Тиманюк В.А., Животова Е.Н. Биофизика

Подождите немного. Документ загружается.

391

ñîïðîòèâëåíèå ìåìáðàíû, êîòîðîå ðåçêî ñíèæàåòñÿ ïðè âîçáóæäå-

íèè.

Ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ â ñòàöèîíàðíîì ðåæèìå (ïðè t →∞)

èìååò ñëåäóþùèé âèä:

ϕ = ϕ

exp (–x/λ), (12.5.2)

ãäå ϕ

— ïîòåíöèàë â òî÷êå õ = 0; λ — ïîñòîÿííàÿ äëèíû âîëîêíà,

ðàâíàÿ

Dlρ

λ=

(12.5.3)

Ïðè óäàëåíèè îò òî÷êè ïðèëîæåíèÿ âîçáóæäåíèÿ íà âåëè÷èíó λ

ïîòåíöèàë óìåíüøàåòñÿ â å ðàç. Êëåòêå âûãîäíåå èìåòü áîëüøèå

çíà÷åíèÿ λ, òàê êàê ïðè ýòîì çàòóõàíèå èìïóëüñà ïðîèñõîäèò ìåä-

ëåííåå. Îòñóòñòâèå ïîëíîãî çàòóõàíèÿ èìïóëüñà îáúÿñíÿåòñÿ òåì,

÷òî êàæäûé íîâûé ïîòåíöèàë äåéñòâèÿ óñèëèâàåò ñèãíàë.

Ñêîðîñòü ïðîâåäåíèÿ íåðâíîãî èìïóëüñà ïî íåìèåëèíèçèðîâàí-

íûì íåðâíûì âîëîêíàì, òàê æå êàê è ïîñòîÿííàÿ äëèíû, ïðîïîð-

öèîíàëüíà êâàäðàòíîìó êîðíþ èç äèàìåòðà âîëîêíà. Óâåëè÷åíèå

äèàìåòðà ñïîñîáñòâóåò óâåëè÷åíèþ λ è ñêîðîñòè ðàñïðîñòðàíåíèÿ

âîçáóæäåíèÿ. Ýòèì îáúÿñíÿåòñÿ ñóùåñòâîâàíèå ãèãàíòñêèõ àêñîíîâ

ãîëîâîíîãèõ ìîëëþñêîâ. Ñêîðîñòü ïðîâåäåíèÿ âîçáóæäåíèÿ ïî íå-

ìèåëèíèçèðîâàííîìó âîëîêíó äèàìåòðîì 1 ìêì ñîñòàâëÿåò òîëüêî

2 ì/ñ, òîãäà êàê äëÿ âîëîêîí äèàìåòðîì 0,5—1 ìì ýòà âåëè÷èíà óæå

äîñòèãàåò 20 ì/ñ.

Äëÿ ìèåëèíèçèðîâàííûõ íåðâíûõ âîëîêîí ñêîðîñòü ïðîâåäå-

íèÿ âîçáóæäåíèÿ çàâèñèò îò äëèíû ìåæïåðåõâàòíûõ ó÷àñòêîâ (ó÷à-

ñòêîâ ìåæäó äâóìÿ ïåðåõâàòàìè Ðàíâüå). Çàìå÷åíî, ÷òî âðåìÿ, íå-

îáõîäèìîå äëÿ ïåðåäà÷è ñèãíàëà îò îäíîãî ïåðåõâàòà ê äðóãîìó,

ïðèìåðíî îäèíàêîâî è ñîñòàâëÿåò îêîëî 0,07 ìñ. Â òî æå âðåìÿ

äëèíà ìåæïåðåõâàòíûõ ó÷àñòêîâ ïðîïîðöèîíàëüíà äèàìåòðó âî-

ëîêíà. Òàêèì îáðàçîì, ñêîðîñòü ïðîâåäåíèÿ íåðâíîãî èìïóëüñà

ïî ìÿêîòíûì âîëîêíàì ïðîïîðöèîíàëüíà èõ äèàìåòðó. Ïîýòîìó

ó îðãàíèçìîâ, èìåþùèõ ìèåëèíèçèðîâàííûå âîëîêíà, îòïàëà íå-

îáõîäèìîñòü çíà÷èòåëüíî óâåëè÷èâàòü èõ äèàìåòð. Òàêîå âîëîêíî

äèàìåòðîì 20 ìêì ïðîâîäèò âîçáóæäåíèå ñî ñêîðîñòüþ 120 ì/ñ.

Èçìåðåíèå ñêîðîñòè ïðîâåäåíèÿ íåðâíîãî èìïóëüñà ÷àñòî ïðî-

âîäÿò â ìåäèöèíñêîé ïðàêòèêå: ïðè íàðóøåíèè ìèåëèíîâîé îáî-

ëî÷êè ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîçáóæäåíèÿ ñíèæàåòñÿ.

Äëÿ íåðâíûõ âîëîêîí ïðèáëèçèòåëüíî îäèíàêîâîãî äèàìåòðà

ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîçáóæäåíèÿ çàâèñèò îò âåëè÷èíû òàê

íàçûâàåìîãî ôàêòîðà íàäåæíîñòè η, êîòîðûé âûðàæàåòñÿ ñëåäóþ-

ùèì îáðàçîì:

§ 12.5. Ñêîðîñòü ïðîâåäåíèÿ íåðâíîãî èìïóëüñà

392

кр

η= (12.5.4)

ãäå V

— àìïëèòóäà ïîòåíöèàëà äåéñòâèÿ; V

êð

— êðèòè÷åñêèé óðî-

âåíü äåïîëÿðèçàöèè, âûçûâàþùèé ãåíåðàöèþ ïîòåíöèàëà äåéñòâèÿ.

