Зазуляк П.М., Гавриш В.І. Євсєєва Е.М., Йосипчук М.Д. Основи математичного опрацювання геодезичних вимірювань
Подождите немного. Документ загружается.
Методи врівноваження багатьох виміряних величин З і
Аналогічно поступимо і з останнім рівнянням системи (5.124).
sin(n-t
x
-t
2
)
t
_sin(?i +t
2
)
t
_ ,
: «і
—
: 'з —J vm>'2> 3/>
sin/,
sin/.
df
dt.
COS (/, + t
2
)
sin /, - sin (/, +1
2
) cos /, _ cos(/, +t
2
)~ sin(r, +1
2
)ctgt
= u
sm t
sin/,
dt-,
= t
cos(/, +1
2
)
_
8/' sin(/, +1
2
)
sin ' dt,
sin /,
,
__
sin(?|" + f°)
t0
_
_ COS(/,° + /
2
°) -sin^!
0
+ t
2
)ctgt°
sin/,
-'з +T.
vO
sin(/,
0
+/
2
°)_ ,
+ т
з :—n—-Jo
+T
\
sin/
0
sin/
.0 . .0
1 ,0 , _ cos(/|° + /
2
°)
<0
h
+T
2 . .0 '3
M
vt
sin/,
0
sin(/,°+/
2
)
sin/
sin(/|° +/
2
") cos(/,° +/
2
°)
А
-/o'^r
+
+
T-
sin(/,°+/
2
°) cos(/,°+/
2
) о
sin/" sin(/,° +/
2
)
Ч+ЬА
0
.0
Тут
= fo
1
1 + (c/g(/,
u
+
/
2
U
) - Ctgt\)Tj + c/g(/,
u
+ Ґ
2
)r
2
+ — T
3
, _sin(/
1
0
+/
2
°)^
0
Jo -
sm/,
А тепер вже можна записати відповідні лінійні рівняння поправок для сі
(5.124), які матимуть вигляд
т, + / , = v„
Т
2
+ /
2
= v
2
,
Л -
Т
2
+
h
= V
3>
/о
•c/g/fr, +ctgt°
2
х
2
h
+ L =v
5
,
364
Розділ V
/о'
(ctg{$ + tl) - ctg)Т| + ctg(t+1\)г
2
+\т
tl
+ h = v
6
,
до /, = - (A); l
2
=
t°
2
- (5); /
3
= я - -1°
2
- (C); /
4
=
t°
3
- (а); /
5
= /
0
- (6); /
6
= /„ - (c).
4. Розглянемо мережу нівелювання, зображену рисунком 5.18, у якій висота
пункту А є вихідною, та виміряно перевищення /?. (/ = 1,7).
в
Лі
Е
Рис. 5.18
За параметри в наведеній мережі виберемо висоти пунктів В, С, D, Е
= І
Н
ВІ
t
2
= [Н
с
],
h =
U = [н
Е
1
Тоді рівняння поправок у загальному вигляді запишуться так:
=[
/j
2
]>
h -1
2
= Щ,
t
A
-[H
A
] = [h
4
],
= [h
5
],
'
2
-[tfJ = Pg,
t
3
-[H
A
] = [h
7
].
Методи врівноваження багатьох виміряних величин З і
Ввівши поправки т, (/ = 1,4) до наближених значень параметрів (/ = 1,4)
v
f
(/ = 1,7) до виміряних перевищень
А,.
(/ = 1,7), отримаємо вихідну систе
лінійних рівнянь поправок
*,+/, = V,,
T
2-
T
,
+ /
2
= V
2>
Т,
- Т, + / = V,,
З
Т
4
+ /
4
= V
4
,
T
3-
T
4
+ /
5
= V
5'
X
2
+
h =
V
6'
т
3
+ /
7
= v
7
,
де /, ~[Я
/)
]-(/2|); /
2
=/
2
°-/
1
°-(А
2
); h=tl-tl-{h,)- l^tl-[H
A
]-(h
/
5
=
/
3
°
-
/
4
°
- (А
5
); /
6
=
ґ
2
°
- [Я J - (А
6
); /
7
=
Ґ
3
°
- [Я^
]
- (А
7
).
5.14. Приклади врівноваження геодезичних
мереж параметричним методом
Приклад 1. Розглянемо задачу врівноваження нівелірної мережі зображе
рисунком 5.19, у якій висота Н
А
= 946,528 м пункту А є вихідною та вимір*
перевищення
А.
(і = 1,8).
1.
Рис.
22
366
Розділ V
Таблиця 5.18
Таблиця вихідних даних
№
Значення виміряних
Довжина
ходу перевищень
А,
(/ = 1,8) (м) ходу (км)
1
7,431 9,4
2
11,226 41,5
3
3,789 6,8
4
8,546 24,5
5 4,767 17,4
6
12,204
34,2
7
7,451 11,4
8
14,893 20,4
2. За параметри приймемо висоти пунктів В, С, D, Е, тобто
= J.
