Васильев Н.Б. (ред.) Задачник Кванта. Математика. Части 1 и 2
Подождите немного. Документ загружается.
1498.
∗
Для каждого натурального n>1 решите систему уравнений
(
x
2
(x
n
− x
1
)=1,
x
3
(x
n
− x
2
)=1,
...
x
n
(x
n
− x
n−1
)=1,
x
n
x
1
=2.
Б. Кукушкин. Решение — в №6—1995
1499.
∗
Число 2 представимо в виде суммы трёх четвёртых степеней рациональных чисел
бесконечным множеством способов. Докажите это.
М. Ахвердиев, Л.Д. Курляндчик, С. Мамиконян и В.А.Сендеров. Решение — в №6—1995
1500.
∗
В любой состоящей из 50 человек компании существуют двое, имеющие среди
остальных чётное число (быть может, 0) общих знакомых. Докажите это.
С.И. Токарев. Решение — в №6—1995
1501.Числаa
1
, a
2
, ... , a
n
таковы, что для любого числа x верно неравенство |a
1
sin x+
+a
2
sin 2x+...+a
n
sin nx| |sin x|. Докажите неравенство |a
1
+2a
2
+...+na
n
| 1.
В.А. Сендеров. Решение — в №1–1996
1502. Прямая отрезает от правильного n-угольника треугольник APQ так, что PA +
+ AQ =1,где A и B — соседние вершины n-угольника. Найдите сумму величин
углов, под которыми отрезок PQ виденизвсехвершинn -угольника, кроме A .
В.В. Произволов. Решение — в №1–1996
1503. Все натуральные числа раскрашены в два цвета — чёрный и белый. Сумма любого
чёрного и любого белого чисел чёрная, а произведение любого чёрного и любого
белого чисел белое. а) Докажите, что произведение любых двух белых чисел —
белое. б) Опишите все возможные варианты раскраски. П. Филевич. Решение — в №1–1996
1504. а) Существуют ли такие натуральные числа a, b и c, что из чисел
a
b
+
b
c
+
c
a
и
b
a
+
c
b
+
a
c
ровно одно — целое? б) Если числа a, b, c,
a
b
+
b
c
+
c
a
и
b
a
+
c
b
+
a
c
натуральные, то a = b = c.Докажитеэто. А. Грибалко. Решение — в №1–1996
1505. Вершины A, B и B, C треугольника ABC являются соответственными вершинами
двух подобных параллелограммов ABDE и BCFG, построенных на сторонах AB
и BC вне треугольника. Докажите, что медиана BM треугольника ABC при
продолжении образует с прямой DG углы, равные углам параллелограммов.
В.Н. Дубровский. Решение — в №1–1996
1506. Любой отрезок числовой оси можно разбить на несколько чёрных и белых отрезков
так, чтобы сумма интегралов по белым отрезкам от а) любого квадратного трёхчле-
на; б) любого многочлена степени не выше данной была равна сумме интегралов
по чёрным отрезкам. Докажите это. Г.В. Кондаков. Решение — в №1–1996
1507. M — основание перпендикуляра, опущенного из центра O вписанной окружности
четырёхугольника ABCD на прямую AC. Докажите, что точка O равноудалена
от прямых BM и DM . С.В. Маркелов и Н.Б. Васильев. Решение — в №1–1996
1508. Судьям принесли собой 80 банок денег. Массы всех банок различны и известны
(имеется список). Этикетки потерялись, и только принесший банки адвокат по-
мнит, где что. Он хочет доказать это судьям, используя только список и чашечные
весы со стрелкой, показывающей разность весов грузов на чашках. Докажите, что
он а) может это сделать за четыре взвешивания; б) не может за три.
Н.Н. Константинов и А.К. Толпыго. Решение — в №1–1996
191
1509. На плоскости расположено несколько точек, соединённых непересекающимися ду-
гами. На каждой дуге написано одно из чисел 1, 2, 3. В каждой точке сходятся
три дуги, занумерованных разными числами. Припишем каждой точке знак +
или − в зависимости от того, в каком порядке (по часовой стрелке или против неё)
встречаются номера 1, 2, 3 входящих в неё дуг. Докажите, что разность количеств
положительных и отрицательных точек делится на 4.
С. Дужин и Н.Б. Васильев. Решение — в №1–1996
1510.
