Васильев Н.Б. (ред.) Задачник Кванта. Математика. Части 1 и 2
Подождите немного. Документ загружается.
долю среди всевозможных расположений ломаных и звёздочек составляют такие,
что звёздочки лежат по одну сторону от ломаной?)
Д.В. Фомин и С.В. Фомин. Решение — в №1–1991
1241. Имеется 1990 кучек, состоящих соответственно из 1, 2, 3, ... , 1990 камней.
За один шаг разрешено выбросить из любого множества кучек по одинаковому
числу камней. За какое наименьшее число шагов можно выбросить все камни?
Н.Х. Агаханов. XXIV Всесоюзная олимпиада. Решение — в №2–1991
1242.Насторонах AB и BC правильного 2n-угольника взяты соответственно точки K
и N так, что KEN =90
◦
/n,гдеE — вершина, противоположная вершине B.
Докажите, что NE — биссектриса угла KNC .
Н.Х. Агаханов, Н.Ю. Нецветаев, Д.А. Терёшин и Д.В. Фомин. XXIV Всесоюзная олимпиада. Решение — в
№2–1991
1243. а) На доске написано уравнение ∗x
2
+∗x = ∗. Первый из двух играющих называет
любые три числа, второй расставляет их по своему выбору вместо звёздочек. Может
ли первый добиться, чтобы полученное уравнение имело различные рациональные
корни, или второй всегда сможет ему помешать?
б) На доске написано уравнение x
3
+ ∗x
2
+ ∗x = ∗. Вова называет любое число,
Дима ставит его на место любой из звёздочек; Вова называет ещё одно число, Дима
ставит его на место одной из двух оставшихся звездочек; наконец, Вова пишет
любое число на место последней оставшейся звездочки. Может ли Вова добиться,
чтобы полученное уравнение имело три различных целых корня?
А.А. Берзиньш. XXIV Всесоюзная олимпиада. Решение — в №2–1991
1244. В сенате, состоящем из 30 сенаторов, каждые двое дружат или враждуют, причём
каждый враждует ровно с 6 другими. Найдите общее количество троек сенаторов,
в которых либо все трое дружат друг с другом, либо все трое враждуют между
собой. Д.В.Фомин. XXIV Всесоюзная олимпиада. Решение — в №2–1991
1245. На плоскости заданы точка O и n векторов, сумма которых равна 0 . Докажите,
что можно отложить эти векторы, начав в точке O, один за другим в таком
порядке, что полученная замкнутая (быть может, самопересекающаяся) ломаная
будет целиком расположена в некотором угле величиной 60
◦
с вершиной в точке O.
С. Августович и С. Севастьянов. XXIV Всесоюзная олимпиада. Решение — в №2–1991
1246. В любой бесконечной арифметической прогрессии, члены которой — натуральные
числа, есть два числа с одинаковой суммой цифр. Докажите это.
С.А. Генкин. Санкт-Петербургская городская олимпиада 1990 года. Решение — в №3–1991
1247. Можно ли плоскость покрыть без наложений квадратами с длинами сторон 1, 2, 4,
8, 16, ... , используя квадрат каждого размера не более а) десяти раз; б) одного
раза? Д.В. Фомин. Санкт-Петербургская городская олимпиада 1990 года. Решение — в №3–1991
1248. Отрезок I покрыт несколькими меньшими отрезками, ни один из которых не вы-
ходит за пределы отрезка I . Докажите, что
а) левые половины этих отрезков покрывают не менее половины отрезка I ;
б) если у каждого из этих отрезков отбросить какую-либо половину — левую или
правую,— по оставшиеся половины покроют не менее трети длины отрезка I .
Д.В. Фомин. Санкт-Петербургская городская олимпиада 1990 года. Решение — в №3–1991
161
1249. В королевстве n>6 городов, каждые два их которых соединены одной дорогой
с односторонним движением. Не из каждого города можно проехать в любой
другой, не нарушая правил движения.
а*) Докажите, что король может выбрать один из городов и, изменив направление
движения на всех дорогах, входящих и выходящих из него, добиться того, чтобы
можно было проехать из любого города в любой другой.
