Васильев Н.Б. (ред.) Задачник Кванта. Математика. Части 1 и 2
Подождите немного. Документ загружается.
1999 год
1666. Три плоскости разрезали куб с ребром 1 на 8 параллелепипедов. Докажите,
что среди них есть хотя бы 4 параллелепипеда, объём каждого из которых не
превосходит 1/4. Д.Ю. Кузнецов. Решение — в №4–1999
1667. Натуральный ряд разбит на два бесконечных множества чисел. Докажите, что
сумма некоторых 100 чисел одного из этих множеств равна сумме некоторых
100 чисел другого множества. В.В. Произволов. Решение — в №4–1999
1668. Имеется n бочек, содержащих 1, 2, ... , n литров воды соответственно. Разрешено
доливать в бочку столько воды, сколько в ней уже есть, из любой другой бочки,
в которой воды достаточно для такой операции. Какое наибольшее количество
воды можно собрать в одной бочке, если а) n =10; б) n — любое натуральное
число? Р.Г. Женодаров и Г.Р.Челноков. Решение — в №4–1999
1669. Натуральные числа a, b и c таковы, что ab + bc = ca. Докажите равенства
НОК
[
a, b
]
=НОК
[
b, c
]
=НОК
[
c, a
]
. В.В. Произволов. Решение — в №4–1999
1670. Диагонали AC и BD выпуклого четырёхугольника ABCD перпендикулярны. Сере-
динные перпендикуляры к сторонам AB и CD пересекаются в точке P , лежащей
внутри четырёхугольника. Докажите, что около ABCD можно описать окружность
тогда и только тогда, когда площади треугольников ABP и CDP равны.
И. Анно. XXXIX международная олимпиада, задачу предложил Люксембург. Решение — в №4–1999
1671. На соревновании выступили a участников, их оценивали b судей, где b —нечётное
число, не меньшее 3. За выступление каждого участника каждый судья ставил
оценку лплюсм или <минус>. Число k таково, что для любых двух судей суще-
ствует не более k участников, получивших у них одинаковые оценки. Докажите
неравенство 2bk a(b − 1).
Д. Шаповалов. XXXIX международная олимпиада, задачу предложила Индия. Решение — в №4–1999
1672. Обозначим через τ(n) количество делителей числа n (включая 1 и n). Найдите все
натуральные числа k , представимые в виде k = τ(n
2
)/τ(n). В. Дрёмов
и Н. Дуров. XXXIX международная олимпиада, задачу предложила Белоруссия. Решение — в №4–1999
1673.
∗
Точка, расположенная внутри равностороннего треугольника, соединена отрезками
с его вершинами. Из этой же точки опущены перпендикуляры на стороны тре-
угольника. Шесть проведённых таким образом отрезков разделили треугольник
на шесть прямоугольных треугольников. Покрасим их попеременно в красный и
синий цвета. Докажите, что сумма радиусов окружностей, вписанных в красные
треугольники, равна сумме радиусов окружностей, вписанных в синие треугольни-
ки. В.В. Произволов. Решение — в №4–1999
1674. Функция f определена на множестве натуральных чисел. Сумма f(f(n)) + f(n)для
любого чётного числа n равна 2n − 1, а для любого нечётного n равна 2n +1.
Найдите f(1999). В. Кириак. Решение — в №4–1999
1675.
∗
Тетраэдр ABCD,гдеAB = CD =2 и AC = BC = AD = BD =
√
3, можно разрезать
на а) 8; б) 27 подобных ему и равных один другому тетраэдров. Докажите это.
А.А. Заславский. Решение — в №4–1999
1676. Отрезок AB разбит на чёрные и белые отрезки так, что сумма длин чёрных отрез-
ков равна сумме длин белых отрезков. Для каждого чёрного отрезка вычисляем
произведение его длины на расстояние от точки A до его середины и такие про-
изведения складываем. Для каждого белого отрезка тоже вычисляем произведение
его длины на расстояние от точки B до его середины и такие произведения склады-
ваем. Докажите, что <белая> и <чёрная> суммы равны. В.В. Произволов. Решение — в №5–1999
211
1677. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O. Окружность, прохо-
дящая через точки A, B и O, касается прямой BC. Докажите, что окружность,
проходящая через точки B, C и O , касается прямой CD.
