Контрольная работа - Решение задач (УФ ОГУ)

УФ ОГУ, курс 2, семестр 4, сдана в 2008 г.
Задача 1
Пусть на основе набора наблюдений Хi, Yi, i=, приведенной в таблице 1, по МНК составлена линейная регрессия Y на Х.
В предположении, что выполнены условия нормальной линейной регрессионной мо-дели
Yi = а+bХi+?i ,
Требуется: а) Установить по результатам наблюдений зависимость результативного признака Y от признак-фактора Х;
б) Проверить гипотезу Н0:b= -1,3869
в) Определить доверительные интервалы для параметров а и b построенного уравне-ния регрессии (1) при доверительной вероятности ?=0,95;
г) Проверить значимость каждого из коэффициентов регрессии;
д) Определить 95%-ые доверительные интервалы для среднего и индивидуального значений результативного признака Y для момента i=3 при котором признак-фактор принимает значения Х3;
е) Вычислить коэффициент детерминации R2;
ж) Вычислить выборочный коэффициент корреляции между Х и Y;
3) Проверить значимость уравнения регрессии.
Таблица 1
Хi 3 5 6 8 9 10 12 14 15 16
Yi 6 9 8 10 13 16 15 14 20 24
Задача 2
Доходности акций компаний А, В, с, принадлежащих одной отрасли за период ис-следования, приводится в таблице 2.
Предполагается, что:
а) доходность компании А находится в линейной стохастической зависимости от доходностей В и С;
б) выполнены условия нормальной линейной множественной регрессионной модели
Yi = ?iXi1 + ?2Xi2 + ?3Xi3 + ?i, i = (1)
и составлено МНК уравнение линейной множественной регрессии
? = ?1X1 + ?2X2 + ?3X3, (2)
где Yi = доходность компании А (зависимая переменная) в момент наблюдения i: Х1 = (1,1, …1)` - единичный вектор-столбец:
Хi2 – доходности компании В (независимая переменная) в момент наблюдения i, Хi3 – доходность компании С (независимая переменная) в момент наблюдения i;
Требуется:
А. а) Установить по результатам наблюдений зависимость доходности компании А от доходности компаний В и С и написать уравнение линейной множественной рег-рессии в виде (2);
б) Спрогнозировать доходность компании А, если доходности компаний В и С рав-ны соответственно Х2,0 и Х3,0
в) Предположим, что доходность компании В увеличилась на 2, в то время как до-ходность компании С не изменилась. Оценить как увеличится доходность компании А;
г) Оценить как увеличится доходность компании А при увеличении доходности компаний В и С соответственно на 3 и 2;
д) найти сумму квадратов остатков регрессии и оценку s2 дисперсии ошибок ?2.
Б. Пусть имеют место (1) и (2)
а) Построить 95%-ое доверительное множество для
1) ?2 и ?3 ; 2) ?1 ; 3) ?2 ; 4) ?3 ;
б) Проверить с95%-ым уровнем доверия следующие гипотезы Н0:
1) ?2 = 0 и ?3 = 0; 2) ?3 = 0; 3) ?2 = 0; 4) ?2 = 1; 5) ?2 = 1,57; 6) 4?3 ;
в) Пусть доходности компаний В и С для момента времени равны соответственно Х42, Х43.
1) Вычислить прогноз доходности компании А;
2) Построить 95%-ые доверительные интервалы для среднего и индивидуального значений доходности компании А;
3) Проверить значимость коэффициентов уравнения регрессии (2) при уровне зна-чимости ? = 0,05;
г) Пусть компании В и С имеют доходность соответственно Х2 и Х3
1) Определить прогноз доходности компании А;
2) Найти 95%-ые доверительные интервалы для прогноза доходности компании А;
д) Определить коэффициент детерминации R2 и проверить значимость полученного уравнения регрессии Y на константу, Х2 и Х3 при уровне значимости ? = 0,05;
Хi2 6 2 7 3 1 4 5 4
Хi3 3 6 5 1 4 6 2 7
Yi 10 7,2 12,2 5 4,8 9,2 8 10
Задача 3
При изучении финансовой деятельности компании в течение некоторого времени был собран статистический материал. В таблице 3 содержатся данные о ежемесяч-ной прибыли Х1(тыс. руб) вложении капитала в ценные бумаги Х2(тыс. руб) и расхо-дах на рекламу Х3(тыс. руб)
а) Определить матрицу выборочных парных коэффициентов корреляции;
б) Вычислить выборочные коэффициенты частной корреляции между переменными Х2 и Х3; Х2 и Х1; Х3 и Х1 и оценить их значимость на уровне ? = 0,05;
в) Установить тесному связи между Х2 и Х1;
г) Определить тесноту связи между Х1 и величинами Х2 и Х3, используя множест-венный коэффициент корреляции RX1. Проверить на уровне значимости ? = 0,05 значимость RX1 .
Задача 4
На основе квартальных данных с 1971 по 1976 г. с помощью метода наименьших квадратов (МНК) получено следующее уравнение:
Yi = (1,12 + 0,1 • N) – (0,0098 + 0,001 • N)Xi1 – (4,62 + 0,1 • N)Xi2 +
[ 1,25 + 0,05 • N] [0,0043 + 0,0001 • N] [ 2,03 + 0,05 • N]
+ (0,044 + 0,001 • N)Xi3 + ?i , i = 1,2, …,n,
[0,009 + 0,0001 • N]
а) Проверьте значимость каждого из коэффициентов регрессии. Уровень значимости ? = 0,05;
б) Найдите коэффициент детерминации R2;
в) Протестируйте значимость регрессии в целом. Уровень значимости ? = 0,05;
г) Когда в уравнение были добавлены три фиктивные переменные, соответствующие трем первым кварталам года, величина RSS увеличилась до
118,20 + 0,01 • N. Проверьте гипотезу о наличии сезонности, сформулировав необхо-димые предположения о виде этой сезонности;
д) Для той же исходной модели были раздельно приведены две регрессии на основе данных:
1-й квартал 1971 – 1-й квартал 1975 г. и 2-ой квартал 1975 г. – 4-й квартал 1976 г. со-ответственно и получены следующие значения сумм квадратов остатков: ESS1 = 12,25 + 0,01N, ESS2 = 2,32 + 0,01N. Проверьте гипотезу о том, что между 1-м и 2-м кварта-лами 1975 г. произошло структурное изменение.