Минск: Наука и техника, 1986. — 311 с.
В книге главное внимание уделяется изложению основ теории численных
методов для решения дифференциальных уравнений в частных
производных первого и второго порядка и некоторым их приложениям.
Рассматриваются методы, получившие наиболее широкое распространение
в вычислительной практике, это в первую очередь методы сеток,
характеристик, прямых, интегральных соотношений, вариационные и
др.
Книга предназначена для лиц, желающих самостоятельно изучать вычислительную математику или уже занимающихся ею. Она будет полезна студентам университетов и высших учебных заведений, изучающим вычислительную математику, и работникам вычислительных центров. Содержание О некоторых особенностях уравнений с частными производными. Некоторые сведения о методах решения. Метод сеток (метод конечных разностей). Выбор узлов. Построение сеточных (разностных) уравнений. Интерполяционный метод. Разностные уравнения, имеющие наибольшую степень точности на множестве решений уравнения. Шаблоны узлов разностных уравнений. О возможности перенесения методов приближения дифференциальных операторов разностными операторами на другие задачи. Основные понятия, связанные с вычислительными процессами и процессами приближений. Схема вычислений и вычислительный процесс. Аппроксимация оператора в частных производных и ее порядок, устойчивость, сходимость. Некоторые дополнительные замечания о выборе сетки узлов Линейные уравнения первого порядка. Уравнение переноса.
Линейные и квазилинейные уравнения. Сопряженные системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Геометрическое значение уравнения. Характеристики. Задача Коши. Метод разностных уравнений. Задача Коши и два метода ее решения. Метод разностных уравнений. Устойчивость разностных схем относительно начальных данных. Случай переменных коэффициентов дифференциального уравнения. Метод характеристик. Замечание об уравнении типа переноса Линейные уравнения в частных производных второго порядка. Разностные схемы для уравнений параболического типа.
Основные виды дифференциальных уравнений в частных производных. Уравнения эллиптического типа. Уравнение Пуассона. Уравнения параболического типа. Уравнение теплопроводности. Уравнения гиперболического типа. Уравнение колебаний струны. Основные понятия теории разностных схем. Сетки и сеточные функции. О пространстве сеточных функций и сеточных нормах. Об аппроксимации дифференциальных операторов разностными. Построение разностной аппроксимации для уравнения теплопроводности. Построение разностной аппроксимации для граничных условий. Определение погрешности аппроксимации в общем случае. О сходимости и точности разностных схем. Об устойчивости разностных схем. Связь аппроксимации и устойчивости со сходимостью. Теорема Лакса. Разностные схемы для уравнений параболического типа. Построение семейства двухслойных шеститочечных разностных схем. Определение порядка аппроксимации разностной схемы при различных значениях сигма и фи. О некоторых свойствах и особенностях аппроксимации двухслойной шеститочечной схемы. Устойчивость разностной схемы (А, v). Доказательство устойчивости по начальным условиям р. с. в норме. Частные случаи значений сигма и тау, при которых р. с. устойчива по начальным условиям в L2(m). Доказательство устойчивости р. с. по правой части. О сходимости и точности р. с. (А, v) в норме пространства. Устойчивость и сходимость р. с. в норме С. Метод энергетических неравенств и его приложение к исследованию устойчивости разностных схем. Доказательство устойчивости по правой части р. с. (А, v) методом энергетических неравенств. Доказательство устойчивости по начальным данным р. с. (А, v) методом энергетических неравенств. Оценка погрешности р. с. (А, v) на основе метода энергетических неравенств. О разностных схемах расщепления. Экономичные разностные схемы Разностные схемы для уравнений гиперболического типа.
Построение и исследование разностных схем для уравнения колебаний струны. О трехслойной девятиточечной схеме для аппроксимации волнового оператора. Доказательство устойчивости р. с. (В, у) по начальным условиям. Доказательство устойчивости р. с. (В, у) по правой части. О разностных схемах для задачи Коши Разностные схемы для уравнений эллиптического типа.
Построение и исследование разностных аппроксимаций для дифференциальных уравнений. Аппроксимация граничных условий. Построение разностной схемы в случае задачи Дирихле для уравнения Пуассона. Об устойчивости разностной схемы. Методы решения эллиптических разностных уравнений. Метод матричной прогонки. Метод итераций для разностной задачи Дирихле. Правило Рунге. О методе редукции для некоторых эллиптических граничных задач Другие методы решения дифференциальных уравнений в частных производных.
Понятие о методах моментов и Галеркина. Вычисление автомодельных решений, описывающих процессы в высокотемпературной плазме. Численное решение одномерных задач радиационной газовой динамики. Метод характеристик. Характеристики дифференциального уравнения. Построение сетки характеристик. Нахождение характеристических полосок. Метод прямых. Поперечные схемы метода прямых для уравнений параболического типа. Продольные схемы метода прямых для параболических уравнений. О численной реализации продольных схем. Метод прямых для уравнений гиперболического типа. Метод прямых для эллиптических уравнений.
