Турунтаев Л.П. Теория принятия решений

Подождите немного. Документ загружается.

111

недоминируемых альтернатив множества

(, )

описывается

функцией принадлежности

[

]

() 1 (,) (,) , .

íä

QRR

xSUPyx xyxX

∈

µ=−µ −µ ∈

Алгоритм решения задачи состоит из следующих шагов.

1. Строим нечеткое отношение

Q (пересечение исходных

отношений). В качестве функции принадлежности

по крите-

рию

между

и y возьмем

ïðè

1, ( , ) ;

(, )

0, ( , ) .

xy R

∈





µ=



∉





Тогда пересечению этих множеств соответствует функция

принадлежности

( , ) min{ ( , ), ..., ( , )}.

xy xy xy

=µ µ

Определяем нечеткое подмножество недоминируемых аль-

тернатив в множестве

(, )

111

() 1 (,) (, ) .

íä

QQQ

xSUPyx xy

∈





µ=−µ −µ





2. Строим нечеткое отношение

Q (свертка отношений)

(, ) (, )

Qjj

xy xy

µ=λµ

∑

и определяем нечеткое подмножество недоминируемых альтер-

натив в множестве

(, )

X µ

222

() 1 (,) (, ) .

íä

QQQ

xSUPyx xy

∈





µ=−µ −µ





3. Находим пересечение множеств

..íä

{

}

.. ..

() min (), () .

í.ä. íä íä

xxxµ=µ µ

4. Рациональным считаем набор альтернатив из множества

{

}

.. .. ..

/, () () .

íä íä íä

XxxX xSUPx

′

∈

′

=∈µ =µ

112

Наиболее рациональным следует считать выбор альтерна-

тивы из множества

..íä

, имеющий максимальную степень не-

доминируемости.

Последнее отношение упорядочивает альтернативы по сте-

пени недоминируемости.

Решение примера

1. Строим нечеткое отношение

11 2 3

,QRR R

{

}

123

(, ) min (, ), (, ), (, ) ,

Qij ij ij ij

xx xx xx xxµ=µµµ

110

(, ) 010 .

001

Qij





µ=





Находим подмножество недоминируемых альтернатив в

множестве

(, )

()

111

( ) 1 ( , ) ( , ) , , ;

íä

Qi Qji Qij ij

xSUPxx xx ij

∈

µ=−µ −µ ∀≠

11111

1 21123113

()1 (,) (, ), (,) (, )

1[01, 00]1;

íä

QQQQQ

x SUP x x xx xx xx

SUP



µ=−µ −µ µ −µ =



=− − − =

11111

212213223

()1 (,) (,), (,) (,)

1[10, 00]0;

íä

QQQQQ

x SUP xx xx xx xx

SUP



µ=−µ −µ µ −µ =



=− − − =

11111

3 13312332

()1 (,) (,), (,) (,)

1 [00, 00]1.



µ=−µ −µ µ −µ =



=− − − =

íä

QQQQQ

x SUP xx xx xx xx

SUP

Тогда

123

() .

1 0 1

íä

xx x

xµ=

2. Строим отношение

113

()

123

(, ) (, ) (, ) (, ) (, ) ;

Qij jjij ij ij ij

xx xx xx xx xx

µ = λ µ = µ +µ +µ

∑

111/3

( , ) 2/3 1 1/3 .

1/3 1/3 1

Qij





µ=





Находим подмножество недоминируемых альтернатив в

множестве

(, )

(

)

222

1( ,)(,) , ;

íä

QQjiQijij

SUP x x x x i jµ=− µ −µ ∀ ≠

22222

1 21123113

()1 (,) (, ), (,) (, )

1[2/31, 1/31/3]1;

íä

QQQQQ

x SUP x x xx xx xx

SUP



µ=−µ −µ µ −µ =



=− − − =

22222

212213223

()1 (,) (,), (,) (,)

1 [1 2/3, 1/3 1/3] 2/3;

íä

QQQQQ

x SUP xx xx xx xx

SUP



µ=−µ −µ µ −µ =



=− − − =

22222

3 13312332

()1 (,) (,), (,) (,)

1 [1/31/3, 1/31/3]1;

íä

QQQQQ

x SUP xx xx xx xx

SUP



µ=−µ −µ µ −µ =



=− − − =

123

() .

1 2/3 1

íä

xxx

xµ=

3. Результирующее множество недоминируемых альтерна-

тив есть пересечение множеств

..íä

123

() .

1 0 1

íä

xxx

xµ=

Отсюда заключаем, что в данном примере рациональным

следует считать выбор альтернатив

x (обучить своего сотруд-

ника) либо

x (заключить договор с другой организацией),

имеющей максимальную степень недоминируемости.

