Учебник для студентов вузов. В 2 т. Т. 1 / 6-е изд. - Минск :
ТетраСистемс, 2007. - 544 с.
ISBN 978-985-470-580-4.
Книга написана в соответствии с учебной программой курса высшей математики для вузов. Издается в двух томах. В первый том включены следующие разделы: аналитическая геометрия, линейная алгебра, введение в анализ, дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной, приближенное решение уравнений. Изложение теоретического материала иллюстрировано многочисленными примерами. Предназначается студентам, аспирантам и преподавателям вузов. Метод координат .
Координаты на прямой.
Декартовы прямоугольные координаты на плоскости.
Деление отрезка в данном отношении.
Центр тяжести системы масс.
Полярные координаты.
Прямоугольные декартовы координаты в пространстве.
Расстояние между двумя точками.
Цилиндрические и сферические координаты.
Геометрическое значение уравнений между координатами на плоскости.
Параметрические уравнения линии.
Алгебраические линии первого и второго порядка .
Прямая на плоскости.
Общее уравнение окружности.
Эллипс.
Гипербола.
Директрисы эллипса и гиперболы.
Парабола.
Полярное уравнение эллипса, гиперболы, параболы.
Преобразования декартовых прямоугольных координат.
Простейшие приложения формул преобразования координат к упрощению уравнений линий второго порядка.
Упрощение уравнения второй степени, не содержащего члена с произведением координат.
Упрощение общего уравнения второй степени.
Комплексные числа .
Упорядоченные пары действительных чисел и операции над ними.
Понятие комплексного числа. Алгебраическая форма комплексного числа.
Геометрическое изображение комплексных чисел.
Арифметические действия над комплексными числами.
Возведение в степень комплексного числа. Извлечение квадратного корня из комплексного числа.
Модуль и аргумент комплексного числа. Тригонометрическая форма комплексного числа.
Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме.
Матрицы и определители. Системы линейных уравнений [/b].
Матрицы. Основные определения.
Действия над матрицами.
Определители второго и третьего порядков и их свойства.
Определители n-го порядка.
Обратная матрица.
Ранг матрицы.
Системы m линейных уравнений с n неизвестными.
Решение систем линейных уравнений с помощью определителей.
Метод последовательного исключения неизвестных.
Исследование систем линейных уравнений.
Векторы.
Основные понятия.
Линейные операции над векторами.
Условие коллинеарности двух векторов.
Проекция вектора на ось.
Декартовы прямоугольные координаты вектора в пространстве. Длина вектора. Направляющие косинусы вектора.
Переход от векторных соотношений к координатным.
Скалярное произведение двух векторов.
Правые и левые тройки векторов. Правые и левые системы координат.
Векторное произведение двух векторов.
Смешанное произведение трех векторов.
Линейная зависимость векторов.
Понятие об аффинных координатах.
Элементы аналитической геометрии в пространстве .
Уравнение поверхности. Уравнения линии в пространстве.
Геометрическое значение одного и двух уравнений между координатами в пространстве.
Параметрические уравнения линии и поверхности.
Плоскость в пространстве.
Прямая в пространстве.
Задачи на прямую и плоскость в пространстве.
Уравнение цилиндрической поверхности с образующей, параллельной координатной оси. Цилиндры второго порядка.
Уравнение поверхности вращения.
Поверхности вращения второго порядка.
Поверхности второго порядка, заданные каноническими уравнениями.
Линейные пространства. Линейные преобразования .
Понятие линейного пространства. Подпространство.
Линейная зависимость и линейная независимость векторов линейного пространства.
Размерность и базис линейного пространства. Изоморфизм линейных пространств.
Координаты вектора линейного пространства.
Ранг системы векторов линейного пространства.
Преобразование координат вектора при изменении базиса.
Евклидово пространство.
Линейное преобразование и его матрица.
Линейное преобразование в координатах.
Зависимость между матрицами одного и того же преобразования в различных базисах. Подобные матрицы.
Характеристическое уравнение линейного преобразования.
Собственные векторы линейного преобразования.
Собственные значения и собственные векторы симметрической матрицы.
Приведение матрицы линейного преобразования к диагональному виду.
Действия над линейными преобразованиями.
Невырожденные линейные преобразования.
Ортогональные матрицы.