б) Верно ли это утверждение для n =6?
И. Итенберг и Д.Фомин. Санкт-Петербургская городская олимпиада 1990 года. Решение — в №3–1991
1250.
∗
Для любых положительных чисел x
1
, x
2
, ... , x
n
докажите, что сумма
x
1
x
2
+x
3
+
+
x
2
x
3
+x
4
+ ...+
x
n−1
x
n
+x
1
+
x
n
x
1
+x
2
а) больше
√
2 −1
n;б)больше5n/12; в) не меньше
n/2, если последовательность x
1
, x
2
, ... , x
n
монотонна. Л.Д. Курляндчик и
А. Файбусович. Статья <История одного неравенства> четвёртого номера 1991 года. Комментарий — на странице 30 одиннадцатого номера 1991 года
1251. На плоскости дан угол (меньше развернутого). Проведите два отрезка PM и
QM с заданной суммой длин s , отрезающие от угла четырёхугольник наибольшей
площади (P и Q — точки на сторонах угла, M — внутри угла).
В.А. Сендеров и Н.Б. Васильев. Решение — в №4–1991
1252.Пустьa и n — натуральные числа, a>1. Докажите, что (a
n
−1) делится на n.
—функцияЭйлера,тоесть(k)—этоколичествонесократимых правильных дробей со
знаменателем k :
n
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
(n) 1 1 2 2 4 2 6 4 6 4 10 4 12 6 8
К.П. Кохась. Решение — в №4–1991
1253. На плоскости нарисован выпуклый многоугольник M, разбитый на несколько
выпуклых многоугольников,— <карта> из нескольких <стран>. Каждые два много-
угольника или имеют общую сторону, или общую вершину, или вообще ни одной
общей точки. Будем говорить, что такая карта реализуема в пространстве, если
существует выпуклый многогранник, у которого одна из граней — M, а проекции
остальных граней на плоскости грани M — страны этой карты (все они лежат
внутри M , но могут вырождаться в стороны многоугольника M ).
а) Постройте пример карты из треугольников, не допускающей реализацию в про-
странстве.
Докажите, что карта допускает выпуклую реализацию в каждом из следующих
случаев:
б) все страны — остроугольные треугольники;
в) каждая страна — вписанный многоугольник, содержащий внутри себя центр
описанной окружности. С.Ю. Оревков. Разъяснение условия — в №4–1991. Решение — в №12–1991
1254. Прямоугольник размером m × n можно разрезать на фигурки из четырёх клеток
в форме буквы Г тогда и только тогда, когда mn делится на 8, причём m>1и
n>1. Докажите это.
Б.Д. Гинзбург, Д.В. Фомин, В.А. Дубровский и А.Скопенков. Решение — в №4–1991
1255.Если h — наименьшая высота тетраэдра, d — наименьшее из расстояний между
его скрещивающимися рёбрами, то
1
2
<
d
h
<
3
2
. Докажите эти неравенства.
А.Б. Скопенков и В.Н. Дубровский Решение — в №4–1991
162
1256. Две равные окружности касаются друг друга. Постройте такую трапецию, что
каждая из окружностей касается трёх её сторон, а центры окружностей лежат
на диагоналях трапеции. В.А. Сендеров. Решение — в №5–1991
1257.
∗
Коэффициенты многочлена f — целые числа. Для любого целого n число f(n)
делится хотя бы на одно из чисел a
1
, a
2
, ... , a
m
. Докажите, что существует такое
натуральное k,что k
m и f(n)делитсянаa
k
для любого целого n.
Д.В. Фомин. Решение — в №5–1991. Исправление одного слова решения — на странице 31 шестого номера 1991 года
1258.
∗
Числа, расставленные по окружности, разрешено подвергать операциям замены
тройки подряд идущих чисел x, y и z на тройку x + y , −y и y + z (именно
в таком порядке).
а) Можно ли такими операциями из чисел 1, 2, 3, ... , 9, 10, −1, −2, −3, ... ,
−9, −10 получить числа 10, 9, 8, ... ,2,1,−10, −9, −8, ... , −2, −1?