А.А. Заславский. Московская олимпиада 1999 года. Решение — в №5–1999
1678. В таблице размером n × n в каждой строке и в каждом столбце в трёх клетках
записаны какие-либо числа, остальные клетки пустые. При этом сумма чисел
в каждой строке и в каждом столбце одна и та же. Для каждой строки перемножим
её числа и полученные n произведений сложим. Аналогично, перемножим числа в
каждом столбце и сложим полученные n произведений. Докажите, что <строчная>
и <столбцовая> суммы равны.
В.В. Произволов. Решение — в №5–1999
1679. Последовательности a
0
, a
1
, a
2
, ... и b
0
, b
1
, b
2
, ... определим следующим
образом. В качестве a
0
берём любое положительное число, а в качестве b
0
—любое
отрицательное число. Для любого натурального числа n числа a
n
и b
n
—это,
соответственно, положительный и отрицательный корень уравнения x
2
+ a
n−1
x +
+ b
n−1
= 0. Найдите пределы обеих последовательностей.
А.А. Заславский и А. Поспелов. Решение — в №5–1999
1680.ПустьC — натуральное число. Рассмотрим последовательность, n -й член которой
равен n
3
+ C .
а) Наибольший общий делитель любых трёх подряд идущих её членов равен 1.
Докажите это.
б) Пусть С — куб натурального числа. Докажите, что существуют соседние члены
последовательности, не являющиеся взаимно простыми числами.
в*) Существует ли такое натуральное число C , что любые два соседних члена
последовательности взаимно просты? В.А. Сендеров. Решение — в №5–1999
1681. Квадрат целого числа оканчивается так: ... 21. Может ли третья справа цифра
этого квадрата быть чётной? В.А. Сендеров. Решение — в №6–1999
1682. Из некоторой точки плоскости опущены перпендикуляры на высоты треугольника
(или на их продолжения). Докажите, что основания перпендикуляров являются
вершинами треугольника, подобного исходному. Р. Кудимов. Решение — в №6–1999
1683. Имеется 20 бусинок десяти цветов, по две каждого цвета. Их как-то разложили в
10 коробок. Известно, что можно выбрать по бусинке из каждой коробки так, что
все цвета будут представлены. Докажите, что количество способов такого выбора
есть ненулевая степень двойки. А. Гришин. Турнир городов 1998 года. Решение — в №6–1999
1684.
∗
Круг разделён радиусами на 2n конгруэнтных секторов, n из которых синие, а
остальные — красные. В синие сектора, начиная с некоторого, по ходу часовой
стрелки последовательно вписаны натуральные числа от 1 до n . В красные сектора,
начиная с некоторого, против хода часовой стрелки тоже последовательно вписаны
числа от 1 до n. Докажите существование полукруга, в сектора которого вписаны
все числа от 1 до n. В.В. Произволов. Московская олимпиада 1999 года. Решение — в №6–1999
1685. В окружность вписан четырёхугольник ABCD. Докажите, что окружности, про-
ведённые через середины сторон треугольников ABC , BCD, CDA и DAB ,имеют
общую точку, а их центры лежат на одной окружности.
И.З. Вайнштейн. Решение — в №6–1999
1686. Функции f и g непрерывны на отрезке [0; 1] и удовлетворяют равенствам
1
R
0
f(x) dx =
=
1
R
0
g(x) dx =1 и
1
R
0
q
f
2
(x)+g
2
(x) dx =
√
2. Докажите равенство f = g .
В.В. Произволов. Решение — в №1–2000
212
1687. Будем называть размером прямоугольного параллелепипеда сумму трёх его из-
мерений — длины, ширины и высоты. Может ли в некотором прямоугольном
параллелепипеде поместиться больший по размеру прямоугольный параллелепи-
пед? А.Х. Шень. Турнир городов 1998 года. Решение — в №1–2000
1688.
∗
Рассмотрим функцию f(x)=
x
2
+ax+b
x
2
+cx+d
, где трёхчлены x
2
+ ax + b и x
2
+ cx + d не
имеют общих корней. Докажите равносильность следующих утверждений:
• существует интервал, свободный от значений функции f ;
• функцию f можно представить в виде композиции линейных функций, возве-
дения в квадрат x → x
2
и взятия обратного x →
1
x
.
А.Я. Канель. Турнир городов 1998 года. Решение — в №1–2000
1689. Рассмотрим произведение трёх натуральных чисел, образующих арифметическую
прогрессию, являющееся делителем некоторого числа вида n
2
+1, где n ∈ .
