Зазуляк П.М., Гавриш В.І. Євсєєва Е.М., Йосипчук М.Д. Основи математичного опрацювання геодезичних вимірювань
Подождите немного. Документ загружается.
Методи врівноваження багатьох виміряних величин
З і
т, + /, = v,,
т
2
+ /
2
= v
2
,
-
Т
2
+
h =
V
3>
h
+
l
A =
V
4'
V
^•(-Ctgt°
• T,
+ c/g/
2
° •T
2
) + ^
r
-T
3
+ /
5
= v
5
.
6. Обчислимо коефіцієнти /. (/ = 1,5), що входять
у
лінійні рівняння поправок (5.1!
= 0,0',
/
2
=
/
2
°
-(В) = 0,0",
/
3
= я:-/,
0
~/
2
° -(С) = 180°-46°25'13,7"-68°01'25,2"-65°33'13,4* = 1,1",
А /
4
=/° ~(я) = 0,000(см),
L =Ь
п
-(Ь) = 795,881
•
sin
68°01 25,2
8?660 = 0
д
59х(м)
sin46°25 13,7
7. Ваговою функцією F буде довжина сторони трикутника ABC, 9
виразимо через введені параметри, використавши теорему синусів
F
=
c
=
=
h -sinfrr-fi-t
2
)
=
t
3
sin(/, +t
2
)
sin /, sin /,
Лінеаризуємо вагову функцію F, для чого розкладемо її в ряд Тейлора в ок
точки (/,°, /°, /°) та обмежимось лінійними членами розкладу. У результаті отримає
v
^ /
3
°
•
sin(?|° + /°) о cos(/
1
° +/°)• sin/
0
-sin(/,° + /°) •cos/° о COS(t
x
+t
2
)
r ~ +
/5
; r—r T, +
/3
; r Ti
sin/,
0
sin
2
?,
0
sin /,
1
+ ctg(t° +1\)
••
r, - Ctgt\
• T,
+ etg{t\ + /
2
°)
•
x
2
+ \
• x
sin(/,
0
+ /
2
0
) _/°-sin(/p +
;
2
°)
f
sin/.
/
3
0
-sin(/,°+/
2
0
)
r t\ = r ;
sm/,
/ =
F
- F
0
= F
0
• -L.
[(c
,
g
(,
J»
+ /0) -
ctgt
o) -T, + ctgitf +t°
2
)-x
2
] + j- x
3
.
(5 л
2j
374
Розділ V
8. Вважаємо, що ваги р.(і = 1,3) для кутових вимірювань є рівними одиниці, а
для лінійних вимірювань Р<=± = ^^ = 1,26(%
м
), р
5
= = 0,98(%
м
).
9. Обчислимо коефіцієнти при невідомих поправках т
;
(г = 1,3) в останньому
рівнянні системи лінійних рівнянь поправок (5.127)
1
79588,!.
sin68
°°'',
25
'
2
I
sin 46°25 13,7
1
206265
•
(-c?g46°25'13,7"
•
т, + c?g68°01'25,2"
•
т
2
) +
79588,10
+15,91 =79588,10
•
0,927338
0,724418
206265
•
(-0,951606 -т, +
+ 0,403546 -т
2
) +
1
1 П
• It -1
2
79588,10
3
+15,91 = -0,47т, + 0,20т
2
+ 1,28т
3
+15,91 = v..
1,2 ти,71- У
5
.
10. Знайдемо коефіцієнти для вагової функції/, поданої формулою (5.128)
, _
Q
.
eoi
sin(46
0
25'13,7" + 68°01'25,2")
f = 7958,81 —-х
sin 46°25 13,7
xj—і— [(crg(46
o
25
,
13,7' + 68
o
01
,
25,2*)-c/g46°25'13,7')T
1
+
[206265
+ сг^(46°25'13,7' + 68°01'25,2>
2
]
+
/'
- 0,951606)т, - 0,454549т
2
]
+
•
т
3
=
100017,1
ЗІ —-— [(-0,454549
•
79588,10
3
І [206265
1
-Т
3
\ = -0,68т, -0,22Т
2
+1,26т
3
.
