Учеб. пособие. — Новосибирск: Новосибирский государственный
университет, 2009. — 376 с. — ISBN 978–5–94356–751–3.
Учебное пособие предназначено для студентов первого курса
физического факультета Новосибирского государственного
университета.
В нём излагаются начальные разделы курса Высшая алгебра и аналитическая геометрия, прочитанные профессором А.Т. Гайновым в 1996–2005 гг. на этом факультете. Содержание
Введение
Алгебраические системы: группы, кольца, поля
Алгебраические системы
Группы
Кольца. Поля
Комплексные числа
Построение поля комплексных чисел
Сопряжённые комплексные числа
Тригонометрическая форма комплексного числа. Операции над комплексными числами в тригонометрической форме
Кольцо многочленов
Кольцо многочленов от нескольких неизвестных над областью целостности
Кольцо многочленов от одного неизвестного над произвольным полем. Теория делимости для многочленов
Корни многочлена от одного неизвестного
Разложение многочлена на неприводимые множители
Поле разложения многочлена
Поле дробей области целостности
Матрицы. Определители
Прямоугольные матрицы. Операции над матрицами
Перестановки и подстановки
Определители
Теорема Лапласа
Обратная матрица. Полная линейная группа. Ортогональная группа. Унитарная группа
Матричные уравнения AX = B, Y A = B. Теорема Крамера
Векторные пространства. Линейные многообразия. Системы линейных уравнений
Векторные пространства над полем, их примеры. Простейшие свойства
Линейная зависимость векторов. Теорема о замене
Изоморфизм векторных пространств
Переход от одного базиса векторного пространства к другому его базису
Ранг матрицы. Теорема о ранге. Ранг произведения двух матриц
Методы вычисления ранга матрицы
Теорема Кронекера–Капелли. Решение произвольной системы линейных уравнений (СЛУ)
Подпространства и линейные многообразия векторного пространства
Однородные СЛУ. Фундаментальная система решений
Связь между линейными многообразиями и СЛУ
Конечномерные теоремы Фредгольма
Аналитическая геометрия. Прямые и плоскости
Векторная алгебра
Прямые и плоскости
Линейные преобразования векторного пространства
Матрица линейного преобразования. Подобие матриц
Операции над линейными преобразованиями
Область значений и ядро линейного преобразования. Ранг и дефект линейного преобразования
Инвариантные подпространства
Собственные значения и собственные векторы линейного преобразования. Диагонализация матрицы
Характеристический многочлен линейного оператора и матрицы
Линейные преобразования унитарного пространства
Евклидовы и унитарные пространства
Сопряжённое преобразование
Унитарные преобразования
Самосопряженные преобразования
Квадратичные формы от n неизвестных
Квадратичные формы от n неизвестных над произвольным полем. Эквивалентность квадратичных форм
Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Метод Лагранжа
Нормальный вид квадратичной формы над алгебраически замкнутым полем
Вещественные квадратичные формы
Нормальный вид вещественной квадратичной формы. Закон инерции
Приведение вещественной квадратичной формы к главным осям. Ортогональные инварианты квадратичной формы
Положительно определенные вещественные квадратичные формы
Пара квадратичных форм
Эллипс, гипербола, парабола
Каноническое уравнение эллипса и гиперболы. Центр и оси симметрии
Директориальное свойство эллипса и гиперболы
Каноническое уравнение параболы
Асимптоты гиперболы
Полярное уравнение эллипса, гиперболы и параболы
Касательные
Квадрики в n-мерном евклидовом пространстве
Матричное уравнение квадрики
Изменение уравнения квадрики при общем преобразовании ПДСК
Метрические инварианты уравнения квадрики
Центры квадрики. Уравнения центра
Приведение уравнения квадрики к каноническому виду посредством преобразований ПДСК
Метрическая классификация кривых второго порядка на плоскости
Метрическая классификация поверхностей второго порядка в пространстве
Прямолинейные образующие поверхностей второго порядка
Жорданова нормальная форма матрицы