Контрольные вопросы

1. Какие виды неопределенности встречаются в задачах

принятия управленческих решений?

114

2. Укажите основные критерии выбора решений при веро-

ятностной неопределенности состояний внешней среды.

В каких случаях применяется критерий минимума дис-

персии оценочного функционала?

Каков алгоритм принятия решений при линейной упоря-

доченности наступления состояний внешней среды?

Назовите способы принятия решений при отсутствии

информации о состоянии внешней среды.

Укажите основные критерии принятия решений в усло-

виях противодействия внешней среды.

Чем отличаются критерии Гурвица, Вальда и Сэвиджа?

Чем отличается расплывчатая неопределенность от веро-

ятностной?

115

6 ЭВРИСТИЧЕСКИЕ ПРОЦЕДУРЫ ЗАДАЧ

ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ

6.1 Человеко-машинная процедура STEM

Одной из первых ЧМП была разработана процедура STEM

[28, 35]. Она предназначена для решения многокритериальных

задач линейного программирования.

Пусть

( , , ..., )

xx x=

— вектор переменных задач;

()

=⋅

∑

, i=

1, n

(6.1)

— целевая функция по критерию i, определяемая на множестве

переменных X и векторе C, значение которой необходимо мак-

симизировать.

Пусть множество допустимых значений X ограничено сис-

темой Ω :

⋅

= , (6.2)

≥ 0,

где A — матрица

();dn×

B — вектор-столбец размерностью (1)n

Пусть

()YX — общая функция предпочтений (функция

полезности) на множестве целевых функций

()

определяется

в виде взвешенной суммы критериев.

() ().

YX X

=⋅

∑

Необходимо найти вектор (аргумент) X, максимизирующий

совокупность целевых функций

()

yX при наиболее предпочти-

тельном соотношении их значений в точке решения X и удовле-

творяющей системе ограничений (6.2), то есть необходимо най-

ти решение

arg max ( )

∈Ω

∑

Решение этой задачи — вектор X следует искать во множе-

стве Парето-эффективных решений, а требование нахождения

116

наиболее предпочтительного (неявно выраженного) соотноше-

ния между значениями критериев со стороны лица, принимаю-

щего решение, в человеко-машинных процедурах выражается,

как правило, в большинстве своем в поиске весовых коэффици-

ентов

α целевых функций.

Поскольку назначение весовых коэффициентов является

для ЛПР сложной операцией, то в человеко-машинной процеду-

ре STEM определение

поручается ЭВМ.

Задача многокритериальной оптимизации представляется

как задача поиска удовлетворительного (компромиссного) ре-

шения, формализуемого в виде условий

() ,

≥

i=1, 2,…, m, (6.3)

где

µ — пороговые значения критериев, выделяющие множе-

ство удовлетворенных решений и назначаемые ЛПР.

Так как удовлетворительное значение порога

в общем

случае зависит от значений других критериев

(), ,

xi k

≠

то ус-

ловия (6.3) корректируются в ходе человеко-машинной проце-

дуры по мере анализа новых альтернатив и изменения предпоч-

тений ЛПР о множестве допустимых решений.

Человеко-машинная процедура STEM состоит из следую-

щих фаз: оптимизации —

−

(выполняются на ЭВМ) и ана-

лиза —

ττ

−

(выполняются ЛПР,

— номер итерации):

Шаг

1. Вычисляется матрица

где

νκ

— значение целевой функции по критерию

, найден-

ное на решении

∗

, то есть

().

∗

νκ ν

Решение

∗

определяется в результате решения локальной

задачи оптимизации целевой функции по k-му критерию

()

в текущей области допустимых решений

Ω

, то есть

arg max

()

∗

∈Ω

Ω

на первой итерации определяется системой уравнений (4.2).

На последующих итерациях к ней будет добавляться по одному

117

ограничению вида (6.3), накладываемого на наиболее не удовле-

творяющий критерий.

2. Нормируется матрица

′

()/(),

yy y

νκ νκ κκ

′

=− −

где

min

;

01.

νκ

′

≤≤

Очевидно, что для диагональных элементов

νκ

′

3. Рассчитывается система весовых коэффициентов

кри-

териев i:

(1 ) /(1 ) /

−−=

ηη

; i = 2, …, N;

∑

;

где

min

′

или,

′

где

′

— среднее значение элементов i-ой строки (исключая

максимальный).