Îáû÷íî ôàêòîð íàäåæíîñòè ñîñòàâëÿåò 5—6, òî åñòü ïîòåíöèàë

äåéñòâèÿ ñïîñîáåí âîçáóäèòü ñëåäóþùèé ó÷àñòîê ìåìáðàíû, òàê

êàê åãî âåëè÷èíà çíà÷èòåëüíî ïðåâûøàåò ïîðîãîâûé óðîâåíü äå-

ïîëÿðèçàöèè. Äåéñòâèå ìåñòíûõ àíåñòåòèêîâ (íàïðèìåð íîâîêàè-

íà) ñâîäèòñÿ ê ñíèæåíèþ âåëè÷èíû V

è óâåëè÷åíèþ V

êð

çà ñ÷åò

èíàêòèâàöèè íàòðèåâûõ êàíàëîâ, ÷òî ïðèâîäèò ê ñíèæåíèþ ôàê-

òîðà íàäåæíîñòè.

ÏÐÈÌÅÐÛ ÐÅØÅÍÈß ÇÀÄÀ×

Çàäà÷à 12.1. Ñêîëüêî èîíîâ êàëèÿ äîëæíî âûéòè èç öèòîïëàçìû âî

âíåêëåòî÷íóþ ñðåäó, ÷òîáû ñîçäàòü ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ ∆ϕ = -100 ìÂ?

Ðàäèóñ êëåòêè r = 10 ìêì, óäåëüíàÿ ýëåêòðîåìêîñòü ìåìáðàíû Ñ

óä

= 10

–2

Ô/ì

Ðåøåíèå. Ðàññ÷èòàåì ïëîùàäü ìåìáðàíû (r = 10 ìêì = 10

–5

ì):

4πr

= 4π•(10

–5

)

= 1,26•10

–9

òîãäà ýëåêòðîåìêîñòü ìåìáðàíû ñîñòàâèò:

уд

Фм м Ф

22 92 11

10 / 1,2610 1,2610 .CCS

−−−

== ⋅⋅ =⋅

Àáñîëþòíàÿ âåëè÷èíà çàðÿäà êàæäîãî çíàêà íà ïîâåðõíîñòè ìåìáðà-

íû (êîíäåíñàòîðà)

ФВ Кл

11 1 12

1, 26 10 10 1, 26 10 ,qC

−− −

=∆ϕ= ⋅ ⋅ = ⋅

÷òî ñîîòâåòñòâóåò

Кл

Кл/моль

1, 26 10

9, 65 10

−

⋅

ν= = =

⋅

1,3•10

–17

ìîëü èîíîâ.

Îáúåì êëåòêè

353

(10 )

−

=π=π = 4,2•10

−15

Òîãäà èçìåíåíèå êîíöåíòðàöèè èîíîâ â êëåòêå âñëåäñòâèå âûõîäà èç

êëåòêè 1,3•10

–17

ìîëü èîíîâ ðàâíî:

моль

1, 3 10

4,2 10

−

ν⋅

∆= =

⋅

= 3,1•10

–3

ìîëü/ì

= 3,1•10

–3

ììîëü/ë,

÷òî ñîñòàâëÿåò âñåãî 10

–3

% îò êîíöåíòðàöèè êàëèÿ âíóòðè êëåòêè

(≈360 ììîëü/ë). Òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû ñîçäàòü ðàâíîâåñíûé íåðíñòîâñêèé

ìåìáðàííûé ïîòåíöèàë, ÷åðåç ìåìáðàíó äîëæíî ïðîéòè ïðåíåáðåæèìî

ìàëîå êîëè÷åñòâî èîíîâ ïî ñðàâíåíèþ ñ îáùèì èõ êîëè÷åñòâîì â êëåòêå.

ÏÐÀÊÒÈ×ÅÑÊÈÅ È ÒÅÑÒÎÂÛÅ ÇÀÄÀÍÈß

Ãëàâà 12. Áèîôèçèêà íåðâíîãî èìïóëüñà

393

Çàäà÷à 12.2. Ïîñòîÿííàÿ äëèíû íåìèåëèíèçèðîâàííîãî íåðâíîãî âî-

ëîêíà λ = 55 ìêì. Íà êàêîì ðàññòîÿíèè îò ìåñòà âîçáóæäåíèÿ ïîòåíöèàë

óìåíüøàåòñÿ â òðè ðàçà?

Ðåøåíèå. Èñïîëüçóÿ âûðàæåíèå ϕ = ϕ

åõð (–õ/λ), ïîëó÷àåì:

/ϕ = åõð (õ/λ) = 3,

îòêóäà

õ = λ ln 3,

õ = 55•ln 3 = 60,4 ìêì.

ÇÀÄÀ×È ÄËß ÑÀÌÎÑÒÎßÒÅËÜÍÎÃÎ ÐÅØÅÍÈß

12.1. Ðàññ÷èòàéòå ðàâíîâåñíûé ìåìáðàííûé ïîòåíöèàë ∆ϕ, ñîçäàâàå-

ìûé èîíàìè êàëèÿ, åñëè èõ âíóòðèêëåòî÷íàÿ êîíöåíòðàöèÿ c

= 500 ììîëü/ë,

âíåêëåòî÷íàÿ — c

= 10 ììîëü/ë. Òåìïåðàòóðà t = 27 °Ñ.

12.2. Âíóòðè- è âíåêëåòî÷íàÿ êîíöåíòðàöèè èîíîâ õëîðà ðàâíû ñîîò-

âåòñòâåííî c

= 150 ììîëü/ë, c

= 500 ììîëü/ë. Ïîòåíöèàë ïîêîÿ ïðè ýòîì

∆ϕ = –32 ìÂ. Âû÷èñëèòå òåìïåðàòóðó t êëåòêè.