∗
Существует а) хотя бы одно составное число n,что3
n−1
−2
n−1
кратно n ;б)беско-
нечно много таких натуральных n .Докажитеэто. В.А. Сендеров. Решение — в №1–1996
1511. Через точку A провели две окружности и в каждой из них — диаметр, парал-
лельный касательной, проведённой в точке A к другой окружности, причём эти
диаметры не пересекаются. Докажите, что концы этих диаметров лежат на одной
окружности. С. Берлов. Санкт-Петербургская олимпиада. Решение — в №2—1996
1512.а) f(x) — многочлен чётной степени, отличный от 0. Докажите, что существует
такое натуральное число k, что многочлен f(x)+f(x +1)+...+ f(x + k) не имеет
вещественных корней.
б) f(x) — многочлен нечётной степени. Докажите, что существует такое нату-
ральное число k, что многочлен f(x)+f(x +1)+...+ f(x + k) имеет ровно один
вещественный корень.
С. Берлов, К.П. Кохась и В.А. Сендеров. Санкт-Петербургская олимпиада. Решение — в №2—1996
1513.
∗
Докажите равенство tg
3π
7
− 4sin
π
7
=
√
7.
Из задач олимпиады Дж. Сороса. Статья Н.Б. Васильева и В.А. Сендерова <Про угол π/7 и
√
7 второго номера 1996 года>
1514.
∗
Прямоугольник разбит на доминошки (то есть прямоугольники 1 × 2 ). Докажите,
что его клетки можно так раскрасить в два цвета, чтобы любая доминошка в данном
разбиении содержала клетки разных цветов, но в любом другом разбиении этого
прямоугольника на доминошки нашлась бы доминошка, содержащая две клетки
одного цвета. Д. Карпов. Санкт-Петербургская олимпиада. Решение — в №2—1996
1515. f(x), g(x)иh(x) — квадратные трёхчлены. Может ли уравнение f(g(h(x))) = 0
иметькорни1,2,3,4,5,6,7и8? С.И. Токарев. Всероссийская олимпиада. Решение — в №2—1996
1516. Имеются три кучи камней. Сизиф таскает по одному камню из кучи в кучу. За ка-
ждое перетаскивание он получает от Зевса количество монет, равное разности числа
камней в куче, в которую он кладёт камень, и числа камней в куче, из которой он
берёт камень (сам перетаскиваемый камень при этом не учитывается). Если ука-
занная разность отрицательна, то Сизиф возвращает Зевсу соответствующую сумму
денег (если Сизиф не может расплатиться, то Зевс великодушно позволяет ему
совершить перетаскивание в долг). В некоторый момент оказалось, что все камни
лежат в тех же кучах, в которых они лежали первоначально. Каков наибольший
суммарный заработок Сизифа на этот момент?
И. Изместьев, Д. Кузнецов и И. Рубанов. Всероссийская олимпиада. Решение — в №2—1996
1517. Существует ли последовательность натуральных чисел, в которой каждое натураль-
ное число встречается единожды и при этом для любого натурального числа k
сумма первых k членов последовательности делится на k?
А.В. Шаповалов и О.Ляшко. Всероссийская олимпиада. Решение — в №2—1996
1518. Высоты тетраэдра пересекаются в одной точке. Докажите, что эта точка, основание
одной из высот и три точки, делящие другие высоты в отношении 2 : 1, считая
от вершин, лежат на одной сфере. Д.А. Терёшин. Всероссийская олимпиада. Решение — в №2—1996
192
1519.
∗
На плоскости отмечены две точки на расстоянии 1. Разрешено, измерив циркулем
расстояние между любыми двумя отмеченными точками, провести окружность
с этим радиусом и центром в любой отмеченной точке. Линейкой разрешено
провести прямую через любые две отмеченные точки. При каждом построении
отмечаем все точки пересечения проведённых линий. Пусть Ц(n) — наименьшее
количество линий, которые позволяют только циркулем построить две отмеченные
точки на расстоянии n одна от другой, где n — натуральное число; ЛЦ(n)—
то же, но циркулем и линейкой. Докажите, что последовательность Ц(n)/ЛЦ(n)
не ограничена. А.Я. Канель-Белов. Всероссийская олимпиада. Решение — в №2—1996
1520.
∗
Старшие коэффициенты многочленов P(x)иQ(x) равны 1. Докажите, что сумма
квадратов многочленов P(x)Q(x) не меньше суммы квадратов свободных членов P(x)
и Q(x). М. Миньотт, А.И. Галочкин и Н.Б. Васильев. Всероссийская олимпиада. Решение — в №2—1996
1521. Каждый из 256 депутатов парламента ответил на каждый 8 вопросов <да> или
<нет>. Любые два из них ответили по разному хотя бы на один из вопросов. Можно
ли их так рассадить на 256 стульев, расставленных в виде квадрата размером
16 × 16, чтобы ответы каждого отличались от ответа любого из его соседей справа,
слева, спереди или сзади ровно по а) одному вопросу; б) семи вопросам?
