Турунтаев Л.П. Теория принятия решений
Подождите немного. Документ загружается.
131
1
o
2
o
3
o
1
c
11
c
12
c
13
c
2
c
21
c
22
c
23
c
3
c
31
c
32
c
33
c
1
T
↑
2
T
↑
3
T
↑
(
)
1
, ..., , ...,
j
m
iiii
cccc
νννν
= — вектор несоответствия возмож-
ностей субъекта
i требованиям объекта
ν
,
где
j
i
c
ν
— индекс несоответствия пары )(
ν
i по критерию
j
.
åñëè
èí à÷å
0, 0
,
j
j
i
j
i
j
j
i
co
c
oc
ν
ν
ν
−≥
=
−
Тогда на основании информации
123
:, ,Tc c c
ν
ννν
можно ус-
тановить бинарные отношения между субъектами
123
,,cc c в
предположении, что они будут распределяться на объект
ν
o
:
• отношение строгого предпочтения (Парето)
P
—
(
)
(
)
{
}
k
p
k
i
j
p
j
ipi
ccjknjcccPc
νννννν
<≠∃∧=≤⇔ ,,1,
;
• отношение эквивалентности
I
—
{
}
,1,
j
j
ip i p
cIc c c j n
νν ν ν
⇔= = ;
• отношение несравнимости
N —
(
)
(
)
{
}
1, , , ,
j
jkk
ip ip ip
cNc j nc c k jc c
νν νν νν
⇔∃= < ∧∃≠ >
.
Определим вектора
νi
c и покажем отношения между субъ-
ектами по каждому объекту графически (рис. 6.4).
(возможность выше потребности);
(возможность ниже потребности).
132
()
1;0;0;0
11
=c
(
)
1;0;0;0
12
=c
()
2;0;0;0
13
=c
()
0;1;0;0
21
=c
(
)
0;1;0;0
22
=c
()
0;0;0;0
23
=c
()
1;1;1;0
31
=c
(
)
1;1;2;1
32
=c
()
2;0;2;1
33
=c
Рассмотрим распределение курсантов с другой позиции.
Определенный курсант может быть распределен на один из трех
объектов, при этом предпочтение будет отдаваться тому объек-
ту, у которого степень соответствия требований возможностям
курсанта будет выше относительно других объектов.
Информацию
i
S относительно каждого курсанта (1,3)ii= о
приоритетном предоставлении мест практики можно получить
через матрицу индексов соответствия требований воинских
подразделений возможностям курсанта
i
o
ν
1
c
2
c
3
c
1
o
11
o
12
o
13
o
2
o
21
o
22
o
23
o
3
o
31
o
32
o
33
o
1
S
↑
2
S
↑
3
S
↑
3
c
1
c
2
c
:
1
T
3
c
1
c
2
c
:
2
T
3
c
1
c
2
c
:
3
T
а
б
в
Рис. 6.4 — Графы отношений
321
,, TTT
между субъектами
относительно объектов
1
o (а),
2
o (б) и
3
o (в)
133
(
)
1
, ..., , ...,
j
m
ii i i
oo o o
νν ν ν
= — вектор соответствия требований
ν
-го объекта возможностям
i
-го субъекта,
где
j
i
o
ν
— индекс соответствия пары
)( i
ν
по критерию
j
.
Определим
j
j
ii
oc
νν
=− как
j
-ю компоненту вектора
i
o
ν
, ха-
рактеризующего соответствие между характеристиками
ν -го
объекта и
i
-го субъекта.
На основании информации
123
:, ,
iiii
So o o можно устано-
вить бинарные отношения между объектами
123
,,oo o
относи-
тельно субъекта
i
c в предположении, что они наиболее полно
позволят реализовать на практике его возможности:
• отношение строгого предпочтения
P
—
(
)
(
)
{
}
,1, ,
jj
kk
iti iti i ti
oPo o o j n k jo o
νν ν
⇔≥=∧∃≠>
;
• отношение эквивалентности
I
—
{
}
,1,
jj
iti i ti
oIo o o j n
νν
⇔==
;
• отношение несравнимости
N —
(
)
(
)
{
}
1, , , ,
ννν
⇔∃= > ∧∃≠ <
jj
kk
iti iti iti
oNo j no o k jo o
.
Определим вектора
i
o
ν
для нашего примера и покажем от-
ношения между объектами по каждому субъекту графически
(рис. 6.5).
134
()
1;0;0;0
11
−=o
(
)
0;1;0;0
12
−=o
(
)
1;1;1;0
13
−−−=o
()
1;0;0;0
21
−=o
(
)
0;1;0;0
22
−=o
(
)
1;1;2;1
23
−−−−=o
()
2;0;0;0
31
−=o
(
)
0;0;0;0
32
=o
(
)
2;0;2;1
33
−−−=o
Для определения пар «объект-субъект» проанализируем
графы отношений субъектов
T
ν
и объектов
i
S . В графах будем
послойно выделять вершины, над которыми нет доминирующих
вершин (в эти вершины не входят однонаправленные дуги). В
каждый слой будут входить вершины с отношениями либо эк-
вивалентности, либо несравнимости. Вершины первого слоя бу-
дут доминировать над вершинами второго слоя, второго — над
вершинами третьего и т.д. Несравнимым вершинам первого
слоя присваивают индекс
1
N , эквивалентности —
1
I , для второ-
го слоя соответственно присваивают индексы
22
,NI и т.д.
