Киев: Наукова думка, 1982. — 612 с.
Монография посвящена современному состоянию теории стохастических
дифференциальных уравнений (СДУ) и ее применениям. В качестве
вспомогательного аппарата приведен ряд разделов теории мартингалов.
Кроме различных аспектов проблем существования и единственности
решений уравнений рассмотрены предельные теоремы для решений СДУ,
исследовано асимптотическое поведение решений некоторых классов СДУ
и проблемы устойчивости. Описано применение теории к задачам
анализа и математической физики.
Для специалистов в области теории случайных процессов, теории дифференциальных уравнений, а также для преподавателей н студентов математических факультетов. Основные условные обозначения
Введение Мартингалы
Введение
Некоторые обозначения и определения. Моменты остановки.
Мартингалы и супермартингалы.
Супермартингалы дискретного аргумента.
Примеры. Преобразования последовательностей. Неравенства для максимумов.
Пересечения. Существование предела. Некоторые применения.
Закон Колмогорова "0 или 1 ". Сходимость ряда независимых слагаемых. Усиленный закон больших чисел.
Применения к абсолютной непрерывности мер. Теоремы о разложении супермартингалов. Дальнейшие неравенства. Неравенства Буркхольдера.
Супермартингалы непрерывного аргумента
Существование регулярных модификаций. Винеровский процесс.
Существование предела. Теорема Дуба о свободном выборе.
Процессы класса D. Локальные мартингалы. Измеримость случайных процессов. Некоторые применения
Классы измеримых процессов
Предварительные определения. Прогрессивно измеримые процессы.
Предсказуемые и вполне измеримые процессы. Предсказуемые моменты остановки. Теоремы о сечениях. Разложение моментов остановки.
Меры, связанные с процессами. Мера Долеан.
Предсказуемые и вполне измеримые проекции процессов.
Дуальные предсказуемые проекции мер. Теорема Мейера.
Квадратично интегрируемые мартингалы.
Пространства мартингалов. Характеристика квадратично интегрируемых мартингалов. Локально квадратично интегрируемые мартингалы
Мартингалы с непрерывными характеристиками.
Полумартингалы
Разложение полумартингалов. Возрастающий процесс, связанный с полумартингалом. Квадратическая вариация полумартигала.
Стохастические интегралы
Стохастические интегралы по мартингалам
Интегрирование предсказуемых процессов по мартингалам.
Интегрирование по квазинепрерывным мартингалам. Интегрирование по
локально квадратичным мартингалам. Интегрирование по векторным мартингалам.
Устойчивые подпространства мартингалов.
Формула ИТО
Формула Ито для непрерывных полумартингалов. Непрерывные мартингалы и винеровский процесс. Оценка моментов непрерывных
мартингалов. Представление мартингалов стохастическими интегралами.
Представление функционалов от винеровского процесса.
Интегрирование по стохастическим мерам.
Случайные меры. Случайные целочисленные меры.
Компенсированные меры скачков случайного процесса. Векторные полумартингалы.
Интегрирование по мартингальным мерам.
Обобщение формулы Ито
Формула Ито для полумартингалов. Пуассонова мера.
Преобразование мартингалов при замене меры Стохастические дифференциальные уравнения. Гладкий случай
Стохастические уравнения локально безгранично делимых процессов.
Локальная безграничная делимость. О представлении процессов с
независимыми приращениями с гладкими характеристиками.
Стохастическое дифференциальное уравнение. Марковский случай.
Единственность решения. Теоремы существования. Предельная теорема.
О линейных уравнениях. Стохастические уравнения, зависящие от параметра. Уравнения с коэффициентами, зависящими от прошлого.
Стохастические уравнения с произвольными мартингалами и случайными мерами
Определение стохастического уравнения. Условие единственности решения.
Теоремы существования. Предельная теорема.
Стохастические уравнения в случайных полях
Вид случайного поля, входящего в стохастическое уравнение.
Криволинейный интеграл от поля вдоль случайной кривой. Теорема единственности.
Теоремы существования. Меры, соответствующие решениям стохастических уравнений.