79588,10
І. Коефіцієнти лінійних рівнянь поправок помістимо в таблицю 5.26.
Таблиця 5.26
Вимірю-
вання
а b
с / s
Р
ра
pb рс
РІ
ps
А
1
0 0 0 1
1,00 1,00 0,00 0,00
0,00 1,00
В
0 1 0
0 1 1,00 0,00 1,00
0,00 0,00
1,00
С
-1 -1
0 7,7
5,7
1,00
-1,00 -1,00 0,00 7,70
5,70
а 0
0 1 0 1
1,26 0,00 0,00
1,26 0,00 1,26
Ь
-0,47
0,20 1,28 15,91 16,92
0,98 -0,46 0,20
1,26 15,61 16,60
X
-0,47 0,20
2,28 23,61 25,62 -0,46
0,20 2,51
23,31 25,56
Методи врівноваження багатьох виміряних величин
З і
12.
Побудуємо таблицю
5.27
коефіцієнтів нормальної системи рівняні, ііопр
Таблиц.
0]
ь1
с]
п
|ра
2,22 0,91
-0,59
-15,04 -12,50
\pb
2,04 0,25
-4,59 -1,39
\рс
2,86 19,98 22,51
И
гаї,в2
307,97
1ps
316,59
13.
Скористаємось схемою Ґаусса-Дулітля
(див.
Додаток, табл.9
розв'язування системи нормальних рівнянь поправок
і
результати обчи
занесемо
в
таблицю
5.28.
Таблиц
а]
Ь]
с]
і1 S]
/1
Gi
Qi 1
[ра
2,22 0,91 -0,59
-15,04 -12,50
-0,68 1,85
-і 0
el
-1,0000
-0,4096 0,2664 6,7834 5,6402
0,3076 -0,8357 0,4511 0,0000
ті
4.8239
-0,3464 -1.6131
6,7834
\рЬ
2,04 0,25 -4,59 -1,39
-0,22
2,98
0 -1
П
-0,3720 0,2419 6,1597 5,1216
0,2793 -0,7588 0,4096 0,0000
\рЬ\
1,6670 0,4923
1,5714 3,7307 0,0589 2,2182 0,4096 -1,0000
е2
-1,0000 -0,2953 -0,9426
-2,2379 -0,0353 -1,3306 -0,2457 0,5999
т2
0.8457 1,7883 -0,9426
\рс
2,86 19,98 22,51 1,26 3,78 0 0
П
-0,1573 -4,0055
-3,3304 -0,1816 0,4935 -0,2664 0,0000
ПІ
-0,1454 -0,4640 -1,1017
-0,0174
-0.6550 -0,1210 0,2953
\рс2
2,5618 15,5141 18,0758 1,0577 3,6194 -0,3873 0,2953
-
еЗ
-1,0000 -6,0560 -7,0560
-0,4129
-1,4129 0,1512 -0,1153
тЗ
-6.0560 -6,0560
V
307,62 307,97
0,00 0,36
0,1512
-0,1153
П
102,0063
-84,8144
-0,2097 0,5698
-0,2904
0.6339
ПІ
-1,4812 -3,5166 -0,0021 -0,0784 0.6103
П2
-93,9532 -109,4673 -0,4367
-1,4944
\різ
110,1753
110,1753 -0,6485
-0,6453 =
1
Pf
14.
