Турунтаев Л.П. Теория принятия решений

Подождите немного. Документ загружается.

Пример

Пусть

(5, 8, 6, 5, 3, 3, 3); y (3, 3, 3, 4, 9, 9, 9).x

Очевид-

но, что имеет место

10 .

xP y

σ=>⇒

∑

Отношение лексикографии

Предполагается, что критерии упорядочены по важности

значимости. Пусть критерий первый важнее второго, второй —

третьего и т.д. Отношение лексикографии определяется:

[

]

[

]

[]

11 112 2

112 2

...

... ... .

xP y x y x y x y

xyx y x y

⇒>∨=∧>∨

∨=∧=∧∧>

Отношения Подиновского

ïï

, :

а) для равноважных критериев имеет место отношения

предпочтения

и эквивалентности

по Подиновскому:

xP y x y

⇒>

∑

;

xI y x y

⇒=

∑

б) для разноважных критериев (пусть упорядочены по убы-

ванию важности) имеет место отношения:

11 i11

, 1, , ,

nn KK

ii ii

ii i

xP y x y n m K x y

== ==



⇒≥ =∧∃ >





∑∑ ∑∑

, 1, .

xI y x y n m

⇒= =

∑∑

Пример

Пусть (4, 5, 3, 2); (4, 3, 5, 5)xy==

а) для равноважных —

ïï

; ;xP y yP x

б) для разноважных —

ïï

; .xP

4.4 Принятие решений на основе функций выбора

4.4.1 Постановка задачи

Пусть задано множество альтернатив Х и имеется возмож-

ность наблюдать, какие альтернативы выбираются ЛПР. Необ-

ходимо по наблюдаемым оптимальным решениям и согласно

некоторым принципам рационального поведения ЛПР постро-

ить функцию выбора

().CX В общем виде

{

}

() ,CX x Xx x=∈

где x

— база сравнения. Функция ()Cx описывает выбор как

операцию над произвольным множеством альтернатив Х, которая

учитывает особенности получаемой от ЛПР информации (качест-

венной или количественной) о предпочтениях на множестве крите-

риев альтернатив и ставит этому множеству в соответствие неко-

торое его подмножество. Накладывая на функцию выбора опреде-

ленные требования, можно через нее описывать и варианты выбо-

ра, которые отражаются в критериальном языке и языке бинарных

отношений. Рассмотрим ниже некоторые функции выбора [38].

4.4.2 Выбор с учетом числа доминирующих критериев

Пусть X — множество альтернатив измеряется через крите-

риальное множество К, критерии будем считать равнозначными.

Рассмотрим ,xy X∈ , и пусть для каждой альтернативы

xX∈

определено значение

(, ),qxy характеризующее число критери-

ев, по которым альтернатива x превосходит альтернативу yX∈

(, ) ,

qxy

∑

где

åñëè

1, 0;

0, 0;

−>



δ=



−≤



x — оценка альтернативы х по критерию

Определим

()

как доминирующий показатель над аль-

тернативой ,yX

∈

равной максимальному числу критериев, по

которым другие альтернативы предпочтительнее альтернативы

() max(,).

Qy qxy

Значением функции выбора в критериальном пространстве

()

CX является подмножество всех вариантов xX∈ с макси-

мальным доминирующим показателем

() ()min ().

CX xXQx Qy



=∈ =





Пример

Пусть

12345

(, , , , ),

xx xxx=

1234

(1, 1, 5); (3, 2, 4); (4, 3, 2); (7, 0, 1);

(2, 8, 0).

xxxx

====

Найти

()

подмножество альтернатив, не уступающих

другим по совокупности критериев.

Построим матрицу А размерности (5 5)

с элементами

(, ):

aqxx=

01121

20122

22022

11102

21110

Для каждого столбца матрицы А определим доминирующие

показатели ( )max .

Xij

Qx a=

1234

( ) 2; ( ) 2; ( ) 1; ( ) 2;

XX X X

Qx Qx Qx Qx====

()2.

Qx= Показатель

()1

говорит о том, что над аль-

тернативой

x доминируют другие альтернативы максимум по

одному критерию. Значит альтернатива

x является наилучшей,

2 2 1 2 2

т.е.

(){}.

CX x= Все рассмотренные альтернативы

xX∈

со-

ставляют множество Парето. Из примера видно, что функция

выбора

()

«сужает» это множество.

4.4.3 Метод идеальной точки

Пусть Х — множество альтернатив, измеряемое через кри-

териальное множество. Рассмотрим

, ( , , ..., , ..., ),

xXx xx x x∈=

где

x — оценка альтернативы х по критерию i.

Пусть дана идеальная точка (альтернатива)

( , , ..., , ..., ),

aaa a a=

где

a — максимально возможное значение по i-му критерию

max .