б) Из любых расставленных по окружности n чисел, сумма которых положительна,
можно получить один и только один набор из n неотрицательных чисел. Докажите
это.
О. Ижболдин, Н. Васильев и Д. Фомин. Исправление условия — на странице 30 третьего номера 1991 года. Решение — в №12–1991
1259.
∗
На окружности дано множество E, состоящее из 2n − 1 различных точек, где
n 3, из которых k точек покрашены в чёрный цвет, а все остальные — в белый.
Раскраску точек называем хорошей, если существуют две чёрные точки, строго
между которыми на одной из дуг содержится ровно n точек из множества E.
Найдите наименьшее значение k, для которого каждая раскраска множества E
является хорошей. Международная олимпиада, 1990 год. Решение — в №5–1991
1260.
∗
Для каких натуральных n число 2
n
+1 делится на n
2
?
Международная олимпиада, 1990 год. Решение — в №5–1991
163
1991 год
1261. На плоскости расположены 1991 точек — красных, чёрных и жёлтых, причём
никакие три точки не лежат на одной прямой. Некоторые пары точек соединены
отрезками, причём из всех точек выходит поровну отрезков. Докажите существо-
вание красной точки, соединённой и с чёрной, и с жёлтой точками.
С.А. Генкин. Исправленное условие — в №6–1991. Решение — в №12–1991
1262. a, b , c — длины сторон треугольника; x = |b − c|, y = |a − c|, z = |a −
− b| — абсолютные величины разностей длин его сторон, p =(a + b + c)/2—его
полупериметр. Докажите неравенство xy + yz + zx p
2
.
Л.Д. Курляндчик и Н.Б. Васильев. Решение — в №6–1991
1263. Внутри окружности лежат ещё две окружности, касающиеся внешней окружности
вточкахA и B соответственно и пересекающиеся между собой. Докажите, что
если одна из точек пересечения лежит на отрезке AB, то сумма радиусов меньших
окружностей равна радиусу большей. Верно ли обратное?
А.П. Веселов и В.Н.Дубровский. Решение — в №6–1991
1264.
∗
На бесконечном листе белой клетчатой бумаги квадрат 2 × 2 нужно закрасить
в чёрный цвет (а все остальные клетки должны остаться белыми). Можно ли это
сделать несколькими операциями, каждая из которых — перекрашивание в проти-
воположный цвет всех клеток квадрата 3 × 3или4× 4? И. Кан. Решение — в №6–1991
1265.
∗
а) Среди 21 попарных расстояний между 7 различными точками плоскости одно и
то же число встречается не более 12 раз. Докажите это.
б) Какое наибольшее количество раз может встретиться одно и то же число среди
15 попарных расстояний между 6 различными точками плоскости?
А. Акопян и Н.М. Седракян. Решение — в №6–1991
1266. Внутри круга радиусом 1990 с центром в начале координат отмечены 555 точек
с целыми координатами, никакие три из которых не лежат на одной прямой.
Докажите существование двух треугольников равной площади с вершинами в этих
точках. К.П. Кохась. Решение — в №7–1991
1267.Пусть a
1
, a
2
, ... , a
n
— некоторая перестановка первых n натуральных чисел,
r
k
— остаток от деления a
1
+ a
2
+ ...+ a
k
на n. Докажите, что среди чисел r
1
,
r
2
, ... , r
n
по крайней мере
√
n различных.
Л.Д. Курляндчик. Решение — в №7–1991. Исправление опечатки условия — на странице 29 четвёртого номера 1991 года
1268. Внутри треугольника ABC лежит точка X.ПрямыеAX , BX и CX пересекают
стороны BC, AC и AB соответственно в точках A
, B
и C
. Докажите, что
площадь треугольника A
B
C
равна
√
AB
· AC
· BC
·BA
·CA
· CB
/(2R), где R —
радиус описанной окружности треугольника ABC .