1
o …
ν
o …
n
o
1
c
…
1
N
i
c
…
1
N
2
N
2
N
i
S
n
c
2
I
ν
T
3
o
1
o
2
o
:
1
S
:
2
S
3
o
1
o
2
o
:
3
S
а
б
в
Рис. 6.5 — Графы отношений
321
,, SSS
между объектами
относительно субъектов
1
c (а),
2
c (б) и
3
c (в)
3
o
1
o
2
o
Рис. 6.6 — Матрица сходства
Всю информацию, по-
лученную при послойном
выделении вершин, зане-
сем в таблицу сходства
(рис. 6.6). Строкам матри-
цы сходства соответствуют
субъекты, столбцам —
объекты.
135
В каждой клетке матрицы сходства проставляются индек-
сы: в верхней ее части — из графа несоответствия
T
ν
, в нижней
ее части — из графа соответствия
i
S .
Очевидному индексу соответствует клетка матрицы сходст-
ва с индексами
1
I
\
1
I
. В случае если имеются такие клетки, де-
лается идеальное назначение и понижается размерность задачи.
После понижения размерности задачи необходимо вернуть-
ся к графам
T
ν
и
i
S и опять составить матрицу сходства. Если в
матрице сходства нет клеток «
1
I
\
1
I
», то для назначения необхо-
димо обратиться к ЛПР за дополнительной информацией [12].
Для наших графов отношений матрица сходства будет
иметь вид
1
o
2
o
3
o
1
c
1
N
1
I
1
N
1
I
2
I
2
I
2
c
1
N
2
I
1
N
2
I
1
I
1
I
3
c
2
I
1
N
2
I
2
I
3
I
1
N
Идеальное назначение «
23
co
−
», понижаем размерность за-
дачи (не учитываем далее субъект второй и объект третий) и
3
c
1
c
:
1
T
3
c
1
c
:
2
T
1
o
2
o
:
1
S
1
o
2
o
:
3
S
Рис. 6.7 — Графы отношений между субъектами и объектами
136
обращаемся к графам отношений, не учитывая в них
2
c
и
3
o
.
Получим новые графы отношений (рис. 6.7).
Строим матрицу сходства:
1
o
2
o
1
c
1
I
1
I
1
I
1
I
3
c
2
I
1
I
2
I
2
I
Идеальное назначение либо «
11
co
−
», а далее назначение
«
32
co− », либо назначения «
12
co
−
» и «
31
co
−
».
Таким образом, возможны варианты решения задачи:
1)
«
23
co− », «
11
co− », «
32
co
−
»;
2)
«
23
co−
», «
12
co−
», «
31
co
−
».
6.4 Многоэтапное принятие решений
На практике, в таких задачах, как проектирование изделий,
программ, других систем и комплексов, приходится столкнуться
с принятием последовательных решений. Результат одного ре-
шения заставляет нас принимать следующее решение и т.д. Эту
последовательность нельзя выразить таблицей доходов, поэтому
нужно использовать какой-то другой процесс принятия реше-
ний. Рассмотрим вопрос принятия многоэтапных решений [47].
Многоэтапность приводит к тому, что схема принятия ре-
шения может быть представлена в виде дерева. Схема «дерево»
решений очень похожа на схему «дерево» вероятностей. Её ис-
пользуют, когда нужно принять несколько решений в условиях
неопределенности, когда каждое решение зависит от исхода
предыдущего или исходов испытаний. Составляя «дерево» ре-
шений, нужно нарисовать «ствол» и «ветви», отображающие
структуру проблемы. «Ветви» обозначают возможные альтерна-
тивные решения, которые могут быть приняты, и возможные
137
исходы, возникающие в результате этих решений. На схеме мы
используем два вида «ветвей»:
первый — пунктирные линии, соединяющие квадраты воз-
можных решений,
второй — сплошные линии, соединяющие кружки возмож-
ных исходов.
Квадратные «узлы» обозначают места, где принимается
решение, круглые «узлы» — появление исходов.
Так как лицо, принимающее решение, не может влиять на
появление исходов, ему остается лишь вычислять вероятность
их появления.
Когда все решения и их исходы указаны на «дереве», про-
считывается каждый из вариантов и в конце проставляется его
денежный доход. Все расходы, вызванные решением, простав-
ляются на соответствующей «ветви».
Пример 1.
Для финансирования проекта бизнесмену нужно занять
сроком на один год 15000 ф. ст. Банк может одолжить ему эти
деньги под 15 % годовых или вложить в дело со 100 %-ным воз-
вратом суммы, но под 9 % годовых. Из прошлого опыта банкиру
известно, что 4 % таких клиентов ссуду не возвращают. Что де-
лать? Давать ему заем или нет? Перед нами пример задачи с од-
ним решением, поэтому можно воспользоваться как таблицей
доходов, так и «деревом». Рассмотрим оба варианта.
