Турунтаев Л.П. Теория принятия решений

Подождите немного. Документ загружается.

141

Рис. 6.9 — «Дерево» решений для банка с учетом аудиторской проверки

Приняв решение, корректируем «дерево», проставив чис-

тый ожидаемый доход 1905 ф. ст. над квадратом 2. «Ветвь» —

не давать заем — зачеркивается, показано на рис. 6.9.

То же самое с кружками исходов D и Е — результатами

решения 3.

Доход, ожидаемый от исхода D:

Е(D) = (17250 ф. ст. × 0,9) + (0 × 0,1)= 15525 ф. ст., чистый

ожидаемый доход:

NЕ (D) = 15525 – 15000 = 525 ф. ст.

Аналогично для исхода Е:

Е (Е) = 16350 ф. ст. × 1,0 = 16350 ф. ст., чистый ожидаемый

доход:

NЕ (Е) = 16350 – 15000 – 1350 ф. ст.

Если бы мы были в квадрате 3, то максимальный ожидае-

мый доход был бы равен 1350 ф. ст. и можно было бы принять

142

решение не выдавать заем. Теперь скорректируем эту часть схе-

мы: над квадратом 3 пишем чистый ожидаемый доход и прини-

маем решение выдать заем.

Наконец приступаем к расчету кружков исходов F и G, ко-

торые являются результатами решения 4.

Е (F) = 17250 ф. ст. × 0,96 + 0 × 0,04 = 16560 ф. ст.;

NЕ (F) – 16560 – 15000 = 1560 ф. ст.;

Е (G) = 16350 × 1,0 = 16350 ф. ст.;

NЕ (G) = 16350 – 15000 = 1350 ф. ст.

В квадрате 4 максимальный ожидаемый чистый доход со-

ставляет 1560 ф. ст., и поэтому принимаем решение выдать кли-

енту ссуду. Сумма 1560 ф. ст. надписывается над квадратом 4, а

альтернативная «ветвь» перечеркивается.

Теперь вернемся к «узлам» А и 1. Используя ожидаемые

чистые доходы над квадратами 2 и 3, рассчитаем математиче-

ское ожидание для кружка А:

Е (А) = (1905 ф. ст. × 0,75) + (1350 ф. ст. × 0,25) = 1766 ф. ст.

Так как аудиторская проверка стоит 80 ф. ст., ожидаемый

чистый доход;

NЕ (А) = 1766 – 80 = 1686 ф. ст.

Теперь можно проставить значения первого решения квад-

рата 1. Должен ли банк воспользоваться аудиторской провер-

кой? В этом «узле» максимальное математическое ожидание —

1686 ф. ст., поэтому перечеркиваем альтернативную «ветвь».

На рис. 6.10 стрелками показана последовательность реше-

ний, ведущая к максимальному чистому доходу: в квадрате 1

воспользуемся аудиторской проверкой. Если выдача заема ре-

комендуется фирмой, тогда в квадрате 2 — выдать ссуду, если

не рекомендуется, то в квадрате 3 — не выдавать ссуду, а инве-

стировать эти деньги под стабильные 9 % годовых. «Дерево»

окончательных решений для примера 2 приведено на рис. 6.10.

143

Рис. 6.10 — Окончательное «дерево» решений для примера 2

6.5 Аналитическая иерархическая процедура Саати

В начале 1970 года американский математик Томас Саати

разработал процедуру поддержки принятия решений, кото-

рую назвал «Analityc hierarchy process» (AHP). Авторы русско-

го издания перевели это название как «Метод анализа иерар-

хий» (МАИ) [48]. Этот метод относится к классу критериальных

и занимает особое место благодаря тому, что он получил ис-

ключительно широкое распространение.

Метод анализа иерархий включает два этапа:

• декомпозицию проблемы на составляющие части;

• определение относительной значимости исследуемых

альтернатив для всех критериев, находящихся в иерархии.

Построение иерархической структуры начинается с очер-

чивания проблемы исследования. Далее строится собственно

иерархия, включающая цель, расположенную в ее вершине,

144

промежуточные уровни (например, критерии) и альтернативы,

формирующие самый нижний иерархический уровень. Иерархия

строится с вершины — это общая цель или фокус проблемы. В

общем случае целей может быть несколько. За фокусом сле-

дует уровень наиболее важных критериев. Каждый из критериев

может разделяться на субкритерии, за которыми следует уро-

вень альтернатив. Формирование множества альтернатив и

критериев осуществляется с учетом рекомендаций ЛПР. Этап

является неформализуемым.

