Удут Л.С., Кояин Н.В., Мальцева О.П. Проектирование и исследование автоматизированных электроприводов. Часть 1. Введение в технику регулирования линейных систем Часть 2. Оптимизация контура регулирования
Подождите немного. Документ загружается.
)()()()( txpBtypA
, (1.97)
)()()()(
*
ос
txpBtypA
и возмущающего воздействия:
)]([)()()( tzpDtypA
,
)]([)()()(
*
ос
tzpDtypA
.
Для общего случая, когда в контуре одновременно действуют и
управляющее и возмущающее воздействия, уравнения принимают вид
)]([)()()()()( tzpDtxpBtypA
,
)]([)()()()()(
**
ос
tzpDtxpBtypA
.
Если выражение для ошибки (1.93) подставить в (1.97), то
получим дифференциальное уравнение контура для ошибки
y
)()()(
1
)()(
ос
txpBpA
k
typA
,
на основании которого можно записать передаточную функцию
замкнутого контура по ошибке
y
при отработке управляющего
воздействия (z = 0)
)(
1
)(
)()(
1
)(
)(
)(
з.у
ос
ос
ош.у
pW
kpA
pBpA
k
px
py
pW
. (1.98)
Решение уравнения (1.98) имеет вид
)()()(
всв
tytyty
, (1.99)
где
)(
св
ty
– переходная (свободная) составляющая ошибки, которая в
устойчивой системе с течением времени затухает;
)(
в
ty
– установившаяся (вынужденная) составляющая ошибки.
Аналогично рассуждая, получим передаточные функции
замкнутого контура для ошибки
ос
при отработке управляющего
воздействия
)(1
)(
)()(
)(
)(
)(
*
з.у
*
ос
*
ош.у
pW
pA
pBpA
px
p
pW
(1.100)
и для ошибок
y
и
ос
при отработке возмущающего воздействия
)(
)(
)(1
)(
)(
)(
)(
р
в.р
ош.в
pA
pD
pW
pW
pz
py
pW
, (1.101)
)(
)(
)(1
)(
)(
)(
)(
*
р
*
.р
pA
pD
pW
pW
pz
p
pW
в
ос
*
ош.в
. (1.102)
На основании выражений передаточных функций (1.100), (1.101) и
(1.102) можно записать дифференциальные уравнения контура для
ошибок:
)()()()()(
*
txpBpAtpA
ос
;
)]([)()()( tzpDtypA
;
)]([)()()(
*
tzpDtpA
ос
и найти их решения в виде (1.99) или
41
)()()( ttt
ос.вос.свос
(1.103)
для управляющего или возмущающего воздействия.
В зависимости от свойств объекта и регулятора замкнутый контур
как система регулирования может обладать астатизмом того или иного
порядка. При нулевом порядке астатизма система регулирования
называется статической. Порядок астатизма системы определяется
раздельно по отношению к управляющему и возмущающему
воздействию. Наиболее просто можно определить порядок астатизма
системы по отношению к управляющему воздействию для случая
единичной обратной связи (для координаты
ос
y
в общем случае). В
этом случае все определяется видом передаточной функции
разомкнутой системы. Пусть передаточную функцию (1.79)
разомкнутого контура регулирования можно представить в виде
kk
kn
n
k
apapap
pB
pW
1
р
)(
)(
,
тогда k и есть порядок астатизма контура регулирования относительно
управляющего воздействия для координаты
ос
y
.
При
0k
получается статическая система, при
1k
(или
0
0
a
оператора знаменателя) – астатизм первого порядка, при
2k
(
0 ,0
10
aa
) – астатизм второго порядка и т. д.
Система регулирования называется статической по отношению к
управляющему или возмущающему воздействию, если при
соответствующем воздействии, стремящемся с течением времени к
некоторому установившемуся значению, ошибка также стремится к
постоянному значению, зависящему от величины этого воздействия.