А. Гирич, Н. Васильев и В. Прасолов. Решение — в №7–1991
1269.Прямаяp параллельна стороне AB треугольника ABC и расположена на расстоянии
AC от неё так, что внутри полосы, образованной прямыми p и AB , нет внутренних
точек треугольника ABC .Прямаяq параллельна прямой AC и расположена
на расстоянии AB от неё так, что внутри полосы, образованной прямыми q и AC,
нет внутренних точек треугольника ABC .Прямыеp и q пересекаются в точке L .
Докажите, что прямая AL делит отрезок BC пополам. Я. Коваль. Решение — в №7–1991
1270. Если последняя цифра десятичной записи числа m равна 5, то 12
m
+9
m
+8
m
+6
m
делится на 1991. Докажите это. Н.Б. Васильев. Решение — в №7–1991
164
1271. Дана полуокружность с диаметром AB. Постройте хорду MN , параллельную AB,
чтобы трапеция AMNB была описанной. В.А. Сендеров. Решение — в №8–1991
1272. Для любых n положительных чисел a
1
, a
2
, ... , a
n
, сумма которых равна 1,
докажите неравенство
1
a
2
1
− 1
1
a
2
2
− 1
...
1
a
2
n
− 1
n
2
− 1
n
.
Л.Д. Курляндчик. Решение — в №8–1991
1273.На сторонах AB, BC и CA треугольника ABC , как на основаниях, вне него
построены подобные равнобедренные треугольники ABC
1
, BCA
1
и CAB
1
, у каждого
из которых отношение высоты к основанию равно k. Такие же треугольники
ABC
2
, BCA
2
и CAB
2
построены и по другую (внутреннюю) сторону от оснований.
Докажите, что площади S, S
1
и S
2
треугольников ABC, A
1
B
1
C
1
и A
2
B
2
C
2
связаны
равенством S
1
± S
2
= S(1 + 12k
2
)/2, где знак зависит от ориентации треугольника
A
2
B
2
C
2
по отношению к треугольнику ABC .)
Р. Сарбаш, А. Елизаров и Н. Васильев. Решение — в №8–1991. Исправление условия — на странице 31 шестого номера 1991 года
1274. Для любого натурального n абсолютная величина разности чисел
1
2+
1
3+
1
...+
1
n − 1
и
1
2+
1
3+
1
...+
1
n − 1+
1
n
не превосходит
1
n!(n − 1)!
.Докажитеэто. Г.А. Гальперин. Решение — в №8–1991
1275.
∗
Последовательность a
1
, a
2
, a
3
, ... натуральных чисел такова, что при любом
натуральном n верно равенство a
k+2
= a
k
a
k+1
+ 1. Докажите, что при n>9 число
a
n
− 22 составное. С.А. Генкин. Решение — в №8–1991
1276. Для данной хорды MN окружности рассмотрим всевозможные треугольники ABC ,
основаниями которых являются диаметры AB этой окружности, не пересекающие
MN, а стороны AC и BC проходят через концы M и N хорды MN. Докажите,
что высоты всех таких треугольников ABC , опущенные из вершины C на сторону
AB, пересекаются в одной точке. Е. Куланин. Решение — в №9–1991
1277. Для любых положительных чисел a
1
, a
2
, ... , a
n
докажите неравенство
v
a
1
+ a
2
a
3
+
v
a
2
+ a
3
a
4
+ ...+
v
a
n−1
+ a
n
a
1
+
v
a
n
+ a
1
a
2
n
√
2.
Л.Д. Курляндчик и В.А. Сендеров. Решение — в №9–1991
1278. Сумма нескольких чисел равна 0, а сумма их квадратов равна 1. Докажите, что
среди них есть два числа, произведение которых меньше или равно −1/k .
Е. Столов. Решение — в №9–1991
1279. На координатной плоскости расположены n квадратов, стороны которых параллель-
ны осям координат. Любые два квадрата можно пересечь прямой, параллельной
одной из осей. Докажите, что можно пересечь одной прямой, параллельной одной
из осей координат, не менее чем n − 2 из данных квадратов.
А.В. Анджанс. Решение — в №9–1991
165
1280.