'2 = [HJ,
Ч = <
5Л25
>
= \Н
Е
]. _
Ввівши наближені значення tf параметрів /Дг' = 1,4), вирази (5.125)
перепишемо так:
де тД/ = 1,4) - поправки до параметрів.
3. Обчислимо наближені значення параметрів
t= [Н
А
]
- (Л
6
) = 946,528 -12,204 = 934,324,
{
2 = І
Н
А ] - (
h
i) + (Аз) = 946,528 - 7,451 + 3,789 = 942,866,
4 =[Н
А
]~ (А„) = 946,528 -14,893 = 931,635,
t°
4
= [Н
А
]~ (й
7
) = 946,528 - 7,451 = 939,077.
4. Складаємо рівняння поправок у загальному вигляді
t
2
-t
3
= [h
2
],
u-t
x
= [h
5
],
Методи врівноваження багатьох виміряних величин З і
Ю - = [AJ,
[tfj-/
4
= [/g,
[н
А
] -t
3
= [/g.
5. Відповідні вихідні лінійні рівняння поправок будуть такими:
T
4-'
r
3
+ /
.
= V
,'
Г
2~
Т
3
+ /
2
= 1;
2>
T
2-
T
4
+ /
3
= V
3'
т, - т, + /
4
= v
4
,
(5.126
Т
4~
Т
,
+ /
5
= V
5'
- + 4 = V
- Т
4
+ /
7
= v
7
,
-
*3
+
h = V
6. Обчислимо коефіцієнти /.(/' = 1,8), які містять рівняння поправок (5.126^
/, =t°
4
-t° -(/2,) = 939,077 -931,635 -7,431=0,0110,
h = " " (
/г
2) = 942,866 - 931,635 -11,226 = 0,0050,
h =
*2°
- А —(Лз) = 942,866 - 939,077 - 3,789 = 0,0000,
/
4
= - /0 - (/,
4
) = 942,866 - 934,324 - 8,546 = -0,0040,
/
5
Lt
0
4
-(A
s
) = 939,077 -934,324 -4,767 = -0,0140,
/
6
=[tf -(A
6
) = 946,528-931,635-12,204 = 0,0000,
li=[H
A
]-tl~{h
1
) = 946,528 - 931,635 - 7,451 = 0,0000,
k =[#J-/3 -(A
8
) = 946,528-931,635-14,893 = 0,0000.
7. Запишемо вагову функцію
f
=t
4-'r
8. Знайдемо ваги виміряних перевищень за формулами
Я 10,. ^
d
i
d
i
де d
t
{i = 1,8) - довжини ходів;
ш
Розділ V
10
in*
10
Л1Л
10
ЛАП
10
ґ\
Л 1
Рі = — = 1,06; р
2
= = 0,24; р-, =— = 1,47; р,= = 0,41;
9,4 41,5
3
6,8
УА
24,5
р
5
= — = 0.57; р
6
= — = 0,29;
Рі
= — = 0,88; р» = — = 0,49.
5
17,4
У6
34,2
У1
11,4 ' 20,4
9. Коефіцієнти вихідної системи лінійних рівнянь поправок помістимо в
таблицю 5.19.
Таблиця 5.19
№
ходу
а ь
с d /
s
Р
ра
pb рс
pd
РІ
ps
1
0
0 -1 1 11
11 1,06
0,00 0,00
-1,06 1,06
11,66
11,66
2
0 1
-1 0
5 5 0,24
0,00 0,24 -0,24
0,00
1,20
1,20
3
0 1
0 -1 0
0 1,47 0,00
1,47
0,00 -1,47
0,00
0,00
4
-1 1
0 0 -4
-4 0,41 -0,41
0,41
0,00 0,00 -1,64
-1,64
5
-1
0 0 1 -14
-14 0,57
-0,57 0,00
0,00
0,57 -7,98
-7,98
6
-1 0
0 0 0 -1
0,29
-0,29 0,00
0,00 0,00
0,00
-0,29
7
0 0 0
-1 0 -1
0,88 0,00
0,00
0,00 -0,88
0,00
-0,88
8
0 0 -1
0
0 -1 0,49
0,00 0,00
-0,49 0,00
0,00
-0,49
2 -3 3
-3 0 -2
-5
-1,28 2,12
-1,79 -0,71 3,24
1,58
10. Побудуємо таблицю 5.20 коефіцієнтів нормальних рівнянь поправок.