Таким образом, статическая система всегда характеризуется наличием
установившейся ошибки. Установившаяся ошибка в астатической
системе зависит от порядка астатизма и вида входного сигнала. Если
входное воздействие описывается степенным рядом (см. (1.11) в
подразделе 1.1) , тогда эта зависимость может быть представлена в виде
табл. 1.3.
Таблица 1.3
Тип системы
регулирования
Входное воздействие
Установившаяся
ошибка
Статическая,
0k
0
)( qtq
const
tqtq
1
)(
*
Астатическая первого
порядка,
1k
0
)( qtq
0
tqtq
1
)(
0const
2
2
)( tqtq
*
Астатическая второго
0
)( qtq
0
42
порядка,
2k
tqtq
1
)(
0
2
2
)( tqtq
0const
3
3
)( tqtq
*
Примечание. * – ошибка с течением времени возрастает.
В общем случае порядок астатизма системы регулирования
определяется по передаточной функции для ошибки замкнутой системы
(1.98), (1.100), (1.101) и (1.102) (см. табл. 1.4).
Таблица 1.4
Порядок
астатизма
Необходимые условия для передаточных функций
(1.98) (1.100) (1.101) (1.102)
0k
0)(
00
ba
0)(
*
00
ba
0
0
d
0
*
0
d
1k
0)(
00
ba
0)(
*
00
ba
0
0
d
0
*
0
d
0)(
11
ba
0)(
*
11
ba
0
1
d
0
*
1
d
Окончание табл. 1.4
Порядок
астатизма
Необходимые условия для передаточных функций
(1.98) (1.100) (1.101) (1.102)
2k
0)(
00
ba
0)(
*
00
ba
0
0
d
0
*
0
d
0)(
11
ba
0)(
*
11
ba
0
1
d
0
*
1
d
0)(
22
ba
0)(
*
22
ba
0
2
d
0
*
2
d
Список литературы к подразделу 1.3
1. Бабаков Н.А., Воронов А.А. и др. Теория автоматического
управления: учеб. для вузов. Ч. 1. Теория линейных систем
автоматического управления / под ред. А.А. Воронова. – М.: Высшая
школа, 1986. – 367 с. (гл. 2, § 2–7).
2. Иванов В.Н. и др. Математические основы теории
автоматического регулирования: учеб. пособие для вузов / под
редакцией Б.К. Чемоданова. – М.: Высшая школа, 1971. – 808 с. (гл. 5, §
16, п. 2).
3. Макаров И.М., Менский Б.М. Линейные автоматические
системы (элементы теории, методы расчета и справочный материал):
учеб. пособие для вузов. – М.: Машиностроение, 1977. – 464 с. (гл. 3).
4. Бесекерский В.А. Динамический синтез систем
автоматического регулирования. – М.: Наука, 1970. – 576 с. (§ 1.2).
1.4. Показатели качества систем автоматического регулирования
43
Под качеством системы (контура) регулирования понимается
комплекс требований, определяющих поведение системы в
установившихся и переходных процессах отработки заданного
воздействия. Прежде всего, это устойчивость системы, величина
статической ошибки и показатели качества процесса регулирования.
Для количественной характеристики качества работы системы
регулирования, сравнительной оценки различных систем или вариантов
реализации конкретной системы необходимы относительно простые и
легко определяемые экспериментальным путем показатели качества.
Показатели качества делятся на две группы: прямые, которым
соответствуют параметры характеристик переходных процессов при
типовых воздействиях, и косвенные (интегральные, корневые и
частотные), которые связаны с прямыми показателями. Наиболее точно
и наглядно можно оценить качество системы регулирования только
путем построения переходного процесса. Такой метод оценки качества
называется прямым. Если этот метод использовать нельзя, то
используют косвенные методы и критерии оценки качества. Косвенные
методы позволяют связать вид интегрального функционала,
расположение корней характеристического уравнения или параметры
частотных характеристик системы с прямыми показателями качества
переходного процесса. Косвенные методы широко применяются на
этапе синтеза систем регулирования. Однако для окончательного
принятия решения по проектируемой системе необходимо применять
прямые методы, связанные с построением переходных процессов.
