Учебное пособие. — Ростов-на-Дону: Феникс, 2013. — 476 с.
Эта книга — учебное пособие по высшей математике, написанное ясно и
просто. Она адресована тем, кто традиционно далек от математики, —
биологам и химикам, почвоведам и социологам, геологам и юристам.
Излагая материал, авторы нередко жертвовали строгостью и точностью
изложения, пытаясь разъяснить новые понятия «на пальцах» и не
стремясь к максимальной полноте освещения вопроса. В книге много
примеров, значительная часть которых дается с подробными решениями.
В основу книги положены лекции по высшей математике, которые авторы
читают студентам различных факультетов Южного федерального
университета.
Для студентов первого курса университетов и институтов, а также для
старшеклассников.
Оглавление.
Введение.
Что такое математика.
Возникновение математики.
Разделы математики.
Базовые понятия.
Высказывания.
Множества.
Вещественные числа.
Абсолютная величина.
Системы координат.
Системы счисления.
Комплексные числа.
Мнимые и комплексные числа.
Арифметические операции.
Комплексно сопряженные числа.
Тригонометрическая форма.
Возведение в целую степень.
Извлечение корня.
Функции комплексной переменной.
Основная теорема алгебры.
Упражнения.
Функции.
Величины постоянные и переменные.
Определение функции.
Способы задания функции.
Четная и нечетная функции.
Периодическая функция.
Ограниченная функция.
Суперпозиция функций.
Обратная функция.
Неявная функция.
Однозначная и многозначная функции.
Пределы.
Определение предела функции.
Обобщения понятия предела.
Бесконечно малая величина.
Бесконечно большая величина.
Свойства пределов.
Неопределенность вида 0/0.
Неопределенность вида ∞/∞.
Неопределенность вида ∞ - ∞.
Первый замечательный предел.
Второй замечательный предел.
Основные теоремы о пределах.
Упражнения.
Непрерывность.
Приращения аргумента и функции.
Два определения непрерывности.
Точки разрыва.
Свойства непрерывных функций.
Производные.
Определение производной.
Геометрический смысл производной.
Механический смысл производной.
Основные теоремы о производных.
Производные элементарных функций.
Производные высших порядков.
Примеры.
Упражнения.
Приложения производных.
Возрастание и убывание функции.
Экстремумы функции.
Наибольшее и наименьшее значения функции.
График функции.
Уравнение касательной.
Правила Лопиталя.
Упражнения.
Дифференциалы.
Определение дифференциала.
Свойства дифференциала.
Геометрический смысл дифференциала.
Упражнения.
Интегралы.
Первообразная.
Неопределенный интеграл.
Определенный интеграл.
Интеграл с переменным верхним пределом.
Нахождение площадей.
Несобственные интегралы.
Упражнения.
Функции нескольких переменных.
Графическая интерпретация.
Дифференцирование.
Экстремумы.
Интегрирование.
Упражнения.
Ряды.
Сходимость ряда.
Степенные ряды.
Ряды Тейлора и Маклорена.
Приближенные формулы.
Упражнения.
Векторная алгебра.
Векторы.
Матрицы.
Определители.
Системы линейных уравнений.
Комплексный случай.
Упражнения.
Дифференциальные уравнения.
Основные понятия.
Разделение переменных.
Уравнения вида у′ = f(y/x).
Линейные уравнения первого порядка.
Линейные уравнения второго порядка.
Упражнения.
Математические модели.
Динамические системы.
Модель Мальтуса.
Модель взрыва.
Модели маятников.
Модель «хищник-жертва».
Модель Лоренца.
Упражнения.
Теория вероятностей.
События.
Вероятность реализации события.
Вероятность суммы событий.
Вероятность произведения событий.
Дискретная случайная величина.
Непрерывная случайная величина.
Упражнения.
Аналитическая геометрия.
Прямая линия на плоскости.
Кривые второго порядка.
Эллипс.
Гипербола.
Парабола.
Упражнения.
Численные методы.
Оценка точности вычислений.
Аппроксимация функций.
Численное дифференцирование.
Численное интегрирование.
