Минск: Наука и техника, 1983. — 287 с.
Приводятся основные сведения об интерполировании функций
алгебраическими и отчасти тригонометрическими многочленами.
Изложены методы вычисления однократных интегралов. По этим вопросам
приведен большой фактический и справочный материал. Большое
внимание уделяют авторы оценкам точности вычислений и вопросам
сходимости вычислительных процессов.
Книга предназначена как для лиц, занимающихся вычислительной математикой, так и для желающих самостоятельно изучить ее основы. Она будет полезна студентам университетов и технических учебных заведений, изучающим вычислительную математику. Интерполирование.
Понятие о погрешности интерполирования и сходимости интерполяционного процесса. О задаче интерполирования. Погрешность интерполирования и сходимость интерполяционного процесса. Конечные разности и разностные отношения. Конечные разности. Разностные отношения, их свойства и связь с конечными разностями. Влияние погрешностей в значениях функций на конечные разности и разностные отношения. Алгебраическое интерполирование по значениям функции. Погрешность интерполирования. Интерполяционные формулы Лагранжа и Ньютона. Остаток интерполирования и его представления для некоторых классов функций. Некоторые правила интерполирования при равноотстоящих значениях аргумента. Правила интерполирования в начале и конце таблицы. Правила интерполирования внутри таблицы. Формула Лагранжа для случая равноотстоящих узлов. Приложение интерполирования к численному нахождению производных. Об интерполяционном правиле вычисления производной от функции, заданной таблично. Некоторые частные правила вычисления производных. О возможной потере точности. Об одном правиле увеличения точности приближенных значений. Интерполяционные методы решения уравнений. Связь с задачей обратного интерполирования. Метод приближений, основанный на интерполировании обратной функции. Замена точного уравнения f(x) =0 приближенным, полученным интерполированием f. Интерполирование с кратными узлами. Существование и единственность интерполирующего многочлена. Остаток. Представление R(x) в случае аналитической функции f. Формула Эрмита для многочлена Р(х). Сходимость интерполяционных процессов. О предельной функции распределения узлов. Сходимость интерполирования аналитических функций. Некоторые вспомогательные теоремы. Сходимость интерполирования на множествах непрерывных и непрерывно дифференцируемых функций. Понятие о сплайнах и сплайн-интерполировании. Сплайны. Интерполяционные сплайны. Численное интегрирование.
Квадратурная сумма и условия ее построения. Остаток квадратуры. О квадратурной сумме. Остаток приближенной квадратуры. Интерполяционные квадратурные правила и их погрешности. Правила Ньютона — Котеса. Простейшие интерполяционные правила. Приложение к интегрированию быстро колеблющихся функций. Правило трапеций. Правило парабол (формула Симпсона). Правило «трех восьмых». Интегрирование быстро колеблющихся функций. Квадратурные правила наивысшей алгебраической степени точности. Построение правила и его единственность. Два замечания о квадратурных коэффициентах. Остаток квадратурного правила. Сходимость квадратурного процесса наивысшей степени точности. Замечание об интегрировании периодических функций. Некоторые частные случаи квадратурных правил наивысшей алгебраической степени точности. Постоянная весовая функция. Квадратурные правила наивысшей степени точности, имеющие фиксированные заранее узлы. Некоторые общие теоремы. Некоторые частные квадратурные правила. Квадратурные правила с равными коэффициентами. Построение формул Чебышева. Существование и единственность. Случай постоянного веса. Увеличение точности квадратурных правил. Формулы эйлерова вида. Правила эйлерова вида. Формула Эйлера — Маклорена. Разностные видоизменения формулы Эйлера — Маклорена. Увеличение точности квадратурных правил. Ослабление особенностей интегрируемой функции. Сходимость квадратурного процесса. Условия сходимости общего квадратурного процесса. Сходимость интерполяционных квадратурных процессов. Вычисление неопределенного интеграла. Погрешность вычислений и сходимость. Понятие о некоторых частных методах вычисления неопределенного интеграла. Интегрирование функции, заданной таблицей значений. Вычисление при помощи периодически расположенных узлов. О правилах, использующих в вычислениях несколько предшествующих значений интеграла. Линейные нормированные пространства. Сходимость последовательности линейных операторов. Числа и многочлены Бернулли. Алгебраические многочлены наилучшего приближения. Некоторые сведения об уравнениях в конечных разностях.