12.3. Âî ñêîëüêî ðàç âíóòðèêëåòî÷íàÿ êîíöåíòðàöèÿ èîíîâ êàëèÿ äîë-

æíà ïðåâûøàòü íàðóæíóþ, ÷òîáû ïîòåíöèàë ïîêîÿ ñîñòàâëÿë ∆ϕ = 91 ìÂ.

Òåìïåðàòóðà t = 37 °Ñ.

12.4. Âû÷èñëèòå òåîðåòè÷åñêîå çíà÷åíèå ìàêñèìóìà ïîòåíöèàëà äåé-

ñòâèÿ ∆ϕ ïðè òåìïåðàòóðå t = 37 °Ñ, ñ÷èòàÿ, ÷òî öèòîïëàçìàòè÷åñêàÿ ìåì-

áðàíà íåðâíîãî âîëîêíà â ýòèõ óñëîâèÿõ ïðîíèöàåìà òîëüêî äëÿ èîíîâ

íàòðèÿ. Âíóòðè- è âíåêëåòî÷íàÿ êîíöåíòðàöèè íàòðèÿ ðàâíû ñîîòâåò-

ñòâåííî c

= 23 ììîëü/ë, c

= 150 ììîëü/ë.

12.5. Â ïîêîå ïðîíèöàåìîñòè ìåìáðàíû äëÿ èîíîâ êàëèÿ è íàòðèÿ

îòíîñÿòñÿ êàê Ð

: P

= 1 : 0,04, à ïðè âîçáóæäåíèè — Ð

: P

= 1 : 20.

Âíóòðèêëåòî÷íàÿ êîíöåíòðàöèÿ èîíîâ êàëèÿ ñîñòàâëÿåò [K

]

= 350 ììîëü/ë,

âíåêëåòî÷íàÿ — â 50 ðàç ìåíüøå; âíóòðèêëåòî÷íàÿ êîíöåíòðàöèÿ èîíîâ

íàòðèÿ [Na

]

= 50 ììîëü/ë, âíåêëåòî÷íàÿ — â 10 ðàç âûøå. Îïðåäåëèòå

ðàâíîâåñíûé ïîòåíöèàë ∆ϕ

è ∆ϕ

äëÿ êàæäîãî èç ýòèõ èîíîâ, âåëè÷èíó

ïîòåíöèàëà ïîêîÿ ∆ϕ

è ïîòåíöèàëà äåéñòâèÿ ∆ϕ

ïä

. Òåìïåðàòóðà êëåòêè

t = 27 °Ñ.

12.6. Ñ ïîìîùüþ ìåòîäà «ïýò÷-êëýìï» áûëî çàôèêñèðîâàíî, ÷òî òîêè

îäèíî÷íûõ êàëèåâûõ êàíàëîâ èìåþò àìïëèòóäó I

= 2 ïA, à ñðåäíåå âðå-

ìÿ îòêðûòîãî ñîñòîÿíèÿ êàíàëà ñîñòàâëÿåò t = 5 ìñ. Ñêîëüêî èîíîâ êàëèÿ

ïðîíèêàåò ÷åðåç îäèí êàíàë çà îäèí èìïóëüñ?

12.7. Ïðè ôèêñèðîâàííîì òðàíñìåìáðàííîì ïîòåíöèàëå ϕ

= –40 ìÂ

áûë çàðåãèñòðèðîâàí òðàíñìåìáðàííûé òîê ÷åðåç îäèíî÷íûé íàòðèåâûé

êàíàë I

= 1,6 ïA. Âû÷èñëèòå ïðîâîäèìîñòü êàíàëà g

, åñëè âíóòðèêëå-

òî÷íàÿ êîíöåíòðàöèÿ èîíîâ íàòðèÿ c

= 70 ììîëü/ë, âíåêëåòî÷íàÿ —

= 425 ììîëü/ë, òåìïåðàòóðà êëåòêè t = 27 °Ñ. Ïðè ðåøåíèè íåîáõîäè-

ìî ó÷åñòü, ÷òî â ìåòîäå ôèêñàöèè ïîòåíöèàëà òîê, íàïðàâëåííûé èç êëåò-

êè íàðóæó, ñ÷èòàåòñÿ ïîëîæèòåëüíûì, à èç îêðóæàþùåé ñðåäû âíóòðü —

îòðèöàòåëüíûì.

12.8. Â ìåñòå âîçáóæäåíèÿ íåìèåëèíèçèðîâàííîãî íåðâíîãî âîëîêíà

òðàíñìåìáðàííàÿ ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ ñîñòàâëÿåò ∆ϕ

= 35 ìÂ. Îïðåäå-

Ïðàêòè÷åñêèå è òåñòîâûå çàäàíèÿ

394

ëèòå ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ ∆ϕ íà ðàññòîÿíèè x = 40 ìêì, åñëè ïîñòîÿí-

íàÿ äëèíû ýòîãî âîëîêíà ðàâíà λ = 70 ìêì.

12.9. Íà êàêîì ðàññòîÿíèè x â íåìèåëèíèçèðîâàííîì íåðâíîì âî-

ëîêíå òðàíñìåìáðàííàÿ ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ ∆ϕ

óìåíüøàåòñÿ â÷åòâåðî,

åñëè ïîñòîÿííàÿ äëèíû âîëîêíà λ = 70 ìêì.