Ортогональные преобразования.
Квадратичные формы .
Основные определения.
Преобразование квадратичной формы при линейном однородном преобразовании переменных.
Приведение действительной квадратичной формы к нормальному виду.
Закон инерции квадратичных форм.
Знакоопределенные квадратичные формы.
Приведение квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием переменных.
Упрощение уравнений фигур второго порядка на плоскости.
Упрощение уравнений фигур второго порядка в пространстве.
Группы .
Некоторые общие свойства операций над числами, векторами, матрицами и другими объектами.
Понятие группы. Примеры групп.
Подгруппа.
Группы преобразований.
Симметрическая группа n-й степени.
Группа вращений правильного многоугольника. Циклические группы. Группа симметрий правильного треугольника.
Изоморфизм групп.
Разложение группы по подгруппе.
Нормальный делитель.
Классы сопряженных элементов.
Фактор-группа.
Гомоморфизм групп.
Представления групп.
Функции и пределы .
Числовые множества. Отрезок, интервал, промежуток.
Понятие функции.
График функции.
Понятие функции нескольких переменных.
Предел функции.
Бесконечно малые функции и их свойства.
Бесконечно большие функции.
Основные теоремы о пределах функций.
Непрерывность функции в точке.
Точки разрыва функции.
Непрерывность функции на промежутке.
Предел последовательности.
Число e.
Натуральные логарифмы.
Показательная функция.
Некоторые важные пределы.
Сравнение бесконечно малых функций.
Производные и дифференциалы.
Задачи, приводящие к понятию производной.
Понятие производной, ее геометрический и физический смысл.
Производные некоторых функций.
Основные правила дифференцирования.
Производная сложной функции.
Основные формулы дифференцирования.
Производные высших порядков.
Понятие дифференциала, его геометрический и механический смысл.
Применение дифференциала в приближенных вычислениях.
Свойства дифференциала.
Дифференциалы высших порядков.
Основные теоремы дифференциального исчисления.
Формула Тейлора.
Формула Тейлора для некоторых функций.
Приближенные формулы.
Правило Лопиталя —Бернулли. Максимумы и минимумы.
Правило Лопиталя-Бернулли.
Признаки постоянства, возрастания и убывания функции.
Экстремум функции. Необходимое условие экстремума.
Достаточное условие экстремума.
Исследование функций с помощью формулы Тейлора.
Направления выпуклости, точки перегиба.
Асимптоты.
Исследование функций и построение их графиков.
Задачи на наибольшие и наименьшие значения.
Кривизна .
Эквивалентность бесконечно малой дуги и стягивающей хорды. Дифференциал дуги плоской кривой.
Понятие кривизны плоской линии.
Формула кривизны.
Окружность кривизны. Центр и радиус кривизны.
Переменная векторная величина Вектор-функция скалярного аргумента.
Дифференцирование вектор-функций.
Кривизна пространства линии.
Приближенное решение уравнений .
Графическое решение уравнений. Отделение корней уравнений.
Метод хорд.
Метод касательных.
Комбинированный метод.
Метод итераций.
Метод малого параметра.
Неопределенный интеграл .
Первообразная функция. Неопределенный интеграл и его свойства.
Таблица основных неопределенных интегралов.
Понятие об основных методах интегрирования.
Интегрирование рациональных дробей с квадратным трехчленом в знаменателе.
Интегрирование рациональных функций.
Интегрирование простейших иррациональных функций.
Интегрирование некоторых тригонометрических выражений.
Некоторые замечания об интегрировании функций.
Примеры простейших дифференциальных уравнений.
Определенный интеграл .
Задачи, приводящие к интегральным суммам и их пределам.
Понятие определенного интеграла.
Геометрический смысл определенного интеграла.
Основные свойства определенного интеграла.
Оценка определенного интеграла. Теорема о среднем.
Существование первообразной для непрерывной функции.
Формула Ньютона-Лейбница.
Замена переменной в определенном интеграле. Интегрирование по частям.
Приближенное вычисление определенных интегралов.
Несобственные интегралы.
Понятие об эйлеровых интегралах.
Приложения определенного интеграла.
Площадь криволинейной фигуры в прямоугольных декартовых координатах.
Площадь в полярных координатах.
Длина дуги кривой.
Объем тела.
Площадь поверхности вращения.