Шаг

1. Определяется вектор компромиссного решения

на

итерации

, максимизирующий функцию полезности

() ()

YX X

=⋅

∑

2. Вычисляется вектор критериальных оценок

( ( ), ( ),..., ( ))

yy y

PXX X

τττ τ

, соответствующий компромисс-

ному решению

Шаг

Формируется сообщение ЭВМ на итерации

{

}

где

11 22

( , ,..., )

yyy y

— вектор критериальных оценок, со-

ответствующий идеальным решениям

( ), ( ),..., ( ).

yy y

xx x

Шаг

Оценивается предлагаемое решение на основании сопос-

тавления векторов

и .

118

Если ЛПР считает это решение удовлетворительным, за-

вершается процедура, иначе переход к шагу

Шаг

ЛПР указывает, какой из критериев в векторе

имеет

наименее удовлетворительное значение, и устанавливает желае-

мую величину порога удовлетворенности

(i — номер не-

удовлетворяющего критерия). Таким образом, информация ЛПР

имеет вид:

{

}

Перейти к шагу

τ+

(размерность матрицы

τ+

умень-

шится на единицу, так как критерий i «уйдет» в область ограни-

чений).

Пример

Обратимся к задаче определения плана выпуска продукции,

рассмотренной в разделе 4.1. Добавим еще один критерий опре-

деления плана: минимизация суммарного времени простоя обо-

рудования (максимизация загрузки оборудования). В целом, не-

обходимо определить план производства столов и шкафов с уче-

том трех критериев:

1) максимизация дохода от реализации продукции (в руб-

лях)

122

ccx

⋅+⋅

где

x — план выпуска столов, предназначенных для продажи,

x — план выпуска шкафов, предназначенных только для

продажи;

2) максимизация выпуска столов для нужд всего предпри-

ятия (в штуках)

где

— план выпуска столов, предназначенных для собствен-

ных нужд предприятия;

3) максимизация загрузки оборудования (в часах)

119

∑

где

ÏÑ

;

xx x

— время изготовления одного продукта j-ого вида (час).

Пусть время изготовления одного стола

30t

минут, вре-

мя изготовления одного шкафа

80t

минут.

Решением задачи определения плана выпуска продукции с

учетом только первого критерия является вектор

ÏÑ

(,,)

xxx

∗

==(517; 0; 156), то есть столов на продажу сле-

дует производить в количестве

517x = штук, столов для соб-

ственных нужд — не производить

=0, шкафов — произво-

дить в количестве

=156 штук. Значение первого критерия

()

∗

=375500 рублей.

Решением задачи с учетом только второго критерия являет-

ся вектор

∗

=(0;700;0), то есть столов (для собственных нужд

предприятия) следует производить в количестве

=700 штук.

Значение второго критерия

()

∗

=700 штук.

Решением задачи с учетом только третьего критерия явля-

ется множество решений

( 279;(1 ) 279;268)

∗

=λ⋅ −λ⋅

, то есть

столов в общей сумме следует производить

ÏÑ

=279 штук

1≤λ≤

), а шкафов — в количестве

=268 штук. Значением

третьего критерия является величина

( ) 279

∗

=⋅

268

⋅

=497 часов.

Процедура STEM включает следующие шаги.

Шаг

1. Рассчитывается матрица

(табл. 6.1)

122

11 1

()

cx cx cx

∗

==⋅=⋅+⋅=

∑

500 517 750 156 375500⋅+⋅=

рублей;

120

12 1

()

∗

500 0 750 0⋅+ ⋅=0 рублей;

13 1

()

∗

(500 279 750 268)⋅⋅λ+⋅

рублей.

При

1,λ=

то есть если все столы пустить на продажу,

= 340500 рублей. При

λ =0, то есть если все столы оставить для

нужд предприятия,

=201000 рублей. Таким образом,

340500

201000

≤≤

21 2

() 0

∗

===

штук,

22 2

()

∗

==700 штук,

23 2

()(1 )279

∗

==−λ⋅

штук.

То есть

изменяется от 0 до 279 штук

0279

≤

31 3

()

∗

===

∑

114

517 0 156

223

⋅

+⋅+⋅ = 466.5 час.

32 3

()

∗

700 0 350

⋅+⋅=

час.

()

∗

497час.

Таблица 6.1 — Значение критериев при различных оптимальных ре-

шениях

Решения

);;(

xxx

X =

Критерии

∗

(517;

0;156)

∗

(0;

700;0)

∗

( ⋅

279;

(1–

)279; 268)

(тыс.руб.)

375.5 0 201

340.5

(шт.)

0 700 0

279

(час)

466.5 350 497

2. Нормируем матрицу

по каждому из критериев, приняв

=(201+340.5)/2=270.75 рублей и

[

]

279 2

139 штук.