Отыскание корней уравнений.
Решение задач Коши.
Решение краевых задач.
Подбор эмпирических формул.
Упражнения.
Справочник.
Латинский и греческий алфавиты.
Римские числа.
Математические обозначения.
Алгебраические формулы.
Тригонометрические формулы.
Геометрические формулы.
Формулы анализа.
Графики.
Литература.
Предметный указатель.
Введение.
Что такое математика.
Возникновение математики.
Разделы математики.
Базовые понятия.
Высказывания.
Множества.
Вещественные числа.
Абсолютная величина.
Системы координат.
Системы счисления.
Комплексные числа.
Мнимые и комплексные числа.
Арифметические операции.
Комплексно сопряженные числа.
Тригонометрическая форма.
Возведение в целую степень.
Извлечение корня.
Функции комплексной переменной.
Основная теорема алгебры.
Упражнения.
Функции.
Величины постоянные и переменные.
Определение функции.
Способы задания функции.
Четная и нечетная функции.
Периодическая функция.
Ограниченная функция.
Суперпозиция функций.
Обратная функция.
Неявная функция.
Однозначная и многозначная функции.
Пределы.
Определение предела функции.
Обобщения понятия предела.
Бесконечно малая величина.
Бесконечно большая величина.
Свойства пределов.
Неопределенность вида 0/0.
Неопределенность вида ∞/∞.
Неопределенность вида ∞ - ∞.
Первый замечательный предел.
Второй замечательный предел.
Основные теоремы о пределах.
Упражнения.
Непрерывность.
Приращения аргумента и функции.
Два определения непрерывности.
Точки разрыва.
Свойства непрерывных функций.
Производные.
Определение производной.
Геометрический смысл производной.
Механический смысл производной.
Основные теоремы о производных.
Производные элементарных функций.
Производные высших порядков.
Примеры.
Упражнения.
Приложения производных.
Возрастание и убывание функции.
Экстремумы функции.
Наибольшее и наименьшее значения функции.
График функции.
Уравнение касательной.
Правила Лопиталя.
Упражнения.
Дифференциалы.
Определение дифференциала.
Свойства дифференциала.
Геометрический смысл дифференциала.
Упражнения.
Интегралы.
Первообразная.
Неопределенный интеграл.
Определенный интеграл.
Интеграл с переменным верхним пределом.
Нахождение площадей.
Несобственные интегралы.
Упражнения.
Функции нескольких переменных.
Графическая интерпретация.
Дифференцирование.
Экстремумы.
Интегрирование.
Упражнения.
Ряды.
Сходимость ряда.
Степенные ряды.
Ряды Тейлора и Маклорена.
Приближенные формулы.
Упражнения.
Векторная алгебра.
Векторы.
Матрицы.
Определители.
Системы линейных уравнений.
Комплексный случай.
Упражнения.
Дифференциальные уравнения.
Основные понятия.
Разделение переменных.
Уравнения вида у′ = f(y/x).
Линейные уравнения первого порядка.
Линейные уравнения второго порядка.
Упражнения.
Математические модели.
Динамические системы.
Модель Мальтуса.
Модель взрыва.
Модели маятников.
Модель «хищник-жертва».
Модель Лоренца.
Упражнения.
Теория вероятностей.
События.
Вероятность реализации события.
Вероятность суммы событий.
Вероятность произведения событий.
Дискретная случайная величина.
Непрерывная случайная величина.
Упражнения.
Аналитическая геометрия.
Прямая линия на плоскости.
Кривые второго порядка.
Эллипс.
Гипербола.
Парабола.
Упражнения.
Численные методы.
Оценка точности вычислений.
Аппроксимация функций.
Численное дифференцирование.
Численное интегрирование.
Отыскание корней уравнений.
Решение задач Коши.
Решение краевых задач.
Подбор эмпирических формул.
Упражнения.
Справочник.
Латинский и греческий алфавиты.
Римские числа.
Математические обозначения.
Алгебраические формулы.
Тригонометрические формулы.
Геометрические формулы.
Формулы анализа.
Графики.
Литература.
Предметный указатель.