Курс лекций. - Санкт-Петербург: СПбГУ, 2001.
Часть 1. – Исследование функций. – 59 с.
Часть 2. – Решение уравнений. – 44 с.
Курс лекций состоит из двух частей. Первая часть посвящена численным аппроксимациям функций и, связанным с этим вопросам дифференцирования и интегрирования, вторая — решению уравнений, в том числе и дифференциальным. Издание представляет собой изложение вводных лекций по численным методам, читавшихся на протяжении ряда лет авторами в первом семестре II курса физического факультета СПбГУ.
Часть 1.
Введение. Пространства с метрикой.
Аппроксимации функций.
Интерполяция.
Задача интерполяции.
Чебышевские системы функций.
Интерполяция многочленами.
Погрешность интерполяции.
Оценка J\fN+1(x).
Сходимость интерполяции. Примеры.
Сплайны.
Аппроксимации Паде.
"Наивный "подход.
Детерминантное Представление полиномов Паде.
Аппроксимации Паде в бесконечно удаленной точке.
Численное дифференцирование.
Дифференцирование интерполяционного полинома.
Конечные разности.
Оператор ∆ и обобщенная степень.
Интерполяционный многочлен Ньютона для равноотстоящих узлов.
Численное интегрирование.
Наводящие соображения.
Квадратурные формулы Ньютона-Котеса.
Случай равноотстоящих узлов.
Оценка погрешности квадратурных формул Ньютона-Котеса.
Формулы Гаусса-Кристофеля.
Пределы алгебраической степени точности.
Ортогональные полиномы.
Свойства ортогональных полиномов.
Примеры ортогональных полиномов.
Погрешность квадратурных формул.
Примеры квадратурных формул.
Составные квадратурные формулы.
Сходимость квадратурных формул.
Другие формулы.
Сплайн-квадратура.
Формулы Филона.
Составные формулы Филона5 Поиск минимума.
Случай одной переменной.
Метод золотого сечения.
Метод парабол.
Функции многих переменных.
Координатный спуск.
Наискорейший спуск.
Метод сопряженных направлений.
Часть 2.
Системы уравнений.
Решение нелинейных уравнений.
Одномерный случай.
Метод Ньютона.
Метод секущих.
Многомерный случай.
Решение линейных систем.
Обусловленность линейных систем, погрешность.
Метод Гаусса.
L-R разложение.
Метод прогонки.
Метод итераций для решения линейных систем.
Метод Зейделя.
Алгебраические спектральные задачи.
Некоторые сведения из матричной теории.
Собственные числа эрмитовых матриц.
Интерполяционный метод.
Нахождение максимального по модулю собственного значения.
Обратные итерации.
Неэрмитовы матрицы.
Дополнительные сведения.
Метод итераций для максимального по модулю собственного числа кратности в случае жордановой аномалии.
Обыкновенные дифференциальные уравнения.
Общие сведения.
Задача Коши.
Краевая задача.
Задача Штурма-Лиувилля.
Что понимается под численным решением.
Задача Коши.
Получение явных схем.
Схема Эйлера (метод ломаных).
Методы Рунге-Кутта.
Методы Адамса.
Краевая задача.
Метод стрельбы.
Метод сеток (разностный метод).
Сходимость сеточных методов.
Метод Нумерова.
Задача Штурма-Лиувилля.
Метод стрельбы.
Метод сеток.
Разностный оператор второй производной.
Оператор второй производной.
Разностный оператор.
Резольвента.
Теория возмущений.
Часть 1. – Исследование функций. – 59 с.
Часть 2. – Решение уравнений. – 44 с.
Курс лекций состоит из двух частей. Первая часть посвящена численным аппроксимациям функций и, связанным с этим вопросам дифференцирования и интегрирования, вторая — решению уравнений, в том числе и дифференциальным. Издание представляет собой изложение вводных лекций по численным методам, читавшихся на протяжении ряда лет авторами в первом семестре II курса физического факультета СПбГУ.
Часть 1.
Введение. Пространства с метрикой.
Аппроксимации функций.
Интерполяция.
Задача интерполяции.
Чебышевские системы функций.
Интерполяция многочленами.
Погрешность интерполяции.
Оценка J\fN+1(x).
Сходимость интерполяции. Примеры.
Сплайны.
Аппроксимации Паде.
"Наивный "подход.
Детерминантное Представление полиномов Паде.
Аппроксимации Паде в бесконечно удаленной точке.
Численное дифференцирование.
Дифференцирование интерполяционного полинома.
Конечные разности.
Оператор ∆ и обобщенная степень.
Интерполяционный многочлен Ньютона для равноотстоящих узлов.
Численное интегрирование.
Наводящие соображения.
Квадратурные формулы Ньютона-Котеса.
Случай равноотстоящих узлов.
Оценка погрешности квадратурных формул Ньютона-Котеса.
Формулы Гаусса-Кристофеля.
Пределы алгебраической степени точности.
Ортогональные полиномы.
Свойства ортогональных полиномов.
Примеры ортогональных полиномов.
Погрешность квадратурных формул.
Примеры квадратурных формул.
Составные квадратурные формулы.
Сходимость квадратурных формул.
Другие формулы.
Сплайн-квадратура.
Формулы Филона.
Составные формулы Филона5 Поиск минимума.
Случай одной переменной.
Метод золотого сечения.
Метод парабол.
Функции многих переменных.
Координатный спуск.
Наискорейший спуск.
Метод сопряженных направлений.
Часть 2.
Системы уравнений.
Решение нелинейных уравнений.
Одномерный случай.
Метод Ньютона.
Метод секущих.
Многомерный случай.
Решение линейных систем.
Обусловленность линейных систем, погрешность.
Метод Гаусса.
L-R разложение.
Метод прогонки.
Метод итераций для решения линейных систем.
Метод Зейделя.
Алгебраические спектральные задачи.
Некоторые сведения из матричной теории.
Собственные числа эрмитовых матриц.
Интерполяционный метод.
Нахождение максимального по модулю собственного значения.
Обратные итерации.
Неэрмитовы матрицы.
Дополнительные сведения.
Метод итераций для максимального по модулю собственного числа кратности в случае жордановой аномалии.
Обыкновенные дифференциальные уравнения.
Общие сведения.
Задача Коши.
Краевая задача.
Задача Штурма-Лиувилля.
Что понимается под численным решением.
Задача Коши.
Получение явных схем.
Схема Эйлера (метод ломаных).
Методы Рунге-Кутта.
Методы Адамса.
Краевая задача.
Метод стрельбы.
Метод сеток (разностный метод).
Сходимость сеточных методов.
Метод Нумерова.
Задача Штурма-Лиувилля.
Метод стрельбы.
Метод сеток.
Разностный оператор второй производной.
Оператор второй производной.
Разностный оператор.
Резольвента.
Теория возмущений.