12.10. Òðàíñìåìáðàííàÿ ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ â íåìèåëèíèçèðîâàí-

íîì íåðâíîì âîëîêíå óìåíüøàåòñÿ âäâîå íà ðàññòîÿíèè x = 30 ìêì. Âû-

÷èñëèòå ïîñòîÿííóþ äëèíû λ âîëîêíà.

12.11. Âû÷èñëèòå äèàìåòð D àêñîíà, åñëè óäåëüíîå ñîïðîòèâëåíèå

åäèíèöû òîëùèíû ìåìáðàíû ρ

= 80 ìÎì•ì

, óäåëüíîå ñîïðîòèâëåíèå

àêñîïëàçìû ρ

= 0,4 Îì•ì, ïîñòîÿííàÿ äëèíû λ = 4,5 ìì.

ÂÎÏÐÎÑÛ ÒÅÑÒÎÂÎÃÎ ÊÎÍÒÐÎËß

12.1. Ðàâíîâåñíûé ìåìáðàííûé ïîòåíöèàë äëÿ èîíîâ íàòðèÿ:

à)

[Na]

ln ;

[Na]

∆ϕ =

ã)

∆ϕ =

[Na]

ln ;

[Na]

á)

[Na]

ln ;

[Na]

∆ϕ =

ä)

∆ϕ =

[Na]

ln .

[Na]

â)

∆ϕ =

[Na]

ln ;

[Na]

12.2. Óðàâíåíèå Ãîëüäìàíà—Õîäæêèíà—Êàòöà èìååò ñëåäóþùèé âèä:

à)

∆ϕ =

[K ]

ln ;

[K ]

á)

++−

∆ϕ =

KNa Cl

[K ] [Na ] [Cl ]

exp ;

[K ] [Na ] [Cl ]

ooo

iii

PP P

â)

∆ϕ =

[Na ]

ln ;

[Na ]

ã)

++−

∆ϕ =

KNa Cl

[K ] [Na ] [Cl ]

ln ;

[K ] [Na ] [Cl ]

ooi

iio

PP P

ä)

++−

∆ϕ =

KNa Cl

[K ] [Na ] [Cl ]

oii

ioo

PP P

12.3. Â ïîêîå ïîòåíöèàë íåðâíîé êëåòêè ïðèáëèæàåòñÿ ê ðàâíîâåñíîìó:

à) êàëüöèåâîìó ïîòåíöèàëó; ã) êàëèåâîìó ïîòåíöèàëó;

á) íàòðèåâîìó ïîòåíöèàëó; ä) ïîòåíöèàëó ïðîòîíîâ.

â) õëîðíîìó ïîòåíöèàëó;

12.4. Âî âðåìÿ ãåíåðàöèè ïîòåíöèàëà äåéñòâèÿ ïîòåíöèàë íåðâíîé

êëåòêè ïðèáëèæàåòñÿ ê ðàâíîâåñíîìó:

à) êàëüöèåâîìó ïîòåíöèàëó; ã) êàëèåâîìó ïîòåíöèàëó;

á) íàòðèåâîìó ïîòåíöèàëó; ä) ïîòåíöèàëó ïðîòîíîâ.

Ãëàâà 12. Áèîôèçèêà íåðâíîãî èìïóëüñà

395

â) õëîðíîìó ïîòåíöèàëó;

12.5. Âíóòðèêëåòî÷íàÿ ñðåäà çàðÿæåíà ïî ñðàâíåíèþ ñ âíåêëåòî÷-

íîé:

à) â ïîêîå — îòðèöàòåëüíî, íà ìàêñèìóìå ïîòåíöèàëà äåéñòâèÿ —

ïîëîæèòåëüíî;

á) â ïîêîå — ïîëîæèòåëüíî, íà ìàêñèìóìå ïîòåíöèàëà äåéñòâèÿ —

îòðèöàòåëüíî;

â) âñåãäà ïîëîæèòåëüíî;

ã) âñåãäà îòðèöàòåëüíî.

12.6. Ïðîíèöàåìîñòü ìåìáðàíû äëÿ èîíîâ êàëèÿ â ïîêîå:

à) çíà÷èòåëüíî áîëüøå ïðîíèöàåìîñòè äëÿ èîíîâ íàòðèÿ;

á) çíà÷èòåëüíî ìåíüøå ïðîíèöàåìîñòè äëÿ èîíîâ íàòðèÿ;

â) ïðèáëèçèòåëüíî ðàâíà ïðîíèöàåìîñòè äëÿ èîíîâ íàòðèÿ.

12.7. Âî âðåìÿ ãåíåðàöèè ïîòåíöèàëà äåéñòâèÿ ïðîíèöàåìîñòü ìåìá-

ðàíû äëÿ èîíîâ êàëèÿ:

à) áîëüøå ïðîíèöàåìîñòè äëÿ èîíîâ íàòðèÿ;

á) ìåíüøå ïðîíèöàåìîñòè äëÿ èîíîâ íàòðèÿ;

â) ïðèáëèçèòåëüíî ðàâíà ïðîíèöàåìîñòè äëÿ èîíîâ íàòðèÿ.

12.8. Ïîñòîÿííîé äëèíû íåðâíîãî âîëîêíà íàçûâàåòñÿ ðàññòîÿíèå, íà

êîòîðîì:

à) ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ íåðâíîãî èìïóëüñà óìåíüøàåòñÿ â å ðàç;

á) ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ íåðâíîãî èìïóëüñà óâåëè÷èâàåòñÿ â å ðàç;

â) ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ íåðâíîãî èìïóëüñà óìåíüøàåòñÿ â 10 ðàç;

ã) ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ íåðâíîãî èìïóëüñà óâåëè÷èâàåòñÿ â 10 ðàç;

ä) ïîòåíöèàë óìåíüøàåòñÿ â å ðàç.