∗
Период десятичного разложения дроби 1/3
100
содержит а) не менее 20 одинаковых
цифр подряд; б) последовательность цифр 123 456 789. Докажите это.
А. Коробов и Г. Рыбников. Решение — в №9–1991
1281. Если произведение двух положительных чисел больше их суммы, то их сумма
больше 4. Докажите это. Н.Б. Васильев. Осенний Турнир городов 1990 года. Решение — в №10–1991
1282. Не существует двух таких (отличных от параллелограмма) трапеций, что боковые
стороны каждой из них соответственно равны основаниям другой. Докажите это.
В.В. Произволов. Осенний Турнир городов 1990 года. Решение — в №10–1991
1283. Квадрат 99×99 разбит на фигурки трёх типов, изображён-
ные на рисунке.
а) Количество фигурок первого типа не меньше 199. До-
кажите это.
б) Приведите пример разбиения, когда фигурок первого типа 199 штук.
Д.В. Фомин. Решение — в №10–1991
1284.Наосновании AB равнобедренного треугольника ACB выбрана точка D так, что
окружность, вписанная в треугольник BCD, имеет тот же радиус, что и вневписан-
ная окружность треугольника ACD (то есть окружность, касающаяся продолжений
отрезков CA и CD и отрезка AD ). Докажите, что этот радиус равен 1/4 высоты
треугольника, опущенной на боковую сторону.
И.Ф. Шарыгин. Осенний Турнир городов 1990 года. Решение — в №10–1991
1285. Имеется колода из n карт. Разрешено взять подряд несколько карт и, не меняя
порядка, вставить их в любое другое место колоды (можно в начало или конец).
Пусть M(n) — наименьшее количество операций, необходимое, чтобы расположить
карты в обратном порядке. Докажите, что а) M(9) 5; б) M(52) 26; в) M(52)
17; г*) M(52) 26. д) Найдите M(n) для любого натурального n.
Г. Воронин. Осенний Турнир городов 1990 года. Решение — в №10–1991
1286. На конгрессе присутствуют 100 делегатов, каждый из которых знает несколько
иностранных языков. Известно, что любые трое могут поговорить между собой без
помощи остальных. Докажите, что делегатов можно поселить в 50-ти двухместных
номерах гостиницы так, что живущие в одном номере могли бы разговаривать
между собой. Д. Фомин. Санкт-Петербург, 1968-1971 годы. Решение — в №11–1991
1287. Длина диагонали AC параллелограмма ABCD больше длины диагонали BD.Точ-
ка M диагонали AC такова, что около четырёхугольника BCDM можно описать
окружность. Докажите, что BD — общая касательная окружностей, описанных
около треугольников ABM и ADM.
Д. Фомин. Санкт-Петербург, 1968-1971 годы. Решение — в №11–1991
1288.
∗
Число 235
2
+972
2
= 1 000 009 — составное. Докажите это.
Д. Фомин и Н. Васильев. Санкт-Петербург,
1968-1971 годы. Решение — в №11–1991. Статья В.А. Сендерова и А.В.Спивака <Суммы квадратов и целые гауссовы числа> третьего номера 1999 года
1289.
∗
Сумма целых чисел a
1
, a
2
, ... , a
n
равна 1. Для каждого натурального числа
k n обозначим через N
k
количество положительных среди чисел a
k
, a
k
+ a
k+1
,
... , a
k
+ a
k+1
+ ...+ a
n
+ a
1
+ ...+ a
k−1
. Докажите, что все числа N
1
, N
2
, ... ,
N
n
различны. Н. Васильев. Санкт-Петербург, 1968-1971 годы. Решение — в №11–1991
1290.
∗
Квадратный лист бумаги размера 8 × 8 разграфили на единичные клетки и про-
извольным образом сложили в книжку 1 × 1 (из 64 листов). Листы книги прону-
меровали по порядку числами от 1 до 64, а затем вновь развернули. Пусть p —
наибольшая разность номеров соседних (граничащих по стороне) клеток. Каково
166
наименьшее возможное значение p и при каком складывании книжки оно достига-
ется? Н. Васильев. М. Гусаров. Решение — в №11–1991
1291. В правильном а) 12-угольнике; б) 54-угольнике существуют четыре диагонали,
не проходящие через центр многоугольника и пересекающиеся в одной точке.