Работа переменной силы.
Понятие об эллиптических интегралах.
ISBN 978-985-470-580-4.
Книга написана в соответствии с учебной программой курса высшей математики для вузов. Издается в двух томах. В первый том включены следующие разделы: аналитическая геометрия, линейная алгебра, введение в анализ, дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной, приближенное решение уравнений. Изложение теоретического материала иллюстрировано многочисленными примерами. Предназначается студентам, аспирантам и преподавателям вузов. Метод координат .
Координаты на прямой.
Декартовы прямоугольные координаты на плоскости.
Деление отрезка в данном отношении.
Центр тяжести системы масс.
Полярные координаты.
Прямоугольные декартовы координаты в пространстве.
Расстояние между двумя точками.
Цилиндрические и сферические координаты.
Геометрическое значение уравнений между координатами на плоскости.
Параметрические уравнения линии.
Алгебраические линии первого и второго порядка .
Прямая на плоскости.
Общее уравнение окружности.
Эллипс.
Гипербола.
Директрисы эллипса и гиперболы.
Парабола.
Полярное уравнение эллипса, гиперболы, параболы.
Преобразования декартовых прямоугольных координат.
Простейшие приложения формул преобразования координат к упрощению уравнений линий второго порядка.
Упрощение уравнения второй степени, не содержащего члена с произведением координат.
Упрощение общего уравнения второй степени.
Комплексные числа .
Упорядоченные пары действительных чисел и операции над ними.
Понятие комплексного числа. Алгебраическая форма комплексного числа.
Геометрическое изображение комплексных чисел.
Арифметические действия над комплексными числами.
Возведение в степень комплексного числа. Извлечение квадратного корня из комплексного числа.
Модуль и аргумент комплексного числа. Тригонометрическая форма комплексного числа.
Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме.
Матрицы и определители. Системы линейных уравнений [/b].
Матрицы. Основные определения.
Действия над матрицами.
Определители второго и третьего порядков и их свойства.
Определители n-го порядка.
Обратная матрица.
Ранг матрицы.
Системы m линейных уравнений с n неизвестными.
Решение систем линейных уравнений с помощью определителей.
Метод последовательного исключения неизвестных.
Исследование систем линейных уравнений.
Векторы.
Основные понятия.
Линейные операции над векторами.
Условие коллинеарности двух векторов.
Проекция вектора на ось.
Декартовы прямоугольные координаты вектора в пространстве. Длина вектора. Направляющие косинусы вектора.
Переход от векторных соотношений к координатным.
Скалярное произведение двух векторов.
Правые и левые тройки векторов. Правые и левые системы координат.
Векторное произведение двух векторов.
Смешанное произведение трех векторов.
Линейная зависимость векторов.
Понятие об аффинных координатах.
Элементы аналитической геометрии в пространстве .
Уравнение поверхности. Уравнения линии в пространстве.
Геометрическое значение одного и двух уравнений между координатами в пространстве.
Параметрические уравнения линии и поверхности.
Плоскость в пространстве.
Прямая в пространстве.
Задачи на прямую и плоскость в пространстве.
Уравнение цилиндрической поверхности с образующей, параллельной координатной оси. Цилиндры второго порядка.
Уравнение поверхности вращения.
Поверхности вращения второго порядка.
Поверхности второго порядка, заданные каноническими уравнениями.
Линейные пространства. Линейные преобразования .
Понятие линейного пространства. Подпространство.
Линейная зависимость и линейная независимость векторов линейного пространства.
Размерность и базис линейного пространства. Изоморфизм линейных пространств.
Координаты вектора линейного пространства.
Ранг системы векторов линейного пространства.
Преобразование координат вектора при изменении базиса.
Евклидово пространство.
Линейное преобразование и его матрица.
Линейное преобразование в координатах.
Зависимость между матрицами одного и того же преобразования в различных базисах. Подобные матрицы.
Характеристическое уравнение линейного преобразования.
Собственные векторы линейного преобразования.
Собственные значения и собственные векторы симметрической матрицы.
Приведение матрицы линейного преобразования к диагональному виду.
Действия над линейными преобразованиями.
Невырожденные линейные преобразования.
Ортогональные матрицы.
Ортогональные преобразования.
Квадратичные формы .
Основные определения.