а) Докажите существование такой арифметической прогрессии с разностью 12.
б) Докажите несуществование такой прогрессии с разностью 10 или 11.
в*) Какое наибольшее число членов может содержать такая прогрессия с разно-
стью 12? В.А.Сендеров. Решение — в №1–2000
1690. В каждой вершине выпуклого многогранника сходятся три ребра. Одна грань мно-
гогранника красная, остальные — синие, причём каждая синяя грань — вписанный
многоугольник. Докажите, что и красная грань — вписанный многоугольник.
В.В. Произволов. Решение — в №1–2000
1691. Любой четырёхугольник можно разрезать на 3 трапеции. Докажите это.
В.В. Произволов. LXII московская олимпиада, 1999 год. Решение — в №1–2000
1692.Числаa, b и c — длины сторон треугольника. Докажите неравенство
a
2
+2bc
b
2
+ c
2
+
b
2
+2ca
c
2
+ a
2
+
c
2
+2ab
a
2
+ b
2
> 3.
В.А. Сендеров
и Г. Карнаух. LXII московская олимпиада, 1999 год. Решение — в №1–2000 и на странице 24 <Кванта> №3–2005
1693. Две окружности пересекаются в точках P и Q. Третья окружность с центром P
пересекает первую в точках A и B,вторую—вточкахC и D. Докажите равенство
углов AQD и BQC . А.А. Заславский. LXII московская олимпиада, 1999 год. Решение — в №1–2000
1694. Парабола y = −x
2
+ b
1
x + c
1
и парабола y = −x
2
+ b
2
x + c
2
касаются параболы
y = ax
2
+ bx + c,гдеa>0. Докажите, что прямая, проходящая через точки
касания, параллельна общей касательной к первым двум параболам.
Р. Карасёв. Решение — в №1–2000
1695. Грани правильного тетраэдра окрасили в шахматном порядке. Докажите, что для
любой внутренней точки сумма расстояний до плоскостей чёрных граней равна
сумма расстояний до плоскостей белых граней.
Д.А. Терёшин. LXII московская олимпиада, 1999 год. Решение — в №1–2000
1696. Рёбра графа покрашены n красками так, что из каждой вершины выходит по
одному ребру каждого цвета. Для любого цвета по рёбрам этого цвета можно
добраться от любой вершины графа до любой другой. Докажите, что какие бы
n − 1 разноцветных рёбер графа ни уничтожить, граф останется связным.
Д. Карпов. XXV Всероссийская олимпиада. Решение — в №2–2000
213
1697. Сумма цифр десятичной записи числа n равна 100, а сумма цифр десятичной
записи числа 44n равна 800. Чему равна сумма цифр десятичной записи числа
3n? А.С. Голованов. XXV Всероссийская олимпиада. Решение — в №2–2000
1698.Насторонах AB, BC и CA расположены точки C
, A
и B
соответственно. До-
кажите, что если длины отрезков AA
, BB
и CC
не превосходят 1, то площадь
треугольника ABC не превосходит 1/
√
3. В.А. Сендеров. Решение — в №2–2000
1699. Для любого натурального n докажите неравенство
(
√
1
)
+
(
√
2
)
+...+
(
√
n
2
)
n
2
−1
2
.
А. Храбров. XXV Всероссийская олимпиада. Решение — в №2–2000
1700.
∗
На числовой прямой отмечены точки с координатами 1, 2, 3, ... ,2n.Блоха
начала прыгать из точки 1 и через 2n рыжков, побывав во всех отмеченных
точках, возвратилась в точку 1. Сумма длин первых 2n −1 прыжков равна n(2n −
− 1) . Докажите, что длина последнего прыжка равна n.
В.В. Произволов. Решение — в №2–2000
1701.Еслиx>0, y>0иx
2
+ y
3
x
3
+ y
4
,тоx
3
+ y
3
2. Докажите это.
С. Злобин. XXV Всероссийская олимпиада. Решение — в №3–2000
1702.
∗
В некоторой группе из 12 человек среди каждых 9 человек есть 5 попарно знако-
мых. Докажите, что среди этих людей есть 6 знакомых друг с другом.