Докажите это. С.И. Токарев. Решение — в №1–1992
1292. Совет из 2000 депутатов решил утвердить государственный бюджет, содержащий
200 статей расходов. Каждый депутат подготовил свой проект бюджета, в ко-
тором так указал по каждой статье максимально допустимую, по его мнению,
величину расходов, чтобы общая сумма расходов не превысила заранее заданную
величину S. По каждой статье совет утверждает наибольшую величину расходов,
которую согласны выделить не менее k депутатов. При каком наименьшем k мож-
но гарантировать, что общая сумма утверждённых расходов не превысит S ?
И.Н. Сергеев. Решение — в №1–1992
1293. В данный угол вписаны два непересекающихся круга. Треугольник ABC распо-
ложен между кругами так, что его вершины лежат на сторонах угла, а равные
стороны AB и AC касаются соответствующих кругов. Докажите, что сумма радиу-
сов кругов равна высоте треугольника, опущенной из вершины A.
И.Ф. Шарыгин. Решение — в №1–1992
1294. Куб размером 10×10×10 сложен из 500 чёрных и 500 белых кубиков в шахматном
порядке (кубики, примыкающие один к другому гранями, разного цвета). Из этого
куба вынули 100 кубиков таким образом, чтобы в каждом из 300 рядов размером
1×1×10, параллельных какому-нибудь ребру куба, стало не хватать одного кубика.
Докажите, что число вынутых чёрных кубиков делится на 4.
А.В. Спивак. Решение — в №2–1992
1295. На прямоугольном экране размером m×n, разбитом на единичные клетки, светятся
более (m − 1)(n − 1) клеток. Если в некоторый момент в каком-нибудь квадрате
размером 2 × 2 не светятся три клетки, то через некоторое время погаснет и
четвёртая. Докажите, что тем не менее на экране всегда будет светиться хотя бы
одна клетка. А.А. Часовских. Решение — в №2–1992
1296. Из многоугольника разрешено получать новый следующим образом: разрезав по от-
резку на две части, одну из них перевернуть и, если при этом части не будут иметь
общих точек, кроме точек разреза, склеить части по линии разреза. Можно ли
с помощью нескольких таких операций из квадрата получить треугольник?
И.В. Воронович. XXV Всесоюзная олимпиада. Решение — в №2–1992
1297.Числаα и β удовлетворяют равенствам α
3
− 3α
2
+5α =1 и β
3
− 3β
2
+5β =5.
Найдите α + β. Б. Кукушкин. XXV Всесоюзная олимпиада. Решение — в №2–1992
1298. Билет лотереи — карточка, на которой имеется 50 пустых подряд расположенных
клеток. Каждый участник лотереи во все клетки записывает числа от 1 до 50
без повторений. Организаторы лотереи по таким же правилам заполняют свою
карточку-эталон. Выигравшим считают билет, у которого хотя бы в одной клетке
записано число, которое записано в соответствующей клетке карточки-эталона.
Какое наименьшее количество билетов надо заполнить играющему, чтобы иметь
выигрышный билет независимо от того, как заполнена карточка-эталон?
А.А. Берзиньш. XXV Всесоюзная олимпиада. Решение — в №2–1992
1299. На доске выписано несколько чисел. Разрешено стереть любые два из них и
записать на доску вместо них одно число — половину их среднего арифметического.
Докажите, что если изначально на доске написано n единиц и вышеописанную
операцию выполнили n − 1 раз, то на доске осталось число, не меньшее 1/n.
С. Берлов. XXV Всесоюзная олимпиада. Решение — в №2–1992
167
1300. Следователь придумал план допроса свидетеля, гарантирующий раскрытие преступ-
ления. Он собирается задавать вопросы, на которые возможны только ответы <да>
или <нет> (то, какой вопрос будет задан, может зависеть от ответов на предыду-
щие). Следователь считает, что все ответы будут верные; он подсчитал, что в любом
варианте ответов придётся задать не более 91 вопросов. Покажите, что следователь
может составить план с не более чем 105 вопросами, гарантирующий раскрытие
преступления и в случае, если на один вопрос может быть дан неверный ответ
(но может быть, что все ответы верные).