Рассмотрим пример декомпозиции проблемы. Пусть при

обсуждении проблемы улучшения жилищных условий семьей

была сформулирована цель — покупка дома. Обсуждались и

другие цели решения этой проблемы (например, ремонт

имеющегося жилья). Из каталога были отобраны три наиболее

предпочтительных дома (варианты А, В, С), которые и были

осмотрены семьей непосредственно. Для выбора окончательно-

го варианта она решила воспользоваться методом анализа ие-

рархий (МАИ). Итогом первого этапа МАИ, который явился

результатом семейного обсуждения, стала следующая иерар-

хия (рис. 6.11):

Рис. 6.11 — Иерархия проблемы улучшения жилищных условий

Иерархия — есть определенный тип системы, основанный

на предположении, что элементы системы могут группировать-

ся в несвязанные множества. Элементы каждой группы нахо-

дятся под влиянием элементов другой группы и, в свою оче-

2 3 54 6 7

8 9

Уровень 1

Фокус проблемы

Уровень 2

Уровень критериев

Уровень 3

Уровень альтернатив

Цель

—

покупка дома

Размер дома

Общее состояние

Двор

Окрестности

Финансовые условия

Удобство автобусных

маршрутов

Вариант А

Вариант Б

10.

Вариант С

145

редь, оказывают влияние на элементы следующей группы.

Считается, что элементы в каждой группе иерархии (называе-

мые уровнем, кластером, стратой) независимые.

На втором этапе устанавливается относительная важность

элементов иерархии. Используя суждения ЛПР (эксперта) и оп-

ределенные алгоритмы их обработки, устанавливают веса дуг и

веса объектов первого уровня. Если на первом уровне один

объект, то вес его принимается за 1.

Суждения ЛПР являются результатом исследования его

структуры предпочтений. При этом исследовании применяется

метод парных сравнений с использованием шкалы отношений

(табл. 6.5).

Таблица 6.5 — Шкала отношений по Саати

Степень зна-

чимости

Определения Объяснения

1 Одинаковая значимость Два действия вно-

сят одинаковый

вклад в достижение

цели

3 Некоторое преобладание зна-

чимости одного действия над

другим (слабая значимость)

Существуют сооб-

ражения в пользу

предпочтения од-

ного из действий,

однако эти сообра-

жения недостаточ-

но убедительны

5 Существенная или сильная

значимость

Имеются надежные

данные или логи-

ческие суждения

для того, чтобы

показать предпоч-

тительность одного

из действий

7 Очевидная или очень сильная

значимость

Убедительное сви-

детельство в поль-

зу одного действия

перед другим

146

Степень зна-

чимости

Определения Объяснения

9 Абсолютная значимость Свидетельства в

пользу предпочте-

ния одного дейст-

вия другому в

высшей степени

убедительны

2, 4, 6, 8 Промежуточные значения

между двумя соседними суж-

дениями

Ситуация, когда

необходимо ком-

промиссное реше-

ние

Обратные

величины

приведенных

выше нену-

левых вели-

чин

Если действию i при сравне-

нии с действием

j приписыва-

ется одно из определенных

выше ненулевых чисел, то

действию

j при сравнении с

действием

i приписывается

обратное значение

Если согласован-

ность была посту-

лирована при по-

лучении

N число-

вых значений для

образования мат-

рицы

Данная шкала позволяет лицу, принимающему решение,

ставить в соответствие степеням предпочтения одного сравни-

ваемого объекта перед другим некоторые числа. При использо-

вании указанной шкалы ЛПР, сравнивая два объекта в смысле

достижения цели, расположенной на вышележащем уровне ие-

рархии, должно поставить в соответствие этому сравнению чис-

ло в интервале от 1 до 9 или обратное значение чисел. В тех

случаях, когда трудно различить столько промежуточных гра-

даций от абсолютного до слабого предпочтения или если этого

не требуется в конкретной задаче, может использоваться шкала

с меньшим числом градаций. В пределе шкала имеет две оцен-

ки: 1 — объекты равнозначны; 2 — предпочтение одного объек-

та над другим.

Описание метода анализа иерархий выполним на конкрет-

ном примере выбора автомобиля [12].

Пример.

Дано множество автомобилей (альтернатив):

• Жигули;

Окончание табл. 6.5

147

• Москвич;

• Иж;

• Волга.

Оценка альтернатив производится по критериям:

• стиль;

• надежность;

• экономия топлива.

Представим иерархию на рис.6.12.

Уровней может быть сколько угодно. Например, критерий

2-го уровня «надежность» можно раскрыть уровнем 3 как: 1) на-

дежность двигателя, 2) надежность кузова, 3) надежность ходо-

вой части. Надежность ходовой части можно далее раскрыть уров-

нем 4, например, как а) надежность тормозной системы, б) надеж-

ность подвески и т.д. Для простоты объяснения ограничимся

Уровнем 2.

Теперь нужно получить оценки каждой альтернативы по

каждому критерию. Если существуют объективные оценки, то

они просто выписываются и нормируются таким образом, чтобы

их сумма была равна единице. Например, если бы нас интересо-

вал критерий «максимальная скорость» и имелись бы соответст-

вующие данные по каждому автомобилю, то нужно было бы

составить следующую таблицу.