Преобразование квадратичной формы при линейном однородном преобразовании переменных.
Приведение действительной квадратичной формы к нормальному виду.
Закон инерции квадратичных форм.
Знакоопределенные квадратичные формы.
Приведение квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием переменных.
Упрощение уравнений фигур второго порядка на плоскости.
Упрощение уравнений фигур второго порядка в пространстве.
Группы .
Некоторые общие свойства операций над числами, векторами, матрицами и другими объектами.
Понятие группы. Примеры групп.
Подгруппа.
Группы преобразований.
Симметрическая группа n-й степени.
Группа вращений правильного многоугольника. Циклические группы. Группа симметрий правильного треугольника.
Изоморфизм групп.
Разложение группы по подгруппе.
Нормальный делитель.
Классы сопряженных элементов.
Фактор-группа.
Гомоморфизм групп.
Представления групп.
Функции и пределы .
Числовые множества. Отрезок, интервал, промежуток.
Понятие функции.
График функции.
Понятие функции нескольких переменных.
Предел функции.
Бесконечно малые функции и их свойства.
Бесконечно большие функции.
Основные теоремы о пределах функций.
Непрерывность функции в точке.
Точки разрыва функции.
Непрерывность функции на промежутке.
Предел последовательности.
Число e.
Натуральные логарифмы.
Показательная функция.
Некоторые важные пределы.
Сравнение бесконечно малых функций.
Производные и дифференциалы.
Задачи, приводящие к понятию производной.
Понятие производной, ее геометрический и физический смысл.
Производные некоторых функций.
Основные правила дифференцирования.
Производная сложной функции.
Основные формулы дифференцирования.
Производные высших порядков.
Понятие дифференциала, его геометрический и механический смысл.
Применение дифференциала в приближенных вычислениях.
Свойства дифференциала.
Дифференциалы высших порядков.
Основные теоремы дифференциального исчисления.
Формула Тейлора.
Формула Тейлора для некоторых функций.
Приближенные формулы.
Правило Лопиталя —Бернулли. Максимумы и минимумы.
Правило Лопиталя-Бернулли.
Признаки постоянства, возрастания и убывания функции.
Экстремум функции. Необходимое условие экстремума.
Достаточное условие экстремума.
Исследование функций с помощью формулы Тейлора.
Направления выпуклости, точки перегиба.
Асимптоты.
Исследование функций и построение их графиков.
Задачи на наибольшие и наименьшие значения.
Кривизна .
Эквивалентность бесконечно малой дуги и стягивающей хорды. Дифференциал дуги плоской кривой.
Понятие кривизны плоской линии.
Формула кривизны.
Окружность кривизны. Центр и радиус кривизны.
Переменная векторная величина Вектор-функция скалярного аргумента.
Дифференцирование вектор-функций.
Кривизна пространства линии.
Приближенное решение уравнений .
Графическое решение уравнений. Отделение корней уравнений.
Метод хорд.
Метод касательных.
Комбинированный метод.
Метод итераций.
Метод малого параметра.
Неопределенный интеграл .
Первообразная функция. Неопределенный интеграл и его свойства.
Таблица основных неопределенных интегралов.
Понятие об основных методах интегрирования.
Интегрирование рациональных дробей с квадратным трехчленом в знаменателе.
Интегрирование рациональных функций.
Интегрирование простейших иррациональных функций.
Интегрирование некоторых тригонометрических выражений.
Некоторые замечания об интегрировании функций.
Примеры простейших дифференциальных уравнений.
Определенный интеграл .
Задачи, приводящие к интегральным суммам и их пределам.
Понятие определенного интеграла.
Геометрический смысл определенного интеграла.
Основные свойства определенного интеграла.
Оценка определенного интеграла. Теорема о среднем.
Существование первообразной для непрерывной функции.
Формула Ньютона-Лейбница.
Замена переменной в определенном интеграле. Интегрирование по частям.
Приближенное вычисление определенных интегралов.
Несобственные интегралы.
Понятие об эйлеровых интегралах.
Приложения определенного интеграла.
Площадь криволинейной фигуры в прямоугольных декартовых координатах.
Площадь в полярных координатах.
Длина дуги кривой.
Объем тела.
Площадь поверхности вращения.
Работа переменной силы.
Понятие об эллиптических интегралах.