В. Дольников. XXV Всероссийская олимпиада. Решение — в №3–2000
1703.Еслиa
m
+ b
m
+ c
m
=0 и a
n
+ b
n
+ c
n
=0, где m и n — натуральные числа, то
abc =0. Докажите это. В.В. Произволов и В.А. Сендеров. Решение — в №3–2000
1704. На бесконечной клетчатой доске в каждой клетке квадрата размером n × n стоит
по одной фишке. Ход — перепрыгивание любой фишки через соседнюю по сто-
роне фишку, непосредственно за которой расположена пустая клетка; при этом ту
фишку, через которую фишка перепрыгнула, снимаем. Докажите, что позиция,
в которой невозможен ни один ход, не может возникнуть ранее чем через [n
2
/3]
ходов. С.И. Токарев. XXV Всероссийская олимпиада. Решение — в №3–2000
1705. Через точку внутри сферы проведены три взаимно перпендикулярные плоскости,
делящие сферу на 8 сферических треугольников. Докажите, что если их раскрасить
в шахматном порядке, то сумма площадей 4 сферических треугольников одного
цвета окажется равна сумме площадей других 4 треугольников.
В.В. Произволов. Решение — в №3–2000
1706. AL и BM — биссектрисы треугольника ABC. Одна из точек пересечения описан-
ных окружностей треугольников ACL и BCM лежит на отрезке AB.Докажите
равенство ACB =60
◦
.
Е. Сопкина. Санкт-Петербургская олимпиада, 1999 год. Решение — в №3–2000
1707.
∗
Квадрат клетчатой бумаги размером n × n разрезан на 2n
прямоугольников. При этом каждый прямоугольник рас-
положен либо целиком ниже, либо выше ступенчатой ло-
маной, разделяющей квадрат. Докажите, что некоторая
клетка клетчатой бумаги является одним из названных пря-
моугольников. В.В. Произволов. Решение—в№3–2000
1708. Играют двое. Они по очереди пишут на доске делители чис-
ла 100!, отличные от 1 (без повторений!). Проигрывает тот
игрок, после хода которого числа на доске окажутся взаим-
но просты в совокупности. Кто выигрывает при правильной
игре: начинающий или его противник?
Д. Карпов. Санкт-Петербургская олимпиада, 1999 год. Решение—в№3–2000
214
1709. Окружность пересекает стороны прямоугольника в вось-
ми точках, которые последовательно занумерованы. До-
кажите, что площадь четырёхугольника с вершинами
в точках с нечётными номерами равна площади четырёх-
угольника с вершинами в точках с чётными номерами
(другими словами, сумма площадей синих треугольни-
ков равна сумме площадей зелёных треугольников).
В.В. Произволов. Решение — в №3–2000
1710.Числаp, q, r , x, y , z положительные, причём p + q +
+ r =1 и x
p
y
q
z
r
= 1. Докажите неравенство
p
2
x
2
qy + rz
+
q
2
y
2
px + rz
+
r
2
z
2
px + qy
1
2
.
С. Калинин. Решение — в №3–2000
215
2000 год
1711. В <Большой энциклопедии кроликов> 10 томов. Они стоят на полке почти по по-
рядку: каждый том стоит либо на своём месте, либо на соседнем. Сколько таких
расположений возможно? Д.А. Калинин. Костромская олимпиада. Решение — в №4–2000
1712. а) Несколько треугольников расположены на плоскости так, что каждый четыре
из них имеют общую вершину. Докажите, что все треугольники имеют общую
вершину.
б) Несколько прямоугольников расположены на плоскости так, что каждые три
из них имеют общую вершину. Докажите, что все прямоугольники имеют общую
вершину. В.В. Произволов. Решение — в №4–2000
1713.НасторонахBC, CA и AB треугольника ABC взяты такие точки A
, B
и C
,что
прямые AA
, BB
и CC
пересекаются в одной точке. Пусть D, E, F, D
, E
и
F
— середины отрезков AB, BC , CA , A
B
, B
C
и C
A
соответственно. Докажите,
что
а) прямые DD
, EE
и FF
имеют общую точку, причём эта точка, точка пересече-
ния медиан треугольника ABC и точка пересечения прямых AA
, BB
и CC
лежат
на одной прямой;
б) если в качестве прямых AA
, BB
и CC
взяты высоты треугольника ABC,то
точка пересечения прямых DD
, EE
и FF
совпадает с центром окружности девяти
точек треугольника ABC;
в) если прямые AA
, BB
и CC
— биссектрисы треугольника ABC,тоихобщая
точка, точка Нагеля (точка пересечения прямых, проходящих через вершины тре-
угольника ABC и делящих его периметр пополам) и общая точка прямых DD
, EE
и FF
лежат на одной прямой;
г) если прямые AA
, BB
и CC
делят периметр треугольника ABC пополам, то
точка пересечения прямых DD
, EE
и FF
совпадает с центром масс контура
треугольника ABC. И.З. Вайнштейн. Решение — в №4–2000
1714.
