéøèì ìèíèìóìîì äðóãîé,

è äâå ëèíèè âîñïðèíèìàþòñÿ ðàçäåëüíî

ìóì èíòåíñèâíîñòè îäíîé ëèíèè ñ äëèíîé âîëíû λ ñîâïàäàåò ñ ìè-

íèìóìîì èíòåíñèâíîñòè äëÿ äðóãîé ëèíèè ñ äëèíîé âîëíû λ + ∆λ

(ðèñ. 13.3.6).

Ãëàâà 13. Îïòèêà

419

Òàê, äëÿ ìèêðîñêîïà ïðåäåë ðàçðåøåíèÿ (â îòðàæåííîì ñâåòå)

ïðè íàêëîííîì ïàäåíèè ñâåòà íà îáúåêò îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì

îáðàçîì:

0,5 ,

sin /2

(13.3.17)

ãäå ï — ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ ñðåäû ìåæäó ïðåäìåòîì è ëèíçîé

îáúåêòèâà; è — àïåðòóðíûé óãîë (óãîë ìåæäó êðàéíèìè ëó÷àìè

êîíè÷åñêîãî ñâåòîâîãî ïó÷êà, âõîäÿùåãî â îáúåêòèâ).

Ãëàç òàêæå èìååò ïðåäåë ðàçðåøåíèÿ z

= 70 ìêì íà ðàññòîÿ-

íèè d

, ïîýòîìó ââîäèòñÿ ïîíÿòèå ïîëåçíîãî óâåëè÷åíèÿ ìèêðî-

ñêîïà:

Г.

(13.3.18)

§ 13.4. ÄÈÑÏÅÐÑÈß ÑÂÅÒÀ

Ðàñïðîñòðàíåíèå ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí â ìàòåðèàëüíûõ ñðå-

äàõ ñîïðîâîæäàåòñÿ öåëûì ðÿäîì ÿâëåíèé, îáóñëîâëåííûõ èõ

âçàèìîäåéñòâèåì ñ àòîìàìè âåùåñòâà. Ñâåò, ïðîõîäÿùèé äàæå ÷å-

ðåç ïðîçðà÷íûå ñðåäû, ïîãëîùàåòñÿ, ðàññåèâàåòñÿ, ìåíÿåò ôàçî-

âûå è ãðóïïîâûå ñêîðîñòè ðàñïðîñòðàíåíèÿ, à òàêæå ïîëîæåíèå

ïëîñêîñòè ïîëÿðèçàöèè (â ñëó÷àå îïòè÷åñêè àêòèâíûõ ñðåä). Îáúÿñ-

íåíèå ýòèõ ÿâëåíèé ñ ïîçèöèè êëàññè÷åñêîé ôèçèêè âîçìîæíî

ïðè èñïîëüçîâàíèè ìîäåëè ðåçîíàíñíîãî ïîãëîùåíèÿ ñâåòà àòî-

ìàìè âåùåñòâà.

ßâëåíèå çàâèñèìîñòè àáñîëþòíîãî ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ

âåùåñòâà ï îò ÷àñòîòû ñâåòà ω, ïðîõîäÿùåãî ÷åðåç âåùåñòâî ñâåòà,

íàçûâàåòñÿ äèñïåðñèåé ñâåòà. ßâëåíèå äèñïåðñèè èñïîëüçóþò ïðè

ðàçëîæåíèè áåëîãî ñâåòà â ñïåêòð ñ ïîìîùüþ ïðèçìû. Ïîñêîëüêó

ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ è ñêîðîñòü ñâåòà ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì

(9.10.20), òî ïîñëåäíÿÿ òàêæå çàâèñèò îò ÷àñòîòû ðàñïðîñòðàíÿþ-

ùåãîñÿ ñâåòà.

Ñòðîãîå îáúÿñíåíèå ìåõàíèçìà äèñïåðñèè äàåò àïïàðàò êâàí-

òîâîé ìåõàíèêè. Îäíàêî ÷àñòî äëÿ óïðîùåíèÿ ðàññóæäåíèé ïîëüçó-

þòñÿ êëàññè÷åñêèìè ïðåäñòàâëåíèÿìè îá ýëåêòðîíå

êàê êîëåáà-

òåëüíîé ñèñòåìå, âîçáóæäàåìîé ýëåêòðè÷åñêèì ïîëåì ñâåòîâîé

âîëíû. Íåñìîòðÿ íà öåëûé ðÿä äîïóùåíèé, ïîëó÷åííûå òàêèì

îáðàçîì ðåçóëüòàòû ñîâïàäàþò ñ äàííûìè êâàíòîâîé ìåõàíèêè.