Контроль розв'язування нормальних рівнянь поправок здійснимо
в
табли
Табли,
«1
61
C
1
а\ Ті
Ь\ті
с]-Тз
і]
І
4,8239 0,8457 -6,0560
а\ Ті
Ь\ті
с]-Тз
і]
І
\ра 2,22 0,91 -0,59
10,6937 0,7680 3,5759 -15,04
0,0
\pb
0,91 2,04
0,25
4,3804 1,7244 -1,5164
-4,59
(),С
\рс -0,59 0,25 2,86
-2,8484 0,2118
-17,3469
19,98 (),С
2
2,53 3,20 2,52
12,2256 2,7042 -15,2874
0,36
о,с
376
Розділ V
15. Обчислення поправок до результатів вимірювань проведемо в таблиці 5.30.
Таблиця 5.30
Вимірю-
а b с
/ pv
pv
2
вання
4,8239 0,8457 -6,0560
/
Р
pv
pv
2
А
1 0 0 0 4,82 1,00 4,82 23,2700
В
0
1
0
0
0,85 1,00 0,85 0,7153
С
-1 -1 0 7,7 2,03 1,00
2,03
4,1224
А
0 0 1 0 -6,06 1,26 -7,61
46,0743
Ь -0,47 0,20 1,28 15,91 6,06 0,98
5,94
35.9933
110,1753
16. На основі проведених обчислень знайдемо врівноважені значення
ішміряних елементів трикутника та подамо остаточні значення всіх його кутів і
сторін в таблиці 5.31.
Таблиця 5.31
Елементи Виміряні Поправки Врівноважені Синуси
Значення довжин
трикутника
значення значення кутів
сторін (м)
А
46°25'13,7"
4,82" 46°25' 18,52"
0,724434
а = 795,8204
В
68°01'25,2" 0,85" 68°01'26,05"
0,927340
Ь= 1018,7206
С
65°33'13,4" 2,03"
65°33'15,43"
0,910354
с = 1000,0605
а 795,881 м -0,0606 м 795,8204 м
Ь 1018,660 м 0,0606 м 1018,7206 м
17. Виконаємо оцінку точності врівноважених елементів трикутника, для чого
а) обчислимо середню квадратичну похибку одиниці ваги
б) знайдемо середні квадратичні похибки параметрів
/я, = =
±6,1 •
д/0,6103 » ±4,7';
т
2
= = ±6,1
•
VO6339 » ±4,8';
т
3
= = ±6,1
•
Д3904 « ±3,8 (см);
в) визначимо середню квадратичну похибку функції врівноважених величин
m
f
=±pi
•
І— =
±6,1 •
^0,6485 -±4,9(см).
\Pf
Методи врівноваження багатьох виміряних величин З і
§ 5.15. Приклади розв'язування систем лінійних алгебраїчних
рівнянь, матриці коефіцієнтів яких є симетричними
У наведених прикладах врівноваження геодезичних мереж як параметричн
так і корелатним методами для розв'язування отриманих систем нормальг
рівнянь використовувався метод Ґаусса. Оскільки матриці коефіцієнтів та»
систем є симетричними, то покажемо застосування інших методів на прикл
такої системи:
x + 2_y-z +
3
= 0
2х + у + 2z -1 = 0
-x + 2j + 3z + 2 = 0.
1. Метод оберненої матриці.
Систему рівнянь (5.129) запишемо в матричному вигляді
N-X+B = 0
(5.12S
(5.13С
де
12-1'
N = 2 1 2
•12 3
Обчислимо визначник матриці N
; X:
У
Z
\ У
5 =
2
v у
N\=
1 2 -1
2 1 2
-12 3
=
1-1-3 —
2-2-1
—
2-2-1
—1-1-1 —
2-2-3
—
2-2-1 =
= 3- 4- 4-1-12-4 = -22
і такі алгебраїчні доповнення до елементів матриці:
А
22
-
1 2
2 З
1 -1
-1 З
-1; Л
І2
=
=
2:
А
23
2 2
-1 З
1 2
-1 2
= -8; А
із
= -4; А
33
=
2 1
-1 2
1 2
2 1
= 5;
-3.