Существование слабых решений. Предельные теоремы
Условия слабой компактности мер, соответствующих решениям стохастических уравнений
Слабая компактность мер в С и D. Возрастающие процессы и процессы ограниченной вариации.
Мартингалы. Компактность мер, соответствующих стохастическим интегралам.
Существование слабых решений стохастических уравнений.
Локально безгранично делимые стохастические уравнения.
Уравнения с мартингалами и случайными мерами. Уравнения в случайных полях.
Сходимость случайных процессов к решениям стохастических уравнений
Сходимость к винеровскому процессу. Сходимость к пуассоновскому процессу и пуассоновской мере.
Сходимость последовательности цепей Маркова к решению стохастического уравнения.
Общая теорема о сходимости к решению стохастического уравнения.
Сходимость к процессу с независимыми приращениями.
Предельные теоремы и конечноразностные аппроксимации стохастических дифференциальных уравнений
Конечноразностные аппроксимации стохастических дифференциальных уравнений.
Конечноразностные аппроксимации и предельные теоремы.
Интегральная непрерывность по параметру решения стохастического дифференциального уравнения.
Абсолютная непрерывность мер, соответствующих решениям стохастических уравнений...
Экспоненциальные мартингалы и замена меры. Абсолютная непрерывная замена меры в стохастическом уравнении.
Преобразование стохастических уравнений при абсолютно непрерывной замене меры. Стохастические уравнения и марковские процессы.
Марковские решения стохастических уравнений в Rd
Марковское свойство решений стохастических уравнений с гладкими коэффициентами.
Стохастические уравнения и связанные с ними интегродифференциальные операторы.
О плотности распределения для решений стохастических уравнений.
Локальное существование и локальная слабая единственность.
Квазигладкие марковские процессы
Определение квазигладкого марковского процесса. Представление семейства мартингалов и точечных мер.
Стохастическое уравнение для квазигладкого марковского процесса. Теорема единственности.
Аппроксимация коэффициентов уравнения. Существование сильного решения. Слабые решения.
Диффузионные процессы. Решения уравнения с измеримыми коэффициентами.
Слабая единственность решения. Граничная задача для параболического уравнения
Стохастические уравнения для процессов с отражением на границе. Сильные решения. Краткий исторический обзор
Список литературы
Для специалистов в области теории случайных процессов, теории дифференциальных уравнений, а также для преподавателей н студентов математических факультетов. Основные условные обозначения
Введение Мартингалы
Введение
Некоторые обозначения и определения. Моменты остановки.
Мартингалы и супермартингалы.
Супермартингалы дискретного аргумента.
Примеры. Преобразования последовательностей. Неравенства для максимумов.
Пересечения. Существование предела. Некоторые применения.
Закон Колмогорова "0 или 1 ". Сходимость ряда независимых слагаемых. Усиленный закон больших чисел.
Применения к абсолютной непрерывности мер. Теоремы о разложении супермартингалов. Дальнейшие неравенства. Неравенства Буркхольдера.
Супермартингалы непрерывного аргумента
Существование регулярных модификаций. Винеровский процесс.
Существование предела. Теорема Дуба о свободном выборе.
Процессы класса D. Локальные мартингалы. Измеримость случайных процессов. Некоторые применения
Классы измеримых процессов
Предварительные определения. Прогрессивно измеримые процессы.
Предсказуемые и вполне измеримые процессы. Предсказуемые моменты остановки. Теоремы о сечениях. Разложение моментов остановки.
Меры, связанные с процессами. Мера Долеан.
Предсказуемые и вполне измеримые проекции процессов.
Дуальные предсказуемые проекции мер. Теорема Мейера.
Квадратично интегрируемые мартингалы.
Пространства мартингалов. Характеристика квадратично интегрируемых мартингалов. Локально квадратично интегрируемые мартингалы
Мартингалы с непрерывными характеристиками.
Полумартингалы
Разложение полумартингалов. Возрастающий процесс, связанный с полумартингалом. Квадратическая вариация полумартигала.