∗
Уравнение а)
x
2
+1
y
2
− 1
= z
2
;б)
x
2
− 1
y
2
− 1
= z
2
; в*)
x
2
+1
y
2
+1
= z
2
имеет бесконечно много решений в натуральных числах x, y и z , удовлетворяющих
условию x = y.Докажитеэто. В.А. Сендеров. Решение — в №4–2000
1715.Первые2n натуральных чисел записаны в виде такой последовательности a
1
, a
2
,
... , a
2n
,что |a
1
− a
2
| + |a
2
− a
3
| + ...+ |a
2n−1
− a
2n
| + |a
2n
− a
1
| =2n
2
.Докажите
равенство |a
1
−a
2
|+ |a
3
−a
4
|+ ...+ |a
2n−1
−a
2n
| = n
2
. В.В. Произволов. Решение — в №4–2000
1716. Какое наименьшее число клеток можно отметить в квадрате клетчатой бумаги
размером n ×n так, чтобы каждая клетка квадрата, отмеченная или неотмеченная,
соседствовала по стороне хотя бы с одной отмеченной клеткой?
Е. Барабанов и И.В. Воронович. XL международная олимпиада. Решение — в №4–2000
1717.
∗
Окружности ω
1
и ω
2
изнутри касаются окружности ω вточках M и N соответ-
ственно. Окружность ω
1
проходит через центр окружности ω
2
. Прямая, прохо-
дящая через точки пересечения окружностей ω
1
и ω
2
, пересекает окружность ω
вточках A и B.ПрямыеMA и MB пересекают окружность ω
1
вточкахC и D
соответственно. Докажите, что прямая CD касается окружности ω
2
.
П.А. Кожевников. XL международная олимпиада. Решение — в №4–2000
216
1718.
∗
Найдите все такие функции f : → ,чтодлялюбыхx и y верно равенство
f(x − f(y)) = f(f(y)) + xf(y)+f(x) − 1.
XL международная олимпиада, задачу предложила Япония. Решение — в №4–2000
1719. Последовательность a
1
, a
2
, a
3
, ... задана своим первым членом a
1
=1 и
рекуррентной формулой a
n+1
= a
n
+
1
a
n
,гдеn =1, 2,3, ...
а) Докажите неравенство a
100
> 14.
б*) Найдите
a
1000
, то есть найдите такое целое число m,чтоm a
1000
<m+1.
в*) Докажите существование и найдите значение предела lim
n→∞
a
n
√
n
.
А.В. Спивак. Решение — в №4–2000
1720.
∗
Какое наибольшее число одинаковых деревянных кубиков можно склеить между
собой так, чтобы каждые два кубика были склеены по грани или по участку грани?
В.В. Произволов. Решение — в №4–2000
1721. Имеет ли уравнение x
2
− 3y
2
= 2000 решение в целых числах?
В.А. Сендеров. Решение — в №5–2000
1722.Числа a и b натуральные. Проведём через точку (a; b) прямую, отсекающую от
первого координатного угла треугольник.
а) Докажите, что количество точек с целыми неотрицательными координатами,
которые лежат внутри или на сторонах этого треугольника, превышает 2ab + a+ b.
б) Докажите, что эта оценка точная: через точку (a; b) можно провести прямую,
отсекающую от первого координатного угла треугольник, внутри и на сторонах
которого всего 2ab + a + b + 1 точек с целыми неотрицательными координатами.
М.Ю. Панов. Решение — в №5–2000
1723. Из точки на плоскости выходят n красных и n синих векторов. Красные векторы
занумерованы первыми n натуральными числами. В порядке нумерации каждый
вектор поворачивается по часовой стрелке и занимает положение ближайшего сво-
бодного синего вектора так, что в конце концов красные векторы займут положения
синих векторов. Докажите, что сумма углов поворотов не зависит от порядка ну-
мерации красных векторов. В.В. Произволов. Решение — в №5–2000
1724. В треугольнике ABC проведены высоты AD и CE, пересекающиеся в точке O.