378
Розділ V
Оскільки вихідна матриця Nc симетричною, то відповідна їй обернена матри-
ця /V
-1
буде також симетричною і тому обчислення алгебраїчних доповнень
Л,,, А
}1
, Л
32
опущено.
Запишемо обернену матрицю
22
'-1-8 5
-8 2-4
5 -4-3
у
після чого визначимо розв'язок матричного рівняння
X = -N~
l
В
22
1-8 5 Y З
-8 2-4
5-4-3
А
-1
2
22
-1-3 +
8-1
+ 5-2
л
-8-3-2-1-4-2
5-3 + 4-1-3-2
J_
22
' 15
л
-34
13
15
22
.12
п
11
22
Перевіримо, чи отриманий розв'язок задовільняє вихідну систему (5.129)
!5_
2
.М_!І
+3=0
22 22 22
„ 15 34 „ 13 ,
п
2 + 2
1
= 0
22 22 22
15 „ 34 13 „
п
- — -2- — + 3- —+ 2 = 0.
— 22 22 22
Отже, розв'язок знайдено правильно і він є точним.
2. Метод квадратних коренів.
с
Здійснимо прямий хід обчислень даного методу, а саме за формулами (5.36),
(5.39) обчислимо величини ty(i,j = 1,3) та х
і
(і = 1,3) відповідно. Для системи
рівнянь (5.129) коефіцієнти riy{i,j = 1,3) та 6.(/ = 1,3) будуть
/»„ = 1, п
а
= п
1х
= 2, л
13
= и
31
= -1, п
22
= 1, и
23
= и
32
= 2, и
33
= З, Ь
ї
= З,
Ь
2
= -1, Ь
г
= 2
Методи врівноваження багатьох виміряних величин З і
hi
=
л]
п
22
=
Vl -2
2
= У-3 = 4-1
•
л/з = /V3, і =
V—Т
- уявна одиниця,
"2з-'і2-'із _ 2 -2(-1)_ 4
122 /л/З /Уз
'зз
Z>I__3_ _ -1-2-3
x
3
=-
/ці hi i-jз /Уз
2 + 3 + J-.J- 5V3-28
/Уз гч/з Уз 15-28 13
*зз ^22 л/22 V3-V22 УЗУ22
А тепер проведемо зворотній хід, тобто за формулами (5.40) знайдемо невід<
х, у, z системи (5.129)
_ х
3
_ 13 Уз _ 13
~ *зз ~ Уз Л/22 Л/22 " 22'
7 4 13
=
x
2
-t
23
-z ^іуіз /Уз 22
=
7
•
22 - 4
•
13 _ 102
=
34
=
17
7
/
22
/УІ 3-22 ~ 3-22 ~ 22 ~ її'
-t
n
y-t
u
z_
|
2-34
|
13 _ 81 66 _ 15
Х
~ /„ "
+
22
+
22 "22 22 "22"
Як бачимо, отриманий розв'язок методом квадратних коренів, співпала
розв'язком, одержаним методом оберненої матриці.
3. Метод ортогоналізації.
Розглянемо систему лінійно незалежних векторів
/
(|)
= (1; 0; 0У,
/® = (0;1;0)
г
,
/<
3
>
= (0; 0; 1 У,
за допомогою якої побудуємо іншу систему векторів т
(/)
(у = 1,3) так:
Розділ V
Т») =
т
(2)
=ї
(2)
+Я
(2).
т
(.)
) (5Л31)
Т
(3)
=ї
(3)
+Я
(3).
т
(1)
+Я
(3).
т
(2)
>
Знайдемо коефіцієнти Л^ (j =
1;
2; / =
1;
2) та вектори тР, використавши при
цьому умови ортогональності (5.43)
(2)
f \ 2-Р
М
(2)
= 2 1 2
-12 3
0
1
0
v
2
1
2
v У
т
(і)
г
-7W
(2) = (і; 0; 0)
-
2
V У
= 2,
=
' 1 2-П
гп
Гі ї
( П
2 1 2
0
=
2
, т
(,)Г
=
(1;
0; 0)
•
2
= 1,
-12 3
V У
0
V
-1
V J
-1
V У
Я
(
,
2)
=-2;
я(3)
_ т"
)Г
' т
<1)Г
-TVT'
1
' '
7W
(3)
' 1
2- 1 ї
fo>
2 1
2 0
=
2
-1
V
2
3
У
1
V
3
V У
, -г<"
г
.