Н.Б. Васильев и Ю.П. Лысов. Решение — в №3–1996
1522. Для любых натуральных чисел d, k и m существует такое натуральное число n,
что (
√
m +
√
m + d)
k
=
√
n +
√
n + d .Докажитеэто.
П. Филевич. Решение — в №3–1996 и в статье В.А. Сендерова и А.В.Спивака <Уравнения Пелля> третьего номера 2002 года
1523.Пустьa
1
=1, a
2
=2, a
3
=3, a
4
=4, a
5
=5 и a
n+1
= a
1
a
2
...a
n
− 1приn>4.
Докажите равенство a
2
1
+ a
2
2
+ a
2
3
+ ...+ a
2
70
= a
1
a
2
a
3
...a
70
.
Л.Д. Курляндчик. Решение — в №3–1996
1524. P — точка пересечения диагоналей описанного четырёхугольника ABCD .Дока-
жите, что центры вписанных окружностей треугольников ABP, BCP, CDP и DAP
лежат на одной окружности. И.З. Вайнштейн и А.А. Заславский. Решение — в №3–1996
1525. A, B, C и D — различные точки прямой, расположенные в указанном порядке.
Окружности с диаметрами AC и BD пересекаются в точках X и Y .ПрямыеXY
и BC пересекаются в точке Z.ТочкаP принадлежит прямой XY и отлична от
точки Z.ПрямаяCP пересекает окружность с диаметром AC вточкахC и M;
прямая BP пересекает окружность с диаметром BD вточкахB и N. Докажите,
что прямые AM , DN и XY пересекаются в одной точке.
Н.Б. Васильев и Энди Лю. XXXVI Международная олимпиада. Решение — в №3–1996
1526. Для любых положительных чисел a , b и c, произведение которых равно 1, дока-
жите неравенство
1
a
3
(b+c)
+
1
b
3
(c+a)
+
1
c
3
(a+b)
3
2
.
Э. Лю, В.А. Сендеров и В. Данилов. XXXVI Международная олимпиада. Решение — в №2–1997 и №3–1996
1527. Найдите все натуральные числа n>3, для которых существуют такие точки A
1
,
A
2
, ... , A
n
плоскости, никакие три из которых не лежат на одной прямой, и такие
числа s
1
, s
2
, ... , s
n
, что площадь любого треугольника A
k
A
l
A
m
,где1 k<l<
<m n, равна s
k
+ s
l
+ s
m
. Э. Лю. XXXVI Международная олимпиада. Решение — в №3–1996
1528. Найдите наибольшее x
0
, для которого существуют такие числа x
0
, x
1
, ... , x
1985
,
что выполнены следующие условия: x
0
= x
1985
и x
k−1
+
2
x
k−1
=2x
k
+
1
x
k
при k =1,
2, ... , 1995. Й. Нотенбоом и Э. Лю. XXXVI Международная олимпиада. Решение — в №3–1996
1529. ABCDEF — выпуклый шестиугольник, AB = BC = CD, DE = EF = FA и BCD =
= EFA.ТочкиG и H лежат внутри шестиугольника ABCDEF.Выведите
неравенство AG + GB+GH +DH +HE CF а) из равенств AGB = DHE =120
◦
;
б) в общем случае. Н.Б. Васильев. XXXVI Международная олимпиада. Решение — в №3–1996
193
1530.
∗
Пусть p — нечётное натуральное число. Найдите количество p -элементных под-
множеств множества {1, 2, 3,... ,2p}, сумма всех элементов которого делится на p .
М. Кучма и Э. Лю. XXXVI Международная олимпиада. Решение — в №3–1996
194
1996 год
1531. На плоскости нарисован квадрат и отмечена невидимая точка P . Разрешено
провести любую прямую и спросить, по какую сторону от неё (или на самой
прямой) лежит точка P. За какое наименьшее число вопросов можно выяснить,
лежит ли точка P внутри квадрата? А.Я. Канель и Н.Б. Васильев. Решение — в №4–1996
1532. Существуют ли а) 4 различных натуральных числа; б) 5 различных натуральных
чисел; в) 5 различных целых чисел; г) 6 различных целых чисел таких, что сумма
любых трёх из них — простое число? П. Филевич и В.А. Сендеров. Решение — в №4–1996
1533. На плоскости даны точки A , B и C . Проведите через точку C прямую, произведе-
ние расстояний до которой от точек A и B наибольшее. Всегда ли такая прямая
единственна? Н.Б. Васильев. Решение — в №4–1996
1534. Для любых n положительных чисел разность между их суммой и умноженным
на n корнем n-й степени из произведения рассматриваемых n чисел не меньше
квадрата разности квадратных корней из наибольшего и наименьшего этих чисел.
Докажите это. Л.Д. Курляндчик. Решение — в №4–1996
1535. Куб с ребром 1 надо обшить (в один слой) куском ткани. а) Докажите, что если
узелки, где сходятся по крайней мере три шва, могут лежать только в вершинах,
то сумма длин швов не меньше 7. б) Может ли эта длина быть меньше 6,5?
Н.Б. Васильев и А.В. Шаповалов. Решение — в №4–1996
1536. Существуют ли а) два; б) три конгруэнтных семиугольника, все вершины которых
совпадают, но никакие стороны не совпадают? (Многоугольник — это часть плоскости,
ограниченная замкнутой несамопересекающейся ломаной.)
В.В. Произволов. Решение — в №5–1996
1537.Про n чисел, произведение которых равно p , известно, что разность между чис-
лом p и каждым из этих чисел — нечётное целое число. Докажите, что все эти
числа иррациональны. Н.Б. Васильев и Г.А. Гальперин. Решение — в №5–1996
1538. Прямоугольник размером a ×b,гдеa>b, разбит на прямоугольные треугольники,
граничащие между собой только по сторонам целой длины, так что общая сторона
любых двух треугольников является катетом одного и гипотенузой другого. Дока-
жите неравенство a 2b. Н.Н. Константинов и А.В. Шаповалов. Решение — в №5–1996
1539. Капитан нашёл Остров Сокровищ, имеющий форму круга. На его берегу растут
шесть пальм. Капитан знает, что клад закопан в середине отрезка, соединяющего
ортоцентры (точки пересечения высот) треугольников ABC и DEF ,гдеA, B, C,
D, E, F — эти шесть пальм, но он не знает, какой буквой обозначена каждая
пальма. Докажите, что тем не менее он может найти клад с первой же попытки.
С.В. Маркелов. Решение — в №5–1996
1540. В компанию, состоящую из n человек, пришёл журналист. Ему известно, что в
этой компании есть человек Z, который знает всех остальных членов компании,
а его не знает никто. Журналист может к каждому члену компании обратиться
с вопросом: <Знаете ли Вы такого-то?>
а) Может ли журналист установить, кто в компании — Z, задав менее n вопросов?
б) Найдите наименьшее количество вопросов, достаточное для того, чтобы навер-
няка найти Z; докажите, что меньшим числом вопросов обойтись нельзя. (Все
отвечают на вопросы правдиво. Одному человеку можно задавать несколько вопро-
сов.) Г.А. Гальперин. Решение — в №5–1996
195
1541. Вдоль лыжной трассы расставлено в ряд бесконечное число кресел, занумерованных
по порядку натуральными числами. Кассир продала билеты на первые m мест,
но на некоторые места она продала не один билет, и общее количество проданных
билетов больше m. Зрители входят на трассу по одному. Каждый, подходя
к месту, указанному на его билете, занимает это место, если оно свободно, а
если место занято, говорит <Ох!> и идёт к следующему по номеру месту. Если
оно свободно, то занимает его, а если не занято, снова говорит <Ох!> и движется
дальше — до свободного места. Докажите, что общее количество <охов> не зависит
от того, в каком порядке зрители выходят на трассу.
А.Х. Шень и Н.Б. Васильев. Решение — в №5–1996
1542. а) К любому ли шестизначному числу, начинающемуся с цифры 5, можно припи-
сать справа ещё 6 цифр так, чтобы полученное число было квадратом натурального
числа?
б) Тот же вопрос про число, начинающееся на 1.
в) Найдите для каждого натурального n такое наименьшее число k , что к любому
n-значному числу можно так приписать справа k цифр, чтобы полученное (n + k)-
значное число было квадратом натурального числа.
М. Бронштейн и А.К. Толпыго. Решение — в №5–1996
1543. В плоскости выпуклого четырёхугольника ABCD расположена точка P . Постро-
ены биссектрисы PK, PL, PM и PN треугольников APB, BPC , CPD и DPA .
а) Найдите хотя бы одну такую точку P , для которой точки K , L, M и N,
лежащие соответственно на отрезках AB, BC, CD и DA, являются вершинами
параллелограмма.
б) Найдите все такие точки P . С.И. Токарев. Решение — в №5–1996
1544. Существует ли такая возрастающая арифметическая прогрессия из а) 11; б) 1000;
в) бесконечного множества натуральных чисел, что суммы цифр десятичных запи-
сей её членов также составляют арифметическую прогрессию?
А.В. Шаповалов и С.А. Дориченко. Решение — в №5–1996
1545. Имеются доска размером 1 × 1000 и n фишек. Играют двое. Ходят по очереди.
Первый своим ходом выставляет на доску не более 17 фишек, по одной на любое
свободное поле (можно все 17 взять из кучи, а можно только часть, скажем k<17
штук — из кучи, а остальные, не более 17 − k, переставить на доске). Второй
снимает с доски любую серию фишек, то есть несколько фишек, стоящих подряд
(без пробелов между ними), и кладёт их обратно в кучу. Первый выигрывает, если
ему удастся выставить все n фишек в одну серию. Докажите, что первый игрок
при а) n = 98 может выиграть; б) n>98 — нет. А.В. Шаповалов. Решение — в №5–1996
1546. На боковой стороне AB равнобедренного треугольника ABC сугломα при вер-
шине A взята точка D так, что AD = AB/n . Найдите сумму n − 1 углов, под
которыми виден отрезок AD из точек, делящих основание BC на n равных частей,
если а) n =3; б) n — любое натуральное число.
В.В. Произволов. LIX московская олимпиада и весенний тур Турнира городов 1996 года. Решение — в №6–
1996
1547. а) 8 школьников решали 8 задач. Каждую задачу решили 5 школьников. Дока-
жите, что существуют такие два ученика, что каждую задачу решил хотя бы один
из них.
б) А если каждую задачу решили 4 ученика? С.И. Токарев и
Н.Б. Васильев. LIX московская олимпиада и весенний тур Турнира городов 1996 года. Решение — в №6–1996
196
1548. Найдите многочлен с целыми коэффициентами а) четвёртой степени, среди корней
которого есть число
4
q
2+
√
3+
4
q
2 −
√
3; б) пятой степени, среди корней которого
есть число
5
q
2+
√
3+
5
q
2 −
√
3.
в) Докажите существование многочлена с целыми коэффициентами n-й степени,
среди корней которого есть число
n
q
2+
√
3+
n
q
2 −
√
3.
Б. Кукушкин. LIX московская олимпиада и весенний тур Турнира городов 1996
года. Решение — в №6–1996. Статья Н.Б. Васильева и А.В. Зелевинского <Многочлены Чебышёва и рекуррентные соотношения> первого номера 1981 года
1549. Для любого многочлена P(x) ненулевой степени с целыми коэффициентами, стар-
ший из которых положителен, и любого натурального числа k существует такое
целое число m, что числа P(m), P(m +1), ... , P(m + k) — составные. Докажите
это.
В.А. Сендеров. LIX московская олимпиада и весенний тур Турнира городов 1996 года. Решение — в №6–1996
1550.В2
n
строках таблицы размером n ×2
n
выписаны все возможные различные наборы
из n чисел 1 и −1, а затем некоторые числа заменены нулями. Докажите, что
можно выбрать некоторое такое подмножество строк, что а) сумма чисел выбранных
строк равна 0; б) сумма выбранных строк равна нулевой строке, то есть в любом
столбце сумма чисел выбранных строк равна 0.
Г.В. Кондаков и
Н.Б. Васильев. LIX московская олимпиада и весенний тур Турнира городов 1996 года. Решение — в №6–1996
1551. Вершины шестизвенной замкнутой ломаной лежат на окружности. Какое наиболь-
шее число точек самопересечения может иметь такая ломаная?
Н.Б. Васильев. LIX московская олимпиада и весенний тур Турнира городов 1996 года. Решение — в №1–1997
1552. Обозначим через P
n
(x)=1+x+x
2
+...+x
n−1
многочлен (n−1)-й степени, все ко-
эффициенты которого равны 1. Докажите следующие утверждения. а) Для любого
натурального числа s существует такое натуральное число k , что многочлен P
k
(x)
можно разложить в произведение двух многочленов с целыми коэффициентами,
свободные члены которых равны 1, а коэффициент при первой степени переменной
в одном из этих множителей равен s.б)Такоеk существует не только для любого
натурального, но и для любого целого числа s.
В.А. Сендеров, LIX московская олимпиада и весенний тур Турнира городов 1996 года. Решение — в №1–1997
1553. Из чисел
1
2
,
1
3
,
1
4
, ... ,
1
100
составим всевозможные подмножества, каждое из ко-
торых состоит из чётного числа элементов, и для каждого такого подмножества
вычислим произведение всех его элементов. Найдите сумму всех таких произведе-
ний.
Н.Б. Васильев. LIX московская олимпиада и весенний тур Турнира городов 1996 года. Решение — в №1–1997
1554. На сторонах треугольника ABC во внешнюю сторону построены квадраты ABMN,
BCKL и ACPQ. Выразите разность квадратов длин отрезков NQ и PK через
разность площадей квадратов ABMN и BCKL . А. Герко и
М.Н. Вялый. LIX московская олимпиада и весенний тур Турнира городов 1996 года. Решение — в №1–1997
1555. Даны два непересекающихся круга и такая точка P , что длины всех четырёх каса-
тельных PA, PB, PC и PD равны. Докажите, что точка пересечения диагоналей
четырёхугольника ABCD совпадает с точкой пересечения общих внутренних каса-
тельных этих кругов. Н.Б. Васильев и
С.В. Маркелов. LIX московская олимпиада и весенний тур Турнира городов 1996 года. Решение — в №1–1997
1556. Существует бесконечно много таких натуральных чисел n, что а) число n пред-
ставимо в виде суммы квадратов двух натуральных чисел, а числа n − 1иn +1
не представимы; б) каждое из чисел n − 1, n и n + 1 представимо в виде суммы
квадратов двух натуральных чисел. Докажите это.
Н.Б. Васильев и В.А. Сендеров. LIX московская олимпиада и весенний
тур Турнира городов 1996 года. Решение — в №1–1997. Статья <Суммы квадратов и целые гауссовы числа> третьего номера 1999 года
197
1557.ТочкиA и B — две данные точки данной окружности. Найдите множество середин
хорд этой окружности, пересекающих отрезок AB.
И.Ф. Шарыгин. LIX московская олимпиада и весенний тур Турнира городов 1996 года. Решение — в №1–1997
1558. Игра происходит на доске размером n × n. Двое поочередно передвигают по доске
ладью, при этом не разрешено, чтобы ладья стала на поле или прошла через поле,
на котором она уже побывала или через которое уже проходила. Изначально
ладья стоит в углу доски. Проигравшим считают того, кому некуда ходить.
Для кого существует выигрышная стратегия: для начинающего игру или для его
противника?
Б. Бегун. LIX московская олимпиада и весенний тур Турнира городов 1996 года. Решение — в №1–1997
1559. Существует ли куб, расстояния от вершин которого до некоторой плоскости равны
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7?
В.В. Произволов. LIX московская олимпиада и весенний тур Турнира городов 1996 года. Решение — в №1–
1997
1560. В некотором государстве человек может быть зачислен в гвардию лишь в случае,
если он выше ростом, чем не менее 80% его соседей — людей, живущих на рас-
стоянии менее R от него. В этом же государстве человека освобождают от службы
в армии, если он ниже ростом, чем не менее 80% его соседей — людей, живущих
на расстоянии менее r от него. Может ли случиться, что не менее 90% населения
имеют право на зачисление в гвардию и не менее 90% освобождены от армии?
(Значения r и R должны быть выбраны так, чтобы для любого человека множества
соседей были непустыми.)
Н.Н. Константинов. LIX московская олимпиада и весенний тур Турнира городов 1996 года. Решение — в
№1–1997
1561. Никакие две стороны выпуклого многоугольника не параллельны. Для каждой из
его сторон рассмотрим угол, под которым она видна из вершины, наиболее уда-
лённой от содержащей эту сторону прямой. Докажите, что сумма величина таких
углов равна 180
◦
.
М.В. Смуров и Н.Б. Васильев. Всероссийская олимпиада 1996 года. Решение — в №2–1997
1562. Можно ли прямоугольник размером 5 × 7 покрыть не выходящими за его пределы
трёхклеточными уголками (то есть фигурами, получаемыми из квадрата размером
2 × 2 удалением одной клетки) так, чтобы каждая клетка прямоугольника была
покрыта одним и тем же числом слоёв?
М.А. Евдокимов. Всероссийская олимпиада 1996 года. Решение — в №2–1997
1563.
∗
Если ни одно из чисел a
1
, a
2
, ... , a
m
не равно 0 и a
1
+a
2
·2
k
+a
3
·3
k
+...+a
m
·m
k
=
= 0 для любого неотрицательного k,гдеk n<m− 1, то в последовательности
a
1
, a
2
, ... , a
m
есть по крайней мере n + 1 пара соседних чисел, имеющих разные
знаки. О.Р. Мусин. Всероссийская олимпиада 1996 года. Решение — в №2–1997
1564.
∗
Существует ли такое конечное множество M вещественных чисел, что 0 /∈ M и
для любого натурального n существует многочлен степени не меньше n с коэффи-
циентами из множества M, все корни которого вещественны и тоже принадлежат
множеству M? Е. Малинникова. Всероссийская олимпиада 1996 года. Решение — в №2–1997
1565.
∗
В строку в неизвестном порядке записаны первые 100 натуральных чисел. За один
вопрос про любые 50 чисел можно выяснить, в каком порядке друг относительно
друга записаны эти 50 чисел. За какое наименьшее число вопросов можно узнать,
в каком порядке записаны все 100 чисел?
С.И. Токарев. Всероссийская олимпиада 1996 года. Решение — в №2–1997
1566. Дума состоит из 1600 депутатов, которые образовали 16 000 комитетов по 80 чело-
век в каждом. Докажите существование двух комитетов, имеющих не менее чем
4 общих членов.
Н.Б. Васильев и А.Б. Скопенков. Всероссийская олимпиада 1996 года. Решение — в №3–1997
198
1567.
∗
Центры A, B и C трёх непересекающихся окружностей с одинаковыми радиусами
расположены в вершинах треугольника. Из точек A, B и C проведены каса-
тельные к данным окружностям так, как показано на рисунке. Эти касательные,
пересекаясь, образовали выпуклый четырёхугольник, стороны которого через одну
покрашены двумя цветами. Докажите, что сумма длин отрезков одного цвета равна
сумме длин отрезков другого цвета.
Д.А. Терёшин. Всероссийская олимпиада 1996 года. Решение — в №3–1997
1568.Приn 5 сечение пирамиды, в основании которой лежит правильный n-угольник,
не может являться правильным (n + 1)-угольником. Докажите это.
Н.Х. Агаханов и Д.А. Терёшин. Всероссийская олимпиада 1996 года. Решение — в №3–1997
1569.
∗
Придумайте многочлен с рациональными коэффициентами, минимальное значение
которого равно а) −
√
2; б)
√
2.
в) Не существует многочлена четвёртой степени, удовлетворяющего условию пунк-
та б). Докажите это.
г) Существуют ли многочлены с целыми коэффициентами, один из которых удов-
летворяет условиям пункта а), а другой — условиям пункта б)?
А.В. Спивак и В.А. Сендеров. Решение — в №2—1997
1570. Три пары диаметрально противоположных точек сферы — вершины выпуклого
многогранника с 6 вершинами. Один из его двугранных углов — прямой. Докажи-
те, что у него ровно 6 прямых двугранных углов.
И.Ф. Шарыгин. Соросовская олимпиада. Решение — в №3–1997
1571. Дана прямоугольная доска ABCD со сторонами AB =20 и BC = 12, разбитая
на 20 · 12 = 240 единичных квадратов. Пусть r — натуральное число. За один
ход монету можно передвинуть из одного единичного квадрата в другой в том и
только том случае, когда расстояние между их центрами равно
√
r . Требуется
найти последовательность ходов, переводящих монету из единичного квадрата с
вершиной A в единичный квадрат с вершиной B.
а) Докажите, что это невозможно, если r делится на 2 или 3.
б) Докажите, что это можно сделать при r =73.
в) Можно ли это сделать при r =97?
Д.А. Терёшин. XXXVII международная олимпиада, задачу предложила Финляндия. Решение — в №3–1997
1572. Внутри треугольника ABC нашлась такая точка P,что APB − ACB = APC −
− ABC. Обозначим буквами D и E центры вписанных окружностей треугольников
APB и APC . Докажите, что пересекаются в одной точке прямые а) AP , BD и CE ;
б) AP, BE и CD.
Д.А. Терёшин. XXXVII международная олимпиада, задачу предложила Канада. Решение — в №3–1997
1573. Натуральные числа x и y таковы, что числа 15x +16y и16x − 15y являются
квадратами натуральных чисел. Найдите наименьшее возможное значение, которое
может принимать минимальный из этих квадратов.
В.А. Сендеров. XXXVII международная олимпиада, задачу предложила Россия. Решение — в №3–1997
1574. ABCDEF — выпуклый четырёхугольник, причём AB DE, BC EF, CD AF .
Докажите, что сумма радиусов описанных окружностей треугольников ABF, BCD
и DEF не меньше полупериметра шестиугольника ABCDEF. Н. Седракян
и И.Ф. Шарыгин. XXXVII международная олимпиада, задачу предложила Армения. Решение — в №3–1997
1575.Пустьn, p, q — такие натуральные числа, что n>p+q ,аx
0
, x
1
, ... , x
n
—такие
целые числа, что x
0
= x
n
= 0 и для любого натурального k ,гдеk n, выполнено
одно из равенств x
k
− x
k−1
= p или x
k
− x
k−1
= −q. Докажите существование
таких чисел k и m,что1 k<m n и x
k
= x
m
.
С. Рукшин. XXXVII международная олимпиада, задачу предложила Франция. Решение — в №3–1997
199
1997 год
1576. а) Можно ли отметить на плоскости 4 красные и 4 чёрные точки так, чтобы для
любых трёх точек одного цвета нашлась точка другого цвета, являющаяся вместе с
тремя рассматриваемыми точками вершиной параллелограмма?
б) Можно ли 4 вершины куба покрасить красной краской, а 4 — чёрной так, чтобы
в любой плоскости, проходящей через три вершины одного цвета, лежала хотя бы
одна вершина другого цвета?
Н.Б. Васильев и И.Ф. Шарыгин. Осенний тур Турнира городов 1996 года. Решение — в №4–1997
1577. В треугольнике отношение синуса некоторого угла к косинусу другого равно тан-
генсу третьего. Докажите, что высота, проведённая из вершины первого угла,
медиана, проведённая из вершины второго, и биссектриса третьего угла пересека-
ются в одной точке. Л. Альтшулер и В.А. Сендеров. Решение — в №4–1997
1578.
∗
Не существует ни одной всюду определённой функции f , удовлетворяющей равен-
ству f(f(x)) = x
2
− 1997 для любого x.Докажитеэто.
С.А. Богатый, М.В. Смуров и Н.Б. Васильев. Осенний тур Турнира городов 1996 года. Решение — в №4–1997
1579.Пусть A
, B
, C
, D
, E
и F
— середины сторон AB, BC , CD, DE , EF
и FA соответственно выпуклого шестиугольника ABCDEF . Выразите площадь
шестиугольника ABCDEF через площади треугольников ABC
, BCD
, CDE
, DEF
,
EFA
и FAB
. Н.Б. Васильев. Осенний тур Турнира городов 1996 года. Решение — в №4–1997
1580. Можно ли несколькими отрезками и дугами разрезать круг на части и сложить из
этих частей квадрат той же площади?
А.Я. Канель. Осенний тур Турнира городов 1996 года. Решение — в №4–1997
1581.
∗
а) Существует ли такое шестизначное число a, что ни одно из чисел a,2a, ... ,
500 000a не оканчивается шестью одинаковыми цифрами?
б*) Для любого натурального числа k, не равного 1, найдите такое наименьшее
натуральное число n, что для любого натурального a хотя бы одно из чисел a,2a,
... , na оканчивается k одинаковыми цифрами.
С.И. Токарев. Осенний тур Турнира городов 1996 года. Решение — в №4–1997
1582. По кругу выложены n карточек оборотной стороной вверх. На карточках написаны
неизвестные различные числа. Разрешено переворачивать карточки по одной, всего
не более k штук. Научитесь находить такую карточку, что написанное на ней
число больше чисел обеих её соседок, если а) n =5 и k =4;б) n =76 и k =10;
в) n =199 и k =12. В.Ю. Протасов. Решение — в №4–1997
1583. а) Длина медианы тетраэдра (то есть длина отрезка, соединяющего вершину с точ-
кой пересечения медиан противоположной грани) не превосходит среднего арифме-
тического длин рёбер, выходящих из той же вершины. Докажите это.
б) Длина биссектрисы тетраэдра (то есть длина отрезка, идущего от вершины к
противоположной грани и равнонаклонённого к содержащим эту вершину граням)
меньше половины суммы длин рёбер, выходящих из той же вершины?
в) Верно ли для биссектрисы неравенство пункта а)? В.А. Сендеров. Решение — в №4–1997
1584. Бесконечная последовательность получается почленным сложением двух геометри-
ческих прогрессий. Может ли такая последовательность начинаться с чисел а) 1,
1, 3 и 5; б) 1, 2, 3 и 5; в) 1, 2, 3 и 4; г) 1, 2, 3 и 2?
д) Если первые четыре члена такой последовательности — рациональные числа, то
и все другие члены этой последовательности — рациональные числа. Докажите
это. Н.Б. Васильев. Заочный тур Соросовской олимпиады. Решение — в №4–1997
200