Решение 1 (по таблице доходов).
Заполним матрицу исходов (табл. 6.3). Максимизируем
ожидаемый в конце года чистый доход, который представляет
собой разность суммы, полученной в конце года и инвестиро-
ванной в его начале. Таким образом, если заем был выдан и воз-
вращен, то чистый доход составит:
Чистый доход = ((15000 + 15 % от 15000) – 15000) = 2250 ф. ст.
Если ссуду не выдавать, а инвестировать в другие дела
(свой кредит под 9 % годовых), то доход составит:
Чистый доход = ((15000 + 9 % от 15000) – 15000) = 1350 ф. ст.
138
Таблица 6.3 — Чистый доход в конце года, ф. ст.
Возможные
исходы
Возможные решения Вероятность
Выдавать
заем
Не выдавать
(инвестиро-
вать)
Клиент заем
возвращает
2250 1350 0,96
Клиент заем
не возвраща-
ет
–15000 1350 0,04
Ожидаемый
чистый до-
ход
1560 1350
По критерию Байеса оцениваем возможные исходы реше-
ний. Для решения «выдавать»: 2250×0,96 + (–15000)×0,04 =
= 1560. Для решения «не выдавать» — исход будет равен 1350.
Банку рекомендуется выдать заем, максимальный ожидаемый
чистый доход будет равен 1560 ф. ст.
Рис. 6.8 — «Дерево» решений для примера 1
139
Решение 2 (по «дереву» решений).
В данном случае также используем критерий максимизации
ожидаемого чистого дохода на конец года.
Далее расчет ведется аналогично расчетам по таблице до-
ходов. Ожидаемый чистый доход в кружках А и В вычисляется
следующим образом:
В кружке А:
Е (давать заем) = {17250 × 0,96 + 0 × 0,04} – 15000 =
= 16500 – 15000 = 1560 ф. ст.
В кружке Б:
Е (не давать заем) = {16350 × 1,0 – 15000} = 1350 ф. ст.
Поскольку ожидаемый чистый доход больше в кружке А, то
принимаем решение выдать заем.
Пример 2.
Рассмотрим ситуацию, более сложную, чем в предыдущем
примере, а именно: банк решает вопрос, проверять ли конкурен-
тоспособность клиента, перед тем, как выдавать заем. Аудитор-
ская фирма берет с банка 80 ф. ст. за проверку. В результате
этого перед банком встают две проблемы: первая проводить или
нет проверку, вторая — выдавать после этого заем или нет
(двухуровневое «дерево» решений).
Решая первую проблему, банк проверяет правильность вы-
даваемых аудиторской фирмой сведений. Для этого выбираются
1000 человек, которые были проверены и которым впоследствии
выдавались ссуды:
Таблица 6.4 — Рекомендации аудиторской фирмы
и возврат ссуды
Рекомендации после
проверки кредито-
способности
Фактический
результат
Всего
Клиент
ссуду
вернул
Клиент ссу-
ду не вер-
нул
Давать ссуду 735 15 750
Не давать ссуду 225 25 250
960 40 1000
140
Какое решение должен принять банк?
Решение.
Этап 1.
Построим «дерево», как показано ниже. Вероятно-
сти проставляются по данным этапа 2.
Этап 2.
Используя данные табл.6.4, вычислим вероятность Р
каждого исхода:
Р (клиент ссуду вернет; фирма рекомендовала) = 7,35/750 =
=0,98;
Р (клиент ссуду не вернет; фирма рекомендовала) = 15/750 =
=0,02;
Р (клиент ссуду вернет; фирма не рекомендовала) = 225/ 250 =
=0,9;
Р (клиент ссуду не вернет; фирма не рекомендовала)=
=25/250= 0,1.
Этап 3.
На этом этапе слева направо проставим денежные
исходы каждого из «узлов», используя конечные результаты,
вычисленные ранее. Любые встречающиеся расходы вычитаем
из ожидаемых доходов. Таким образом, подсчитываем все «де-
рево», опираясь на ранее полученные результаты. После того,
как пройдены квадраты «решений», выбирается «ветвь», ведущая к
наибольшему из возможных исходов при данном решении —
ожидаемому доходу. Другая «ветвь» зачеркивается, а ожидае-
мый доход проставляется над квадратом решения.
Сначала посмотрим на кружки исходов В и С, являющиеся
следствием квадрата 2 (выдавать ли заем клиенту?).
Доход, ожидаемый от исхода В:
Е (В) = 17250 ф. ст. × 0,98 + 0 × 0,02 = 16905 ф. ст., чистый
ожидаемый доход:
NЕ (В) = 16905 – 15000 = 1905 ф. ст.
Доход, ожидаемый от исхода С:
Е (С) = 16350 ф. ст. × 1,0 = 16350 ф. ст., чистый ожидаемый
доход:
NЕ (С) = 16350 – 15000 = 1350 ф. ст.
Предположим, что мы сейчас в квадрате 2. Максимальный
ожидаемый доход 1905 ф. ст. в кружке В, поэтому принимаем
решение выдать заем.