1.4.1. Прямые показатели качества переходных процессов
для типовых воздействий
Прямые показатели качества определяются по характеристикам
переходного процесса отработки системой регулирования типовых
входных воздействий. В качестве характеристик переходных процессов
могут рассматриваться временные диаграммы (кривые) выходной
координаты y(t) или ошибки
)()()(
зад
tytyty
.
Реакция на ступенчатое входное воздействие представляет собой
свободное движение системы (см. (1.9) в подразделе 1.1) и позволяет
судить об устойчивости, о характере протекания и быстроте затухания
переходных процессов в ней. Реакцию системы на ступенчатое
воздействие наиболее просто рассчитать или снять экспериментально.
Поэтому этот тип входного воздействия является наиболее часто
применяемым при исследовании систем регулирования.
1. Отработка ступенчатого управляющего воздействия
0
xtx )(
, где
0
x
= const
44
В устойчивых системах регулирования при отработке
ступенчатых управляющих воздействий различают два основных типа
переходных процессов: монотонные и колебательные (см. ниже, а
также п. 2.5.7 раздела 2). Среди монотонных процессов можно
дополнительно выделить монотонные апериодические, а колебательные
процессы можно разделить на колебательные без перерегулирования,
колебательные с одним перерегулированием и колебательные с числом
перерегулирований два и более (см. рис. 1.22).
Системы первого порядка имеют один вещественный корень, и
переходный процесс в них всегда апериодический (рис. 1.22, а при
0
3
t
). В системах второго порядка переходный процесс монотонный
апериодический при вещественных корнях и колебательный при
комплексно-сопряженных. Системы выше второго порядка имеют
монотонные апериодические переходные процессы, если все корни
вещественные. При сочетании вещественных и комплексно-
сопряженных корней могут иметь место все виды переходных
процессов.
t t
t
t
з
t
рум
1
2
3
а
б
в
y
y
зад
y
уст
t
н
y
y
уст
y
макс
t
ур
( )
1
t
ур
( )
1
0
t
умр
t
ур
( )
2
y
y
уст
y
макс
t
ур
( )
1
0
t
ур
( )
2
T
к
y
1
y
2 y
3
y
ст у.
y
ст у.
0
y
ст у.
0
Рис. 1.22. Переходные процессы при отработке ступенчатых управляющих
воздействий: а – монотонный апериодический; б – колебательный с одним
перерегулированием; в – колебательный
45
При всех комплексных корнях переходные процессы будут только
колебательные. Технически оптимальными следует считать переходные
процессы, близкие к монотонным апериодическим, и колебательные с
одним перерегулированием.
Показатели переходного процесса при отработке ступенчатого
управляющего воздействия (см. рис. 1.22):
)(
устзадст.ууст
yyyy
– статическая ошибка по управлению.
Если
0
ст.у
y
, то система регулирования по управлению
астатическая, и тогда коэффициент усиления замкнутого контура
0зад
ос
зад
зад
осзад
зад
зад
уст
з.у
x ,yгде,
1
x
k
x
kx
y
x
y
k
,
если
0
ст.у
y
, то система регулирования статическая,
ос0
уст
зад
уст
з.у
1
kx
y
x
y
k
,
и для нее можно записать
0з.у
ос
уст
1
xk
k
y
;
устмаксмакс
yyy
– перерегулирование в абсолютных единицах;
уст
макс
y
y
– перерегулирование, о. е. (
100
, %). Для
колебательных переходных процессов принимается первое значение
перерегулирования;
31
y,y
(или
31
,
) – перерегулирование (первое, второе…);
42
y,y
(или
42
,
) – провал (первый, второй…) для
колебательного процесса;
з
t
– время запаздывания, с;
)(
1
ру
t
– время первого вхождения в зону
относительно
уст
y
, с;
)0(
1ру
t
– время первого достижения (согласования) уровня
установившегося значения
уст
y
, с;
рум
t
– время достижения максимума выходной величины
макс
y
, с;
)(
2
ру
t
– время переходного процесса (окончательного вхождения в
зону
относительно
уст
y
), с;
%)2= или( 020= или %)5= или( 050
устуст
y.y.