Корневые подпространства линейного оператора
Жорданова нормальная форма матрицы
Функции от матриц
Литература
В нём излагаются начальные разделы курса Высшая алгебра и аналитическая геометрия, прочитанные профессором А.Т. Гайновым в 1996–2005 гг. на этом факультете. Содержание
Введение
Алгебраические системы: группы, кольца, поля
Алгебраические системы
Группы
Кольца. Поля
Комплексные числа
Построение поля комплексных чисел
Сопряжённые комплексные числа
Тригонометрическая форма комплексного числа. Операции над комплексными числами в тригонометрической форме
Кольцо многочленов
Кольцо многочленов от нескольких неизвестных над областью целостности
Кольцо многочленов от одного неизвестного над произвольным полем. Теория делимости для многочленов
Корни многочлена от одного неизвестного
Разложение многочлена на неприводимые множители
Поле разложения многочлена
Поле дробей области целостности
Матрицы. Определители
Прямоугольные матрицы. Операции над матрицами
Перестановки и подстановки
Определители
Теорема Лапласа
Обратная матрица. Полная линейная группа. Ортогональная группа. Унитарная группа
Матричные уравнения AX = B, Y A = B. Теорема Крамера
Векторные пространства. Линейные многообразия. Системы линейных уравнений
Векторные пространства над полем, их примеры. Простейшие свойства
Линейная зависимость векторов. Теорема о замене
Изоморфизм векторных пространств
Переход от одного базиса векторного пространства к другому его базису
Ранг матрицы. Теорема о ранге. Ранг произведения двух матриц
Методы вычисления ранга матрицы
Теорема Кронекера–Капелли. Решение произвольной системы линейных уравнений (СЛУ)
Подпространства и линейные многообразия векторного пространства
Однородные СЛУ. Фундаментальная система решений
Связь между линейными многообразиями и СЛУ
Конечномерные теоремы Фредгольма
Аналитическая геометрия. Прямые и плоскости
Векторная алгебра
Прямые и плоскости
Линейные преобразования векторного пространства
Матрица линейного преобразования. Подобие матриц
Операции над линейными преобразованиями
Область значений и ядро линейного преобразования. Ранг и дефект линейного преобразования
Инвариантные подпространства
Собственные значения и собственные векторы линейного преобразования. Диагонализация матрицы
Характеристический многочлен линейного оператора и матрицы
Линейные преобразования унитарного пространства
Евклидовы и унитарные пространства
Сопряжённое преобразование
Унитарные преобразования
Самосопряженные преобразования
Квадратичные формы от n неизвестных
Квадратичные формы от n неизвестных над произвольным полем. Эквивалентность квадратичных форм
Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Метод Лагранжа
Нормальный вид квадратичной формы над алгебраически замкнутым полем
Вещественные квадратичные формы
Нормальный вид вещественной квадратичной формы. Закон инерции
Приведение вещественной квадратичной формы к главным осям. Ортогональные инварианты квадратичной формы
Положительно определенные вещественные квадратичные формы
Пара квадратичных форм
Эллипс, гипербола, парабола
Каноническое уравнение эллипса и гиперболы. Центр и оси симметрии
Директориальное свойство эллипса и гиперболы
Каноническое уравнение параболы
Асимптоты гиперболы
Полярное уравнение эллипса, гиперболы и параболы
Касательные
Квадрики в n-мерном евклидовом пространстве
Матричное уравнение квадрики
Изменение уравнения квадрики при общем преобразовании ПДСК
Метрические инварианты уравнения квадрики
Центры квадрики. Уравнения центра
Приведение уравнения квадрики к каноническому виду посредством преобразований ПДСК
Метрическая классификация кривых второго порядка на плоскости
Метрическая классификация поверхностей второго порядка в пространстве
Прямолинейные образующие поверхностей второго порядка
Жорданова нормальная форма матрицы
Корневые подпространства линейного оператора
Жорданова нормальная форма матрицы
Функции от матриц
Литература