12.9. Åñëè â íåêîòîðîé òî÷êå íåìèåëèíèçèðîâàííîãî âîëîêíà ïîòåí-

öèàë áûë ðàâåí ϕ

, òî íà ðàññòîÿíèè õ îò ýòîé òî÷êè îí óæå áóäåò ñîñòàâëÿòü:

à)

exp ;



ϕ=ϕ −





ã)

exp 2 ;



ϕ=ϕ





á)

exp ;



ϕ=ϕ





ä)

exp .



ϕ=ϕ −





â)

exp 2 ;



ϕ=ϕ −





12.10. Ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ íåðâíîãî èìïóëüñà ïðîïîðöèîíàëüíà

(D — äèàìåòð âîëîêíà):

à)

D äëÿ íåìèåëèíèçèðîâàííûõ è ìèåëèíèçèðîâàííûõ íåðâíûõ âî-

ëîêîí;

á) D äëÿ íåìèåëèíèçèðîâàííûõ è ìèåëèíèçèðîâàííûõ íåðâíûõ âî-

ëîêîí;

â)

D äëÿ íåìèåëèíèçèðîâàííûõ è D äëÿ ìèåëèíèçèðîâàííûõ íåð-

âíûõ âîëîêîí;

ã) D äëÿ íåìèåëèíèçèðîâàííûõ è

äëÿ ìèåëèíèçèðîâàííûõ íåð-

âíûõ âîëîêîí;

ä) D

äëÿ íåìèåëèíèçèðîâàííûõ è ìèåëèíèçèðîâàííûõ íåðâíûõ âî-

ëîêîí.

Ïðàêòè÷åñêèå è òåñòîâûå çàäàíèÿ

Ãëàâà 13

ÎÏÒÈÊÀ

Îïòèêà — ðàçäåë ôèçèêè, èçó÷àþùèé îïòè÷åñêîå èçëó÷åíèå,

ïðîöåññû åãî ðàñïðîñòðàíåíèÿ è ÿâëåíèÿ, íàáëþäàåìûå ïðè âçàèìî-

äåéñòâèè ñâåòà ñ âåùåñòâîì. Îïòè÷åñêîå èçëó÷åíèå — ýòî ýëåêòðî-

ìàãíèòíûå âîëíû â èíòåðâàëå äëèí âîëí îò ìèëëèàðäíûõ äî äåñÿ-

òèòûñÿ÷íûõ äîëåé ìåòðà (äèàïàçîíû ÷àñòîò 3 •10

…3 •10

Ãö).

Îïòè÷åñêîå èçëó÷åíèå âêëþ÷àåò óëüòðàôèîëåòîâîå èçëó÷åíèå (èí-

òåðâàë äëèí âîëí îò 10 äî 400 íì), âèäèìîå èçëó÷åíèå, âîñïðèíè-

ìàåìîå ÷åëîâå÷åñêèì ãëàçîì (îò 0,4 äî 0,76 ìêì), è èíôðàêðàñíîå

èçëó÷åíèå (îò 0,76 ìêì äî 1 ìì).

Ñâåò âåäåò ñåáÿ äâîéñòâåííûì îáðàçîì: â îäíèõ ñëó÷àÿõ êàê

ýëåêòðîìàãíèòíàÿ âîëíà, â äðóãèõ — êàê ïîòîê îñîáûõ ÷àñòèö (ôî-

òîíîâ), òî åñòü ê íåìó ïðèìåíèì ïðèíöèï êîðïóñêóëÿðíî-âîëíî-

âûì äóàëèçìîì

. Â äàííîé ãëàâå áóäóò ðàññìîòðåíû òîëüêî âîëíî-

âûå ñâîéñòâà ñâåòà

. Òðàäèöèîííî îïòèêó ïðèíÿòî ïîäðàçäåëÿòü íà

ãåîìåòðè÷åñêóþ è ôèçè÷åñêóþ.

Ãåîìåòðè÷åñêàÿ îïòèêà èçó÷àåò ðàñïðîñòðàíåíèå ñâåòà, èñõîäÿ

èç ïðåäñòàâëåíèé î ïðÿìîëèíåéíîì ðàñïðîñòðàíåíèè ñâåòà ñ ïîçè-

öèè êëàññè÷åñêîé ãåîìåòðèè.

Ôèçè÷åñêàÿ îïòèêà ðàññìàòðèâàåò ïðîáëåìû, ñâÿçàííûå ñ ïðè-

ðîäîé ñâåòà è ñâåòîâûõ ÿâëåíèé.

Çàêîíû îïòèêè ëåæàò â îñíîâå òàêèõ øèðîêî èñïîëüçóåìûõ

â ìåäèöèíå è ôàðìàöèè ìåòîäîâ àíàëèçà, êàê ìèêðîñêîïèÿ, ñïåêò-

ðîñêîïèÿ, ðåôðàêòîìåòðèÿ, ïîëÿðèìåòðèÿ, êîëîðèìåòðèÿ, ìíîãèõ

äèàãíîñòè÷åñêèõ (òåðìîãðàôèÿ) è òåðàïåâòè÷åñêèõ (ñâåòîëå÷åíèå)

ìåòîäîâ.

Îò ëàò. corpusculum — ÷àñòèöà, dualis — äâîéñòâåííûé.

Êîðïóñêóëÿðíûå ñâîéñòâà ñâåòà ÿâëÿþòñÿ ïðåäìåòîì ðàññìîòðåíèÿ êâàíòî-

âîé ìåõàíèêè.