А.В. Анджанс, И. Соловьёв и В. Слитинский. XXV Всесоюзная олимпиада. Решение — в №2–1992
1301. Обязательно ли тетраэдр правильный, если равны друг другу а) пять двугранных
углов; б) восемь плоских углов?
в) Обязательно ли пирамида ABCD правильная, если её основание ABC — правиль-
ный треугольник, а три плоских угла при вершине D равны друг другу?
В.А. Сендеров и Н.Б. Васильев. Решение — в №3–1992
1302. Для любого натурального n произведение многочлена (x+1)
n−1
на любой многочлен
ненулевой степени имеет не менее n отличных от нуля коэффициентов. Докажите
это. Г. Карнаух и А.П. Савин. Решение — в №3–1992
1303. Найдите все такие бесконечные последовательности натуральных чисел q
1
, q
2
, q
3
,
... , что для любого натурального n верно равенство q
n+3
q
n+1
= q
n
+ q
n+2
.
О. Алиев, С. Елисеев и У. Нуриев. Решение — в №3–1992
1304. I — центр вписанной окружности треугольника ABC, R — радиус его описанной
окружности. Докажите неравенство R
3
IA · IB · IC .
А. Соловьёв, Н.Б. Васильев и В.А. Сендеров. Решение — в №3–1992
1305.Дано 2n различных чисел a
1
, a
2
, ... , a
n
, b
1
, b
2
, ... , b
n
. Таблица размером
n ×n заполнена по следующему правилу: на пересечении j -й строки и k-го столбца
написано число a
j
+ b
k
. Для каждого столбца таблицы подсчитаем произведение
всех n его чисел. Докажите, что если все полученные произведения равны, то,
посчитав для каждой строки произведение всех n её чисел, тоже получим равные
произведения. Д.В.Фомин. XXV Всесоюзная олимпиада. Решение — в №3–1992
1306. Назовём вытянутостью прямоугольника отношение большей стороны к меньшей.
Докажите, что вытянутость прямоугольника G, вписанного в прямоугольник F
(так, что вершины G лежат по одной на сторонах F), не меньше вытянутости F.
И.Ф. Акулич. Решение — в №4–1992
1307. Для любого натурального n число 2
2
n
+2
2
n−1
+ 1 имеет не меньше n различных
простых делителей. Докажите это. Н.Б. Васильев и В.А. Сендеров. Решение — в №4–1992
1308. На плоскости даны три прямые. Найдите множество центров правильных треуголь-
ников, вершины которых лежат на данных прямых (по одной на каждой из трёх
прямых). Исследуйте все случаи взаимного расположения данных прямых.
А.П. Савин. Решение — в №4–1992
1309. На плоскости задан треугольник. Для произвольной точки M плоскости опре-
делим множество H
1
(M) середин отрезков, соединяющих точку M свершинами
треугольника. Каждое следующее множество H
k+1
,гдеk =1,2,3,... , определим
как множество середин отрезков, один из концов каждого из которых принадле-
жит H
k
(M), а другой является вершиной исходного треугольника. Докажите, что
для любого положительного числа существует фигура F, площадь которой мень-
ше , а для любой точки M существует такое натуральное число n, что все фигуры
H
n
(M), H
n+1
(M), H
n+2
(M), ... содержатся в фигуре F.
А.Я. Канель–Белов и Н.Б. Васильев. Решение — в №4–1992
168
1310.
∗
Соревнуются 2
k
боксёров, где k>1. Ежедневно встречаются 2
k−1
пары боксёров:
каждый проводит один бой. Все боксёры имеют разную силу, в каждом бою
побеждает сильнейший. Расписание на каждый день составляют накануне вечером
и в течение дня не меняют. Докажите, что за k(k +1)/2 дня можно определить
место каждого боксёра. Было бы интересно определить места менее чем за k(k +1)/2
дней; точная оценка неизвестна.