Таблиця 5.20
а]
ь1
сі
d]
Л s]
\ра
1,27 -0,41
0,00
-0,57
9,62
9,91
\рЬ
2,12
-0,24
-1,47
-0,44
-0,44
\рс
1,79
-1,06 -12,86
-12,37
[pd
3,98
3,68
4,56
\РІ
252,54
252,54
сOS
252,54
254,20
11. Для розв'язування системи нормальних рівнянь поправок, використаємо
:хему Ґаусса-Дулітля (див. Додаток, табл.9). Результати обчислень занесемо в
таблицю 5.21.
і
Методи врівноваження багатьох виміряних величин
З і
Таблиця
5.21
а] Ь] с]
d\
l\
J]
A
Й
Qi
a
64
\ра
1,27
-0,41 0,00 -0,57
9,62 9,91
0,00 0,29 -i
0 0 0
е\
-1,00
0.3228
0,0000 0,4488
-7,5748 -7,8031 0,0000 -0,2283
0,7874 0,0000 0,0000
0,0000
ТІ
-8.3727 -0,4110 0,0000 -0,3869
-7,5748
\рь
2,12
-0,24
-1,47 -0,44 -0,44 -1,00 -1,00
0 -1 0 0
п
-0,1324 0,0000
-0,1840 3,1057 3,1993 0,0000
0,0936 -0,3228 0.0000 0,0000
0,0000
\рЬ\
1.9876
-0.2400 -1,6540 2,6657 2,7593
-1,0000
-0,9064
-0,3228
-1,0000 0,0000 0,0000
е2
-1,0000 0,1207 0,8322
-1,3412 -1,3883 0,5031
0,4560 0,1624 0,5031 0,0000
0,0000
Ґ2
-1.2732 0,7853 -0,7173
-1,3412
\рс
1,79 -1,06
-12,86
-12,37
1,00 1,49 0
0 -1 0
П
0,0000 0,0000
0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
ПІ
-0,0290
-0,1997 0,3219 0,3332 -0,1207
-0,1094 -0,0390 -0,1207 0,0000 0,0000
\рс2
1,7610 -1,2597 -12,5381 -12,0368
0,8793 1,3806 -0,0390 -0,1207 -1,0000 0,0000
е2>
-1,0000 0,7153 7,1199
6,8352 -0,4993 -0,7840 0,0221 0,0685
0,5678 0,0000
тЗ
6.5033 -0,6166 7,1199
\pd
3,98 3,68 4,56 0,00 0,88
0 0 0 -1
П
>
-0,2558
4.3176 4,4478 0,0000 0,1302 -0,4488
0,0000 0,0000 0,0000
ПІ
-1,3764
2,2183 2,2962
-0,8322 -0,7543 -0,2686 -0,8321 0,0000 0,0000
П2
-0,9011 -8,9689 -8,6103
0,6290 0,9876 -0,0278 -0,0863 -0,7152 0,0000
\pdi
1.4467 1,2470
2,6937 -0,2032
1,2435
-0,7452 -0,9184 -0,7152 -1,0000
е4
-1,0000 -0,8620 -1,8620 0,1405 -0,8595 0,5151
0,6348 0,4944 0,6912
т4
-0,8620
-0,8620
¥
252,54 252,54
0,00
0,00
0,5151 0,6348
0,4944 0.6912
п
-72,8696
-75,0663
0,0000 0,0000 0,3906 0,5226 0.9214
ПІ
-3,5751
-3,7007
-0,5031 -0,4560
0,5844
1.0945
П2
-89,2697
-85,7005
-0,4391 -0,6894 1.2071
ПЗ
-1,0749 -2,3219 -0,0285 0,1747
\
Р
14
[pv
!
] =
85,7507
85,7506 -0,9707 -0,9707
=-1 !p,
12.
Контроль розв'язування системи нормальних рівнянь поправок здійснимі
в
таблиці
5.22.
Таблиця
5.2.
O]
b]
C]
d\
elTl
b]f2
СІТЗ
d]t4
n
E
-8,3727 -1,2732 6,5033
-0,8620
\pa 1,27 -0,41 0,00 -0,57
-10,6333 0,5220 0,0000
0,4913
9,62
0,0000
\pb
-0,42 2,12 -0,24 -1,47
3,4328 -2,6992 -1,5608
1,2671
-0,44
-0,0001
f pc 0,00
-0,24
1,79 -1,06
0,0000 0,3056 11,6409 0,9137
-12,86 0,0002
fpd
-0,57 -1,47 -1,06 3,98
4,7724 1,8716 -6,8935 -3,4308
3,68
-0,0003
£
0,28 0,00 0,49 0,88
-2,4281 0,0000 3,1866 -0,7587
0,00
-0,0002
13.
Обчислення поправок
до
результатів вимірювань проведемо
в
таблиці
5.2.'