Книга предназначена для лиц, желающих самостоятельно изучать вычислительную математику или уже занимающихся ею. Она будет полезна студентам университетов и высших учебных заведений, изучающим вычислительную математику, и работникам вычислительных центров. Содержание О некоторых особенностях уравнений с частными производными. Некоторые сведения о методах решения. Метод сеток (метод конечных разностей). Выбор узлов. Построение сеточных (разностных) уравнений. Интерполяционный метод. Разностные уравнения, имеющие наибольшую степень точности на множестве решений уравнения. Шаблоны узлов разностных уравнений. О возможности перенесения методов приближения дифференциальных операторов разностными операторами на другие задачи. Основные понятия, связанные с вычислительными процессами и процессами приближений. Схема вычислений и вычислительный процесс. Аппроксимация оператора в частных производных и ее порядок, устойчивость, сходимость. Некоторые дополнительные замечания о выборе сетки узлов Линейные уравнения первого порядка. Уравнение переноса.
Линейные и квазилинейные уравнения. Сопряженные системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Геометрическое значение уравнения. Характеристики. Задача Коши. Метод разностных уравнений. Задача Коши и два метода ее решения. Метод разностных уравнений. Устойчивость разностных схем относительно начальных данных. Случай переменных коэффициентов дифференциального уравнения. Метод характеристик. Замечание об уравнении типа переноса Линейные уравнения в частных производных второго порядка. Разностные схемы для уравнений параболического типа.
Основные виды дифференциальных уравнений в частных производных. Уравнения эллиптического типа. Уравнение Пуассона. Уравнения параболического типа. Уравнение теплопроводности. Уравнения гиперболического типа. Уравнение колебаний струны. Основные понятия теории разностных схем. Сетки и сеточные функции. О пространстве сеточных функций и сеточных нормах. Об аппроксимации дифференциальных операторов разностными. Построение разностной аппроксимации для уравнения теплопроводности. Построение разностной аппроксимации для граничных условий. Определение погрешности аппроксимации в общем случае. О сходимости и точности разностных схем. Об устойчивости разностных схем. Связь аппроксимации и устойчивости со сходимостью. Теорема Лакса. Разностные схемы для уравнений параболического типа. Построение семейства двухслойных шеститочечных разностных схем. Определение порядка аппроксимации разностной схемы при различных значениях сигма и фи. О некоторых свойствах и особенностях аппроксимации двухслойной шеститочечной схемы. Устойчивость разностной схемы (А, v). Доказательство устойчивости по начальным условиям р. с. в норме. Частные случаи значений сигма и тау, при которых р. с. устойчива по начальным условиям в L2(m). Доказательство устойчивости р. с. по правой части. О сходимости и точности р. с. (А, v) в норме пространства. Устойчивость и сходимость р. с. в норме С. Метод энергетических неравенств и его приложение к исследованию устойчивости разностных схем. Доказательство устойчивости по правой части р. с. (А, v) методом энергетических неравенств. Доказательство устойчивости по начальным данным р. с. (А, v) методом энергетических неравенств. Оценка погрешности р. с. (А, v) на основе метода энергетических неравенств. О разностных схемах расщепления. Экономичные разностные схемы Разностные схемы для уравнений гиперболического типа.
Построение и исследование разностных схем для уравнения колебаний струны. О трехслойной девятиточечной схеме для аппроксимации волнового оператора. Доказательство устойчивости р. с. (В, у) по начальным условиям. Доказательство устойчивости р. с. (В, у) по правой части. О разностных схемах для задачи Коши Разностные схемы для уравнений эллиптического типа.
Построение и исследование разностных аппроксимаций для дифференциальных уравнений. Аппроксимация граничных условий. Построение разностной схемы в случае задачи Дирихле для уравнения Пуассона. Об устойчивости разностной схемы. Методы решения эллиптических разностных уравнений. Метод матричной прогонки. Метод итераций для разностной задачи Дирихле. Правило Рунге. О методе редукции для некоторых эллиптических граничных задач Другие методы решения дифференциальных уравнений в частных производных.
Понятие о методах моментов и Галеркина. Вычисление автомодельных решений, описывающих процессы в высокотемпературной плазме. Численное решение одномерных задач радиационной газовой динамики. Метод характеристик. Характеристики дифференциального уравнения. Построение сетки характеристик. Нахождение характеристических полосок. Метод прямых. Поперечные схемы метода прямых для уравнений параболического типа. Продольные схемы метода прямых для параболических уравнений. О численной реализации продольных схем. Метод прямых для уравнений гиперболического типа. Метод прямых для эллиптических уравнений.