Стохастические интегралы
Стохастические интегралы по мартингалам
Интегрирование предсказуемых процессов по мартингалам.
Интегрирование по квазинепрерывным мартингалам. Интегрирование по
локально квадратичным мартингалам. Интегрирование по векторным мартингалам.
Устойчивые подпространства мартингалов.
Формула ИТО
Формула Ито для непрерывных полумартингалов. Непрерывные мартингалы и винеровский процесс. Оценка моментов непрерывных
мартингалов. Представление мартингалов стохастическими интегралами.
Представление функционалов от винеровского процесса.
Интегрирование по стохастическим мерам.
Случайные меры. Случайные целочисленные меры.
Компенсированные меры скачков случайного процесса. Векторные полумартингалы.
Интегрирование по мартингальным мерам.
Обобщение формулы Ито
Формула Ито для полумартингалов. Пуассонова мера.
Преобразование мартингалов при замене меры Стохастические дифференциальные уравнения. Гладкий случай
Стохастические уравнения локально безгранично делимых процессов.
Локальная безграничная делимость. О представлении процессов с
независимыми приращениями с гладкими характеристиками.
Стохастическое дифференциальное уравнение. Марковский случай.
Единственность решения. Теоремы существования. Предельная теорема.
О линейных уравнениях. Стохастические уравнения, зависящие от параметра. Уравнения с коэффициентами, зависящими от прошлого.
Стохастические уравнения с произвольными мартингалами и случайными мерами
Определение стохастического уравнения. Условие единственности решения.
Теоремы существования. Предельная теорема.
Стохастические уравнения в случайных полях
Вид случайного поля, входящего в стохастическое уравнение.
Криволинейный интеграл от поля вдоль случайной кривой. Теорема единственности.
Теоремы существования. Меры, соответствующие решениям стохастических уравнений.
Существование слабых решений. Предельные теоремы
Условия слабой компактности мер, соответствующих решениям стохастических уравнений
Слабая компактность мер в С и D. Возрастающие процессы и процессы ограниченной вариации.
Мартингалы. Компактность мер, соответствующих стохастическим интегралам.
Существование слабых решений стохастических уравнений.
Локально безгранично делимые стохастические уравнения.
Уравнения с мартингалами и случайными мерами. Уравнения в случайных полях.
Сходимость случайных процессов к решениям стохастических уравнений
Сходимость к винеровскому процессу. Сходимость к пуассоновскому процессу и пуассоновской мере.
Сходимость последовательности цепей Маркова к решению стохастического уравнения.
Общая теорема о сходимости к решению стохастического уравнения.
Сходимость к процессу с независимыми приращениями.
Предельные теоремы и конечноразностные аппроксимации стохастических дифференциальных уравнений
Конечноразностные аппроксимации стохастических дифференциальных уравнений.
Конечноразностные аппроксимации и предельные теоремы.
Интегральная непрерывность по параметру решения стохастического дифференциального уравнения.
Абсолютная непрерывность мер, соответствующих решениям стохастических уравнений...
Экспоненциальные мартингалы и замена меры. Абсолютная непрерывная замена меры в стохастическом уравнении.
Преобразование стохастических уравнений при абсолютно непрерывной замене меры. Стохастические уравнения и марковские процессы.
Марковские решения стохастических уравнений в Rd
Марковское свойство решений стохастических уравнений с гладкими коэффициентами.
Стохастические уравнения и связанные с ними интегродифференциальные операторы.
О плотности распределения для решений стохастических уравнений.
Локальное существование и локальная слабая единственность.
Квазигладкие марковские процессы
Определение квазигладкого марковского процесса. Представление семейства мартингалов и точечных мер.
Стохастическое уравнение для квазигладкого марковского процесса. Теорема единственности.
Аппроксимация коэффициентов уравнения. Существование сильного решения. Слабые решения.
Диффузионные процессы. Решения уравнения с измеримыми коэффициентами.
Слабая единственность решения. Граничная задача для параболического уравнения
Стохастические уравнения для процессов с отражением на границе. Сильные решения. Краткий исторический обзор
Список литературы