Прямая DE пересекает продолжение стороны AC вточкеK. Докажите, что
медиана BM треугольника ABC перпендикулярна прямой OK.
М.А. Волчкевич. Решение — в №5–2000
1725.
∗
Из клетчатой бумаги вырезана крестообразная фигура F вы-
сотой 2n + 1 и шириной 2n + 1 (пример для случая n =3
изображён на рисунке). Докажите, что
а) фигуру F нельзя разрезать на 2n выпуклых фигур;
б) если фигура F разрезана на 2n + 1 выпуклых многоуголь-
ников, то каждый из них является прямоугольником.
В.В. Произволов. Решение — в №5–2000
1726. На плоскости проведены n прямых. Каждая пересекает ровно
1999 других. Найдите все возможные значения n.
Р.Г. Женодаров. Осенний Турнир городов, 1999 год. Решение — в №6–2000
1727. Неутомимые Фома и Ерёма строят последовательность. Начинают с произвольного
натурального числа. Затем по очереди они делают следующее. Фома прибавляет к
очередному числу некоторую из его цифр, а Ерёма вычитает из очередного числа
некоторую из его цифр. Докажите, что хотя бы одно из чисел встретится в этой
217
последовательности не менее 10 раз.
А.В. Шаповалов. Осенний Турнир городов, 1999 год. Решение — в №6–2000
1728.Точки K и L — это точки касания сторон AC и BC треугольника ABC сего
вневписанными окружностями. Докажите, что прямая, проходящая через середины
отрезков KL и AB а) делит периметр треугольника ABC пополам; б) параллельна
биссектрисе угла ACB . Л. Емельянов. Осенний Турнир городов, 1999 год. Решение — в №6–2000
1729. Натуральный ряд разбит на два бесконечных подмножества так, что для любых
чисел x , y и z, принадлежащих одному и тому же из этих подмножеств, сумма
x+y+z принадлежит тому же подмножеству. Докажите, что одно из подмножеств
состоит из нечётных чисел, а другое — из чётных.
В.В. Произволов. Осенний Турнир городов, 1999 год. Решение — в №6–2000
1730.
∗
Продолжения противоположных сторон выпуклого четырёхугольника пересекаются
вточкахM и K. Через точку O пересечения диагоналей четырёхугольника
проведена прямая, параллельная прямой MK. Докажите, что отрезок, заключён-
ный внутри четырёхугольника, точка O делит пополам.
М.А. Волчкевич. Осенний Турнир городов, 1999 год. Решение — в №6–2000
1731. В ряд нарисованы 60 звёздочек. Два игрока по очереди заменяют звёздочки на
цифры. Какую именно из оставшихся звёздочек заменять на цифру, игрок, решает
игрок, делающий очередной ход. Докажите, что второй игрок может играть так,
чтобы полученное число (возможно, начинающееся на цифру 0) делилось на 13.
Н.Б. Васильев и Б.Д. Гинзбург. Решение — в №6–2000
1732.
∗
а) A и B — конечные подмножества некоторой прямой, состоящее не менее чем
из 3 точек каждое. Если существует биекция множества всех трёхэлементных под-
множеств множества A на множество всех трёхэлементных подмножеств множе-
ства B, при которой всякое трёхэлементное подмножество множества A переходит
в конгруэнтное ему подмножество множества B, докажите, что множества A и B
конгруэнтны.
б) Верно ли аналогичное утверждение, если вместо <трёхэлементное> в пункте а)
всюду написать <двухэлементное>? В.В. Произволов. Решение — в №6–2000
1733. Непрерывная функция f : [0; 1] → [0; 1] такова, что для любого числа x ∈ [0; 1]
верно равенство f(f(x)) = x . Докажите равенство
1
R
0
|
x − f(x)
|
dx =
1
2
.
К. Каибханов. Решение — в №6–2000
1734. Уравнение
sin x
x
β
=cosx на интервале
0;
π
2
не имеет ни одного решения при β<
< 3, но имеет единственное решение при β>3. Докажите это.
В.А. Сендеров. Решение — в №6–2000
1735.
