М.: МГУ им. М. В. Ломоносова. Механико-математический
факультет.
III курс, 6 семестр, поток математиков, 2005.
Этот документ представляет собой переработанный курс лекций по комплексному анализу, первоначально набранный одним из студентов МехМата. В оригинальном варианте не было иллюстраций, что осложняло восприятие материала, а кроме того, имелось отличное от нуля количество опечаток и прочих глюков типографского характера. Спасибо А. Басалаеву, А. Веремьёву, А. Шапиро и Андрею (avolk07(собачка)mail.ru) за ценные замечания и исправления. Данная версия документа обладает одним важным свойством: она была отредактирована самим лектором, что немного сильно количество опечаток и неточностей. Порядок изложения материала наиболее соответствует курсу 2005 г.
Оглавление
Гармонические функции. Гидродинамика
Связь гармонических и голоморфных функций
Гармонические функции Восстановление голоморфной функции по гармонической вещественной части
Свойства гармонических функций Аналоги свойств голоморфных функций Особые точки гармонических функций
Задача Дирихле
Гидродинамическое доказательство теоремы Римана
Векторные поля и голоморфные функции
Примеры
Теорема РиманаМногомерный комплексный анализ
Голоморфные функции многих переменных
Определения, простейшие свойства
Кратная интегральная формула Коши
Свойства голоморфных функций
Степенные ряды для функций многих переменных
Разложение голоморфной функции в ряд
Область сходимости
Логарифмическая выпуклость
Эквивалентные определения голоморфной функции
Стандартные теоремы о голоморфных функциях
Плюригармонические функции
Устранимые особые множества. Фигуры Хартогса
Об устранимых особых множествах
Аналитическое продолжение функции с фигуры Хартогса на полидиск
Принцип непрерывности и области голоморфности
Биголоморфные отображения
Теорема о неявном отображении
Примеры биголоморфных отображений
Дробно-линейные отображения в CP2
Обобщённый принцип максимума и лемма Шварца
Биголоморфная неэквивалентность шара и полидиска
Теорема Анри Картана
Представление мероморфных и целых функций
Представление мероморфных функций
Теорема Миттаг-Леффлера
Метод Коши
Представление целых функций
О бесконечных произведениях
Теорема Вейерштрасса о заказанных нулях
Эллиптические функции
Двоякопериодические функции и их свойства
Периодические функции в C
Свойства эллиптических функций
Функция Вейерштрасса
Построение Функции Вейерштрасса
Дифференциальное уравнение
Выражение эллиптических функций через функцию Вейерштрасса
Униформизация кубической кривой
Приложение
III курс, 6 семестр, поток математиков, 2005.
Этот документ представляет собой переработанный курс лекций по комплексному анализу, первоначально набранный одним из студентов МехМата. В оригинальном варианте не было иллюстраций, что осложняло восприятие материала, а кроме того, имелось отличное от нуля количество опечаток и прочих глюков типографского характера. Спасибо А. Басалаеву, А. Веремьёву, А. Шапиро и Андрею (avolk07(собачка)mail.ru) за ценные замечания и исправления. Данная версия документа обладает одним важным свойством: она была отредактирована самим лектором, что немного сильно количество опечаток и неточностей. Порядок изложения материала наиболее соответствует курсу 2005 г.
Оглавление
Гармонические функции. Гидродинамика
Связь гармонических и голоморфных функций
Гармонические функции Восстановление голоморфной функции по гармонической вещественной части
Свойства гармонических функций Аналоги свойств голоморфных функций Особые точки гармонических функций
Задача Дирихле
Гидродинамическое доказательство теоремы Римана
Векторные поля и голоморфные функции
Примеры
Теорема РиманаМногомерный комплексный анализ
Голоморфные функции многих переменных
Определения, простейшие свойства
Кратная интегральная формула Коши
Свойства голоморфных функций
Степенные ряды для функций многих переменных
Разложение голоморфной функции в ряд
Область сходимости
Логарифмическая выпуклость
Эквивалентные определения голоморфной функции
Стандартные теоремы о голоморфных функциях
Плюригармонические функции
Устранимые особые множества. Фигуры Хартогса
Об устранимых особых множествах
Аналитическое продолжение функции с фигуры Хартогса на полидиск
Принцип непрерывности и области голоморфности
Биголоморфные отображения
Теорема о неявном отображении
Примеры биголоморфных отображений
Дробно-линейные отображения в CP2
Обобщённый принцип максимума и лемма Шварца
Биголоморфная неэквивалентность шара и полидиска
Теорема Анри Картана
Представление мероморфных и целых функций
Представление мероморфных функций
Теорема Миттаг-Леффлера
Метод Коши
Представление целых функций
О бесконечных произведениях
Теорема Вейерштрасса о заказанных нулях
Эллиптические функции
Двоякопериодические функции и их свойства
Периодические функции в C
Свойства эллиптических функций
Функция Вейерштрасса
Построение Функции Вейерштрасса
Дифференциальное уравнение
Выражение эллиптических функций через функцию Вейерштрасса
Униформизация кубической кривой
Приложение