397

§ 13.1. ÃÅÎÌÅÒÐÈ×ÅÑÊÀß ÎÏÒÈÊÀ

Ãåîìåòðè÷åñêàÿ îïòèêà — ðàçäåë îïòèêè, â êîòîðîì èçó÷àþòñÿ

çàêîíû îïòè÷åñêîãî èçëó÷åíèÿ íà îñíîâå ïðåäñòàâëåíèé î ñâåòî-

âûõ ëó÷àõ, íå ó÷èòûâàÿ ïðè ýòîì èõ âîëíîâîé ïðèðîäû. Ïîä ñâå-

òîâûì ëó÷îì ïîíèìàåòñÿ ëèíèÿ, âäîëü êîòîðîé ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ

ïîòîê ñâåòîâîé ýíåðãèè. Â îïòè÷åñêè îäíîðîäíîé ñðåäå ëó÷è ÿâ-

ëÿþòñÿ âíåøíèìè íîðìàëÿìè ê ôðîíòó âîëíû (ñì. § 2.4) â êàæäîé

åãî òî÷êå è îïèñûâàþò äâèæåíèå ôðîíòà ñâåòîâîé âîëíû â ïðî-

ñòðàíñòâå.

Çàêîíàìè ãåîìåòðè÷åñêîé îïòèêè ìîæíî ïîëüçîâàòüñÿ â òîì

ñëó÷àå, êîãäà äëèíà ñâåòîâîé âîëíû λ íàìíîãî ìåíüøå ðàçìåðîâ

ïðåïÿòñòâèé d íà ïóòè ëó÷à (λ << d), òî åñòü êîãäà ìîæíî ïðåíåá-

ðå÷ü äèôðàêöèåé ñâåòà íà îïòè÷åñêèõ íåîäíîðîäíîñòÿõ.

Çàêîíû ãåîìåòðè÷åñêîé îïòèêè ïîçâîëÿþò îáúÿñíèòü îáðàçî-

âàíèå îïòè÷åñêèõ èçîáðàæåíèé, îòðàæåíèå è ïðåëîìëåíèå ñâåòà

íà ãðàíèöå ðàçäåëà äâóõ ñðåä, èãðàþò âàæíóþ ðîëü â òåîðèè èçó÷å-

íèÿ ðàçëè÷íûõ îïòè÷åñêèõ óñòðîéñòâ. Ýòè çàêîíû âûâîäÿòñÿ íà

îñíîâàíèè ïðèíöèïà Ôåðìà (ïðèíöèïà íàèìåíüøåãî äåéñò-

âèÿ), îñíîâíîãî ïðèíöèïà ãåîìåòðè÷åñêîé îïòèêè, ñóòü êîòîðîãî

çàêëþ÷àåòñÿ â ñëåäóþùåì: ëó÷ ñâåòà âñåãäà ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ â ïðî-

ñòðàíñòâå ìåæäó äâóìÿ òî÷êàìè À è Â ïî òàêîìó ïóòè, äëÿ ïðîõîæ-

äåíèÿ êîòîðîãî åìó íåîáõîäèìî ìèíèìàëüíîå âðåìÿ, ïî ñðàâíå-

íèþ ñ ëþáûì äðóãèì ïóòåì ìåæäó òåìè æå òî÷êàìè. Âðåìÿ t

ïðîõîæäåíèÿ ñâåòîì ïóòè l â ñðåäå ñ àáñîëþòíûì ïîêàçàòåëåì ïðå-

ëîìëåíèÿ

(13.1.1)

(ñ — ñêîðîñòü ñâåòà â âàêóóìå; v — ñêîðîñòü ñâåòà â äàííîé ñðåäå,

v < c) ïðîïîðöèîíàëüíî îïòè÷åñêîé äëèíå ïóòè

.rnl

(13.1.2)

Â îïòè÷åñêè íåîäíîðîäíîé ñðåäå ñ ïîêàçàòåëåì ïðåëîìëåíèÿ

n(x, y, z)

snl=

∫

min d min .

tt==

∫∫

(13.1.3)

Â îïòè÷åñêè îäíîðîäíîé ñðåäå ñ ïîêàçàòåëåì ïðåëîìëåíèÿ n

,rnl=

min d min d .

nnl

trl

ccc

===

∫∫

(13.1.4)

§ 13.1. Ãåîìåòðè÷åñêàÿ îïòèêà

398

Òàêèì îáðàçîì, â òåðìèíàõ îïòè÷åñêîé äëèíû ïóòè, ïðèíöèï

Ôåðìà ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì: ñâåò ðàñïðîñ-

òðàíÿåòñÿ ïî òàêîìó ïóòè, îïòè÷åñêàÿ äëèíà êîòîðîãî ìèíèìàëüíà.

Ïðèíöèï Ôåðìà èìååò ñìûñë íàèáîëåå îáùåãî çàêîíà ðàñïðî-

ñòðàíåíèÿ ñâåòà, èç êîòîðîãî ñëåäóþò îñíîâíûå çàêîíû ãåîìåòðè-

÷åñêîé îïòèêè.

1. Â îäíîðîäíîé ñðåäå ñâåò ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ ïðÿìîëèíåéíî.

2. Ïðè ïàäåíèè ñâåòîâîãî ëó÷à íà ïëîñêóþ, îïòè÷åñêè ãëàäêóþ

ïîâåðõíîñòü (ðàçìåð íåîäíîðîäíîñòåé d λ ïðîèñõîäèò î ò ð à æ å-

í è å ñâåòà ïîä óãëîì i', ðàâíûì óãëó ïàäåíèÿ ³ îòíîñèòåëüíî íîðìà-

ëè ê ïîâåðõíîñòè, âîññòàíîâëåííîé èç îòðàæàþùåé òî÷êè (ðèñ. 13.1.1).