Книга предназначена как для лиц, занимающихся вычислительной математикой, так и для желающих самостоятельно изучить ее основы. Она будет полезна студентам университетов и технических учебных заведений, изучающим вычислительную математику. Интерполирование.
Понятие о погрешности интерполирования и сходимости интерполяционного процесса. О задаче интерполирования. Погрешность интерполирования и сходимость интерполяционного процесса. Конечные разности и разностные отношения. Конечные разности. Разностные отношения, их свойства и связь с конечными разностями. Влияние погрешностей в значениях функций на конечные разности и разностные отношения. Алгебраическое интерполирование по значениям функции. Погрешность интерполирования. Интерполяционные формулы Лагранжа и Ньютона. Остаток интерполирования и его представления для некоторых классов функций. Некоторые правила интерполирования при равноотстоящих значениях аргумента. Правила интерполирования в начале и конце таблицы. Правила интерполирования внутри таблицы. Формула Лагранжа для случая равноотстоящих узлов. Приложение интерполирования к численному нахождению производных. Об интерполяционном правиле вычисления производной от функции, заданной таблично. Некоторые частные правила вычисления производных. О возможной потере точности. Об одном правиле увеличения точности приближенных значений. Интерполяционные методы решения уравнений. Связь с задачей обратного интерполирования. Метод приближений, основанный на интерполировании обратной функции. Замена точного уравнения f(x) =0 приближенным, полученным интерполированием f. Интерполирование с кратными узлами. Существование и единственность интерполирующего многочлена. Остаток. Представление R(x) в случае аналитической функции f. Формула Эрмита для многочлена Р(х). Сходимость интерполяционных процессов. О предельной функции распределения узлов. Сходимость интерполирования аналитических функций. Некоторые вспомогательные теоремы. Сходимость интерполирования на множествах непрерывных и непрерывно дифференцируемых функций. Понятие о сплайнах и сплайн-интерполировании. Сплайны. Интерполяционные сплайны. Численное интегрирование.
Квадратурная сумма и условия ее построения. Остаток квадратуры. О квадратурной сумме. Остаток приближенной квадратуры. Интерполяционные квадратурные правила и их погрешности. Правила Ньютона — Котеса. Простейшие интерполяционные правила. Приложение к интегрированию быстро колеблющихся функций. Правило трапеций. Правило парабол (формула Симпсона). Правило «трех восьмых». Интегрирование быстро колеблющихся функций. Квадратурные правила наивысшей алгебраической степени точности. Построение правила и его единственность. Два замечания о квадратурных коэффициентах. Остаток квадратурного правила. Сходимость квадратурного процесса наивысшей степени точности. Замечание об интегрировании периодических функций. Некоторые частные случаи квадратурных правил наивысшей алгебраической степени точности. Постоянная весовая функция. Квадратурные правила наивысшей степени точности, имеющие фиксированные заранее узлы. Некоторые общие теоремы. Некоторые частные квадратурные правила. Квадратурные правила с равными коэффициентами. Построение формул Чебышева. Существование и единственность. Случай постоянного веса. Увеличение точности квадратурных правил. Формулы эйлерова вида. Правила эйлерова вида. Формула Эйлера — Маклорена. Разностные видоизменения формулы Эйлера — Маклорена. Увеличение точности квадратурных правил. Ослабление особенностей интегрируемой функции. Сходимость квадратурного процесса. Условия сходимости общего квадратурного процесса. Сходимость интерполяционных квадратурных процессов. Вычисление неопределенного интеграла. Погрешность вычислений и сходимость. Понятие о некоторых частных методах вычисления неопределенного интеграла. Интегрирование функции, заданной таблицей значений. Вычисление при помощи периодически расположенных узлов. О правилах, использующих в вычислениях несколько предшествующих значений интеграла. Линейные нормированные пространства. Сходимость последовательности линейных операторов. Числа и многочлены Бернулли. Алгебраические многочлены наилучшего приближения. Некоторые сведения об уравнениях в конечных разностях.