Лурье Л.И. Основы высшей математики

Издательско-торговая корпорация «Дашков и Ко». , 2003 г. , 520 стр.
Пособие включает избранные главы курса высшей математики, соответствующие начальному этапу обучения в техническом вузе. Особое внимание уделяется вопросам приложения математических методов исследования к решению прикладных задач.
Книга охватывает, в основном, те разделы курса высшей математики, которые тесно связаны между собой на довузовском и вузовском уровнях, что позволяет ее использовать также для профильного обучения в физико-математических классах общеобразовательных школ, лицеев и гимназий.

Содержание:
Математическое моделирование в технике.
Природа математических моделей.
Математическое моделирование и научно-технический прогресс.
Элементы математической логики .
Логика высказываний.
Предикаты.
Структура теоремы. Виды теорем.
Задачи и размышления.
Векторная алгебра.
Вводные замечания.
Понятие вектора.
Действия над векторами.
Линейные операции над векторами.
Вычитание векторов.
Умножение вектора на скаляр.
Линейная зависимость векторов.
Понятие системы координат.
Векторные и скалярные проекции вектора.
Прямоугольная система координат.
Деление отрезка в заданном соотношении.
Скалярное произведение векторов.
Векторное произведение векторов.
Смешанное произведение векторов.
Задачи и размышления.
Прямая и плоскость .
Взгляд в прошлое на геометрию Рене Декарта.
Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
Общее уравнение прямой.
Параметрические уравнения прямой.
Нормальное уравнение прямой.
Полярная система координат.
Прямая в полярных координатах.
Общее уравнение плоскости.
Нормальное уравнение плоскости.
Прямая в пространстве.
Задачи и размышления.
Уравнение прямой, проходящей через.
две заданные точки.
Уравнение прямой и плоскости в отрезках.
Уравнение плоскости, проходящей через.
три заданные точки.
Нахождение расстояния от точки до прямой на плоскости и от точки до лоскости.
Линии второго порядка .
Каноническое уравнение эллипса, гиперболы и параболы.
Эксцентриситет и директрисы конических сечений.
Уравнения эллипса, гиперболы и параболы в полярной системе координат.
Задачи и размышления.
Аксиоматический метод в математике.
Возникновение аксиоматического метода.
Построение системы аксиом.
Построение математической теории.
Элементы теории множеств.
О понятии множества.
Операции над множествами.
Соответствия между множествами.
Счетные множества.
Мощность континуума.
Числовые множества.
Задачи и размышления.
Функциональная зависимость.
Эволюция понятия функции.
Понятие функции.
Свойства функциональных зависимостей.
Обратная функция.
Сложная функция.
Классификация функций.
Простейшие приемы построения графиков функций.
Задачи и размышления.
Предел функции.
Задачи, приводящие к понятию предела.
Понятие предела функции.
Свойства пределов.
Первый замечательный предел.
Предел на бесконечности. Бесконечно большие функции.
Односторонние пределы.
Бесконечно малые функции и их свойства.
Вычисление пределов.
Числовые последовательности.
Второй замечательный предел.
Обобщения второго замечательного предела.
Эквивалентные функции.
Задачи и размышления.
Непрерывность функции.
Понятие непрерывной функции.
Точки разрыва функции и их классификация.
Свойства непрерывных на отрезке функций.
Равномерная непрерывность функции.
Задачи и размышления.
Дифференцируемость функции.
Понятие производной.
Свойства дифференцируемых функций.
Дифференцирование элементарных функций.
Логарифмическое дифференцирование.
Производные высших порядков.
Дифференцирование функции, заданной параметрически.
Дифференцирование функции, заданной неявно.
Дифференциал функции.
Применение дифференциала к приближенным вычислениям.
Теоремы о дифференцируемых функциях.
Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя.
Исследование функции с помощью первой производной.
Исследование функции с помощью второй производной.
Асимптоты.
План исследования функции и построение графика.
Задачи и размышления.