∈

Зададим для всех альтернатив

∈

функцию, являющуюся

взвешенным евклидовым расстоянием между точками

è :ax

1/2

(,) ( ) ,

ii i

xa a x



ρ=α−





∑

где

α — весовой коэффициент критерия i.

Введенные понятия позволяют задать функцию выбора

() (,)min(,).

CX xX xa ya



=∈ρ = ρ





Если оценки альтернатив по критериям получены в поряд-

ковой (ранговой) шкале измерений, то евклидовое расстояние

между точками

будет иметь вид

1/2

(,) (1 ) ,

xa r



ρ=α−





∑

где

— ранг альтернативы по критерию

Контрольные вопросы

1. Назовите основные проблемы выбора компромиссных

решений.

Охарактеризуйте основные принципы выбора компро-

миссных решений?

В чем основное отличие выбора компромиссного реше-

ния по принципу выделения главного критерия от принципа по-

следовательных уступок?

Укажите основные способы задания бинарных отношений.

Дайте определение отношению Парето.

Верно ли, что элементы множества Парето находятся в

отношении Парето?

В чем суть аксиоматического подхода в задачах приня-

тия решений?

Как проверяется взаимная независимость критериев по

предпочтению?

Как строятся функции полезности в задачах выбора?

10.

Какими способами можно задать функцию выбора?

5 ЗАДАЧИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ

РИСКА И НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

5.1 Виды неопределенности ЗПР

Выбор наилучших способов действий в условиях неполной

информации, в условиях недостаточной ясности обстановки —

один из наиболее распространенных видов управленческих ре-

шений. Принятие решений в неопределенной обстановке связа-

но с неизбежным риском. Сегодня большинство серьезных

управленческих решений, сопряженных с риском, не может

быть принято интуитивно, исходя лишь из предшествующего

опыта и здравого смысла. Попытки выработки решений «на

глаз» сплошь и рядом оканчиваются неудачами.

Для выработки наиболее рациональных решений применя-

ются методы формализованного описания составляющих элемен-

тов процесса принятия решений: проблемной ситуации, целей,

альтернатив, критериев, исходов (последствий альтернатив).

В общем случае описание элементов задачи ПР на форма-

лизованном (профессиональном) языке ЛПР подвержено в силу

различных причин искажению. Наиболее важные для задач ПР

виды неопределенности можно представить с помощью дерева

[33] (рис. 5.1).

Первый уровень данного дерева образован терминами, каче-

ственно характеризующими количество отсутствующей инфор-

мации об элементах задачи ПР. Неизвестность связана с отсут-

ствием любой информации, как правило, на начальной стадии

изучения задачи. В процессе сбора информации на определен-

ном этапе может оказаться, что собираемая информация недос-

товерна: собрана не полностью либо собранная информация ха-

рактеризует элементы задачи ПР приблизительно (неадекватно).

Наличие недостоверной информации связано с недостачей ре-

сурсов, выделенных для ее сбора. Дальнейшее изучение задачи

может привести либо к ситуации определенности, в которой все

элементы описаны однозначно (например, транспортная задача

линейного программирования), либо к ситуации неоднозначно-

сти. Для последней предполагается, что вся возможная инфор-

мация о задаче собрана, но полностью определенное описание

не получено и не может быть получено.

Неопределенность

Неизвестность Недостове

ность Неоднозначность

Лингвистическая

неопределенность

Физическая

неопределенность

Неопределенность

значений слов

(полисемия)

Неоднозначность

смысла

фраз

Омонимия Нечеткость Синтаксическая Семантическая

Рис. 5.1 — Неопределенности описания задач ПР

Второй уровень дерева описывает источники (причины)

возможной неоднозначности описания, которыми являются

внешняя среда (физическая неопределенность) и используемый

ЛПР профессиональный язык (лингвистическая неопределен-

ность).

Физическая неопределенность может быть связана как с на-

личием во внешней среде нескольких состояний и возможно-

стей, каждая из которых случайным образом становится дейст-

вительностью (стохастическая неопределенность), так и с не-

точностью измерений вполне определенной величины (ситуация

неточности).

Лингвистическая неопределенность связана с использова-

нием естественного языка (в частном случае — профессиональ-

ного языка ЛПР) для описания задачи ПР. Лингвистическая не-

определенность порождается, с одной стороны, множественно-

стью значений слов (понятий и отношений) языка, которую ус-

ловно называют полисемией, а с другой стороны, неоднозначно-

стью смысла фраз.