;
n – число колебаний (перерегулирований) в интервале времени
)(
2
0
ру
tt
;
макс
d
d
tg
t
y
– максимальная скорость отработки регулируемой
величины;
н
t
– время нарастания для монотонного процесса, с;
46
к
к
T
2
– частота свободных колебаний, где
к
T
– период
колебаний, для колебательных переходных процессов, рад/с;
2
1
2
1
y
y
– коэффициент затухания для колебательных
переходных процессов.
На практике могут использоваться не все приведенные показатели
качества переходных процессов или они могут быть дополнены
другими в зависимости от специфики конкретной системы.
2. Отработка ступенчатого возмущающего воздействия
(z(t) = z
0
= const, x = 0 или в общем случае x = const)
При отработке ступенчатых возмущающих воздействий возможны
два типа переходных процессов (см. рис. 23): монотонный и
колебательный.
y
уст
y
нач
y
t
t t
в вр р1 2
а б
t
вмр
y
= 0
t
y
в.макс
t
вр 2
t
вр 1
y
ст.в
y
нач
y
уст
y
ст.в
x
Рис. 1.23. Переходные процессы при отработке ступенчатых возмущающих
воздействий: а – монотонный; б – колебательный
Показатели переходных процессов:
устначст.вуст
yyyy
– статическая ошибка по возмущению. Если
0
ст.в
y
, то система регулирования по возмущению астатическая и
коэффициент передачи замкнутого контура по возмущению
0
0
z
y
k
ст.в
з.в
,
если
0
ст.в
y
, то система регулирования статическая по возмущению,
0
0
z
y
k
ст.в
з.в
,
и для нее можно записать
][
0
zky
з.вст.в
;
в.макс
y
– максимальная ошибка, представляющая собой
динамический перепад (провал или всплеск) выходной координаты;
47
рвм
t
– время достижения максимума ошибки, с;
1рв
t
– время первого вхождения в зону
относительно
уст
y
, с;
2рв
t
– время переходного процесса (окончательного вхождения в
зону
относительно
уст
y
), с;
ст.вв.макс
или yy 1.01.0
в зависимости от характера
переходного процесса.
В общем случае, когда к контуру одновременно приложены
ступенчатые управляющее
const
0
)( xtx
и возмущающее
)t(z
const
0
z
воздействия, статическая ошибка будет равна сумме ошибок
по управлению и возмущению
ст.вст.уст
yyy
.
3. Отработка линейного управляющего воздействия (
txtx
1
)(
,
0,
1
zx const
)
При отработке линейных входных управляющих воздействий
также возможны два типа переходных процессов: монотонный и
колебательный. На рис. 1.24 в качестве общего случая приведен
колебательный переходный процесс.
Показатели
переходного процесса:
)()()( tytyty
заддин
–
динамическая ошибка,
которая при
t
может
достигать
установившегося значения
или неограниченно
возрастать. Если
0
дин.уст
y
, то система
регулирования по
управлению астатическая
выше первого порядка.
Если
0const
дин.уст
y
, то
система астатическая
первого порядка. В этом
случае установившаяся
динамическая ошибка
определяется отставанием
выходной координаты y(t) от ее заданного значения
ос
зад
k
tx
ty
)(
)(
при
установившемся движении с постоянным значением скорости
48
t
ру2
t
рум
Рис. 1.24
t
t
y
y(t)
y t
зад
( )
уст
y
дин.
y
= 0
y
дин уст.
x x const
зад
1
y
дин.макс
t
ур 1
z
изменения координаты (производной)
t
ty
t
ty
d
d
d
d
зад
)(
)(
(в системах
регулируемого электропривода с постоянным значением ускорения, а
следящего электропривода с постоянным значением скорости).