3 42

5 6 7 8

Уровень 1

Фокус проблемы

Уровень 2

Уровень критериев

Уровень 3

Уровень

альтернатив

1 — цель: выбор

автомобиля

2 — стиль

3 — надежность

4 — экономия

топлива

5 — Жигули

6 — Москвич

7 — Иж

8 — Волга

Рис. 6.12 — Ие

хия п

облемы выбо

а автомобиля

148

Альтернативы

Максимальная скорость

(км/час)

Нормированное

значение

Жигули 140 0,259

Москвич 130 0,241

Иж 120 0,222

Волга 150 0,278

Сумма 540 1,000

А как быть с таким критерием, как «стиль», для которого не

существует объективных оценок? В этом случае процедура Саати

рекомендует использовать парные сравнения. Для фиксации ре-

зультата сравнения пары альтернатив воспользуемся таблицей 6.5.

Лицо, принимающее решение (ЛПР), просят попарно срав-

нить альтернативы. Пусть результаты парных сравнений аль-

тернатив для критерия «стиль» записаны в виде таблицы 6.6.

Таблица 6.6 — Результаты парных сравнений

Жигули Москвич Иж Волга

Жигули 1/1 1/4 4/1 1/6

Москвич 4/1 1/1 4/1 1/4

Иж 1/4 1/4 1/1 1/5

Волга 6/1 4/1 5/1 1/1

Простые дроби в клетках трактуются следующим образом.

Например, на пересечении строки «Москвич» и столбца «Жигу-

ли» записана дробь 4/1. Это выражает мнение ЛПР о том, что

«стильность» Москвича» в 4 раза выше, чем «стильность» Жи-

гулей. Здесь вместо приведенной выше шкалы превосходства

использовалось понятие «быть лучше в N раз», что также допус-

тимо.

Далее простые дроби переводятся в десятичные. Получает-

ся следующая таблица, в последнем столбце дается сумма оце-

нок альтернатив.

149

Жигули Москвич Иж Волга Сумма по строке

Жигули 1,00 0,25 4,00 0,17 5,42

Москвич 4,00 1,00 4,00 0,25 9,25

Иж 0,25 0,25 1,00 0,20 1,70

Волга 6,00 4,00 5,00 1,00 16,00

Cумма 32,37

Нормируем суммы оценок альтернатив таким образом, что-

бы их сумма, в свою очередь, была равна 1. Для этого просто

разделим сумму каждой строки на 32,37. Получим:

Жигули Москвич Иж Волга Сумма по строке

Жигули 1,00 0,25 4,00 0,17 0,116

Москвич 4,00 1,00 4,00 0,25 0,247

Иж 0,25 0,25 1,00 0,20 0,060

Волга 6,00 4,00 5,00 1,00 0,577

Cумма 1,00

В методе Саати полученные таким образом нормированные

суммы принимаются в качестве оценок альтернатив по крите-

рию «стиль». Отметим, что полученные оценки отражают ис-

ключительно точку зрения конкретного ЛПР. На самом деле,

вместо строчных сумм Саати рекомендует использовать собст-

венный вектор матрицы парных сравнений, считая его более

точной оценкой. Для простоты ограничиваются строчными

суммами, которые допустимы, но, с точки зрения Саати, менее

точны.

Аналогичным образом получаются веса критериев. Предпо-

ложим, конкретное ЛПР сравнило попарно критерии с точки

зрения их сравнительной важности. Запишем результаты срав-

нений в виде таблицы.

Стиль Надежность Экономичность

Стиль 1/1 1/2 3/1

Надежность 2/1 1/1 4/1

Экономич-

ность

1/3 1/4 1/1

150

Как и прежде, утверждение типа «надежность в 2 раза важ-

нее стиля» записывается в виде дроби 2/1.

Применяя к этой таблице описанную выше процедуру, по-

лучим веса критериев:

= 0,344 (стиль), w

= 0,535 (надежность), w

= 0,121 (эко-

номичность).

Таким образом, мы можем получить как веса критериев, так

и оценки альтернатив по критериям. Пусть оценки альтернатив

по критериям определены и представлены в следующей табли-

це:

Стиль Надежность Экономичность

Жигули 0,116 0,379 0,301

Москвич 0,247 0,290 0,239

Иж 0,060 0,074 0,212

Волга 0,577 0,257 0,248

Далее, применяя линейную свертку (взвешенную сумму),

получим следующие интегральные оценки альтернатив (функ-

ция полезности):

Жигули 0,116*0,344+0,379*0,535+ 0,301*0,121= 0,2791;

Москвич 0,247*0,344+0,290*0,535+ 0,239*0,121= 0,2691;

Иж 0,060*0,344+0,074*0,535+ 0,212*0,121= 0,0858;

Волга 0,577*0,344+0,257*0,535+ 0,248*0,121= 0,3660.

Если учитывать оценку альтернатив по трем критериям, то

следует выбрать автомобиль «Волга». Если добавить в оценку

альтернатив другие критерии, то можем поступить аналогично,

используя предлагаемую процедуру оценки через взвешенную

сумму оценок отдельных критериев.

Пусть имеются данные по показателю «стоимость автомо-

биля». Дальнейший выбор произведём по критерию «стоимость-

эффективность». Воспользуемся отношением полученной инте-

гральной оценки к нормированной стоимости. Наилучшей счи-

тается альтернатива, для которой указанное отношение макси-

мально.

В рамках нашего примера, сведем все необходимые данные

в следующую таблицу: