Васильев Н.Б. (ред.) Задачник Кванта. Математика. Части 1 и 2

Подождите немного. Документ загружается.

1585. В новой лотерее на карточке размером 6 × 6 надо отметить 6 клеток. При ро-

зыгрыше лотереи называют 6 <чёрных> (проигрышных) клеток. Билет считаем

выигрышным, если на нём не отмечено ни одной чёрной клетки. Какое наи-

меньшее число билетов нужно купить, чтобы наверняка среди них был хоть один

выигравший?

Решите эту задачу для карточки размером k × k, из которых надо отмечать k ,при

чётном k . С.И. Токарев. Осенний тур Турнира городов 1996 года. Решение — в №4–1997

1586. Из некоторого прямоугольника вырезан равносторонний треугольник так, что одна

из его вершин находится в вершине прямоугольника, а две другие лежат на сторо-

нах прямоугольника, не содержащих эту вершину. Докажите, что площадь одного

из оставшихся прямоугольных треугольников равна сумме площадей двух других.

А.А. Егоров. Решение — в №5–1997

1587. Решите систему уравнений









(

x + y

1+xy

1 −ay

a − y

x − y

1 −xy

1 −bx

b − x

где a и b — данные положительные

числа. М.А. Волчкевич и А.А. Егоров. Заочный тур Соросовской олимпиады. Решение — в №5–1997

1588. Два чеканщика играют в следующую игру. Они по очереди чеканят новые монеты

достоинством в целое число рублей каждая. При очередном ходе не разрешено

чеканить монету в один рубль, а также монету, которая уже отчеканена, или

достоинство которой можно получить как сумму достоинств любых нескольких

(не обязательно разных) уже отчеканенных монет. Проигрывает тот, кто не может

отчеканить новую монету.

а) Докажите, что игра не может длиться бесконечно.

б) Кто выиграет при правильной игре — начинающий или его противник?

Дирк Шляйхер. Решение — в №5–1997

1589. Для любой раскраски плоскости в 5 цветов есть две точки одного цвета, расстояние

между которыми отличается от 1 не более чем на 0,001. Докажите это.

А.Я. Канель. Решение — в №5–1997

1590. На границе круглого острова расположены по очереди четыре порта: 1, 2, 3 и 4. На

этом острове имеется плоская сеть дорог с односторонним движением, не имеющая

кольцевых маршрутов: выехав из какого-либо порта или с развилки дорог, нельзя

вернуться в этот же пункт снова. Для любых двух портов m и n обозначим через

количество различных путей из порта m впортn.

а) Докажите неравенство f

б) Предположим, что на окружности острова шесть портов: 1, 2, 3, 4, 5 и 6,

перечисленных по часовой стрелке. Докажите неравенство f

+ f

С.В. Фомин. Осенний тур Турнира городов 1996 года. Решение — в №5–1997

1591. В треугольнике ABC проведены биссектрисы BL и AK. Оказалось, что KL —

биссектриса треугольника AKC . Найдите величину угла BAC .

С.И. Токарев. Весенний тур Турнира городов 1997 года. Решение — в №6–1997

1592. Представимо ли число 1997

1997

в виде суммы кубов нескольких подряд идущих

целых чисел? А.А. Егоров. Весенний тур Турнира городов 1997 года. Решение — в №6–1997

201

1593. Имеется набор гирек: а) 1, 2, 4, 8 и 16 граммов; б) 1, 2, 4, ... ,2

= 512

граммов. Разрешено класть гири на обе чаши весов. Какие грузы можно взвесить

наибольшим числом способов?

А.В. Шаповалов, А. Кулаков и Н.Б. Васильев. Весенний тур Турнира городов 1997 года. Решение — в №6–1997

1594. Известно, что f(xf(y)) = f(x)y,гдеf : → . а) Докажите тождество f(xy)=

= f(x)f(y).

б) Придумайте три функции, удовлетворяющие условиям задачи.

А. Герко и В.А. Сендеров. Решение — в №6–1997

1595.Точка O лежит внутри треугольника ABC .Если ABC =80

◦

, BAC =50

◦

OAC =40

◦

, OCA =30

◦

. Найдите величину угла BOC .

Г.А. Гальперин. Весенний тур Турнира городов 1997 года. Решение — в №6–1997

1596. Непрерывная функция f , определённая на отрезке [0; 5], удовлетворяет равенству

f(x) dx = 0 . Докажите, что на этом отрезке есть такие числа a и b,что

f(x) dx =

=0 и b − a =2 или3.

В.В. Произволов. Статья В.В. Произволова и А.В.Спивака <Усреднение по окружности> первого номера 1998 года

1597.Пустьa>0, b>0иabc = 1. Докажите неравенства а)

1+2a

1+2b

1+2c

б)

1+a+b

1+b+c

1+c+a

1. Г.А. Гальперин

и В.А. Сендеров. Весенний тур Турнира городов и Московская олимпиада 1997 года. Решение — в №1–1998

1598.Пустьn>1, 1+x + ...+ x

n−1

= F(x)G(x), где F и G — многочлены с неотрица-

тельными коэффициентами. Докажите, что

а) все коэффициенты этих многочленов — нули и единицы.

б) один из многочленов F(x)иG(x) представим в виде (1 + x + ...+ x

)T(x), где

k>0, а коэффициенты многочлена T —нулииединицы.

М.Н. Вялый и В.А. Сендеров. Весенний тур Турнира

городов и Московская олимпиада 1997 года. Статья В.А. Сендерова и А.В. Спивака <Многочлены деления круга> первого номера 1998 года

1599. Из последовательности 1, 2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, 2, ... первых цифр степеней числа 2

выбираем несколько цифр подряд и записываем их в обратном порядке. Докажите,

что эти цифры встретятся, начиная с некоторого места, подряд в последовательно-

сти первых цифр степеней числа 5.

А.Я. Канель. Московская олимпиада 1997 года. Решение — в №1–1998

1600. На плоскости дан круг диаметра 1 и несколько полос, сумма ширин которых

равна 100. Докажите, что полосы можно параллельно передвинуть так, чтобы они

покрыли круг. М.В. Смуров. Весенний тур Турнира

городов и Московская олимпиада 1997 года. Статья М.В.Смурова и А.В. Спивака <Покрытия полосками> четвёртого номера 1998 года

1601. f — нечётная возрастающая функция. Докажите для любых чисел a , b и c, сумма

которых равна 0, неравенство f(a)f(b)+f(b)f(c)+f(c)f(a) 0.

В.В. Произволов и Н.Б. Васильев. LX московская олимпиада. Решение — в №1–1998

1602. В вершинах выпуклого 1997-угольника расположены 1997 фишек. За один ход

можно разбить их на две группы и фишки первой группы сдвинуть на какой-

нибудь вектор, а остальные фишки — оставить на месте. Могли ли после а) 9;

б) 10 ходов все фишки оказаться на одной прямой?

М.А. Евдокимов. LX московская олимпиада. Решение — в №1–1998

1603. Обозначим (x)

=max{x, 0}. а) Площадь пересечения квадрата, заданного не-

равенствами 0 x 1и0 y 1, с полуплоскостью ax + by c,гдеa,и

202

b — положительные числа, равна







(c)

− (c − a)

− (c − b)

+(c − a − b)







/(2ab).

Докажите это.

б) Выведите аналогичную формулу для объёма пересечения куба, заданного нера-

венствами 0 x 1, 0 y 1и0 z 1, с полупространством, заданным

неравенством ax + by + cz d ,гдеa, b и c — положительные числа.

А.Я. Канель и А.К. Ковальджи. LX московская олимпиада. Решение — в №1–1998

1604. Внутри выпуклого многоугольника F расположен выпуклый многоугольник G .

Хорду многоугольника F — отрезок с концами на границе многоугольника F —

называют опорной к многоугольнику G, если хорда пересекает G только по гра-

нице: либо по одной вершине, либо по одной стороне. Докажите существование

а) по крайней мере одной опорной хорды, середина которой лежит на границе

многоугольника G ; б) по крайней мере двух таких хорд.

В. Дольников и П. Пушкарь. Весенний тур Турнира городов. Решение — в №1–1998

1605.Наn карточках написаны попарно различные числа. Карточки разложены на столе

по кругу числами вниз. Разрешено перевернуть всего не более k карточек. Дока-

жите, что можно найти такие три подряд идущие карточки, что число, написанное

на средней из них, больше двух остальных, при а) n =5 и k =4; б) n =76 и

k =10;в) n =199 и k =12.

В.Ю. Протасов и А.А. Заславский. Очный тур Соросовской олимпиады. Решение — в №1–1998

1606. Дан треугольник ABC . Постройте отрезок DE с концами на сторонах AB и BC,

параллельный стороне AC и видимый из середины стороны AC под прямым углом.

Десятилетний Р. Травкин, Н.Б. Васильев и В.А. Сендеров. Решение — в №2–1998

1607. Корень трёхчлена ax

+ bx + b умножили на корень трёхчлена ax

+ ax + b и

получили в произведении 1. Найдите эти корни.

С. Берлов и В.А. Сендеров. Санкт-Петербургская олимпиада, 1997 год. Решение — в №2–1998

1608. На фестиваль военно-морской песни приглашены хоры из 100 стран. Каждый

хор должен исполнить три песни и сразу уехать домой. Ознакомившись с текста-

ми песен, организаторы обнаружили, что каждая песня оскорбительна для одной

из участвующих стран. Докажите, что они могут назначить порядок выступлений

таким образом, чтобы никому не пришлось выслушать более трёх оскорбительных

для его страны песен.

Ф.Л. Назаров. Санкт-Петербургская олимпиада, 1997 год. Решение — в №2–1998

1609.Пусть P(x) — а) квадратный трёхчлен; б) многочлен чётной степени с неотрица-

тельными коэффициентами. Для любых действительных чисел x и y докажите

неравенство

(

P(xy)

)

P(x

) · P(y

Е. Малинникова и Н.Б. Васильев. XXIII Всероссийская олимпиада. Решение — в №2–1998

1610. Переаттестация Совета Мудрецов происходит так: король выстраивает их в колонну

по одному и надевает на голову каждому колпак а) белого или чёрного; б) белого,

синего или красного цвета. Каждый мудрец видит цвета колпаков всех других

мудрецов, но не видит цвет своего колпака. Затем мудрецы по одному называют

какой-нибудь цвет (каждому разрешено говорить только один раз). После этого

король исключает из Совета всех, не угадавших цвет своего колпака. Могут ли

мудрецы накануне переаттестации договориться, чтобы все, кроме быть может

одного, избежали исключения?

К.П. Кноп и Н.Б. Васильев. XXIII Всероссийская олимпиада. Решение — в №2–1998

1611. Две окружности пересекаются в точках A и B. Через точку A проведена прямая,

вторично пересекающая первую окружность в точке C, а вторую — в точке D.

Точки M и N — середины дуг BC и BD, не содержащих точку A,аK — середина

отрезка CD . Докажите, что угол MKN прямой. (Можно считать, что точки C и D

лежат по разные стороны от точки A.)

Д.А. Терёшин. XXIII Всероссийская олимпиада. Решение — в №2–1998

203

1612.

∗

В клетках таблицы размером 10 × 10 расставлены числа 1, 2, 3, ... , 99, 100 так,

что сумма любых двух соседних чисел не превосходит S. Найдите наименьшее

возможное значение S. (Числа называем соседними, если они стоят в клетках, имеющих

общую сторону.)

Д. Храмцов и Д. Фон-дер-Флаас. XXIII Всероссийская

олимпиада. Поправка к условию — на странице 31 первого номера 1998 года. Решение — в №2–1998

1613. На бесконечной в обе стороны полосе из клеток, пронумерованных целыми числами,

лежит несколько камней (возможно, по несколько в одной клетке). Разрешено

выполнять следующие действия:

• снять по одному камню с клеток n −1иn и положить один камень в клетку

n +1;

• снять два камня с клетки номер n и положить по одному камню в клетки

с номерами n +1 и n − 2.

Докажите, что при любой последовательности мы достигнем ситуации, когда ни од-

но из указанных действий выполнить нельзя, и эта конечная ситуация не зависит

от последовательности действий, а зависит только от начальной раскладки камней

по клеткам.

Д. Фон-Дер-Флаасс. XXIII Всероссийская олимпиада. Решение — в №2–1998

1614. На плоскости расположены 2n + 1 прямых. Докажите, что существует не более

n(n+1)(2n+1)/6 остроугольных треугольников, стороны которых лежат на данных

прямых. С. Иванов. Санкт-Петербургская олимпиада. Решение — в №2–1998

1615. В прямоугольную коробку размером m × n ,гдеm и n нечётны, уложены кости

домино размерами 1 × 2 так, что остался не покрытым только квадрат 1 × 1

(дырка) в углу коробки. Если доминошка прилегает к дырке короткой стороной,

то эту доминошку разрешено сдвинуть вдоль себя на одну клетку, закрыв дырку

(при этом откроется новая дырка). Докажите, что с помощью таких операций

можно перегнать дырку в любой другой угол.

А.В. Шаповалов и Н.Б. Васильев. Решение — в №2–1998

1616. Дана правильная пирамида ABCD с плоскими углами α при вершине D.Плос-

кость, параллельная основанию, пересекает рёбра DA, DB и DC вточкахA

, B

и C

соответственно. Поверхность многогранника ABCA

разрезали по пяти

рёбрам A

, B

, C

C, CA и AB . Полученную развёртку уложили на плоскость.

При каких α развёртка будет (частично) накрывать сама себя?

Н.П. Долбилин. Соросовская олимпиада 1997 года. Решение — в №3–1998

1617.

∗

Дан правильный шестиугольник со стороной 100. Каждая его сторона разделе-

на на 100 равных частей, и через точки деления проведены всевозможные пря-

мые линии, параллельные сторонам шестиугольника (образующие сетку единичных

правильных треугольников). Рассмотрим произвольное покрытие шестиугольника

единичными ромбами, каждый из которых состоит из двух соседних треугольников

сетки. Сколько существует линий сетки, разрезающих пополам (на два треугольни-

ка) а) 17; б) k ромбов (для каждого натурального k)? Зависит ли ответ от покрытия?

В.Б. Алексеев и Н.Б. Васильев. Соросовская олимпиада 1997 года. Решение — в №3–1998

1618.

∗

В вершины правильного n-угольника из его центра проведены n векторов и из них

выбраны несколько (не все), сумма которых равна нулю. Докажите, что концы

некоторой части выбранной совокупности векторов образуют правильный много-

угольник (два вектора, симметричных относительно центра, считаем правильным

<двуугольником>), если n равно а) 6; б) 8; в) 9; г) 12.

д) Для любого ли натурального n верно аналогичное утверждение?

В.А. Сендеров. Решение — в №3–1998. Статья <Многочлены деления круга> первого номера 1998 года

204

1619.

∗

Числа x, y и z удовлетворяют равенствам x

+ xy + y

=3 и y

+ yz + z

=16.

Найдите наибольшее возможное значение величины xy + yz + zx.

М.А. Волчкевич и В.А. Сендеров. Решение — в №3–1998

1620.

∗

Через точку O плоскости проведены n прямых, делящих плоскость на 2n углов.

В каждый из них вписана окружность, касающаяся сторон на расстоянии 1 от

точки O . Лучи занумерованы по порядку, начиная с луча OA

. Для произвольно

выбранной на луче OA

точки M

строится ломаная M

...M

2n+1

,вер-

шина M

которой при любом k =1, 2, ... ,2n лежит на луче OA

,вершина

2n+1

— снова на луче OA

, а звено M

k+1

касается той из рассматриваемых

окружностей, что вписана в угол A

k+1

. Докажите для а) n =3; б) любого

натурального n , что если для некоторой точки M

ломаная оказалась замкнутой

(то есть M

2n+1

= M

), то она получится замкнутой при любом выборе точки M

При некотором положении точки M

(или, аналогично, M

) — а именно, если OM

боль-

ше 1,— касательная прямая, проведённая к окружности из точки M

(отличная от OM

пересекает не луч OA

,апрямуюOA

по другую сторону от O — эту точку следует

считать точкой M

(и из неё проводить касательную к окружности, вписанной в угол

); таким образом, ломаная может получиться не только невыпуклой, но и самопе-

ресекающейся. Возможен и случай, когда проведённая из M

касательная параллельна

— тогда точку M

следует считать бесконечно удалённой и следующую касательную

проводить параллельно OA

. Впрочем, если точка M

выбрана на отрезке OA

,тоесть

если OM

< 1, то подобные оговорки не нужны. Н.Б. Васильев. Решение — в №3–1998

205

1998 год

1621. а) Заданы длины a и b двух сторон треугольника. Какой должна быть длина c

третьей стороны, чтобы точки касания третьей стороны со вписанной и описанной

окружностями делили третью сторону на три равные части?

б) Существует ли прямоугольный треугольник, удовлетворяющий условию пунк-

та а)?

Н.Б. Васильев и В.А. Сендеров. Решение — в №4–1998

1622.ПустьK = {1, 3, 4, 7, 8, 10,...} — множество натуральных чисел, представимых в

виде 2

−1, где m ∈ , или в виде суммы нескольких различных чисел такого

вида. Рассмотрим первые n натуральных чисел. Каких чисел среди них больше:

принадлежащих множеству K или не принадлежащих, если а) n = 1000; б) n —

произвольное натуральное число? Б. Кукушкин, Н.Б. Васильев и В.А. Сендеров. Решение — в №4–1998

1623. Обозначим буквой H точку пересечения высот, а буквами O и I — центры

вписанной и описанной окружностей некоторого треугольника.

а) Если величина одного из углов треугольника равна 60

◦

,тоOI = IH.Докажите

это.

б*) Следует ли из равенства OI = IH, что величина хотя бы одного из углов

треугольника равна 60

◦

? А.П. Савин, Н.Б. Васильев и В.А. Сендеров. Решение — в №4–1998

1624.

∗

Внутри вписанного в окружность выпуклого n-угольника A

...A

нашлась от-

личная от центра окружности точка P, из которой все стороны видны под равными

углами. Могут ли длины всех отрезков A

P, A

P, ... , A

P быть рациональными

числами? Разберите случаи: а) n =4; б) n = 8; в*) n =6; г) n =5 или 7;

д*) n>8. М.Ю. Панов. Статья М.Ю. Панова и А.В. Спивака <Вписанные многоугольники> первого номера 1999 года

1625. Плоскость разбита на единичные квадраты, вершины которых находятся в точках

с целыми координатами. Квадраты раскрашены в шахматном порядке. Для

каждой пары натуральных чисел m и n рассматриваем прямоугольный треугольник

с вершинами в целочисленных точках, катеты которого имеют длины m и n и

проходят по сторонам квадратов. S

— площадь чёрной части треугольника, S

—

площадь его белой части, f(m, n)=|S

− S

а) Вычислите f(m, n) для всех натуральных чисел m и n , для которых сумма m+n

чётна.

б) Для любых натуральных чисел m и n докажите неравенство f(m, n)

max{m, n}.

в) Не существует такого числа C,чтоf(m, n) <C для любых натуральных чисел

m и n .Докажитеэто.

И. Воронович. XXXVIII международная олимпиада, задачу предложила Белоруссия. Решение — в №4–1998

1626. В треугольнике ABC угол A является наименьшим. Точки B и C делят описанную

окружность треугольника на две дуги. U — внутренняя точка той дуги с концами

B и C, которая не содержит точку A. Серединные перпендикуляры к отрезкам AB

и AC пересекает прямую AU вточкахV и W соответственно. Докажите равенство

AU = TB + TC.

Д.А. Терёшин. XXXVIII международная олимпиада, задачу предложила Великобритания. Решение — в

№4–1998

1627. Если числа x

, x

, ... , x

удовлетворяют равенству



+ x

+ ...+ x



=1 и

неравенствам |x

n+1

,гдеk =1,2... , n, то существует такая перестановка y

, ... , y

чисел x

, x

, ... , x

,что



+2y

+ ...+ ny



n+1

.Докажитеэто.

О. Богопольский. XXXVIII международная олимпиада, задачу предложила Россия. Решение — в №4–1998

206

1628. Таблицу размером n ×n, заполненную числами от 1 до 2n −1, назовём серебряной,

если для любого натурального числа m n объединение чисел m-й строки и m -го

столбца совпадает с множеством первых 2n − 1 натуральных чисел. Докажите,

что а) не существует серебряной таблицы для n = 1997; б) существует бесконечно

много серебряных таблиц.

Д.А. Терёшин. XXXVIII международная олимпиада, задачу предложил Иран. Решение — в №4–1998

1629. Решите в натуральных числах уравнение x

= y

Д.А. Терёшин. XXXVIII международная олимпиада, задачу предложила Чехия. Решение — в №4–1998

1630. Для любого натурального n обозначим через f(n) количество способов представле-

ния числа n в виде суммы целых неотрицательных степеней числа 2. Представле-

ния, отличающиеся лишь порядком слагаемых, считаем одинаковыми. (Например,

f(4) = 4, ибо число 4 можно представить четырьмя способами: 4 = 2 + 2 = 2 + 1 +

+1 = 1+1+1+1.)

Докажите для любого натурального n 3 неравенства

<f(n) < 2

Д.А. Терёшин. XXXVIII международная олимпиада, задачу предложила Литва. Решение — в №4–1998

1631. Верны ли следующие утверждения:

а) если многоугольник можно разбить ломаной на два конгруэнтных многоугольни-

ка, то его можно разбить на два конгруэнтных многоугольника отрезком;

б) если выпуклый многоугольник можно разбить ломаной на два конгруэнтных

многоугольника, то его можно разбить на два конгруэнтных многоугольника отрез-

ком;

в) если выпуклый многоугольник можно разбить ломаной на два конгруэнтных

многоугольника, один из которых можно перевести в другой движением, сохраня-

ющим ориентацию, то есть поворотом или параллельным переносом, то исходный

многоугольник можно разбить отрезком на два конгруэнтных многоугольника, один

из которых можно перевести в другой движением, сохраняющим ориентацию?

С.В. Маркелов. Осенний турнир городов 1998 года. Решение — в №5–1998

1632. Некоторые грани кубика белые, а некоторые чёрные. Площадь его грани равна

площади клетки шахматной доски. Кубик поставили на одну из клеток и прокатили

по доске так, что он побывал на каждой клетке по одному разу. Могло ли

случиться, что всё время цвета клетки и соприкасающейся с ней грани совпадали?

А.В. Шаповалов и А.В. Спивак. Осенний турнир городов 1998 года. Решение — в №5–1998

1633. CM и BN — медианы треугольника ABC , P и Q — такие точки на сторонах AB

и AC, что биссектриса угла ACB является биссектрисой угла MCP, а биссектриса

угла ABC — биссектрисой угла NBQ . Можно ли утверждать, что треугольник ABC

равнобедренный, если а) BP = CQ ;б)AP = AQ;в)PQ  BC ?

В.А. Сендеров. Осенний турнир городов 1998 года. Решение — в №5–1998

1634. а) На плоскость положили (с перекрытиями) несколько салфеток, имеющих форму

правильного а) шестиугольника; б) пятиугольника, причём все салфетки получа-

ются одна из другой параллельными переносами. Всегда ли можно вбить в стол

несколько гвоздей, чтобы все салфетки были прибиты, причём каждая — одним

гвоздём? А.Я. Канель. Осенний турнир городов 1998 года. Решение — в №5–1998

1635.

∗

Каждая сторона треугольника разбита на n равных от-

резков. Через все точки деления проведены прямые,

параллельные сторонам треугольника. Они разбили

треугольник на n

маленьких треугольничков. Ка-

кое наибольшее число треугольничков можно отметить,

чтобы никакие два отмеченных треугольничка не были

расположены между двумя соседними параллельными

207

прямыми, если а) n =10; б) n =9? (На рисунке для

n = 10 отмечены 7 треугольников.)

Р.Г. Женодаров. Осенний турнир городов 1998 года. Решение — в №5–1998

1636. Если вокруг трапеции нельзя описать окружность, то

трапеция, образованная серединными перпендикуляра-

ми к её сторонам, подобна исходной. Докажите это.

В. Кириенко. Решение — в №6–1998

1637. Квадрат разрезали на прямоугольники. Докажите, что сумма длин наименьших

сторон всех этих прямоугольников не меньше длины стороны квадрата.

В.В. Произволов. LXI московская олимпиада. Решение — в №6–1998

1638. Красный квадрат покрыт более чем 100 равными ему белыми квадратами. Стороны

всех белых квадратов параллельны сторонам красного. Можно ли удалить один

белый квадрат так, чтобы оставшиеся всё ещё покрывали красный квадрат?

С. Агеев и В.В. Произволов. LXI московская олимпиада. Решение — в №6–1998

1639. Путешественник посетил селение, в котором каждый человек либо всегда говорит

правду, либо всегда лжёт. Жители селения встали в круг, и каждый сказал

путешественнику про соседа слева, правдив тот или лжив. На основании этих

сообщений путешественник смог однозначно определить, какую долю всех жителей

составляют правдивые. Определите, чему она равна.

Б.Р. Френкин. LXI московская олимпиада. Решение — в №6–1998

1640. Внутри четырёхугольника ABCD существует такая точка M,чтоAMB и CMD —

равнобедренные треугольники с углом величиной 120

◦

при вершине M.Докажите

существование такой точки N, что треугольники BNC и DNA равносторонние.

И.Ф. Шарыгин. Решение — в №6–1998

1641.Естьn камней и полубесконечная полоска бумаги, разделённая на клетки с номе-

рами 1, 2, 3, ... На первой клетке камень лежит всегда. Разрешено положить

в клетку камень или убрать камень из клетки, если на предыдущей клетке лежит

камень. Как далеко от начала полоски можно положить камень, действуя в соот-

ветствии с этим правилом? Докажите, например, что на клетку с номером 2

− 1

камень положить можно.

А.Х. Шень и М.Н. Вялый. LXI московская олимпиада. Решение — в №1–1999

1642. Некоторые стороны клеток шахматной доски 8 ×8 объявлены перегородками. Рас-

становку перегородок назовём хорошей, если доска остаётся связной (ладья может

пройти с любого поля на любое другое, не перепрыгивая через перегородки), и

плохой — в противном случае. Каких расстановок больше — хороших или пло-

хих? А.В. Шаповалов. Решение — в №6–1998

1643. а) Существуют ли такие целое ненулевое число a и целое число b,чтодлялюбого

натурального n число a · n!+b является квадратом целого числа?

б) Существуют ли такие целые ненулевые числа a и b и такое целое число c,что

для любого натурального n существует такое целое число x,чтоn!=ax

+ bx +

+ c ? А.А. Егоров. Решение — в №6–1998

1644. Двое показывают следующий фокус. Один из перетасованной колоды, состоящей из

52 карт, вытаскивает 5 карт произвольным образом и выкладывает четыре из них

в ряд картинкой вверх, а пятую а) выкладывает среди остальных четырёх, но

картинкой вниз; б*) берёт себе. Второй, глядя на лежащие перед ним карты,

называет пятую карту. Научите их это делать! Г.А. Гальперин. Решение — в №6–1998

1645. Количество способов, которыми можно расставить n чисел, где n>9, в последова-

тельность без убывающих подпоследовательностей длиной 10, не превосходит 81

Докажите это. А.Я. Канель. LXI московская олимпиада. Решение — в №6–1998

208

1646. У нескольких крестьян есть 128 овец. Если у кого-то оказалось не менее половины

всех овец, остальные сговариваются и раскулачивают его: каждый берёт себе

столько овец, сколько у него уже есть. Если у двоих по 64 овцы, то один из них

раскулачивает другого. Произошло 7 раскулачиваний. Докажите, что все овцы

собрались у одного крестьянина.

А.В. Шаповалов. Зональный тур Всероссийской олимпиады 1998 года. Решение — в №1–1999

1647. Из любого конечного множества точек плоскости можно так удалить одну точку,

что оставшееся множество можно разбить на два множества, диаметры которых

меньше диаметра первоначального множества. Докажите это.

(Диаметр — это

максимальное расстояние между точками множества.)

В. Дольников. Зональный тур Всероссийской олимпиады 1998 года. Решение — в №1–1999

1648.

∗

Из центра правильного многоугольника, вписанного в окружность радиуса 1, в не-

которые вершины этого многоугольника проведены векторы. Может ли длина

суммы этих векторов равняться а) 1998; б*)

√

1998?

В.А. Сендеров и А.В. Спивак. Отборочный

тур московской олимпиады 1998 года на Всероссийскую олимпиаду. Решение — в статье <Гауссовы суммы> 1999 год

1649.

∗

На конференцию приехали 300 участников. Каждый участник знает три языка

из пяти, официально принятые на конференции. Докажите, что всех участников

можно разбить на три группы по 100 человек так, чтобы для каждой группы

нашёлся язык, общий для её членов. А.А. Берзиньш, А.В. Спивак и Г.Р Челноков.

Отборочный тур московской олимпиады 1998 года на Всероссийскую олимпиаду. Решение — в №1–1999

1650.

∗

На плоскости нарисовано дерево (то есть граф без циклов) Г. Граф Г



, полученный

из Г параллельным переносом на некоторый вектор длины 1, не пересекается с Г.

На графе Г отмечены две точки A и B, в которых в начальный момент времени

сидело по жуку. Ползая по графу, жуки через некоторое время снова оказались

вточкахA и B, но при этом поменялись местами. Докажите, что в некоторый

момент расстояние между жуками было меньше 1. А.Б. Скопенков и Г.Р. Челноков.

Отборочный тур московской олимпиады 1998 года на Всероссийскую олимпиаду. Решение — в №1–1999

1651. Найдите а) наименьшую; б) наибольшую возможную площадь выпуклой фигуры,

все проекции которой на оси Ox, Oy и биссектрису первого и третьего квадрантов

суть отрезки единичной длины. В. Тиморин. Решение — в №2–1999

1652. Внутри параболы y = x

расположены окружности ω

, ω

, ... так, что каждая

окружность ω

n+1

касается ветвей параболы и внешним образом — окружности ω

Найдите радиус окружности ω

1998

, если диаметр окружности ω

равен 1 и она

касается параболы в начале координат.

М.А. Евдокимов. Всероссийская олимпиада 1998 года. Решение — в №2–1999

1653. На столе лежат 5 часов со стрелками. Разрешено любые три из них перевести

вперёд. Для каждых часов время, на которое их перевели, назовём временем

перевода. Требуется все часы установить так, чтобы они показали одинаковое

время. За какое наименьшее суммарное время перевода это можно гарантированно

сделать? О. Подлипский. Всероссийская олимпиада 1998 года. Решение — в №2–1999

1654. Через основания L и M биссектрисы BL имедианыBM неравнобедренного тре-

угольника ABC провели прямые параллельно, соответственно, сторонам BC и BA

до пересечения с прямыми BM и BL вточкахD и E. Докажите, что угол BDE

прямой.

М. Сонкин, А. Акопян и В.А. Сендеров. Всероссийская олимпиада 1998 года. Решение — в №2–1999

1655. Существуют ли 1998 различных натуральных чисел, произведение любых двух

из которых делится на квадрат их разности?

Г.А. Гальперин. Всероссийская олимпиада 1998 года. Решение — в №2–1999

209

1656. Даны два выпуклых многоугольника. Расстояние между любыми двумя вершинами

первого не больше 1, расстояние между любыми двумя вершинами второго также

не больше 1, а квадрат расстояния между любыми двумя вершинами разных

многоугольников больше 1/2. Докажите, что многоугольники не пересекаются.

В. Дольников. Всероссийская олимпиада 1998 года. Решение — в №2–1999

1657. Назовём лабиринтом шахматную доску, на которой между некоторыми полями

поставлены перегородки. По команде НАПРАВО ладья смещается на одно поле

направо или, если справа находится край доски или перегородка, стоит на месте;

аналогично определим команды НАЛЕВО, ВВЕРХ и ВНИЗ. Мария Ивановна пишет

программу — конечную последовательность команд — и даёт её Вовочке, после

чего Вовочка выбирает лабиринт и ставит ладью на любое поле. Может ли Мария

Ивановна сочинить такую программу, что ладья обойдёт все доступные поля лаби-

ринта при любом выборе Вовочки?

В.А. Уфнаровский и А.В. Шаповалов. Всероссийская олимпиада 1998 года. Решение — в №2–1999

1658. Обозначим через s(x) сумму цифр десятичной записи числа x. Существуют ли

такие натуральные числа a, b и c,чтоs(a + b) < 5, s(b + c) < 5иs(a + с) < 5,

но s(a + b + c) > 50?

С.Г. Волчёнков и Л. Медников. Всероссийская олимпиада 1998 года. Решение — в №2–1999

1659.

∗

Фигура F , составленная из клеток размером 1 ×1, обладает следующим свойством:

при любом заполнении клеток прямоугольника размером m × n числами, сумма

которых положительна, фигуру F можно так расположить в прямоугольнике,

чтобы сумма чисел в клетках так расположенной фигуры F была положительна

(фигуру F можно поворачивать). Докажите, что данный прямоугольник можно

покрыть фигурой F в несколько слоёв.

А.Я. Канель. Всероссийская олимпиада 1998 года. Решение — в №2–1999

1660.

∗

В стране 1998 городов. Из каждого осуществляются беспосадочные авиарейсы

в три других города (все рейсы двусторонние). Из любого города, сделав несколько

пересадок, можно долететь до любого другого. Министерство Безопасности хочет

объявить закрытыми 200 городов, никакие два из которых не соединены авиалини-

ей. Докажите, что это можно сделать таким образом, чтобы можно было долететь

из любого незакрытого города в любой другой, не делая пересадок в незакрытых

городах. Д. Карпов и Р. Карасёв. Всероссийская олимпиада 1998 года. Решение — в №2–1999

1661. Можно ли отметить 64 единичных кубика в кубе размером 8 × 8 × 8так,чтобы

среди любых 8 отмеченных кубиков нашлись два кубика, расположенные в одном

слое, параллельном некоторой грани куба, и при этом в каждом слое, параллельном

грани, было отмечено 8 кубиков?

А. Вершик. Санкт-Петербургская олимпиада 1998 года. Решение — в №3–1999

1662. Может ли десятичная запись куба натурального числа начинаться с цифр 1998?

В.А. Сендеров. Решение — в №3–1999

1663. Биссектрисы вписанного четырёхугольника образуют в пересечении выпуклый че-

тырёхугольник. Докажите, что диагонали полученного четырёхугольника перпен-

дикулярны. С. Берлов. Санкт-Петербургская олимпиада 1998 года. Решение — в №3–1999

1664. Существует ли натуральное число k>1 и такой отличный от константы много-

член P с целыми коэффициентами, что каждые два из чисел P(k), P(k

), P(k

... взаимно просты? А. Пастор. Санкт-Петербургская олимпиада 1998 года. Решение — в №3–1999

1665. а) В сферу вписаны несколько кубов. Каждые три из них имеют хотя бы одну

общую вершину. Докажите, что все кубы имеют хотя бы одну общую вершину.

б*) Четыре куба расположены в пространстве так, что каждые три из них имеют

хотя бы одну общую вершину. Обязательно ли все четыре куба имеют хотя бы одну

общую вершину? В.В. Произволов. Решение — в №3–1999

210