Если отображаемые одним и тем же словом объекты задачи

ПР существенно различны, то соответствующую ситуацию от-

носят к омонимии. Например, коса — вид побережья, сельско-

хозяйственный инструмент, вид прически. Если же эти объекты

сходны, то ситуацию относят к нечеткости. Например, пожилые

люди: Иванов, 65 лет; Петров, 77 лет и т.д. (см. подразделы

4.2.3, 4.2.2, 4.4.2).

Неоднозначность смысла фраз, как правило, вызвана син-

таксической и семантической неоднозначностью. В первом слу-

чае уточнение синтаксиса позволяет понять смысл фразы. При-

меры: «казнить, нельзя помиловать» — «казнить нельзя, поми-

ловать»; «он встретил ее на поляне с цветами» — «он встретил

ее на (поляне с цветами)». Во втором случае при семантической

неопределенности смысла фраз отдельные слова понятны, но

неясен смысл всей фразы.

5.2 Принятие решений в условиях риска

5.2.1 Постановка ЗПР в условиях риска

Выбор (принятие решения) является наиболее ответствен-

ным этапом процесса разработки управленческих решений. На

этом этапе ЛПР должно осмыслить всю информацию, получен-

ную на предыдущих этапах процесса ПР, и использовать ее для

интегральной оценки решений и обоснования выбора, наилуч-

шего с точки зрения некоторого критерия.

Рассмотрим индивидуальный (одним ЛПР) выбор решения

на матрице исходов

Yy= альтернатив

∈

в ситуациях

eE∈

. Оценка

исходов альтернатив

x в конкретной ситуации

может быть проведена по одному и совокупности критериев

достижения целей, способы ее получения рассмотрены ранее.

Рассмотрим задачу по транспортировке грузов. Перед ЛПР

стоит цель: перевозка грузов от поставщиков к потребителям

автомобильным транспортом (либо по асфальтовой дороге —

альтернатива

, либо по грунтовой —

, либо по гравийной —

x ), при этом в день отправки автомобилей возможно изменение

погодных условий, а вместе с ними ожидаемых транспортных рас-

ходов (ремонт, бензин и др.) и доходов от доставки грузов.

Возможные погодные условия:

— сухая ясная погода;

— кратковременные дожди;

e — сильные продолжительные дожди;

e — заморозки.

Необходимо выбрать маршрут движения автомобилей с

учетом погодных условий и ожидаемых доходов от доставки

грузов.

Вышеизложенной информации о ситуации недостаточно

для формальной постановки задачи выбора. Если матрицу исхо-

дов (ожидаемых доходов) мы можем в целом определить для

каждой альтернативы

,( 1,3)

xxi= и каждого состояния

, ( 1,4)

exj=

через решение соответствующих транспортных

задач (решается

34×

задач), то учет погодных условий требует

знания закона (априорной информации) о случайном поведении

среды. При различной конкретизации этой задачи она приобре-

тает различный смысл и требует различных методов решения: в

условиях риска и в условиях неопределенности. Если закон опи-

сания состояний внешней среды задан в виде распределения ве-

роятностей на множестве этих состояний, имеющих объектив-

ный характер на основе статистических оценок и строгих анали-

тических расчетов, то для решения задачи выбора могут быть

использованы методы теории статистических решений [31].

Пусть

p= — матрица значений вероятностей наступ-

ления исхода

либо

p= — вектор-строка распределения

вероятностей появления каждого из состояний среды, если

( ), 1, , 1,

ij j j

ppeimjn===

Распределение вероятностей Р определяется на основе ста-

тистических оценок либо аналитическими методами, основан-

ными на формулировке гипотез о поведении среды с использо-

ванием аксиом, теорем и методов теории вероятности. Получен-

ное таким образом распределение Р называют объективным

распределением вероятности. Если множество Е образует пол-

ную группу событий, то

1, 1,

pim

∑

Рассмотрим основные критерии (правила) выбора альтерна-

тив для данного класса задач ПР, которые получили названия

ЗПР в условиях риска.

5.2.2 Критерий Байеса

Обозначим

(, )

i i ij ij

Bpx py=

∑

— математическое ожида-

ние значений оценочного функционала при выборе стратегии

x . В соответствии с критерием Байеса стратегия

∗

x считается

оптимальной, если

(, ) max (, )

kk ii

Bpx Bpx

∗

, т.е.

arg max ( , )

kii

xBpx

∗

Этот критерий обеспечивает максимальную среднюю «по-

лезность» (например, доход). Естественно, при однократной

реализации решения, доход ЛПР может существенно отличаться

от математического ожидания.

Пример

Пусть результаты анализа ранее описанной ситуации по

транспортировке грузов представлены в табл. 5.1.

Таблица 5.1 — Исходные данные

Стратегии Погодные условия

100 25 80 64

70 80 20 120

60 90 50 30

Вероятно-

сти

0,4 0,3 0,1 0,2