Динамическая (скоростная) ошибка прямо пропорциональна скорости
изменения выходной координаты и обратно пропорциональна
добротности контура по скорости изменения (производной) выходной
координаты
ск
скдин.уст
d
d
D
t
ty
yy
)(
,
где
осск
ск
d
d
x
y
t
ty
D
)(
)(
– добротность контура по скорости изменения
(производной) координаты y;
x
– первая производная управляющего воздействия;
ос
– ошибка обратной связи на входе контура.
Физически добротность
ск
D
является коэффициентом
пропорциональности между скоростью изменения управляющего
воздействия на входе контура и ошибкой обратной связи (при z = 0).
Если динамическая ошибка с течением времени возрастает, то
система регулирования статическая. Установившаяся ошибка в этом
случае зависит от величины управления, а оно при линейном входном
сигнале все время возрастает, возрастает и ошибка.
дин.макс
y
– максимальная динамическая ошибка;
рум
t
– время достижения максимума, с;
ру1
t
– время первого вхождения в зону
относительно
дин.уст
y
, с;
ру2
t
– время переходного процесса (окончательного вхождения в
зону
относительно
дин.уст
y
), с;
дин.устдин.макс
y0.1=или y1.0
в зависимости от характера
переходного процесса.
Приложение возмущающего воздействия вида
const
0
)( ztz
в
статической по возмущению системе регулирования приводит к
появлению дополнительной постоянной составляющей установившейся
ошибки. Так, например, для астатической системы первого порядка по
управлению
в.стскдин.уст
yyy
.
Это следует учитывать при обработке экспериментальных
результатов.
49
4. Отработка гармонического управляющего воздействия (
txtx
m
sin)(
,
const constx ,
m
,
0z
).
При подаче на вход синусоидального управляющего воздействия
постоянной амплитуды и частоты выходная координата системы также
будет совершать синусоидальные колебания, амплитуда и фаза которых
будет зависеть от частоты управляющего воздействия. При
t
установившееся движение выходной координаты описывается
уравнением
)sin()(
.
уст уст m
yty
,
где
уст .m
y
– установившаяся амплитуда выходной координаты;
– угол сдвига кривой выходной координаты относительно кривой
задания
)(tx
в установившемся режиме.
На рис. 1.25 приведена кривая переходного процесса для ошибки.
Показатели переходного процесса:
)sin()(
уст.уст
tyty
m
– установившаяся динамическая ошибка;
уст m
y
– амплитуда
установившейся
динамической ошибки;
дин.макс
y
– максимальное
значение динамической
ошибки;
рум
t
– время достижения
максимума ошибки, с;
ру2
t
– время переходного
процесса (окончательного
вхождения в зону
относительно
)(ty
уст
), с;
.устm
y 1.1
.
Приложение возмущающего воздействия вида
const
0
)( ztz
в
статической по возмущению системе регулирования приводит к появлению
дополнительной составляющей ошибки
в.ст
y
постоянного значения.
Параметры переходного процесса позволяют для конкретных
значений угловой частоты управления
определить частотный
коэффициент усиления замкнутого контура
)(
)(
)()()(
.
m
m
x
y
jWAk
уст
з.уз.у
или в логарифмическом масштабе
)(
)(
lg20)(lg20)(lg20
.
m
m
x
y
jWk
уст
з.уз.у
.
При дискретном изменении значений угловой частоты
,
полученные таким образом результаты обработки кривых переходных
50
y
t
умр
= 0
t
t
ур 2
y
m уст
Рис. 1.25
y
дин.макс
z