∗
Выпуклый многогранник имеет 6 вершин: пооднойнакаждойизполуосейпря-
моугольной системы координат. Докажите, что 8 проекций начала координат на
грани многогранника лежат на одной сфере. В.В. Произволов. Решение — в №6–2000
1736. Какое наибольшее число коней можно расставить на доске размером 5 × 5так,
чтобы каждый из них бил ровно двух других?
М. Горелов. LXIII московская олимпиада. Решение — в №1–2001
1737.Хорды AC и BD окружности с центром O пересекаются в точке K.ТочкиM и
N — центры описанных окружностей треугольников AKB и CKD . Докажите, что
OMKN — параллелограмм. А.А.Заславский. LXIII московская олимпиада. Решение — в №1–2001
218
1738. Из колоды вынули 7 карт, показали всем, перетасовали и раздали двум игрокам по
3 карты, а оставшуюся карту а) спрятали; б) отдали постороннему наблюдателю.
Игроки могут по очереди сообщать вслух открытым текстом любую информацию
о своих картах. Могут ли они сообщить друг другу свои карты так, чтобы при этом
посторонний наблюдатель не смог вычислить местонахождение ни одной из карт,
которых он не видит? А.В. Шаповалов. LXIII московская олимпиада. Решение — в №1–2001
1739. Для любой чётной цифры a и любой нечётной цифры b существует число, деляще-
еся на 2
2000
, каждая цифра которого — либо a,либоb .Докажитеэто.
И.Ф. Акулич и А.В. Жуков. Решение — в №1–2001
1740. Натуральные числа a , b и c таковы, что a
2
+ b
2
+ c
2
=(a − b)
2
+(b − c)
2
+(c −
−a)
2
. Докажите, что каждое из четырёх чисел ab, bc, ca и ab + bc + ca является
квадратом. В.В. Произволов. Решение — в №1–2001
1741. С каждым из чисел от 000 000 до 999 999 поступим следующим образом: умножим
первую цифру на 1, вторую на 2 и так далее, последнюю — на 6. Сумму полученных
шести чисел назовём характеристикой исходного числа. Характеристики скольких
чисел делятся на 7? Н.Б. Васильев и Б.Д. Гинзбург. Решение — в №2–2001
1742. Квадратная таблица заполнена натуральными цифрами таким образом, что всякие
два числа, соседние по вертикали или горизонтали, различаются на 1. Докажите,
что либо некоторое натуральное число присутствует на каждой горизонтали, либо
некоторое натуральное число присутствует на каждой вертикали.
В.В. Произволов. Решение — в №2–2001
1743.Найдите
1
3
+
2
3
+
2
2
3
+ ...+
2
100
3
.
А.С. Голованов. XXVI Всероссийская олимпиада. Решение — в №2–2001
1744.
∗
На прямоугольном столе лежат равные картонные квадраты k разных цветов со
сторонами, параллельными сторонам стола. Если рассмотреть любые k квадратов
разных цветов, то какие-нибудь два из них можно прибить к столу одним гвоздём.
Докажите, что существует такой цвет, что все квадраты этого цвета можно прибить
кстолу2n − 2 гвоздями. В. Дольников. XXVI Всероссийская олимпиада. Решение — в №2–2001
1745. В некоторых клетках доски размером 2n×2n стоят чёрные и белые фишки. С доски
сначала снимают все чёрные фишки, которые расположены в одной вертикали
хотя бы с одной белой, а затем все белые фишки, стоящие в одной горизонтали
хотя бы с одной из оставшихся чёрных. Докажите, что или чёрных фишек осталось
не более n
2
, или белых фишек на доске осталось не более n
2
.
С. Берлов и В.В. Произволов. XXVI Всероссийская олимпиада. Решение — в №2–2001
1746. На окружности находятся n красных и n синих точек, которые разделяют её на 2n
равных дуг. Каждая красная точка является серединой дуги окружности с синими
концами. Докажите, что каждая синяя точка является серединой дуги окружности
с красными концами. В.В. Произволов. Решение — в №2–2001
1747.
∗
Вписанная в треугольник ABC окружность касается его сторон в точках A
, B
и C
.