Íîðìàëü, ïàäàþùèé è îòðàæåí-

íûé ëó÷è âñåãäà ëåæàò â îäíîé

ïëîñêîñòè (çàêîí îòðàæåíèÿ).

3. Ïðè ïàäåíèè ñâåòà íà

ïëîñêóþ ãðàíèöó ðàçäåëà äâóõ

ïðîçðà÷íûõ ñðåä, êðîìå ÿâëå-

íèÿ îòðàæåíèÿ, íàáëþäàåòñÿ

èçìåíåíèå íàïðàâëåíèÿ ëó÷à âî

âòîðîé ñðåäå ïî îòíîøåíèþ

ê ïåðâîé, íàçûâàåìîå ï ð å-

ë î ì ë å í è å ì. Ïðåëîìëåííûé

ëó÷ âñåãäà ëåæèò â îäíîé ïëîñ-

êîñòè ñ ïàäàþùèì è îòðàæåí-

íûì ëó÷àìè (ðèñ. 13.1.1).

Çàêîí ïðåëîìëåíèÿ Ñíåëëèó-

ñà ãëàñèò: îòíîøåíèå ñèíóñà

óãëà ïàäåíèÿ ³ ê ñèíóñó óãëà ïðåëîìëåíèÿ r åñòü âåëè÷èíà ïîñòî-

ÿííàÿ, çàâèñÿùàÿ òîëüêî îò ñîîòíîøåíèÿ àáñîëþòíûõ ïîêàçàòå-

ëåé ïðåëîìëåíèÿ îáåèõ ñðåä ï

è ï

sin

(13.1.5)

ãäå ï

— îòíîñèòåëüíûé ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ âòîðîé ñðåäû ïî

îòíîøåíèþ ê ïåðâîé.

Óãîë ïðåëîìëåíèÿ ìîæåò áûòü êàê ìåíüøå, òàê è áîëüøå óãëà

ïàäåíèÿ, â çàâèñèìîñòè îò àáñîëþòíûõ ïîêàçàòåëåé ïðåëîìëåíèÿ

îáåèõ ñðåä. Åñëè n

< n

, òî ïåðâóþ ñðåäó íàçûâàþò îïòè÷åñêè ìå-

íåå ïëîòíîé (ïðè ýòîì r < i); åñëè n

> n

— îïòè÷åñêè áîëåå ïëîò-

íîé (ïðè ýòîì r > i).

Ñîãëàñíî çàêîíó Ñíåëëèóñà, ïðè n

< n

è i = π/2 ëó÷ áóäåò ïðå-

ëîìëÿòüñÿ ïîä óãëîì r

ïð

< π/2, êîòîðûé íàçûâàåòñÿ ïðåäåëüíûì óã-

ëîì ïðåëîìëåíèÿ:

Ðèñ. 13.1.1. Õîä ïàäàþùåãî (1), îòðàæåí-

íîãî (2) è ïðåëîìëåííîãî (3) ëó÷åé íà

ãðàíèöå ðàçäåëà äâóõ ñðåä ñ ïîêàçàòåëÿ-

ìè ïðåëîìëåíèÿ n

è n

i — óãîë ïàäåíèÿ; i' — óãîë îòðàæåíèÿ; r — óãîë

ïðåëîìëåíèÿ

Ãëàâà 13. Îïòèêà

399

âíóòðåííèì îòðàæåíèåì ñâåòà, à óãîë i

ïð

íàçûâàåòñÿ ïðåäåëüíûì

óãëîì ïàäåíèÿ èëè ïðåäåëüíûì óãëîì ïîëíîãî îòðàæåíèÿ:

пр

sin .

(13.1.7)

ßâëåíèå ïîëíîãî âíóòðåííåãî îòðàæåíèÿ ñâåòà ëåæèò â îñíîâå

âîëîêîííîé îïòèêè — ðàçäåëà îïòèêè, â êîòîðîì ðàññìàòðèâàåòñÿ

ïåðåäà÷à ñâåòà è èçîáðàæåíèÿ ïî ñâåòîâîäàì. Âîëîêîííûé ñâåòîâîä

ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé òîíêóþ íèòü èç îïòè÷åñêè ïðîçðà÷íîãî ìàòå-

ðèàëà, îáîëî÷êà êîòîðîé èìååò áîëüøèé ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ,

÷åì ñåðäöåâèíà. Ëó÷è, ïîïàâøèå â ñâåòîâîä ïîä äîñòàòî÷íî ìàëû-

ìè óãëàìè ê åãî îñè, èñïûòûâàþò ïîëíîå âíóòðåííåå îòðàæåíèå

íà ïîâåðõíîñòè ðàçäåëà ñåðäöåâèíû è îáîëî÷êè è ïî÷òè áåç ïî-

Ðèñ. 13.1.2. ßâëåíèå ïîëíîãî âíóòðåííåãî îòðàæåíèÿ:

ïð

— ïðåäåëüíûé óãîë ïàäåíèÿ; r — óãîë ïðåëîìëåíèÿ; n

è n

— ïîêàçàòåëè ïðåëîìëåíèÿ ïåð-

âîé è âòîðîé ñðåä. Ëó÷è 1 è 2 ïðåëîìëÿþòñÿ (i < i

ïð

); ëó÷ 3, ïðåëîìëÿÿñü, ñêîëüçèò ïî ïîâåðõ-

íîñòè ãðàíèöû ðàçäåëà (i = i

ïð

); ëó÷ 4 ïîëíîñòüþ îòðàæàåòñÿ (i > i

ïð

)

ïð

r = 90°

пр

sin .