Nt
0)
=(1; 0;0)
-
ґ
-1
Л
З
v у
= -1,
А™ =1;
Я
(
2
3)
=-
г
(2)
-М
(3)
f
0
]
ГП
т
(2)
=
1
-2 0
=
1
0 0
0
V V У
V У
т
(2)
-iVT
(2)
, г
і2)Т
-Nt
(3)
= (-2;1;0)-
З
v у
= 4,
Методи врівноваження багатьох виміряних величин
NT
(2)
=
Ґ 1
2-
П 2
N
Ґ
=
2
1 2
1
=
-
3
-1 2 3
0
4
V
У V У
V
У
,
T
(2)
r
.jvt
(2)
=(-2;1; 0)-
Ґг\ \
4
\ У
= -з,
;(3) _ 4
Я
2
М) -
f°l
'П
/
2
1
0
4
1
0
+ 0
+
—
1
0
3
1
0
3
V
0
V
V У
V У
ґ
.1
Л
3
4
З
1
За формулою (5.44) знайдемо коефіцієнти розкладу
0Cj(J
= 1,3)
т
тт
-В
«і =
1
z
(l)T
-Nx
m
, т
<1)г
-
5 =
(1;
0;0)-
1
-2
V У
= -3,
т
(2)т
-В
а, - 3; а
2
-^
(2)Г
7
а
2
=—; а
3
=
т
(2>г
-5 = (-2;1;0)
-2
v у
= 7,
дз w.
B
У З
т
(3)7-.^
т
(3)
yVT
(3)
=
/
1 2 -1
Л
2 1 2
-12 3
v
.(3)Г
' З
4
З
1
/ л
0
0
22
v 3 У
I
x
O-)T.
Nz
O) =
/
5 4
Л
З'З
V У
f \
0
0
22
v3
y
22
З
:
В =
-М-1
Л
) . )
1
З з
ґ
-3
Л
1
-2
13
з
:
—, а
3
=
13
22'
382
Розділ V
Шуканий вектор X =
Z
V У
отримуємо за формулою (5.42)
0
7
0
~3
1
0 0
V V У
ІЗ
22
'
15
1
3
22
4 17
3 11
1 13
V J
22
V У
4. Метод простої ітерації.
Розглянемо симетричну систему лінійних алгебраїчних рівнянь
9x +
2;>
+ z-l = 0
2x + 12j>-2z +
3
= 0
x-2j + 14z-2 =0,
(5.132)
яку зведемо до вигляду (5.49)
X=B.-N.X,
де
Х =
У
z
V У
В
х
=
J_
9
J_
4
0,11
-0,25
0,14
N
x
=
і ї
9
1
0 2
9
1 о-
6
-1-А о
14 7
0 0,22 0,1 Г
0,17 0-0,17
0,07-0,14 0
Оскільки сума елементів матриці N
{
за абсолютною величиною в кожному
рядку та стовпці є меншою за одиницю, то ітераційний процес буде збіжним до
єдиного розв'язку вихідної системи.
За нульове наближення розв'язку виберемо вектор B
v
Тоді перше наближення
розв'язку отримаємо за ітераційними формулами (5.50)
'
одП
'
0
0,22
0,1
Г
/
0,1
Г
f °'
П
1
'-0,04
n
'
0,1
-0,25
-
0,17 0
-
0,17 0,25
-
-0,25
-
-0,01
-
-0,24
0,14
\ У
0,07- 0,14 0
У V
0,14
0,14
V У
0,04
V
0,10
V У