А.В. Анджанс, В.О. Бугаенко и Н.Б. Васильев. Решение — в №12–1992
1311.Длиныa , b и c сторон треугольника — целые числа, причём длина одной из его
высот равна сумме длин двух других высот. Докажите, что a
2
+ b
2
+ c
2
— квадрат
целого числа. Д.В. Фомин. Санкт-Петербургская городская олимпиада 1991 года. Решение — в №5–1992
1312.
∗
Поля доски размером n×n раскрашены в синий, белый и красный цвета. С каждой
синей клеткой граничит по стороне хотя бы одна белая, с каждой белой — красная,
а с красной — синяя. Докажите, что красных клеток а) не более 2n
2
/3; б) не менее
n
2
/11. Ф.Л. Назаров. Санкт-Петербургская городская олимпиада 1991 года. Решение — в №5–1992
1313. Придумайте такие натуральные числа a
1
, a
2
, ... , a
8
,что
r
q
a
1
−
q
a
1
− 1+
r
q
a
2
−
q
a
2
− 1+...+
s
r
a
8
−
r
a
8
− 1=2.
Л.Д. Курляндчик. Санкт-Петербургская городская олимпиада 1991 года. Решение — в №5–1992
1314. Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются в точке M.ТочкиP
и Q — центры описанных окружностей треугольников ABM и CDM соответствен-
но. Докажите неравенство AB + CD 4PQ.
Ф.Л. Назаров. Санкт-Петербургская городская олимпиада 1991 года. Решение — в №5–1992
1315. На окружности расставлены целые числа. Разрешено стереть любое чётное число,
а вместо двух соседних с ним чисел записать их сумму (отчего количество чисел
уменьшается на 2). Такие операции выполняют, пока это возможно, то есть
пока либо не останется ни одного чётного числа, либо останется одно или два
числа. Докажите, что количество оставшихся чисел зависит лишь от исходной
расстановки, но не от порядка действий.
Д.В. Фомин. Санкт-Петербургская городская олимпиада 1991 года. Решение — в №5–1992
1316. Арифметическая прогрессия из различных натуральных чисел, ни одно из которых
не содержит в своей десятичной записи цифры c , состоит не более чем из а) 72
чисел при c =0;б)80чиселприc = 0. Докажите эти оценки и выясните,
достигаются ли они. С.И. Токарев. Решение — в №6–1992
1317. Для любого треугольника ABC докажите неравенства
1
4
<
IA · IB · IC
l
a
l
b
l
c
<
8
27
,
где I — центр вписанной окружности, l
a
, l
b
, l
c
— длины биссектрис треугольника
ABC. А.Б. Скопенков. Международная олимпиада, 1991 год. Решение — в №6–1992
1318. Дан связный граф с n рёбрами. Докажите, что его рёбра можно пометить числами
от 1 до n так, что для каждой вершины, из которой выходит не менее двух рёбер,
стоящие на этих рёбрах числа не имеют общего делителя, большего 1. Граф — это
система точек, некоторые пары которых соединены рёбрами. Граф называют связным, если
по его рёбрам можно из любой вершины пройти в любую другую.
В. Вавилов и А. Фомин. Международная олимпиада, 1991 год. Решение — в №6–1992
1319.ТочкаM расположена внутри треугольника ABC. Докажите, что величина хотя бы
одного из углов MAB , MBC и MCA не превосходит 30
◦
.
В.А. Сендеров. Международная олимпиада, 1991 год. Решение — в №6–1992
169
1320.
∗
Постройте такую бесконечную последовательность x
1
, x
2
, x
3
, ... ,чтодлялюбых
натуральных чисел m и n ,где m = n, верно неравенство
x
m
−x
n
1
|m−n|
.
В. Вавилов и А. Фомин. Международная
олимпиада, 1991 год. Решение — в №6–1992 и в статье А.В. Спивака <Уравнения Пелля> шестого номера 2002 года. Задача совпадает с задачей М514
170