(13.1.6)

Åñëè n

> n

, òî ïðè íåêîòîðîì óãëå ïàäåíèÿ i = i

ïð

óãîë ïðå-

ëîìëåíèÿ r = π/2 è ñâåò íå ïåðåõîäèò âî âòîðóþ ñðåäó, à «ñêîëü-

çèò» âäîëü ãðàíèöû ðàçäåëà ñðåä (ðèñ. 13.1.2). Ïðè i ≥ i

ïð

ïðåëîìëå-

íèå âî âòîðóþ ñðåäó îòñóòñòâóåò. Ýòî ÿâëåíèå íàçûâàåòñÿ ïîëíûì

§ 13.1. Ãåîìåòðè÷åñêàÿ îïòèêà

400

òåðü ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ ïî ñåðä-

öåâèíå (ðèñ. 13.1.3).Îäíàêî ïðè

ñèëüíîì èçãèáå âîëîêíà çàêîí

ïîëíîãî âíóòðåííåãî îòðàæå-

íèÿ íàðóøàåòñÿ, è ñâåò ÷àñòè÷-

íî âûõîäèò èç âîëîêíà ÷åðåç

áîêîâóþ ïîâåðõíîñòü. Ïîòåðè

ýíåðãèè ïðè ïîëíîì âíóòðåí-

íåì îòðàæåíèè ñâåòà îòíîñè-

òåëüíî íåâåëèêè: â âèäèìîé

îáëàñòè ñïåêòðà â âîëîêíå äëè-

íîé 1 ì òåðÿåòñÿ îò 30 äî 70 %

ýíåðãèè. Ñâåòîâîäû ïîçâîëÿþò

ïðîâîäèòü ñâåò íà áîëüøèå ðàñ-

ñòîÿíèÿ ïî êðèâîëèíåéíûì

òðàññàì. Êàê ïðàâèëî, îòäåëüíûå âîëîêíà îáúåäèíÿþò â ïó÷êè ñ ðå-

ãóëÿðíîé óêëàäêîé. Â ìåäèöèíå ñâåòîâîäû èñïîëüçóþò äëÿ îñâå-

ùåíèÿ ñâåòîì âíóòðåííèõ ïîëîñòåé è äëÿ ïåðåäà÷è èçîáðàæåíèÿ

(íàïðèìåð, â òàêîì øèðîêî èçâåñòíîì ìåòîäå îáñëåäîâàíèÿ, êàê

ãàñòðîýíòåðîñêîïèÿ).

4. Èç ïðèíöèïà Ôåðìà ñëåäóåò òàêæå çàêîí îáðàòèìîñòè ñâå-

òîâûõ ëó÷åé: åñëè ëó÷ ïàäàåò èç ïåðâîé ñðåäû íà ãðàíèöó ñî âòî-

ðîé ïîä óãëîì ³ è ïðåëîìëÿåòñÿ âî âòîðîé ñðåäå ïîä óãëîì r, òî

ëó÷, ïàäàþùèé èç âòîðîé ñðåäû íà ãðàíèöó ñ ïåðâîé ïîä óãëîì r,

ïîñëå ïðåëîìëåíèÿ áóäåò ðàñïðîñòðàíÿòüñÿ â ïåðâîé ñðåäå ïîä óãëîì

³, òî åñòü ïàäàþùèé è ïðåëîìëåííûé ëó÷ ïîìåíÿþòñÿ ìåñòàìè. Èç

ýòîãî çàêîíà ñëåäóåò ñîîòíîøåíèå äëÿ îòíîñèòåëüíûõ ïîêàçàòåëåé

ïðåëîìëåíèÿ îáåèõ ñðåä:

221

(13.1.8)

Òî æå èìååò ìåñòî è ïðè îòðàæåíèè ñâåòîâûõ ëó÷åé.

Çàêîíû è ìåòîäû ãåîìåòðè÷åñêîé îïòèêè øèðîêî èñïîëüçóþò-

ñÿ ïðè ðàñ÷åòå è êîíñòðóèðîâàíèè îïòè÷åñêèõ ïðèáîðîâ, ñîäåð-

æàùèõ â êà÷åñòâå îñíîâíûõ ýëåìåíòîâ ðàçëè÷íûå âèäû ëèíç.

Ëèíçîé íàçûâàåòñÿ ïðîçðà÷íîå òåëî, îãðàíè÷åííîå äâóìÿ êðè-

âîëèíåéíûìè ïîâåðõíîñòÿìè. Åñëè òîëùèíà ëèíçû íàìíîãî ìåíü-

øå ðàäèóñîâ êðèâèçíû åå ïîâåðõíîñòåé, òî òàêàÿ ëèíçà íàçûâàåòñÿ

ò î í ê î é. Ïðÿìàÿ, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç öåíòðû êðèâèçíû ïîâåðõ-

íîñòåé ëèíçû, íàçûâàåòñÿ ãëàâíîé îïòè÷åñêîé îñüþ ëèíçû

(ðèñ. 13.1.4). Åñëè îäíà èç ïîâåðõíîñòåé ëèíçû ïëîñêàÿ, òî ãëàâ-

íàÿ îïòè÷åñêàÿ îñü ïåðïåíäèêóëÿðíà ýòîé ïîâåðõíîñòè. Â ëþáîé

ïëîñêîé ëèíçå ñóùåñòâóåò òî÷êà, ïðè ïðîõîæäåíèè ÷åðåç êîòîðóþ

Ðèñ. 13.1.3. Ðàñïðîñòðàíåíèå ñâåòà â ñâå-

òîâîäå

Ãëàâà 13. Îïòèêà