Ðàññìàòðèâàþòñÿ ýëåêòðîíû âíåøíèõ îáîëî÷åê, íàçûâàåìûå âàëåíòíûìè èëè

îïòè÷åñêèìè ýëåêòðîíàìè, òàê êàê ýëåêòðîíû âíóòðåííèõ îáîëî÷åê ïðàêòè÷åñêè

íå âîçáóæäàþòñÿ â îïòè÷åñêîì äèàïàçîíå.

§ 13.4. Äèñïåðñèÿ ñâåòà

420

Çàïèøåì óðàâíåíèå âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé:

2sin,

xx e

xE t

+β +ω = ω (13.4.1)

ãäå m — ìàññà ýëåêòðîíà; e — çàðÿä ýëåêòðîíà; β — êîýôôèöèåíò çàòóõà-

íèÿ, êîòîðûé â äàííîì ñëó÷àå îïðåäåëÿåò ïîòåðè ýíåðãèè ýëåêòðîíà íà

èçëó÷åíèå; eE

— àìïëèòóäà âûíóæäàþùåé ñèëû ñâåòîâîé âîëíû; ω

—

ñîáñòâåííàÿ ÷àñòîòà êîëåáàíèé ýëåêòðîíà; ω — ÷àñòîòà ñâåòîâîé âîëíû.

Ðåøåíèå äàííîãî óðàâíåíèÿ, îïðåäåëÿþùåå ìãíîâåííîå ñìåùåíèå

ýëåêòðîíà â àòîìå, èìååò âèä:

()

22 22

xt Et=

ω−ω +βω

(13.4.2)

ãäå E(t) — íàïðÿæåííîñòü ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ ñâåòîâîé âîëíû â ìîìåíò

âðåìåíè t (Å èçìåíÿåòñÿ ïî ãàðìîíè÷åñêîìó çàêîíó).

Ñìåùåíèå ýëåêòðîíà îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ âûçîâåò ïîÿâëåíèå

äèïîëüíîãî ìîìåíòà P(t) = ex(t) (ñìåùåíèåì ÿäåð ïîä äåéñòâèåì ïîëÿ

âîëíû ìîæíî ïðåíåáðå÷ü). Ïðîèçâåäåíèå äèïîëüíîãî ìîìåíòà íà ÷èñëî

ìîëåêóë N â åäèíèöå îáúåìà äàåò ïîëÿðèçîâàííîñòü:

()

22 22

Pt Et=

ω−ω +βω

(13.4.3)

Ñîãëàñíî ôîðìóëå (9.3.3),

() ()

.Pt Et=εχ (13.4.4)

Èç óðàâíåíèé (13.4.3) è (13.4.4) âûðàçèì äèýëåêòðè÷åñêóþ âîñïðèèì-

÷èâîñòü χ è ïîäñòàâèì â ñîòíîøåíèå (9.3.6). Ïîëó÷àåì âûðàæåíèå äëÿ

äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè ñðåäû:

()

22 22

11 .

mε

ε= +χ= +

ω−ω +βω

(13.4.5)

Äèýëåêòðè÷åñêàÿ ïðîíèöàåìîñòü ñâÿçàíà ñ êîýôôèöèåíòîì ïðåëîì-

ëåíèÿ n ñîîòíîøåíèåì (9.10.21). Äëÿ áîëüøèíñòâà ïðîçðà÷íûõ âåùåñòâ

µ ≈ 1, ïîýòîìó

.n ≈ε (13.4.6)

Èç ôîðìóë (13.4.5) è (13.4.6) ïîëó÷àåì çàâèñèìîñòü êîýôôèöè-

åíòà ïðåëîìëåíèÿ îò ÷àñòîòû èçëó÷åíèÿ:

Ãëàâà 13. Îïòèêà