370
Розділ V
Таблиця 5.23
№
ходу
а ь
с d / V
Р
pv
р\
г
№
ходу
-8,3727 -1,2732
6,5033 -0,8620
1
0 0 -1 1 11
3,6347 1,06 3,8528
14,0038
2
0 1 -1 0
5 -2,7765 0,24 -0,6664
1,8503
3 0 1
0 -1 0 -0,4112
1,47 -0,6045
0,2486
4
-1 1 0
0
-4
3,0995 0,41
1,2708 3,9388
5
-1
0 0 1
-14 -6,4893 0,57
-3,6989 24,0033
6 -1 0
0 0 0 8,3727
0,29 2,4281 20,3298
7
0
0
0 -1 0 0,8620 0,88
0,7586 0,6539
8 0 0 -1
0 0 -6,5033
0,49 -3,1866 20,7234
85,7519
14. Врівноважені перевищення подано таблицею 5.24.
Таблиця 5.24
№
ходу
Значення перевищень h
i
(i = 1,8) (м)
№
ходу
Виміряні Поправки
Врівноважені
1 7,431 0,0036
7,4346
2
11,226 -0,0028 11,2232
3 3,789 -0,0004
3,7886
4 8,546
0,0031 8,5491
5 А,161
-0,0065 4,7605
6 12,204 0,0084
12,2124
7 7,451 0,0009
7,4519
8 14,893 -0,0065
14,8865
15. Виконаємо оцінку точності врівноважених перевищень, для чого
а) обчислимо середню квадратичну похибку одиниці ваги
. bv
2
] , 185,7519 . . , . .
/ ,
=±
V~1
—=±4
'
6(мм);
б) визначимо середню квадратичну похибку функції врівноважених величин
m
f
= ±рі
•
— = ±4,6
•
д/0,9707 = ±4,5 (мм);
\P
f
в) знайдемо середню квадратичну похибку на один кілометр ходу
т = ±-%= = ± 4^ = ±1,4(ММ);
Л/Я л/10
г) середні квадратичні похибки параметрів
m, = = ±4,6
•
д/1,2071 =
±5,1
(мм);
Методи врівноваження багатьох виміряних величин З і
т
2
= = ±4,6
•
^1,0945 = ±4,8 (мм);
Щ = ±А*л/&Г = ±4,6
•
л/0,9214 = ±4,4 (мм);
m
4
= = ±4,6
•
л/0,6912 = ±3,6 (мм).
Приклад 2. Розглянемо задачу врівноваження геодезичного трикутника
якому при вершинах А, В, С виміряно кути та дві сторони а, Ь (див. Рис. 5.20)
1.
Таблиця 5
Таблиця вихідних даних
Елементи Виміряні
трикутника
значення
А
46°25'13,7"
В
68
о
01'25,2"
С
65°33'13,4"
а
795,881 м
b
1018,660 м
с
Рис. 5.20
2. Параметрами вважатимемо кути А і В та сторону а, тобто
= [А],
t
2
= [B],
'з = И-
3. За наближені значення параметрів приймемо вихідні значення кутів А
і 1
сторони а
=46°25'13,7',
372
Розділ V
/
2
° =68°01'25,2',
/
3
° =795,881.
4. Складаємо рівняння поправок у загальному вигляді
t
x
= [А],
t
2
= [B],
n-t
x
-t
2
= [C\,
/
3
= [а],
sin/,
sin /,
звідки видно, що останнє із них є нелінійним. Лінеаризуємо його. Для цього
розглянемо функцію f(t\,t
2
,t
3
) = t
3
sm?
2
r і п
... ^ „
ічі, розкладемо п в ряд Теилора в
sin/,
околі точки (/, ,/", /
3
) та обмежившись лінійними членами розкладу, отримаємо
1=1
'ЗГ
dt.
V
1
YU
•т, =/
3
О sin/,
n
sin/, COS/,
Т-(Ь)-'з
L
SIN/|
2 ,0
sm /
•т, +
+ /
cos /
0
Sin/
sin /,
•
T
2 +-Т-І
sin /,
•T, =/
sm /;
З . о
sin /,
1-ОД
0
-T, + c/g/
2
° -T
2
t\
-(b),
де т
(
. = /
(
. - /?(i = 1,3)^- поправки до параметрів.
5. Перейдемо від рівнянь поправок у загальному вигляді до лінійних рівнянь поправок
/
2
° +т
2
=(5) + V
2
,
п -/- т,
ч ч
, ,о _ , , - Ь,
t\ -г
2
=(C) + v
3
,
/
3
° + т
3
= (a) + v
4
,
r
(-c/g/,
u
-т, + ctg /
2
•
т
2
) + -у
•
т
3
+6
0
~(b) = v
5
,
де /)
0
= /
3
sin /,
sm/
^, або остаточно отримаємо