Через точку P пересечения прямых AA
, BB
и CC
проведены три окружности,
каждая из которых касается двух сторон треугольника. Докажите, что
а) шесть точек касания образуют вписанный шестиугольник, причём центр опи-
санной около него окружности совпадает с центром окружности, вписанной в тре-
угольник ABC;
б) главные диагонали этого шестиугольника пересекаются в точке P;
в) вторые точки пересечения проходящих через P окружностей лежат соответствен-
но на прямых AA
, BB
и CC
. А.А. Заславский. Решение — в №2–2001
219
1748. На плоскости выбраны 1000 точек общего положения (никакие три не лежат на од-
ной прямой). Рассмотрим всевозможные раскраски этих точек в два цвета. Назовём
раскраску неразделимой, если не существует такой прямой, что точки разных цве-
тов лежат в разных полуплоскостях. Докажите, что количество неразделимых
раскрасок не зависит от выбора точек на плоскости. Г.Р.Челноков. Решение — в №2–2001
1749. Рассмотрим последовательность слов, первое из которых состоит из одной буквы А,
второе — АБ, третье — АБА, четвёртое — АБААБ, пятое — АБААБАБА, и так
далее: очередное слово получаем из предыдущего, заменяя каждую букву А на АБ,
аБ—наА.
а) Докажите, что каждое слово этой последовательности, начиная с третьего, по-
лучается приписыванием предпредыдущего слова к предыдущему. Например, АБА-
АБАБА — это слово АБААБ, к которому справа приписано слово АБА.
б) Пусть a
1
=1, b
1
=2, a
2
=3, a
3
=4, b
2
=5, a
4
=6, b
3
=7, a
5
=8, a
6
=9,
b
4
= 10 и, вообще, пусть a
n
и b
n
— номера мест, на которых стоят n -е буквы буквы
А и Б в бесконечном слове АБААБАБААБААБАБААБАБААБААБАБААБААБ ... ,
начальными отрезками которого являются слова пункта а). Докажите равенство
b
n
= a
n
+ n .
в) Рассмотрим другую последовательность слов: А, АБ, АБАА, АБАААБАБ, АБА-
ААБАБАБАААБАА, ... (Очередное слово получается из предыдущего заменой А
на АБ, а Б — на АА.) Докажите, что каждое слово этой последовательности являет-
ся началом следующего её слова и что номер места, на котором в соответствующем
бесконечном слове АБАААБАБАБАААБАААБАААБАБАБАААБАБ ... стоит n-я
буква Б, в два раза больше номера места, на котором стоит n-я буква А.
Е.Я. Барский, Л.М. Коганов и А.В. Спивак. Решение — в №2–2001
1750. а) Взяли шесть бумажных квадратов, у каждого из которых длина стороны равна 1,
и ими целиком оклеили поверхность куба с ребром 1. Докажите, что хотя бы один
из этих бумажных квадратов целиком оклеивает некоторую грань куба.
б) Четырьмя бумажными равносторонними треугольниками, у каждого из которых
длина стороны равна 1, целиком оклеили поверхность правильного тетраэдра с
ребром 1. Обязательно ли хотя бы один из бумажных треугольников целиком
оклеивает некоторую грань тетраэдра? В.В. Произволов. Решение — в №2–2001
1751. Между двумя странами установлено авиационное сообщение. Каждый город одной
страны связан беспересадочными рейсами ровно с k городами другой. Из любого
города любой из этих стран можно перелететь в любой другой, возможно с пе-
ресадками. Никакие два города никакой одной из этих двух стран рейсы этой
авиакомпании не соединяют. Одну из авиалиний закрыли. Докажите, что по-
прежнему из любого города можно долететь до любого другого.
О. Мельников. Решение — в №3–2001
1752. Сколькими способами можно расставить 8 ладей на чёрные поля шахматной доски
так, чтобы они не били друг друга? В.В. Произволов. Решение — в №3–2001
1753. Вписанная в треугольник ABC окружность касается его сторон в точках A
, B
и C
.ТочкаL — середина отрезка A
B
. Докажите, что угол ALB тупой.
А.А. Заславский. Решение — в №3–2001
1754.
∗
Каждое натуральное число покрашено в чёрный или белый цвет. Докажите суще-
ствование такой возрастающей последовательности чётных чисел a
1
, a
2
, a
3
, ... ,
что все числа a
1
,
a
1
+a
2
2
, a
2
,
a
2
+a
3
2
, a
3
,
a
3
+a
4
2
, ... одного цвета.
В. Васильева и И.Протасов. Решение — в №3–2001. Исправление опечатки в условии — на странице 14 первого номера 2001 года
220